Bài giảng Thế lưu - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Thế lưu - Huỳnh Văn Kha

1. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG Giôùi haïn: doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1. Haøm theá vaän toác: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ϕ Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho: u = ; u = hay u = ; u = (1) x ∂x y ∂y r ∂r θ r ∂θ B G Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: ∫ uds chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. A Ta coù: toàntaïi ϕ thoaû(1) B G B B G B ∂ϕ ∂ϕ ∫ uds = ∫(uxdx + uydy) ⇒ ∫ uds = ∫( dx + dy) A A A A ∂x ∂y B = dϕ = ϕA − ϕB B ∫ G A Roõraøngtöøchöùngminhtreân, ∫ uds chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B. Vaäy: A ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂uy ∂ux Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 0 ⇔ − = 0 ⇔ rot(u)=0 ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂y A 2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: dϕ = 0 ⇔ uxdx + uydy = 0 n B un 3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: Γ = ϕ − ϕ Γ = u ds laø löu soá vaän toác AB B A AB ∫ s u A 4. Tính chaát haøm theá: 2 2 us ∂u ∂uy ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ϕ ∂ ϕ x + = 0 ⇔ + ⎜ ⎟ = 0 ⇔ + = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 B Töø ptr lieân tuïc, ta coù: ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂y ⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace THE LUU 1
2. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 5. Haøm doøng: Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù thoaû ptr lieân tuïc : ∂u ∂u ∂ψ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ x + y = 0 ⇔ ∃ψ / u = ;u = − hay u = ;u = − ∂x ∂y x ∂y y ∂x r r ∂θ θ ∂r ψ goïi laø haøm doøng. Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy, coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá. 6. Haøm doøng trong theá phaúng: 2 2 ∂uy ∂u ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ψ ∂ ψ Vì laø doøng chaûy theá neân: − x = 0 ⇔ − − ⎜ ⎟ = 0 ⇔ + = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂y 7. Ñöôøng doøng vaø ptr: Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace. ∂ψ ∂ψ Töø ptr ñöôøng doøng: u dy − u dx = 0 ⇔ dy + dx = 0 ⇔ dψ = 0 x y ∂y ∂x Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá. y 8. YÙ nghóa haøm doøng: B B B B GG n y n qAB = ∫∫unds = unds =∫ uxnxds + uynyds =∫ ux cosαds + uy sinαds A A A A α Ta coù: dy n B B B x ∂ψ ∂ψ dx = u dy − u dx = dy − dx = dψ = ψ − ψ ds ∫ x y ∫ ∂y ∂x ∫ B A A A A (-dx=ds.sinα) Vaäy: q AB = ψ B − ψ A O x 9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá: ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ + = u (−u ) + u (u ) = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y x y y x Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau. 10. Coäng theá löu: ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ψ = ψ1 + ψ2 + 11. Bieãu dieãn doøng theá: Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau:: Theá phöùc f(z): f (z ) = ϕ + iψ vôùi z = x+iy = eiα . df dϕ dψ Nhö vaäy: = u x − iu y = + i dz dx dy THE LUU 2
3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU 1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ y cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc α. V0 ux = V0cosα;uy = V0sinα dψ = uxdy - uydx α O x ψ = V0ycosα -V0xsinα + C ψ=3 Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä ψ=2 ψ=1 ϕ=3 ⇒ C=0. ψ=0 ϕ=2 ψ=-1 ϕ=1 Vaäy: ψ = V0ycosα -V0xsinα ψ=-2 ϕ=0 ϕ=-1 Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα ψ=-3 ϕ=-2 ϕ=-3 Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ =(V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα -V0xsinα) = x(V0cosα-iV0sinα)+yi(V0cosα -iV0sinα) = az vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc. 2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä. (q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt). Haøm doøng: Haøm theá vaän toác: q = ⎫ ∂ϕ ∂ϕ q u r ⎪ ∂ψ ∂ψ dϕ= dr+ dθ=u dr+ru dθ=u dr= dr 2πr ⎬ ⇒ dψ = dr + dθ = −u θ dr + ru r dθ = ru r dθ r θ r ∂r ∂θ ∂r ∂θ 2πr u = 0 ⎪ θ ⎭ q q ⇒ϕ= ln(r)+C; choïn ϕ=0 khi r=1 ⇒ ψ = θ + C ; choïn ψ = 0 khi θ = 0 2π 2π q q ⎛ y ⎞ q q 2 2 ⇒ ψ = θ = arctg ⎜ ⎟ ⇒ϕ= ln(r)= ln(x +y ) 2π 2π ⎝ x ⎠ 2π 4π ⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O. ψ=(q/4) ⎧ q q ⎛ y ⎞ ψ = θ = arctg⎜ ⎟ ⎪ 2π 2π x ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ q q 2 2 ϕ = ln(r) = ln(x + y ) ψ=q/2 ψ=0 Keát luaän: ⎪ 2π 4π O ⎨ q q ⎪f(z) = (ln r + iθ) = (ln r + ln e iθ ) ⎪ 2π 2π ⎪ q q ϕ ⎪ ln(re iθ ) ln z a ln z ⎪ = = = Ghi chuù: ⎩ 2π 2π ψ=3q/ Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä,4 ví duï ñaët taïi A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0). THE LUU 3
4. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay G 3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác Γ = ∫ uds = const C ⎧ Γ Γ ⎛ y ⎞ ⎪ ϕ = θ = arctg ⎜ ⎟ ⎪ 2 π 2 π ⎝ x ⎠ ⎪ u = 0 − Γ − Γ 2 2 ⎧ r ⎪ ψ = ln( r ) = ln( x + y ) ⎪ ⎪ 2 π 4 π ⎨ Γ ⇒ ⎨ u = = const Γ iΓ ⎩⎪ θ 2πr ⎪f (z ) = (θ − i ln r ) = − (ln r + iθ ) ⎪ 2 π 2 π ⎪ − iΓ − iΓ ⎪ = ln( re iθ ) = ln z = a ln z ⎩⎪ 2 π 2 π ϕ=Γ/4 Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ 0: xoaùy döông 4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh: Tìmhaømdoøng: ⎛ ⎞ q q ⎜ y y ⎟ ψ = ψ + ψ = (θ − θ ) = ⎜ arctg − arctg ⎟ n h 2π n h 2π ⎜ ε ε ⎟ ⎜ x + x − ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ε ⎟ ⎜ ε ⎟ ⎟ ⎛ ⎛ ε ⎞ ⎛ ε ⎞ ⎞ ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ ⎜ y⎜ x − ⎟ − y⎜ x + ⎟ ⎟ q ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟ q ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = arctg ⎜ ⎟ = arctg ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2π ⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ 2π 2 ε 2 ⎜ ⎜ y ⎟⎜ y ⎟ ⎟ ⎜ x − + y ⎟ 1 + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎜ ⎜ ε ⎟⎜ ε ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎠ Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát: ⎛ ⎛ ε ⎞ ⎛ ε ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ y⎜x − ⎟ − y⎜x + ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ q ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ q − yε − m 0 y ψ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → 2π ⎜ ε 2 ⎟ 2π ⎜ ε 2 ⎟ 2π x 2 + y 2 ⎜ x 2 − + y 2 ⎟ ⎜ x 2 − + y 2 ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ THE LUU 4
5. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2 2 q ⎡ ⎛⎛ ε ⎞ ⎞ ⎛⎛ ε ⎞ ⎞⎤ Tìmhaømtheávaäntoác: ϕ = ϕ + ϕ = ⎢ln⎜ x + + y 2 ⎟ − ln⎜ x − + y 2 ⎟⎥ n h ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ 4π ⎣⎢ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠⎦⎥ 2 ⎡⎛ ε ⎞ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎜x + ⎟ + y 2 ⎥ ⎢ ⎥ q ⎝ 2 ⎠ q 2εx = ln⎢ ⎥ = ln⎢1 + ⎥ 2 2 4π ⎢⎛ ε ⎞ ⎥ 4π ⎢ ⎛ ε ⎞ ⎥ ⎢⎜x − ⎟ + y 2 ⎥ ⎢ ⎜x − ⎟ + y 2 ⎥ ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ x 2 Trieån khai ln(1 + x) = x − + vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù: 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ q ⎜ 2εx ⎟ m 0 x ϕ = ⎜ ⎟ → khi ε → 0 2π 2 2π x 2 + y 2 ⎜ ⎛ ε ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎜x − ⎟ y ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì: − m y − m sin θ ψ ψ = 0 = 0 2π x 2 + y 2 2π r m x m cos θ ϕ = 0 = 0 2π x 2 + y 2 2π r +q -q m cos θ − i sin θ m cos 2 θ + sin 2 θ m 1 f(z) = 0 = 0 = 0 2π r 2π r(cos θ + i sin θ) 2π z 5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå: Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q) Ñieåm döøng q q ϕ = u x + ln(x 2 + y 2 ) = u r cos θ + ln r 0 4π 0 2π q y q ψ = u y + arctg( ) = u r sin θ + θ 0 2π x 0 2π A Ñieåm döøng A: uA = 0 ⇔ uxA = 0;uyA = 0 ⎧∂ϕ q 2x q = u + = 0 ⇔ x = − ⎪ 0 2 2 A ⎪ ∂x 4π x + y 2πu0 ⇔ ⎨ ⎪∂ϕ q 2y ⇑ = 2 2 = 0 ⇔ y A = 0 ⎩⎪ ∂y 4π x + y THE LUU 5
6. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin u Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng 0 AB+q -q ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q). Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn, 2a q (x + a)2 + y 2 ϕ = u x + ln o 4π (x − a)2 + y 2 q ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞⎤ ψ = uoy + ⎢arctg⎜ ⎟ − arctg⎜ ⎟⎥ 2π ⎣ ⎝ x + a ⎠ ⎝ x − a ⎠⎦ Coù hai ñieåm döøng A vaø B: ⎧∂ϕ q ⎛ 2y 2y ⎞ = ⎜ − ⎟ = 0 ⇔ {y = 0 ⎪ ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎪∂y 4π ⎝ (x + a) + y (x − a) + y ⎠ ⎪ ∂ϕ q ⎛ 2(x + a) 2(x − a) ⎞ ⎪ = u + ⎜ − ⎟ = 0 0 ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎧u x = 0 ⎪∂x 4π ⎝ (x + a) + y (x − a) + y ⎠ u = 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩u y = 0 ⎪ q ⎛ 2 2 ⎞ theá y = 0 ⇔ u + ⎜ − ⎟ = 0 ⎪ 0 4π (x + a) (x − a) ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ q ⎛ 4a ⎞ ⎧ aq ⇔ u + = 0 ⇔ x = ± + a2 ⎪ 0 ⎜ 2 2 ⎟ ⎨ ⎩⎪ 4π ⎝ x − a ⎠ ⎩ πu 0 7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0) Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0) m x m cos θ ⎛ m ⎞ ϕ = u x + 0 = u r cos θ + 0 = u r cos θ⎜1 + 0 ⎟ Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 o 2 2 o o ⎜ 2 ⎟ 2π x + y 2π r ⎝ 2πu 0 r ⎠ ⇔θ= 0 − m y m sin θ ⎛ m ⎞ vaø m 0 ψ = u y + 0 = u r sin θ − 0 = u r sin θ⎜1 − 0 ⎟ r = o 2 2 o o ⎜ 2 ⎟ 2πu 2π x + y 2π r ⎝ 2πu 0 r ⎠ 0 Do khoâng coù söï trao thì baûn chaát Thay ñöôøng m 0 baèng ñöôøng m 0 ñoåi löu chaát giöõa r = R = doøng chaûy vaãn troøn 2πu troøn 2πu trong vaø ngoaøi 0 0 khoâng ñoåi ñöôøng doøng ψ=0 ⎛ R 2 ⎞ ϕ = u r cos θ⎜1 + ⎟ o ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ Ta coùhìnhaûnhcuûadoøng chaûy bao quanh truï troøn. ⎛ R 2 ⎞ ψ = u r sin θ⎜1 − ⎟ (truï khoâng xoay) o ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ Ñieåm döøng THE LUU 6
7. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2 ¾Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R: pA = pB = ρu0 /2 ⎧ 1 ∂ϕ u = -2u ⎪uθ = = −2u 0 sin θ C C 0 ⇒ ϕ = 2u 0 R cos θ ⇒ ⎨ r ∂θ r=R ⎪ A B ⎩u r = 0 ¾Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï: D uD = 2u0 u θ = 0 ⇔ θ = 0 vaø θ = π ⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. ¾Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï: p = p = -3 u 2/2 π 3π C D ρ 0 u = u ⇔ θ = ;θ = θ max 2 2 ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát. uC = −2u 0 ; u D = 2u 0 ¾Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï: AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï: 2 2 2 2 2 2 2 ρu 0 ρu tr ρu u ρu 4u sin θ p + = p + dö 0 tr 0 0 ∞ tr Giaû sö û p∝=pa ptr = (1− 2 ) = (1− 2 ) 2 2 2 u0 2 u0 2 2 ρu 0 dö ρu0 2 Taïi A, B: p A = p B = p = (1− 4sin θ) 2 tr 2 3ρu2 Taïi C, D: p = p = − 0 D D 2 Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân Nhaän xeùt: toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0 7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0): L cöïc Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +) Doøng ñeàu ⎛ R 2 ⎞ Γ ϕ = u r cos θ⎜1 + ⎟ + θ o ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ 2π Xoaùy töï do ⎛ R 2 ⎞ Γ ψ = u r sin θ⎜1 − ⎟ − ln r o ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ 2π ¾Phaân boá vaän toác treân maët truï : 1 Γ Vì r = R neân u = 0; u = −2u sin θ + r θ 0 R 2π suy ra: ⎧Γ 4πRu 0 → 0.ñieåm.döøng ρu 2 ρu 2 1 Γ p + 0 = p + tr vôùi u = −2u sinθ + ∞ 2 tr 2 θ 0 R 2π 2 2 2 ⎡ 2 ⎤ dö ρu 0 u tr ρu 0 ⎛ Γ ⎞ Giaû sö û p∝=pa p = (1 − ) = ⎢1 − ⎜ 2 sin θ − ⎟ ⎥ tr 2 u 2 2 ⎜ 2 πRu ⎟ 0 ⎣⎢ ⎝ 0 ⎠ ⎦⎥ ¾Löïc taùc duïng treân maët truï: Phöông x: Fx =0 Löu yù : Phöông y: 2π 2π ⇒ F = − pdö Rsinθ.dθ = − ρΓU n Æ Löïc naâng Jukovs y ∫ tr 0 ∫ sin θ.dθ =0 0 0 THE LUU 7
8. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Caùc tröôøng Γ/2πRu0=1 hôïp xoaùy Γ/2πRu =2 Γ>0 0 Ñieåm döøng Ñieåm döøng Fy Γ/2πRu0=3 Ñieåm döøng Caùc tröôøng y y hôïp xoaùy Fy Γ< 0 Γ Γ r Stagnation r Ñieåm döøng Stagnation Point ÑieåmPoint döøng y | Γ |/2πRu0=2 | Γ |/2πRu0=1 Γ r Stagnation ÑieåmPoint döøng | Γ |/2πRu0=3 THE LUU 8
9. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 1: Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s. 1. Tìm a, b. 2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátbkhoái löôïng rieâng loûng baèng 1300kg/m3 Giaûi: Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù: ∂ϕ ∂ϕ u = = 0,12x2 + ay 2 ; u = = 2axy + 3by 2 x ∂x y ∂y Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân: ∂u ∂u x + y = 0 ⇔ 0,24x + 2ax + 6by = 0 ⇔ (0,24 + 2a)x + 6by = 0 ∂x ∂y Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0 (x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12 2 2 2 2 1/2 ⇒ uA=0; uB = ((0,12*3 -0,12*4 ) +(-0,24*3*4) ) = 3 m/s Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù: p u2 p u2 ρ(u2 −u2 ) 2 A A B B B A 1300(3 ) 2 + = + ⇔(pA −pB ) = ⇔ Δp = = 5,85KN / m ρ 2 ρ 2 2 AB 2 Ví duï 2: y Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác ñöôïc cho nhö sau: 1 ϕ(x,y) = (y 2 − x2 ) 2 (x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2) x Giaûi: y(phi=70) 25 y(phi=60) ∂φ ∂φ 20 y(phi=50) ux;uxy==− ==y y(phi=40) ∂∂xy 15 y(phi=30) ∂ψ 10 y(phi=20) =−uyx ⇒∂ψ=− ∂ y y(phi=10) ∂x 5 ⇒ψ=−yx + C(y) y(phi=0) 0 y(phi=-10) -30 -20 -10 0 10 20 30 ∂ψ -5 y(phi=-20) =⇒−+uxC'(y)xx =− ∂y y(phi=-30) ⇒=C(y) const ⇒ψ=−+ xy const 2 ⇒=ψ−ψ=−+=−q m/sAB B A 2211 3 THE LUU 9
10. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 3: Fy Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùi dF V=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieâng baèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân θ 1m beà daøi leàu. Giaûi: Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieân tích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân (dF ) treân toaøn baùn truï y ρu2 pdö = 0 (1− 4sin2 θ) AÙp suaát dö treân maët truï baèng: tr 2 π π π ρu2 ⇒ F = dF = − pdscos(θ) = − 0 (1− 4sin 2 θ)cos(θ)Rdθ = 0 x ∫ x ∫ ∫ 0 0 0 2 π π π ρu2 ⇒ F = dF = − pdssin(θ) = − 0 (1− 4(1− cos2 θ))sin(θ)Rdθ y ∫ y ∫ ∫ 0 0 0 2 Rρu2 π Rρu2 ⎡ ππ⎤ ⇒ F = − 0 (4cos2 θ − 3)sin(θ)dθ = − 0 (4cos2 θ(−d(cos(θ)) − 3sin(θ)dθ y ∫ ⎢∫∫⎥ 2 0 2 ⎣ 00⎦ 2 π 2 2 Rρu0 ⎡ 4 3 ⎤ Rρu0 ⎡⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎤ 5Rρu0 ⇒ Fy = − ⎢3cosθ − cos θ⎥ = − ⎢⎜ − 3 + ⎟ − ⎜ 3 − ⎟⎥ = 2 ⎣ 3 ⎦ 0 2 ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ 3 ⇒ Fy = 2320 N Ví duï 4: p = p = ρu 2/2 Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trong A B 0 u = -2u nöôùcvôùivaäntoácu0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. C C 0 Tìm u ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra 0 A B hieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C D Giaûi: uD = 2u0 ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùc Ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc tñ bh p = p = -3ρu 2/2 thì ptru > p = 0,25m nöôùc C D 0 ck dö ⇒ ptru - 9,75m nöôùc AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõ 2 bieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu0 /2 2 Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì : pC = pD = 10γn -3ρu0 /2 Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïc xaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr : dö 2 Ptru = 10γn -3ρu0 /2 > - 9,75 γn 2 ⇔ 3ρu0 /2 < 19,75 γn ⇔ u0 < 11,365 m/s THE LUU 10
11. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 5: π/2 ds dF Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí α θ dFx goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû 0 thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α Giaûi: Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa maët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång löïc Fx treân¼maëttr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2: AÙp suaát dö treân maët truï: ρu2 pdö = 0 (1− 4sin2 θ) tr 2 Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët truï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ π / 2 π / 2 ρu2 ρu2R ⎡ 4 ⎤ ρu2R ⇒ F = − 0 (1− 4sin 2 θ)cosθRdθ = − 0 sin θ − sin 3 θ = 0 nx ∫ ⎢ ⎥ 0 2 2 ⎣ 3 ⎦ 0 6 Nhaän xeùt: Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng ρu2 Goïi p laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: pdö = 0 (1− 4sin2 α) α α 2 π / 2 π / 2 ⇒ F = p ds = p cosθRdθ = p R sin θ π / 2 = p R tx ∫ α ∫ α α []0 α 0 0 ρu2R ⇒ F = o (1− 4sin 2 α) tx 2 Ta coù: Fnx + Ftx = 0 ρu2R ρu2R Suy ra: o o 2 Fnx = −Ftx ⇒ = − (1− 4sin α) 6 2 π/2 4 1 ⇒ 4sin2 α = ⇒ sin2 α = 3 3 α Ftx Fnx 1 ⇒ sin α = 0 3 α = 35,260 THE LUU 11
12. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 6 (tự giải) Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh. Tính áp suất tại điểm A(3,4) ck 2 ĐS: p A=0,512 N/m HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A Ví dụ 7 (tự giải) Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ 2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng B ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất. HD: Vị trí điểmdừng B trong hệ trụctọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu) Tọa độ của B trong xoy tìm đượcnhờ áp dụng công thứcchuyểntrụctọa độ. Áp suấtpB tìm từ ph. tr năng lượng Ví dụ 8 (tự giải) Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 . 2 ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0 THE LUU 12