Bài giảng Tích phân (Chuẩn kiến thức)

Nội dung text: Bài giảng Tích phân (Chuẩn kiến thức)

1. CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN 1.Tích phân bất định 2.Tích phân xác định 3.Tích phân suy rộng 4.Ứng dụng hình học của tích phân
2. Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: 1.Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x) 2.Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục  x (,) a b và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b]
3. Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu f()() x dx=+ F x C Tính chất: f ()() x dx=+ f x C d f()() x dx= f x dx a.().() f x dx= a f x dx  fx()()()()+ gxdx = fxdx + gxdx
4. Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản +1 1 x dx=+tan x C x dx= + C,1 − 2 +1 cos x 1 1 dx= −cot x + c dx=+ln x C 2 x sin x x 11x x a dx=+arctan C a dx=+ C 22 ln a ax+ aa sinxdx= − cos x + C 11xa+ 22dx=+ln C cosxdx=+ sin x c ax− 2a x− a dx x dx x =+ln tan C =ln tan + + C sinx 2 cosx 2 4
5. Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx=+arcsin c ax22− a 1 dx=+ln x x22 a+ C xa22 2 2 2 22 a x x a− x a− x dx =arcsin + + C 22a dx =+thx C shxdx=+ chx C ch2 x chxdx=+ chx C dx = −cthx + C sh2 x
6. Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu f()() x dx=+ F x C Thì: f( ( t )) ( t ) dt=+ F ( ( t )) C Với φ(t) là hàm khả vi Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải: (F(()) t+= C) F (()).() t t = f( ( t )). ( t ) Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định lý được chứng minh Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp sau đây
7. Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có f( x ) dx= f ( ( t )) ( t ) dt Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f( x ) dx= G ( t ) + C = G ( −1 ( x )) + C Ví dụ: Tính tích phân 2 I1 =− 1 x dx dx= cos tdt tx= arcsin Đặt x = sint thì và 2 2 1−=xt cos sin2t=− 2 x 1 x 2 I1 = cos tdt 1+ cos2t 11 arcsinx x 1− x2 = dt =t +sin2 t + C = ++C 2 24 24
8. Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và giả sử f( x ) dx= g ( ( x )) ( x ) dx với g()() x dx=+ G x C Thì f( x ) dx=+ G ( ( x )) C Ví dụ: Tính dx I2 = xa22+ x 1 Đặt u = du = dx dx = adu a a 1 adu 1 1 x I2 = =+arctanuC= arctan + C au2 2 +1 a aa
9. Tích phân bất định xx Ví dụ: Tính I3 =+ e4 e dx 2udu Đặt ue=+4 x exx = u2 −42 e dx = udu dx = u2 − 4 2 2udu 2 2 3 2 x 3 I3 = (uu− 4) = 2u du =+uC= (eC++ 4) u2 − 4 3 3 dx Ví dụ: Tính I4 = 21x + x 2 dx 11x I4 = xx =− 2 dx =−dx J 2 (2+ 1) 2xx 2+ 1 x x du x 2 dx du ln(2− 1) Đặt u = 2x+1 =2 dx J = = = ln 2 21x + uln 2 ln 2 ln(2x − 1) I= x − + C 4 ln 2
10. Tích phân bất định Phương pháp tích phân từng phần: Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có uxvxdx ()()()()()()=− uxvx uxvxdx Đẳng thức trên tương đương với: (uxvx ()()()()()()+= uxvx) dx uxvx Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo hàm của tích Ta còn viết CT trên ở dạng udv=− uv vdu
11. Tích phân bất định Ví dụ: Tính I5 = arcsin xdx Đặt u=arcsinx, dv=dx I5 = udv=−uv vdu =−xarcsin x xd (arcsin x ) xdx 1dx (1− 2 ) =−xxarcsin =+xxarcsin 1− x2 2 1− x2 = xarcsin x+− 1 x2 + C 2 Ví dụ: Tính I6 = xln xdx 1 Đặt x23 dx= dx = du, v = ln x 3 x3 ln x x3 x32ln x x x33ln x x I6 =− d(lnx )=− dx = − + C 33 33 39
12. Tích phân bất định Ví dụ: Tìm công thức truy hồi cho tích phân dx In = ()xa22+ n x 1 I =−xd x2 nxdx n 2 2n 2 2 n =+ x ()()x++ a x a ()()x2++ a 2nn x 2 a 2+ 1 x() x2+− a 2 a 2 =+2n dx ()()x2++ a 2nn x 2 a 2+ 1 x 2 = +22nInn − na I +1 ()xa22+ n Vậy: 1 x Inn+1 =2 2 2 n +(2 n − 1) I 2na ( x+ a )
13. Tích phân bất định dx1 x In= 2 2nn I n+1 = 2 2 2 +(2 n − 1) I n , n = 1,2, (x++ a ) 2 na ( x a ) Với n=1: dx1 x IC1 = =arctan + xa22+ aa dx11 x x Với n=2: IC2 = = +arctan + (x2++ a 2 ) 2 2 a 2 x 2 a 2 aa
14. Tích phân bất định 1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1: dx+ b M M ( a) M 1 1−k dx = =xC +b + k k ( a) ()ax+ b a x + b ak1− ( a) 2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực Mx+ N Thêm bới để tử số thành đạo dx ()ax2 ++ bx c k hàm của mẫu số cộng 1 hằng số Mb ()N− dx M(2 ax+ b ) dx =+ a 2a ()ax2 ++ bx c kk22 k 2 b b b a x+ x +22 + c − a 44aa
15. Tích phân bất định Mb ()N− dx M()2ax+ b dx =+ a 2a (ax2 ++ bx c)kk22 k 2 b b b a xx+ +22 +c − a 4a 4a Thêm bớt để mẫu số có dạng u2+a2 Mb b 2 ()Nd− x + M d( ax++ bxx) a 2a =+ 2 kk 2a ()ax ++bx c 2 2 k bb a xc+ + − 2a 2 4a du du Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng , ukk() u22+ a
16. Tích phân bất định 23x + Ví dụ: Tính I7 = dx (xx22++ 1) Tách tử số thành tổng đạo hàm của mẫu số và 1 hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ 2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương của 1 nhị thức và hằng số 1 2d (x + ) ()21x + dx 2 I7 =+ (x2 ++x 1)22 1322 ()()x + + 22 −1 1 2xx + 1 2 2 + 1 =22 +2. + arctan + C x+ x +13 2( x + x + 1) 33
17. Tích phân bất định Px() Tích phân hàm hữu tỉ: fx()= n Qxm () Trường hợp 1: n ≥ m Ta chia đa thức : Pn( x )= Q m ( x ). T k ( x ) + R l ( x ), l m Và được: Pnl()() x R x f()() x dx= dx = Tk x dx + dx Qmm()() x Q x Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân là phân thức thực sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta chuyển sang trường hợp 2.
18. Tích phân bất định Trường hợp 2: n < m Bước 1: Giả sử l11 lr 22 k ks Qxm( )= ( axb1 + 1 ) ( axb r + r ) ( cx 1 + dxe 1 + 1 ) ( cx s + dxe s + s ) Trong đó l1+l2+ +lr+k1+k2+ +ks=m và các tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực Bước 2: Ta giả sử hàm f(x) thành tổng các phân thức đơn giản dạng M M x+ N i , jj lkij2 ()aii x+ b ()cj x++ d j x e j Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các hệ số M, N, a, b, c, d, e Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta được tp cần tính
19. Tích phân bất định 23x − Ví dụ: Tính I8 = dx x32−+56 x x 23x− a b c Giả sử : = + + x32−+56 x x x x−−23 x 2x − 3 = a ( x − 2)( x − 3) + bx ( x − 3) + cx ( x − 2) Ta chọn các giá trị đặc biệt xa==0 :− 3 = 6a −1 xb= 2:12= − b = −1 2 2 xc==3:33= c 1 −−dx dx dx I8 = + + 2xx 2(−− 2)x 3 −−11 =lnx + ln x − 2 + ln x − 3 + C 22
20. Tích phân bất định xx3 +−1 Ví dụ: Tính I9 = dx xx2 ++54 22x + 19 I9 = x −5 + dx x2 ++54x 22x+ 19 a b Giả sử: =+ (x+ 1)( x + 4) x + 1 x + 4 Cho x = -1, bỏ (x+1) ở mẫu số của VT và giữ lại số hạng chứa (x+1) ở VP và được a = - 1 Cho x = -4, bỏ (x+4) ở mẫu số của VT và giữ lại số hạng chứa (x+4) ở VP và được b = 23 −1 23 I9 = (x − 5) dx + dx + dx xx++14 x2 = −5x − ln x + 1 + 23ln x + 4 + C 2
21. Tích phân bất định 31x − Ví dụ: Tính I10 = dx (xx22+− 1)( 1) 31x−+ ax b c d Giả sử = + + (x2+ 1)( x − 1) 2 x 2 + 1x −1 ( x − 1) 2 Cho x=1: bỏ (x-1)2 ở VT, a, b, c ở VP, ta được d=1 Cho x=i hoặc x=-i: bỏ (x2+1) ở VT, c, d ở VP, ta được: 3i− 1 = ( ai + b )( i − 1)2 ab= −1 , = −3 22 Lấy thêm 1 giá trị tùy ý của x: x=0 và thay a, b, d đã có vào để được c = 1/2 Vậy: −+1x 3 1 dx dx I10 = dx + + 2xx2 +−1 2x − 1 ( 1)2 −1 12 1 1 = ln(x + 1) + 3arctan x + ln x − 1 − + C 2 2 2x − 1
22. Tích phân bất định Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax+ b Đặt: ax+ b 1. f ( x ,n ) dx t = n cx+ d cx+ d Để đưa về tp này thành tp hàm hữu tỉ x+1 dx Ví dụ: Tính 3 I11 = x −1 (x − 1)3 x +1 26− t2 dt Đặt: t = 3 x −1, = dx = Ta được: x −1 tt3−−1 ( 3 1) 2 −−6t2 dt (t 3 1) 3 tt74 I = t 33 11 3 2 = −6 t ( t − 1) dt = −6 − + C (t − 1) 8 74 74 −6 xx + 1 6 + 1 =33 + + C 7 xx−− 1 4 1
23. Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I11 = xx+3(4 + 3 − 1) Đặt: tx=+4 3 x = t43 −3, dx = 4 t dt 4t3 dt =I11 t2(t − 1) 1 I11 =+41 dt t −1 =4t + 4ln t − 1 + C =444x + 3 + ln x + 3 − 1 + C
24. Tích phân bất định Ví dụ : Tính 11x − I12 = dx xx+1 x−+1 1 t2 4 tdt Đặt: t= x =, dx = x +1 1−−tt2 (1 2 ) 2 4t2 dt 1 1 2 =I12 = + − dt (1−+tt2 )(2 1) 11−+tt1+ t2 =lnt + 1 − ln 1 − t − 2arctan t + C x+1 + x − 1 x − 1 =ln − 2arctan + C xx+11 − − x +1
25. Tích phân bất định b 2.f ( x , ax2 ++ bx c ) dx Đặt u=+ a() x 2a Đưa tam thức bậc 2 về dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 và dùng các cách đổi biến cụ thể: a. Dạng u2+a2: đặt u=a.tant hoặc u=a.cotant b. Dạng u2-a2: đặt u=a/cost hoặc u=a/sint c. Dạng a2-u2: đặt u=a.cost hoặc u=a.sint dx Ví dụ: Tính I13 = xx2 −+25 dx(− 1) 22 I13 = =ln (x − 1) + ( x − 1) + 2 + C (x −+ 1)2 22
26. Tích phân bất định 2 Ví dụ: Tính x−1 dx I14 = x 1 sinudu dx sin udu Đặt x = x2 −1 = tan u , dx = , = cosu cos2 u xucos tanu .sin u . du 2 2 I14 = = tan udu =(tanu + 1) du − du cosu 1− cos2 u =tanu − u + C = −uC + cosu 11 =xC1 − − arccos + x2 x
27. Tích phân bất định Trong một số trường hợp cụ thể, nên nhớ cách riêng như sau mx+ n TH1: dx Tính như tp hàm hữu tỉ ax2 ++ bx c Ví dụ: Tính (x+ 4) dx I15 = 2 −−xx2 dx()+ 1 −1 ( − 2x − 1) dx 3 2 I15 =+ 222 −−xx2 9 −+()x 1 2 42 −1d (2 − x − x2 ) 3 dx()+ 1 =+ 2 222 −−xx2 ()()3 22−+x 1 22 1 3 2x + 1 =2 −x − x2 + arcsin + C 2 2 3
28. Tích phân bất định dx TH 2: ()x− ax2 + bx + c Đặt (x-α)=1/t để đưa về dạng trên dx Ví dụ: Tính I16 = (x++ 2) x2 2 x 2 1−dt 2 1 1 1 2 Đặt x+= =2 dx , x +=−+−=− 2 x 2 2 2 ttt22 t t t −dt dt(1− 2 ) I16 = = =−12t 12− t 2 1− 2t 1 =12 − + C x + 2
29. Tích phân bất định (x− 1) dx Ví dụ: Tính I17 = (xx++ 1)2 1 dx dx 2 I17 =− 2 =lnx + x + 1 + J x2 +1 ( x + 1) x2 + 1 2 1−dt 2 1 1 2 Đặt x+= =1 dx , x +=− 1 1 +=−+ 1 2 ttt22 t t dt()− 1 dt 2 1 12 1 J = = =ln t − + t − t + + C 2 2 2 22 2tt−+ 2 1 2 (t −+11 )2 22 2 2 1 1−+xx 1 I17 =ln x + x + 1 + ln + + C 222(x + 1)
30. Tích phân bất định m n p 3. Tích phân Trebushep dạng x() a+ bx dx m, n, p là các số hữu tỉ a. Nếu pZ , đặt x = ts, s=BCNN(m,n) m +1 b. Nếu Z , đặt a+bxn=ts, s là mẫu số của p n m +1 c. Nếu + pZ , đặt ax-n+b=ts, s là mẫu số của p n
31. Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I18 = xx(4 + 1)10 Ta viết lại hàm dưới dấu tp về dạng −10 −11 −11 x24 1+ x , m = , n = , p = − 10 24 Đặt x = t4 → dx = 4t3dt 4t3 dt dt dt 44 I18 = =−44 = − + C tt2(1+ )10 (1++tt )9 (1 ) 10 9(1++tt )98 8(1 ) 44 = − + C 9(1++44xx )98 8(1 )
32. Tích phân bất định 4. Tích phân hàm lượng giác f(cos x ,sin x ) dx a.Nếu f(-sinx,cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=cosx b.Nếu f(sinx,-cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=sinx c. Nếu f(-sinx,-cosx) = f(sinx,cosx): đặt t=tanx d.Tổng quát: đặt t=tan(x/2) x2 dt 1− t2 2 t t=tan dx = ,cos x = ,sin x = 2 1+t2 1 + t 2 1 + t 2 dt t 1 t=tan x dx = ,sin x = ,cos x = 2 1+ t 11−−tt22
33. Tích phân bất định x2 dx Ví dụ: Tính I19 = (x25+ 1) x2 −5 =x22(1 + x )2 , m = 2, n = 2, p = −5 2 (x25+ 1) 1 −tdt x−2 +1 = t2 x2 =, dx = Đặt: 2 t −1 (t2 + 1)3 5 2 2 11−−tdtt −dt 1 I = = =+C 19 22 4 3 tt−1 (t23− 1) t 3t 3 1 x2 2 =+ C 2 3 x +1
34. Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I = 20 4sinxx++ 3cos 5 x Đặt: t=tan x = 2arctan t 2 21dt+ t2 I20 = . 1+t2 4.2 t + 3(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) dt 1 dt()+ 1 = 2 2 = 4tt++ 4 4 2 ()()t ++1 223 22 1 2t + 1 =+arctan C 33 x 1 2tan+ 1 = arctan 2 + C 33
35. Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I21 = 2sin22x−+ sin2 x 3cos x Hàm dưới dấu tp là chẵn với sinx, cosx nên ta đặt t=tan x x = arctan t dt1+ t2 I21 = 1+t22 2tt − 2 + 3 dt() t − 1 1 2 = 2 ()()t −+1 225 22 1 2t − 1 1 2tanx − 1 =+arctan C = arctan + C 5 5 2 5
36. Tích phân bất định 3sinxx+ 4cos Ví dụ: Tính I= dx 22 2cosxx− 5sin Ta viết tử số dưới dạng a.MS+b.(MS)’ Giả sử: 3sinx+ 4cos x = a (2cos x − 5sin x ) + b (2cos x − 5sin x ) a = 7 −29 2ab−= 5 4 b = 26 −5ab − 2 = 3 −29 −−7 26d (2cos x 5sin x ) I =− dx 22 29 29 2cosx − 5sin x −7 26 =x −ln 2cos x − 5sin x + C 29 29