›
›

Bài giảng Tích phân bội

pdf 64 trang huongle 6010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân bội", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_tich_phan_boi.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tích phân bội

  1. Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán 2 - MS: C01128 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 1 / 63
  2. Nội dung 1 Tích phân hai lớp Tích phân trên hình chữ nhật Tích phân trên miền tổng quát Đổi biến sang tọa độ cực Một số ứng dụng của tích phân hai lớp 2 Tích phân ba lớp Tích phân trên hình hộp chữ nhật Tích phân trên khối bị chận Một số ứng dụng Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu 3 Công thức đổi biến tổng quát Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 1 / 63
  3. Bài toán tìm thể tích Cho hàm số f xác định trên: R = [a, b] × [c, d] =  2 (x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Giả sử f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S:  3 S = (x, y, z) ∈ R : 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 2 / 63
  4. Phân hoạch ∗ ∗ Giả sử P1 = {x0, x1, , xn; x1 , xn }, và ∗ ∗ P2 = {y0, y1, , ym; y1 , ym} là các phân hoạch của [a, b] và [c, d]. Thì P = P1 × P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b] × [c, d] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 3 / 63
  5. Tổng Riemann Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được định nghĩa là: m n X X ∗ ∗ S(f , P) = f (xij , yij )∆xi ∆yj i=1 j=1 Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 4 / 63
  6. Định nghĩa tích phân hai lớp Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b] × [c, d]. Với P ∈ P, đặt: |P| = max{(xi − xi−1)(yj − yj−1): 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f , P) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P(R), |P| < δ Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên R và ký hiệu: ZZ f (x, y)dxdy = α R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 5 / 63
  7. Một số tính chất Tích phân hai lớp có các tính chất sau: ZZ 1. [f (x, y) + g(x, y)] dxdy R ZZ ZZ = f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy R R ZZ ZZ 2. cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy R R 3. Nếu f (x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ R thì: ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy R R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 6 / 63
  8. Tích phân lặp Cho f là hàm xác định trên R = [a, b] × [c, d] Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y, ta được: Z d A(x) = f (x, y)dy c Sau đó lấy tích phân A(x) từ a tới b ta được: Z b Z b Z d  A(x)dx = f (x, y)dy dx a a c Z b Z d ≡ f (x, y)dydx a c Tích phân trên gọi là một tích phân lặp Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 7 / 63
  9. Tương tự, lấy tích phân theo x trước, rồi sau đó lấy tích phân theo y ta cũng được một tích phân lặp: Z d Z b  Z d Z b f (x, y)dx dy ≡ f (x, y)dxdy c a c a Ví dụ: Z 3 Z 2 Z 3 " 2 y=2# 2 2 y x ydydx = x dx 0 1 0 2 y=1 Z 3 3 3 2 1 3 27 = x dx = x = 0 2 2 0 2 Z 2 Z 3 Z 2 " 3 x=3# Z 2 2 x 27 x ydxdy = y dy = 9ydy = 1 0 1 3 x=0 1 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 8 / 63
  10. Định lý Fubini Định lý Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] thì: ZZ Z b Z d f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx a c R Z d Z b = f (x, y)dxdy c a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 9 / 63
  11. Ví dụ ZZ 1. Tính tích phân hai lớp x − 3y 2 dxdy với R R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2} ZZ 2. Tính tích phân hai lớp 2x sin2 ydxdy với R R = [1, 2] × [0, π] Chú ý: Nếu R = [a, b] × [c, d] thì: ZZ Z b  Z d  g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy R a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 10 / 63
  12. Tích phân hai lớp - miền tổng quát Cho D là miền bị chận bất kỳ, được giới hạn trong hình chữ nhật R Ta định nghĩa hàm số mới xác định trên R như sau  f (x, y), (x, y) ∈ D F (x, y) = 0, (x, y) ∈ R \ D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 11 / 63
  13. Định nghĩa Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định nghĩa: ZZ ZZ f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy D R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 12 / 63
  14. Một số tính chất ZZ 1. [f (x, y) + g(x, y)] dxdy D ZZ ZZ = f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy D D ZZ ZZ 2. cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy D D 3. Nếu f (x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ D, thì: ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy D D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 13 / 63
  15. 4. Nếu D = D1 ∪ D2, và D1, D2 không che phủ nhau (ngoại trừ biên). Thì: ZZ ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy+ f (x, y)dxdy D D1 D2 5. Diện tích miền D là: ZZ S = dxdy D 6. Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = f (x, y) ≥ 0 là: ZZ V = f (x, y)dxdy D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 14 / 63
  16. Miền đơn giản theo Oy (loại I) Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại I) nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} Với g1, g2 là các hàm liên tục trên [a, b] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 15 / 63
  17. Nếu f liên tục trên miền: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} Thì ZZ Z b Z g2(x) f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx D a g1(x) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 16 / 63
  18. Ví dụ ZZ Tính I = (x + 2y)dxdy với D là miền giới hạn bởi D các đường y = 2x 2 và y = 1 + x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 17 / 63
  19. Miền đơn giản theo Ox (loại II) Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu: D = {(x, y): c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} Với h1(y) và h2(y) là các hàm liên tục Nếu f liên tục thì: ZZ Z d Z h2(y) f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy D c h1(y) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 18 / 63
  20. Ví dụ RR 1. Tính D xydxdy, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 1 và y 2 = 2x + 6 2. Tính thể tích khối nằm bên dưới mặt parabol tròn xoay z = x 2 + y 2 và trên miền D, với D là miền trong mặt phẳng Oxy giới hạn bới các đường y = 2x và y = x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 19 / 63
  21. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 20 / 63
  22. Tọa độ cực r = px 2 + y 2 x = r cos θ, y = r sin θ Hình chữ nhật trong tọa độ cực là tập có dạng: R = {(x, y): a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 21 / 63
  23. Diện tích của Rij : 1 2 1 2 1 2 2  ∆Ai = 2ri ∆θ − 2ri−1∆θ = 2 ri − ri−1 ∆θ 1 ∗ = 2(ri + ri−1)(ri − ri−1)∆θ = ri ∆r∆θ ∗ Với ri = (ri−1 + ri )/2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 22 / 63
  24. Đổi biến sang tọa độ cực (1) m n m n X X ∗ ∗ X X ∗ ∗ ∗ f (xij , yij )∆Ai = f (ri cos θj , ri sin θj )ri ∆r∆θ i=1 j=1 i=1 j=1 Nếu f liên tục trên miền: R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2π. Thì ta có: Đổi biến sang tọa độ cực (1) ZZ Z β Z b f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ R α a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 23 / 63
  25. Ví dụ ZZ 1. Tính (3x + 4y 2)dxdy, với R là miền trong nửa R mặt phẳng trên, giới hạn bởi các đường x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4 2. Tính thể tích của khối giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và parabol tròn xoay z = 1 − x 2 − y 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 24 / 63
  26. Đổi biến sang tọa độ cực (2) Nếu f liên tục trên miền có dạng:  D = (x, y): α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ) Thì: ZZ Z β Z h2(θ) f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ D α h1(θ) Ví dụ Tìm thể tích vật thể nằm bên dưới parabol tròn xoay z = x 2 + y 2, bên trên mặt phẳng Oxy và bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 25 / 63
  27. ZZ V = (x 2 + y 2)dxdy D D = {(x, y): −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ} ZZ Z π/2 Z 2 cos θ 3π V = (x 2 + y 2)dxdy = r 2rdrdθ = D −π/2 0 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 26 / 63
  28. Bài tập. Tính các tích phân sau. ZZ √ 1. (x + y)dxdy, D gh bởi: y = x, y = x 2. D ZZ 2. (2x − 4y) dydx, với D là miền giới hạn bởi D parabol x = y 2 − 2y và đường thẳng x = 3. ZZ 3. xydxdy, D gh bởi trục Oy, x + y = 1 và D x − 2y = 4 ZZ 4. y 3dxdy, D là tam giác với các đỉnh: D (0, 2), (1, 1), (3, 2). ZZ  p  5. x + 4 − x 2 − y 2 dxdy, với D là miền: D x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ x. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 27 / 63
  29. Một số ứng dụng Xét vật thể phẳng D có hàm mật độ ρ(x, y), nghĩa là: ∆m ρ(x, y) = lim ∆A Trong đó, ∆m, ∆A là khối lượng và diện tích của hình chữ nhật nhỏ chứa (x, y) và giới hạn được lấy khi kích thước hình chữ nhật tiến về 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 28 / 63
  30. k l X X ∗ ∗ Có thể xấp xỉ: m ≈ ρ(xij , yij )∆A i=1 j=1 ZZ Khối lượng vật phẳng: m = ρ(x, y)dxdy D Tâm khối lượng của vật phẳng D có hàm mật độ ρ(x, y) là điểm (xm, ym) được tính như sau: 1 ZZ 1 ZZ xm = xρ(x, y)dxdy, ym = yρ(x, y)dxdy m D m D Trong đó m là khối lượng của D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 29 / 63
  31. Moment quay của vật thể gồm hữu hạn chất điểm mi X 2 cách trục quay khoảng ri là: I = mi ri i Moment quay của vật phẳng D có mật độ ρ(x, y) là: ZZ I = ρ(x, y)[r(x, y)]2dxdy D Trong đó r(x, y) là khoảng cách từ trục quay đến điểm (x, y) trên vật phẳng D. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 30 / 63
  32. Tích phân trên hình hộp chữ nhật Xét hàm f xác định trên hình hộp chữ nhật: B = {(x, y, z): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s} Nếu Px , Py , Pz là các phân hoạch của của [a, b], [c, d], [r, s]. Thì P = Px × Py × Pz gọi là một phân hoạch của B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 31 / 63
  33. l m n X X X ∗ ∗ ∗ S(f , P) = f (xijk , yijk , zijk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 gọi là tổng Riemann của f ứng với P Ký hiệu P(B) là tập các phân hoạch của B và: |P| = max{∆Vijk }. Ta có định nghĩa. Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên B nếu có α ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f , P) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P(B), |P| < δ Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên B và ký hiệu: ZZZ f (x, y, z)dxdydz = α B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 32 / 63
  34. Định lý Fubini Định lý Nếu f liên tục trên hình hộp chữ nhật B = [a, b] × [c, d] × [r, s], thì: ZZZ Z s Z d Z b f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz B r c a 1. Tích phân ở vế phải gọi là tích phân lặp 2. Có 6 thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp ở vế phải, và tất cả các cách lấy thứ tự đó đều cho kết quả như nhau. Ví dụ, một cách khác là: ZZZ Z b Z s Z d f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dydzdx B a r c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 33 / 63
  35. Ví dụ ZZZ Tính tích phân ba lớp xyz2dxdydz, với B là: B B = {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} ZZZ Z 3 Z 2 Z 1 xyz2dxdydz = xyz2dxdydz B 0 −1 0 Z 3 Z 2 2 x=1 Z 3 Z 2 2 2 x yz = yz dydz = dydz 0 −1 2 x=0 0 −1 2 Z 3 2 y=2 Z 3 2 2 y 3z = z dz = dz 0 4 y=−1 0 4 3 3 z 27 = = 4 0 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 34 / 63
  36. Tích phân trên khối bị chận Nếu E là khối bị chận bất kỳ, ta bao E bởi hình hộp chữ nhật B. Tiếp theo, ta định nghĩa hàm F bằng với f trên E và bằng 0 tại những điểm trong B nhưng ngoài E. Nếu F khả tích trên B thì ta nói f khả tích trên E và định nghĩa: ZZZ ZZZ f (x, y, z)dxdydz = F (x, y, z)dxdydz E B Nói chung, nếu f liên tục trên E và biên của E "đủ trơn" thì tích phân nói trên là tồn tại. Tích phân ba lớp cũng có các tính chất giống như của tích phân hai lớp Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 35 / 63
  37. Khối đơn giản theo Oz (loại I) Khối E gọi là đơn giản theo Oz (loại I) nếu có u1 và u2 liên tục sao cho: E = {(x, y, z):(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} Nếu f liên tục và E như trên thì:  u (x,y)  ZZZ ZZ 2Z f (x, y, z)dxdydz =  f (x, y, z)dz dxdy E D   u1(x,y) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 36 / 63
  38. E = {(x, y, z): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} b g2(x) u2(x,y) ZZZ Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzdydx E a g1(x) u1(x,y) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 37 / 63
  39. E = {(x, y, z): c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} d h2(y) u2(x,y) ZZZ Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzdxdy E c h1(y) u1(x,y) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 38 / 63
  40. Ví dụ ZZZ 1. Tính tích phân ydxdydz. Trong đó E là khối E √ trong R3 giới hạn bởi 0 ≤ z ≤ 1 − y, x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 39 / 63
  41. Ví dụ ZZZ 2. Tính zdxdydz, với E là khối tứ diện giới hạn E bởi bốn mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 40 / 63
  42. Khối đơn giản theo Ox (loại II)  E = (x, y, z):(y, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ x ≤ u2(y, z)  u (y,z)  ZZZ ZZ Z2 f (x, y, z)dxdydz =  f (x, y, z)dx dydz E D   u1(y,z) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 41 / 63
  43. Khối đơn giản theo Oy (loại III)  E = (x, y, z):(x, z) ∈ D, u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)  u (x,z)  ZZZ ZZ Z2 f (x, y, z)dxdydz =  f (x, y, z)dy dxdz E D   u1(x,z) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 42 / 63
  44. Ví dụ ZZZ 3. Tính tích phân zdxdydz. Trong đó E là khối E trong R3 giới hạn bởi 0 ≤ y ≤ 1 − x, (x, z) ∈ D với D là miền trong mặt phẳng zOx giới hạn bởi các đường z = 0, z = 1 − x 2, x ∈ [0, 1]. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 43 / 63
  45. Ví dụ ZZZ p 4. Tính x 2 + z2dxdydz, với E là khối bị chận E bởi parabol tròn xoay y = x 2 + z2 và mặt phẳng y = 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 44 / 63
  46. Một số ứng dụng Thể tích của khối E là: ZZZ V (E) = dxdydz E Vật thể E có hàm mật độ là ρ(x, y, z) thì khối lượng là: ZZZ m = ρ(x, y, z)dxdydz E ZZZ ZZZ Myz= xρ(x, y, z)dxdydz, Mxz= yρ(x, y, z)dxdydz E ZZZ E Mxy = zρ(x, y, z)dxdydz E Tâm khối lượng của E là điểm (¯x, y¯, z¯), với: M M M x¯ = yz , y¯ = xz , z¯ = xy m m m Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 45 / 63
  47. Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ x = r cos θ y = r sin θ z = z y r 2 = x 2 + y 2 tan θ = z = z x Xét khối:  E = (x, y, z):(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y) Với:  D = (r, θ): α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 46 / 63
  48.  u (x,y)  ZZZ ZZ 2Z f (x, y, z)dxdydz =  f (x, y, z)dz dxdy E D   u1(x,y) Z β Z h2(θ) Z u2(r cos θ,r sin θ) = f (r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ α h1(θ) u1(r cos θ,r sin θ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 47 / 63
  49. Ví dụ RRR p 2 2 Tính I = E x + y dxdydz. Trong đó E là khối nằm bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = 1, bên dưới mặt z = 4 và bên trên parabol tròn xoay z = 1 − x 2 − y 2 E = (r, θ, z): 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1, 1 − r 2 ≤ z ≤ 4 12π I = 5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 48 / 63
  50. Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ ρ2 = x 2 + y 2 + z2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 49 / 63
  51. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 50 / 63
  52. Hình chữ nhật trong tọa độ cầu E = {(ρ, θ, φ): a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d} Thể tích của Eijk : 2 ∆Vijk ≈ ρi sin φk ∆ρ∆θ∆φ Tổng Riemann: X ∗ ∗ ∗ f (xijk , yijk , zijk )∆Vijk i,j,k Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 51 / 63
  53. Đổi biến trong tọa độ cầu ZZZ f (x, y, z)dxdydz = E d β b Z Z Z f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ2 sin φdρdθdφ c α a Với miền tổng quát hơn, chẳng hạn:  E = (ρ, θ, φ): α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d, g1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g2(θ, φ) ZZZ Thì: f (x, y, z)dxdydz E Z d Z β Z g2(θ,φ) = f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ2 sin φdρdθdφ c α g1(θ,φ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 52 / 63
  54. Ví dụ 1. Tính tích phân ba lớp ZZZ (x + y)dxdydz E  x 2 + y 2 + z2 ≤ 4, trong đó E là khối giới hạn bởi z ≤ 0, y ≥ 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 53 / 63
  55. Ví dụ 2. Tính thể tích của khối nằm trên mặt nón z = px 2 + y 2 và dưới mặt cầu x 2 + y 2 + z2 = z Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 54 / 63
  56. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 55 / 63
  57. Bài tập: Tính các tích phân 3 lớp sau. ZZZ 1. (x + y) dxdydz, với E là phần của khối trụ E x 2 + y 2 ≤ 1 nằm giữa 2 mặt z = 3 và z = x. ZZZ 2. zdxdydz, với E là khối: 0 ≤ z ≤ px 2 + y 2, E (x, y) ∈ D, với D là miền trong Oxy giới hạn bởi y = x 2 + 2x và trục Ox. ZZZ p 3. x 2 + y 2dxdydz, với E là khối E 1 ≤ x 2 + y 2 + z2 ≤ 2, z ≥ 0, x ≥ 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 56 / 63
  58. Công thức đổi biến tổng quát Xét phép biến đổi T từ mặt phẳng uv tới mặt phẳng xy: T (u, v) = (x, y) Trong đó x = g(u, v), y = h(u, v), mà thỉnh thoảng ta vẫn viết x = x(u, v), y = y(u, v) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 57 / 63
  59. Định thức Jacobi Định nghĩa Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi x = x(u, v), y = y(u, v) được định nghĩa là: ∂x ∂x ∂(x, y) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v = ∂y ∂y = − ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂v Phép biến đổi T gọi là thuộc lớp C 1 nếu x và y đều có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 58 / 63
  60. Đổi biến cho tích phân bội Định lý Công thức đổi biến cho tích phân bội Cho T là phép biến đổi đi từ S trong mặt phẳng uv tới R trong mặt phẳng xy, trong đó R và S là các miền loại I hoặc II. Giả sử T song ánh, thuộc lớp C 1 và định thức Jacobi của nó khác 0 tại mọi (u, v) (có thể ngoại trừ biên). Giả sử f là liên tục trên R. Khi đó: ZZ ZZ ∂(x, y) f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) dudv R S ∂(u, v) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 59 / 63
  61. Xét x = r cos θ và y = r sin θ, thì: ∂(x, y) cos θ −r sin θ = = r > 0 ∂(u, v) sin θ r cos θ Và ta có công thức đổi biến trong tọa độ cực ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ R S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 60 / 63
  62. Đổi biến cho tích phân ba lớp T đi từ không gian uvw tới không gian xyz: x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) Định thức Jacobi là định thức cấp 3: ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ∂(x, y, z) ∂y ∂y ∂y = ∂(u, v, w) ∂u ∂v ∂w ∂z ∂z ∂z ∂u ∂v ∂w Với giả thiết tương tự định lý trên, ta có: ZZZ f (x, y, z)dxdydz = RZZZ ∂(x, y, z) f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) dudvdw S ∂(u, v, w) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 61 / 63
  63. Xét x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, thì: ∂(x, y, z) = −ρ2 sin φ ∂(ρ, θ, φ) Vì 0 ≤ φ ≤ π nên sin φ ≥ 0. Do đó: ∂(x, y, z) 2 = ρ sin φ ∂(ρ, θ, φ) Và ta có công thức đổi biến cho tọa độ cầu ZZZ f (x, y, z)dxdydz = R ZZZ f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ2 sin φdρdθdφ S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 62 / 63
  64. Ví dụ ZZ 1. Tính (x + y)dxdy, với D  x 2 y 2  D = (x, y): + ≤ 1, x ≤ 0 16 9 ZZ x+y 2. Tính e x−y dxdy, với R là hình thang với các đỉnh R lần lượt là (1, 0), (2, 0), (0, −2), (0, −1). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 63 / 63