›
›

Bài giảng Tích phân bất định

ppt 50 trang huongle 8090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân bất định", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_tich_phan_bat_dinh.ppt

Nội dung text: Bài giảng Tích phân bất định

  1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
  2. ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyờn hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x) f(x)dx = F(x) + C : tớch phõn bất định
  3. BẢNG CễNG THỨC NGUYấN HÀM dx dx1 x 1/= arctanx + C 2 / = arctan + C 1++x2 a 2 x 2 aa dx dx x 3 / = arcsinx + C 4 / = arcsin + C 1−−x2 a 2 x 2 a dx 5 / = ln x + x2 + k + C xk2 + x a2 x 6 /a2− x 2 dx = a 2 − x 2 + arcsin + C 22a xk 7 /x2+ kdx = x 2 + k + ln x + x 2 + k + C 22
  4. BẢNG CễNG THỨC NGUYấN HÀM 8/ chx dx=+ shx C 9/ shx dx=+ chx C dx 10 / =+thx C ch2 x dx 11/ = −cothx + C sh2 x dx x 12 /=+ ln tan C sinx 2 dx x 13 /= ln tan + +C cosx 2 4
  5. Vớ dụ dx x =+arcsin C 4 − x2 2 dx 1 x =+arctan C x2 + 4 22 1 3xxe dx =()()33exx dx = e + C ln31+
  6. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt 2. Tớch phõn từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx
  7. Vớ dụ 3 1 3 1 3 x2 ex dx = ex d() x3 =+eCx 3 3 x arctan 2 1 xx dx = arctand arctan 4 + x2 2 2 2
  8. Một số lưu ý khi dựng tp từng phần Pxn() là đa thức bậc n. Pn.ln( x ) dx dv= P dx, u là phần cũn lại Pn.arctan xdx n Pn.arcsin xdx x Pn. e dx u= Pn( x ), dv là phần cũn lại Pn.sin xdx
  9. Vớ dụ dx u=arcsin x du = I= arcsin xdx 1− x2 dv== dx, chon v x xdx 1dx (1− 2 ) I=− xarcsin x =+xxarcsin 2 1− x 2 21− x2 1 =xarcsin x + 1 − x2 + C 2
  10. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyờn tắc: chuyển về cỏc tớch phõn cơ bản dx() Ax+ B dx , ()x− am x2 + px + q Trong đú: * m là cỏc số tự nhiờn, * Cỏc tam thức bậc 2 cú = p2 - 4q< 0
  11. Tớch phõn cỏc phõn thức cơ bản dx =ln x − a + C xa− dx 11 =+C (m > 1) ()()x−− amm1− m x a −1
  12. Tớch phõn cỏc phõn thức cơ bản ()Ax+ B dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) x2 ++ px q A 2xp+ Ap dx = dx + B − 2 x2 ++ px q 2 x2 ++px q 2xp+ du dx = =ln uC + x2 ++ px q u
  13. Tớch phõn cỏc phõn thức cơ bản dx dx = 2 2 2 x++ px q pp xq+ + − 24 dv1 v = =arctan + C va22+ aa
  14. Vớ dụ x - 1 ũ dx xx2 -+1 1 2x - 1 ổử1 dx ỗ ữ = ũ dx +-ỗ 1ữũ 2 xx2 -+1 ốứỗ2 xx2 -+1 1 1 dx =ln(xx2 - + 1) - ũ 2 2 ổử132 ỗx -+ữ ốứỗ 24ữ 1 1 1 2 x - =ln(x2 - x + 1) - . arctan2. 2 + C 2233
  15. Tớch phõn cỏc phõn thức cơ bản (Ax++ B ) dx A (2 x p ) dx Ap dx = +()B − ()()()xpxq2+ +n22 xpxq 2 + + n xpxq 2 + + n (2x+ p ) dx du = ()x2 ++ px qnn u dx dv ==I ()()x2+ px + qnn v 2 + a 2 n 1 v Inn+1 =2 2 2 n +(2 n − 1) I 2na ( v+ a )
  16. Chứng minh quy nạp In dx 2 2−nn 2 2 − − 1 I = uxa=( + ) du = − 2 nxxa ( + ) dx n 22n ()xa+ dv== dx, choùn v x 2 2−nn 2 2 2 − − 1 In = x( x + a ) + 2 n x ( x + a ) dx 2 2−nn 2 2 2 2 2 − − 1 Ixxan =( + ) + 2 nxaaxa ( + − )( + ) dx =xxa(2 + 2 )−n + 2 nxa ( 2 + 2 ) − n dxnaxa − 2 2 ( 2 + 2 ) − n − 1 dx 2 2−n 2 In= x( x + a ) + 2 nI n − 2 na I n+1 1 x Inn+1 =2 2 2 2 +(2 n − 1) I 2na ( x+ a )
  17. ĐỊNH Lí PHÂN TÍCH px() Hàm hữu tỷ: fx()= ()()()x− am x − b n x2 + px + q r Với đa thức ở tử cú bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu cú < 0, sẽ được phõn tớch ở dạng AAABB fx( )=1 + 2 + +mn + 1 + + x−− a()()()x− a2 x − amn x b x − b C x+ D C x + D C x + D +1 1 + 2 2 + + rr x2+ pxqx +()() 2 + pxq + 2 x 2 + pxq + r
  18. MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x−− 1 2 x 1 A B fx()= = = + xx2 +−23(x− 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tớnh A: nhõn 2 vế với (x-1), sau đú thay x bởi 1 2xB− 1x=1 1 =A +( x − 1) A = xx++3 3 4 Để tớnh nhanh, trong biểu thức 21x − (xx−+ 1)( 3) Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tỡm được A Tớnh B: nhõn 2 vế với (x+3), sau đú thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phõn thức ban đầu) B = 7/4
  19. 21x− A B C fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tớnh B: vế trỏi che (x-1)2, sau đú thay x bởi 1
  20. 21x− A1/ 4 C fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tớnh B: vế trỏi che (x-1)2, sau đú thay x bởi 1 Tớnh C: vế trỏi che (x + 3), thay x bởi -3
  21. 21xA− 1/ 4− 7 /16 fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tớnh B: vế trỏi che (x-1)2, sau đú thay x bởi 1 Tớnh C: vế trỏi che (x + 3), thay x bởi -3 Tớnh A: nhõn 2 vế với x rồi cho x→
  22. 21xA− 1/ 4− 7 /16 fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tớnh B: vế trỏi che (x-1)2, sau đú thay x bởi 1 Tớnh C: vế trỏi che (x + 3), thay x bởi -3 Tớnh A: nhõn 2 vế với x rồi cho x→
  23. 21xA− 1/46− 7 /1 fx()=x = x + x + x (x− 1)22 ( x+− 3)xx−+13 ( x 1) Tớnh B: vế trỏi che (x-1)2, sau đú thay x bởi 1 Tớnh C: vế trỏi che (x + 3), thay x bởi -3 Tớnh A: nhõn 2 vế với x rồi cho x→ 7 7 00=A + − =A 16 16
  24. Sử dụng nguyờn tắc chung Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế 21x−+ A Bx C fx()= = + (x22+ x + 1)( x + 3)x + 3 x + x + 1 2x− 1 = A ( x2 + x + 1) + ( Bx + C )( x + 3) 2x − 1 = ( A + B ) x2 + ( A + 3 B + C ) x + A + 3 C AB+=0 A =−1 ABC +32 + = = B 1 AC+31 = − C = 0
  25. Vớ dụ tớnh tớch phõn 21x − dx (xx−+ 1)2 ( 3) 7/16 1/4− 7/16 =dx + dx + dx xx−+13 (x − 1)2 7 1 1 7 =lnx − 1 − − ln x + 3 + C 16 4x − 1 16
  26. 21x − −dx xdx dx =+ (x2 + x + 1)( x + 3) x + 3 xx2 ++1 1 (2x+ 1) dx 1 dx = −lnx + 3 + − 2 2 2 xx++1 2 13 x ++ 24 1 = −lnx + 3 +ln(xx2 + + 1) 2 1 2x + 1/ 2 −+arctan C 2 3 3 / 2
  27. TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ mm 12 ax++ b nn12 ax b Rx ,, cx++ d cx d trong đú m1, n1, m2, n2 là cỏc số nguyờn. Phương phỏp chung: đặt ax+ b t n = n là BSCNN(n , n ) cx+ d 1 2
  28. Vớ dụ 3 (xx++ 1)2 mm21 I= dx 12==, x +1 nn1232 tx6 =+1 =dx6 t5 dt tt46+−1 I= 6 t5 dt =6 (t6 + t 8 − t 2 ) dt t 3
  29. dx x+1 dx I = = 3 2 3 (xx−+ 1)( 1) xx−+11 3 2 3 x +1 t +1 −6t dt t = =x =dx x −1 t3 −1 (t32− 1) 1 t2 dt dt It= −63 = − t3+1 ( t 3 − 1) 2 t 3 − 1 +1 t3 −1
  30. dt dt I =−3 =−3 t3 −1 (t− 1)( t2 + t + 1) dt t + 2 = − + dt t −1 tt2 ++1
  31. Cỏc trường hợp riờng của tớch phõn Eurler dx ax2 ++ bx cdx ax2 ++ bx c ()Ax+ B dx ()Ax+ B ax2 + bx + cdx ax2 ++ bx c Nguyờn tắc chung: đưa về bỡnh phương đỳng của cỏc tam thức dưới căn và ỏp dụng tp bảng. 2 2 b c b ax+ bx + c = a x + + − 2 2aa4a
  32. ()Ax+ B dx A (2ax+ b) dx = 2 ax++ bx c 2a ax2 ++ bx c Ab dx + B − 2a ax2 + bx + c Tương tự cho trường hợp cũn lại.
  33. Vớ dụ dx 1 dx = −3xx2 + 2 + 1 321 −++xx2 33 1 dx 1 du = = 3 2 3 2 41 2 2 −− x − u 93 3
  34. 1 du I = 3 2 2 2 − u 3 13 =+arcsin uC 3 2 1 3 1 =arcsin xC − + 3 23
  35. Vớ dụ (x+ 1) dx −3xx2 + 2 + 1 −1 ( − 6x + 2) dx 4 dx =+ 63−3x22 + 2 x + 1 − 3 x + 2 x + 1 12 4 1 3 1 = − −3x + 2 x + 1 + arcsin x − + C 3 33 2 3
  36. TỔNG QUÁT R( x, ax2 ++ bx c) dx Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bỡnh phương đỳng, cú thể rơi vào cỏc TH sau: 22 R(,) u A− u du Đặt u = Asint, t [- /2, /2] 22 R(,) u u− A du Đặt u = A/sint, t [- /2, /2] 22 R(,) u u+ A du Đặt u = Atant, t (- /2, /2)
  37. Lưu ý dx ()x − k ax2 ++ bx c Đặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạng du a''' u2 ++ b u c
  38. Vớ dụ 2 3 2 3 I= ( x + 4 x + 5) dx = ( x + 2) + 1 dx 23 I=+ ( u 1) du Đặt u = tant dt It=+(tan23 1) cos2 t dtcos tdt dv = = = cos5t (1−− sin 2 t ) 3 (1 v 2 ) 3
  39. TÍCH PHÂN TREBUSEV xm() ax n+ b p dx m,n, p là cỏc sụ hữu tỷ TH 1: p là số nguyờn : Đặt x = tk, k là BSCNN mẫu số của m, n. m +1 n k TH 2: là số nguyờn: Đặt ax +b = t , k là n mẫu số của p m +1 TH 2: + p là số nguyờn: Đặt bx− n +a = tk , k n là mẫu số của p
  40. VÍ DỤ dx 2 I = m= −1, n = 1, p = − xx3 (+ 1)2 3 m +1 =01 xt + = 3 n 3t 2 I= dt (tt32− 1) dt dt( t+ 2) dt =3 = − (t− 1)( t22 + t + 1) t −1 t + t + 1
  41. Vớ dụ 1 dx m= −4, n = 2, p = − I = 2 42 xx1+ m +1 − 4 + 1 1 +p = − = −2 n 22 Đặt x-2 +1 = t2 -2x-3dx = 2tdt −2dx 2 I = 2t ( t− 1) dt 2 x 2 +1 = =2 (t − 1) dt xx32 t x 2
  42. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I= sinmn x cos x dx * m =2k + 1 I=− sin2kn x cos x d (cos x ) * n =2k + 1 I= sinmk x cos2 x d (sin x ) * m, n chẵn: dựng cụng thức hạ bậc 1 sinx cos x= sin 2 x , 2 1−+ cos2xx 1 cos2 sin22xx== , cos 22
  43. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC R(cos x ,sin x ) dx Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp khụng đổi =txcos Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp khụng đổi =txsin Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp khụng đổi =txtan x Tổng quỏt: =t tan 2
  44. VÍ DỤ I= sin34 x cos x dx = − (1 − cos24x )cos x d (cos x ) = − (cos46x − cos x ) d (cos x ) cos57xx cos = − + + C 57 dx I = cosxx sin3
  45. cos3 x I= dx cos2 xx+ 2sin Thay x bởi - x trong biểu thức dưới dấu tp cos3 ( − x ) dx() − cos2 ( −xx ) + 2sin( − ) −cos3 x =−()dx cos2 xx+ 2sin cos3 x = dx cos2 xx+ 2sin
  46. cos3 x I= dx Đặt x = sint cos2 xx+ 2sin (1− sin2 x )cos x dx = 1−+ sin2 xx 2sin 1− t 2 = dt 12−+tt2 2t =− 1 dt 12−+tt2
  47. dx I = cosxx++ sin 2 x 12x t = tan dt =(1 + tan2 ) dx dx = dt 2 22 1+ t 2 12dt dt I == 2t 1− t2 1 + t 2 t 2 + 2 t + 3 ++2 11++tt22
  48. Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giỏc asin x++ b cos x c dx a'sin x++ b 'cos x c ' Biểu diễn TỬ SỐ = A (đạo hàm mẫu số) + B (MẪU SỐ) +C Tỡm A, B, C bằng đồng nhất thức.
  49. Vớ dụ sinxx+− 2cos 3 I= dx sinxx−+ 2cos 3 sinxx+− 2cos 3 =A(sin x − 2cos x + 3)' + B (sin x − 2cos x + 3) + C sinxx + 2cos − 3 =A(cos x + 2sin x ) + B (sin x − 2cos x + 3) + C 4 3 6 ABC =,, = − = − 5 5 5
  50. 4d (sin x−+ 2cos x 3) 3 6 dx Ix= − − 5 sinx− 2cos x + 3 5 5 sin x − 2cos x + 3 4 x ln sinxx−+ 2cos 3 t = tan 5 2