›
›

Bài giảng Tích phân đường tích phân mặt - Huỳnh Văn Kha

pdf 36 trang huongle 4870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân đường tích phân mặt - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_tich_phan_duong_tich_phan_mat_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tích phân đường tích phân mặt - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 9 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35
  2. Nội dung 1 Tích phân đường Tham số hóa đường cong Tích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 2 Tích phân đường trong không gian Định lý Green Tích phân đường không phụ thuộc đường đi 2 Tích phân mặt Mặt tham số Diện tích mặt cong Tích phân mặt Tích phân mặt của trường vector - Định lý Gauss Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35
  3. Phương trình tham số đường cong Giả sử x, y là các hàm theo biến t: x = f (t), y = g(t) Mỗi giá trị của t xác đinh duy nhất một điểm (x, y) = (f (t), g(t)). Khi t thay đổi điểm (x, y) thay đổi theo và tạo thành một đường congC Hệ hai phương trình x = f (t), y = g(t) gọi là phương trình tham số của C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 2 / 35
  4. x = t2 − 2t y = t + 1 x = t2 − 2t y = t + 1 t ∈ [0, 4] Với đường cong C: x = f (t), y = g(t), t ∈ [a, b] Điểm f (a), g(a) gọi là điểm đầu, điểm f (b), g(b) gọi là điểm cuối Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 3 / 35
  5. Tích phân đường loại 1 Tổng Riemann: n X ∗ ∗ f (xi , yi ) ∆si i=1 Định nghĩa tích phân đường loại 1 được làm tương tự như các loại tích phân khác Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 4 / 35
  6. Định lý Nếu f liên tục, C trơn, nghĩa là x = x(t) và y = y(t) là các hàm khả vi liên tục, thì tích phân đường loại 1 của f trên C là: s Z Z b dx 2 dy 2 f (x, y)ds = f x(t), y(t) + dt C a dt dt Z Ví dụ: Tính (2 + x 2y)ds, C với C là nửa trên trục Ox của đường tròn đơn vị x 2 + y 2 = 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 5 / 35
  7. Chú ý 1. Một đường cong có nhiều cách tham số, sử dụng cách tham số nào cũng đều cho kết quả như nhau 2. Tích phân đường loại 1 còn được gọi là tích phân theo độ dài s dx 2 dy 2 3. ds = + dt dt dt 4. Nếu C = C1 ∪ · · · ∪ Cn thì: Z Z Z f (x, y)ds = f (x, y)ds + ··· + f (x, y)ds C C1 Cn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 6 / 35
  8. Ví dụ Z Tính 2xds, với C là đường bao gồm: đường cong C1 C là parabol y = x 2 chạy từ (0, 0) đến (1, 1) và đường cong C2 là đoạn thẳng nối từ (1, 1) đến (1, 2) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 7 / 35
  9. Tính tích phân đường loại 2 Trong tích phân đường loại 1, nếu thay ∆si bằng các ∆xi hay ∆yi thì ta được các tích phân đường loại 2. Nếu C là đường cong trơn có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] và f (x, y) liên tục, thì: Z Z b f (x, y)dx = f x(t), y(t)x 0(t)dt C a Z Z b f (x, y)dy = f x(t), y(t)y 0(t)dt C a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 8 / 35
  10. Nếu cả hai tích phân đường loại 2 cùng xuất hiện thì thông thường ta viết gộp lại: Z Z Z P(x, y)dx+ Q(x, y)dy = P(x, y)dx+Q(x, y)dy C C C Z Ví dụ: Tính y 2dx + xdy, với: C 1. C = C1, là đoạn thẳng nối từ (−5, −3) đến (0, 2) 2. C = C2, là đường parabol x = 4 − y 2 nối từ (−5, −3) đến (0, 2) 3. C = −C1 là đoạn thẳng nối từ (0, 2) đến (−5, −3) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 9 / 35
  11. Lưu ý Gọi −C là đường cong trùng với C nhưng ngược hướng. Thì: Z Z f (x, y)dx = − f (x, y)dx −C C Z Z f (x, y)dy = − f (x, y)dy −C C Nhưng Z Z f (x, y)ds = f (x, y)ds −C C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 10 / 35
  12. Tích phân đường trong không gian Cho đường cong trơn C trong không gian có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b Viết dưới dạng vector r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k Nếu f là ba biến liên tục trên miền mở chứa C, thì: Z Z b f (x, y, z)ds = f x(t), y(t), z(t) C a s dx 2 dy 2 dz 2 + + dt dt dt dt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 11 / 35
  13. Tương tự đường cong trong mặt phẳng, tích phân đường loại 2 của f trên C là: Z Z b f (x, y, z)dx = f x(t), y(t), z(t)x 0(t)dt C a Z Z b f (x, y, z)dy = f x(t), y(t), z(t)y 0(t)dt C a Z Z b f (x, y, z)dz = f x(t), y(t), z(t)z0(t)dt C a Nếu cả ba tích phân cùng xuất hiện thì ta viết gộp lại: Z Z Z P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz C Z C C = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 12 / 35
  14. Ví dụ Z 1. Tính y sin zds, với C là đường có phương trình C tham số x = cos t, y = sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π Z 2. Tính ydx + zdy + xdz, với C là đường gấp khúc C nối các điểm (2, 0, 0), (3, 4, 5), (3, 4, 0) theo đúng thứ tự đó Đáp số √ 1. 2π 19 2. 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 13 / 35
  15. Đường cong Jordan, miền Jordan Đường cong gọi là đơn nếu nó không tự cắt, nghĩa là nếu a < t1 < t2 < b thì r(t1) 6= r(t2) Đường cong gọi là kín nếu điểm đầu trùng điểm cuối, nghĩa là: r(a) = r(b) Đường cong kín, đơn được gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan chia mặt phẳng thành 2 miền. Một miền bị chận và 1 miền không bị chận. Miền Jordan là miền đóng mà biên của nó là một đường cong Jordan Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 14 / 35
  16. Định lý Green Định lý Cho D là miền Jordan với biên là đường cong C trơn từng khúc. Nếu P, Q là các hàm khả vi liên tục trên một miền mở chứa D thì: I ZZ ∂Q ∂P  Pdx + Qdy = − dxdy C D ∂x ∂y Trong đó tích phân trên C được lấy theo chiều dương Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 15 / 35
  17. Ví dụ I 1. Tính x 4dx + xydy, với C là biên tam giác có các C đỉnh (0, 0), (1, 0), (0, 1) được định hướng dương I  p  2. Tính 3y − esin x  dx + 7x + y 4 + 1 dy, với C C là đường tròn x 2 + y 2 = 9 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 16 / 35
  18. Chú ý Theo định lý Green thì có thể tính diện tích theo công thức I I 1 I A = xdy = − ydx = xdy − ydx C C 2 C Mở rộng định lý Green miền bị chận ZZ ∂Q ∂P  − dxdy = D ∂x ∂y I I Pdx + Qdy + Pdx + Qdy C1 C2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 17 / 35
  19. Tích phân không phụ thuộc đường Z Tích phân đường Pdx + Qdy gọi là không phụ thuộc ZC Z đường trên D nếu Pdx + Qdy = Pdx + Qdy với C1 C2 mọi C1, C2 có cùng điểm đầu và cuối trong D. Tích phân không phụ thuộc đường khi và chỉ khi tích phân trên đường cong kín bằng 0. Nếu P, Q có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D và: ∂P ∂Q = trên toàn bộ D ∂y ∂x Z Khi đó Pdx + Qdy không phụ thuộc đường trên D C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 18 / 35
  20. Ví dụ Z 1. Chứng tỏ rằng I = (3 + 2xy)dx + (x 2 − 3y 2)dy C không phụ thuộc đường đi. Tính I , với C : r(t) = et sin ti + et cos tj, 0 ≤ t ≤ π Z 2. Tính 1 − ye−x  dx + e−x dy, với C là đường bất C kỳ nối từ (0, 1) đến (1, 2) Chú ý: Tích phân ở câu 2 còn được viết là Z (1,2) 1 − ye−x  dx + e−x dy (0,1) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 19 / 35
  21. Bài tập: Tính tích phân đường loại 2 Z 1. (xy − 1)dx + x 2ydy, với C là đường cong dọc C y 2 theo elip x 2 + = 1, nối từ điểm A(1, 0) đến 4 B(0, 2) theo chiều ngược kim đồng hồ. Z 2. (2xy − x 2)dx + (x + y 2)dy, với C là đường cong C kín trên các cung của các parabol y = x 2, y 2 = x định hướng dương ngược chiều kim đồng hồ. Z dx + dy 3. √ , với C là đường bất kỳ nối từ (0, 1) đến C x + y (1, 4) nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng x + y > 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 20 / 35
  22. Mặt tham số Tập các điểm (x, y, z) ∈ R3 thỏa: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) với (u, v) ∈ D gọi mặt tham sốS và các phương trình trên gọi là các phương trình tham số của S. Ta viết (S): r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 21 / 35
  23. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 22 / 35
  24. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 23 / 35
  25. Vector pháp tuyến r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D ∂x ∂y ∂z r (x , y ) = (x , y )i + (x , y )j + (x , y )k u 0 0 ∂u 0 0 ∂u 0 0 ∂u 0 0 ∂x ∂y ∂z r (x , y ) = (x , y )i + (x , y )j + (x , y )k v 0 0 ∂v 0 0 ∂v 0 0 ∂v 0 0 Vector pháp tuyến: n = ru × rv Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 24 / 35
  26. Diện tích mặt cong ∗ ∗ ∆Sij ≈ |(∆uru) × (∆vrv )| ∗ ∗ = |ru × rv |∆u∆v Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 25 / 35
  27. m n X X ∗ ∗ S ≈ |ru × rv |∆u∆v i=1 j=1 Nếu r là đơn ánh thì diện tích mặt cong S là: ZZ dt(S) = |ru × rv |dudv D Ví dụ: 1. Tính diện tích mặt cầu bán kính a 2. Chứng tỏ rằng diện tích mặt cong S : z = f (x, y), với (x, y) ∈ D được tính theo công thức: s ZZ ∂z 2 ∂z 2 dt(S) = 1 + + dxdy D ∂x ∂y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 26 / 35
  28. Tích phân mặt Tổng Riemann: m n m n X X ∗ X X ∗ f (Pij )∆Sij ≈ f (Pij )|ru × rv |∆u∆v i=1 j=1 i=1 j=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 27 / 35
  29. Tích phân mặt của f trên mặt cong S là: ZZ ZZ f (x, y, z)dσ = f (r(u, v))|ru × rv |dudv S D Ví dụ: ZZ 1. Tính x 2dσ với S là mặt cầu đơn vị S 2. Cho S : z = g(x, y), với (x, y) ∈ D. Chứng tỏ rằng: s ZZ ZZ ∂z 2 ∂z 2 f (x, y, z)dσ = f (x, y, g(x, y)) 1 + + dxdy S D ∂x ∂y Tương tự cho các mặt y = h(x, z) và x = k(y, z) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 28 / 35
  30. Mặt định hướng Nếu chọn được vector pháp tuyến đơn vị n sao cho n(x, y, z) liên tục thì ta nói S là mặt định hướng (được). Mỗi cách chọn n gọi là một cách định hướng cho S Không phải mặt nào cũng định hướng được, ví dụ như mặt Mobius¨ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 29 / 35
  31. Nếu S kín thì cách định hướng mà n hướng ra ngoài gọi là định hướng dương. Ngược lại gọi là định hướng âm. Nếu S định hướng được và xác định bởi r(u, v) thì pháp vector đơn vị: r × r n = ± u v |ru × rv | Pháp vector của mặt z = g(x, y): −g i − g j + k n = x y p 2 2 1 + (gx ) + (gy ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 30 / 35
  32. Tổng dòng chảy của trường vector Xét lượng vật chất có mật độ ρ(x, y, z) chảy qua S với  tốc độ v(x, y, z) = v1(x, y, z), v2(x, y, z), v3(x, y, z) Lượng vật chất chảy qua S trên một đơn vị diện tích, trong một đơn vị thời gian: F = ρv Lượng vật chất chảy qua Sij theo hướng pháp vector n trong một đơn vị thời gian được xấp xỉ bằng: (ρv · n)dt(Sij ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 31 / 35
  33. Tích phân mặt của trường vector Tổng dòng chảy qua S (trong một đơn vị thời gian) ZZ ZZ ρ(x, y, z)v(x, y, z) · n(x, y, z)dσ = F · ndσ S S Định nghĩa Nếu F là trường vector liên tục trên mặt định hướng S với pháp vector là n, thì tích phân mặt của Ftrên S là: ZZ ZZ F · dS = F · ndσ S S Tích phân trên còn gọi là tổng dòng chảy của F qua S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 32 / 35
  34. Nếu S xác định bởi hàm vector r(u, v) ((u, v) ∈ D), thì: ZZ ZZ F · dS = F · (ru × rv )dudv S D Ví dụ:Tính tổng dòng chảy của trường vector F(x, y, z) = zi + yj + xk qua mặt cầu đơn vị S: x 2 + y 2 + z2 = 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 33 / 35
  35. Định lý Gauss Định lý Cho E là khối đặc, đơn có biên là mặt định hướng dương S. Cho trường vector: F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k trong đó P, Q, R là các hàm có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên một miền mở chứa E. Khi đó, ta có: ZZ ZZZ ∂P ∂Q ∂R  F · dS = + + dxdydz S E ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R Ta ký hiệu divF = + + và gọi là divergence ∂x ∂y ∂z của F. Do đó định lý Gauss còn gọi là định lý divergence Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 34 / 35
  36. Ví dụ ZZ Tính F · dS với: S  2  F(x, y, z) = xyi + y 2 + exz j + sin(xy)k Và S là biên của khối E giới hạn bởi mặt trụ parabol z = 1 − x 2 và các mặt phẳng z = 0, y = 0, y + z = 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 35 / 35