Bài giảng Tích Phân Bội - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Tích Phân Bội - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 8 TÍCH PHÂN BỘI Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
2. Nội dung 1 Tích phân trên hình chữ nhật Bài toán tìm thể tích Phân hoạch Định nghĩa và các tính chất Tích phân lặp Định lý Fubini 2 Tích phân trên miền tổng quát Định nghĩa và các tính chất Tích phân trên miền đơn giản theo Ox và Oy 3 Đổi biến dang tọa độ cực 4 Một số ứng dụng của tích phân hai lớp Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
3. Bài toán tìm thể tích Cho hàm số f xác định trên: R = [a, b] × [c, d] =  2 (x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Giả sử f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S:  3 S = (x, y, z) ∈ R : 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 2 / 30
4. Phân hoạch ∗ ∗ Giả sử P1 = {x0, x1, , xn; x1 , xn }, và ∗ ∗ P2 = {y0, y1, , ym; y1 , ym} là các phân hoạch của [a, b] và [c, d]. Thì P = P1 × P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b] × [c, d] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 3 / 30
5. Tổng Riemann Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được định nghĩa là: m n X X ∗ ∗ S(f , P) = f (xij , yij )∆xi ∆yj i=1 j=1 Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 4 / 30
6. Định nghĩa tích phân hai lớp Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b] × [c, d]. Với P ∈ P, đặt: |P| = max{(xi − xi−1)(yj − yj−1): 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f , P) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P(R), |P| < δ Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên R và ký hiệu: ZZ f (x, y)dxdy = α R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 5 / 30
7. Một số tính chất Tích phân hai lớp có các tính chất sau: ZZ 1. [f (x, y) + g(x, y)] dxdy R ZZ ZZ = f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy R R ZZ ZZ 2. cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy R R 3. Nếu f (x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ R thì: ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy R R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 6 / 30
8. Tích phân lặp Cho f là hàm xác định trên R = [a, b] × [c, d] Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y, ta được: Z d A(x) = f (x, y)dy c Sau đó lấy tích phân A(x) từ a tới b ta được: Z b Z b "Z d # A(x)dx = f (x, y)dy dx a a c Z b Z d ≡ f (x, y)dydx a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 7 / 30
9. Tích phân trên gọi là một tích phân lặp Tương tự, lấy tích phân theo x trước, rồi sau đó lấy tích phân theo y ta cũng được một tích phân lặp: Z d "Z b # Z d Z b f (x, y)dx dy ≡ f (x, y)dxdy c a c a Ví dụ: Tính các tích phân lặp sau: Z 3 Z 2 Z 2 Z 3 a) x 2ydydx b) x 2ydxdy 0 1 1 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 8 / 30
10. Định lý Fubini Định lý Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] thì: ZZ Z b Z d f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx a c R Z d Z b = f (x, y)dxdy c a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 9 / 30
11. Ví dụ ZZ 1. Tính tích phân hai lớp x − 3y 2
    dxdy với R R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2} ZZ 2. Tính tích phân hai lớp 2x sin2 ydxdy với R R = [1, 2] × [0, π] Chú ý: Nếu R = [a, b] × [c, d] thì: ZZ Z b ! Z d ! g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy R a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 10 / 30
12. Tích phân hai lớp - miền tổng quát Cho D là miền bị chận bất kỳ, được giới hạn trong hình chữ nhật R Ta định nghĩa hàm số mới xác định trên R như sau  f (x, y), (x, y) ∈ D F (x, y) = 0, (x, y) ∈ R \ D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 11 / 30
13. Định nghĩa Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định nghĩa: ZZ ZZ f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy D R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 12 / 30
14. Một số tính chất ZZ 1. [f (x, y) + g(x, y)] dxdy D ZZ ZZ = f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy D D ZZ ZZ 2. cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy D D 3. Nếu f (x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ D, thì: ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy D D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 13 / 30
15. 4. Nếu D = D1 ∪ D2, và D1, D2 không che phủ nhau (ngoại trừ biên). Thì: ZZ ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy+ f (x, y)dxdy D D1 D2 5. Diện tích miền D là: ZZ S = dxdy D 6. Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = f (x, y) ≥ 0 là: ZZ V = f (x, y)dxdy D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 14 / 30
16. Miền đơn giản theo Oy (loại I) Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại I) nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} Với g1, g2 là các hàm liên tục trên [a, b] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 15 / 30
17. Nếu f liên tục trên miền: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} Thì ZZ Z b Z g2(x) f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx D a g1(x) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 16 / 30
18. Ví dụ ZZ Tính I = (x + 2y)dxdy với D là miền giới hạn bởi D các đường y = 2x 2 và y = 1 + x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 17 / 30
19. Miền đơn giản theo Ox (loại II) Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu: D = {(x, y): c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} Với h1(y) và h2(y) là các hàm liên tục Nếu f liên tục thì: ZZ Z d Z h2(y) f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy D c h1(y) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 18 / 30
20. Ví dụ RR 1. Tính D xydxdy, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 1 và y 2 = 2x + 6 2. Tính thể tích khối nằm bên dưới mặt parabol tròn xoay z = x 2 + y 2 và trên miền D, với D là miền trong mặt phẳng Oxy giới hạn bới các đường y = 2x và y = x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 19 / 30
21. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 20 / 30
22. Tọa độ cực r = px 2 + y 2 x = r cos θ, y = r sin θ Hình chữ nhật trong tọa độ cực là tập có dạng: R = {(x, y): a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 21 / 30
23. Diện tích của Rij : 1 2 1 2 1 2 2
    ∆Ai = 2ri ∆θ − 2ri−1∆θ = 2 ri − ri−1 ∆θ 1 ∗ = 2(ri + ri−1)(ri − ri−1)∆θ = ri ∆r∆θ ∗ Với ri = (ri−1 + ri )/2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 22 / 30
24. Đổi biến sang tọa độ cực (1) m n m n X X ∗ ∗ X X ∗ ∗ ∗ f (ri cos θj , ri sin θj )∆Ai = f (ri cos θj , ri sin θj )ri ∆r∆θ i=1 j=1 i=1 j=1 Nếu f liên tục trên miền: R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2π. Thì ta có: Đổi biến sang tọa độ cực (1) ZZ Z β Z b f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ R α a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 23 / 30
25. Ví dụ ZZ 1. Tính (3x + 4y 2)dxdy, với R là miền trong nửa R mặt phẳng trên, giới hạn bởi các đường x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4 2. Tính thể tích của khối giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và parabol tròn xoay z = 1 − x 2 − y 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 24 / 30
26. Đổi biến sang tọa độ cực (2) Nếu f liên tục trên miền có dạng:  D = (x, y): α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ) Thì: ZZ Z β Z h2(θ) f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ D α h1(θ) Ví dụ Tìm thể tích vật thể nằm bên dưới parabol tròn xoay z = x 2 + y 2, bên trên mặt phẳng Oxy và bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 25 / 30
27. ZZ V = (x 2 + y 2)dxdy D D = {(x, y): −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ} ZZ Z π/2 Z 2 cos θ 3π V = (x 2 + y 2)dxdy = r 2rdrdθ = D −π/2 0 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 26 / 30
28. Một số ứng dụng Xét vật thể phẳng D có hàm mật độ ρ(x, y), nghĩa là: ∆m ρ(x, y) = lim ∆A Trong đó, ∆m, ∆A là khối lượng và diện tích của hình chữ nhật nhỏ chứa (x, y) và giới hạn được lấy khi kích thước hình chữ nhật tiến về 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 27 / 30
29. k l X X ∗ ∗ Có thể xấp xỉ: m ≈ ρ(xij , yij )∆A i=1 j=1 ZZ Khối lượng vật phẳng:m = ρ(x, y)dxdy D Tâm khối lượng của vật phẳngD có hàm mật độ ρ(x, y) là điểm (xm, ym) được tính như sau: 1 ZZ 1 ZZ xm = xρ(x, y)dxdy, ym = yρ(x, y)dxdy m D m D Trong đó m là khối lượng của D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 28 / 30
30. Moment quay của vật thể gồm hữu hạn chất điểm mi X 2 cách trục quay khoảng ri là: I = mi ri i Moment quay của vật phẳngD có mật độ ρ(x, y) là: ZZ I = ρ(x, y)[r(x, y)]2dxdy D Trong đó r(x, y) là khoảng cách từ trục quay đến điểm (x, y) trên vật phẳng D. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 29 / 30
31. Bài tập. Tính các tích phân sau. ZZ √ 1. (x + y)dxdy, D gh bởi: y = x, y = x 2. D ZZ 2. (2x − 4y) dydx, với D là miền giới hạn bởi D parabol x = y 2 − 2y và đường thẳng x = 3. ZZ 3. xydxdy, D gh bởi trục Oy, x + y = 1 và D x − 2y = 4 ZZ 4. y 3dxdy, D là tam giác với các đỉnh: D (0, 2), (1, 1), (3, 2). ZZ  p  5. x + 4 − x 2 − y 2 dxdy, với D là miền: D x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ x. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 30 / 30