›
›

Bài giảng Tích phân hàm một biến (Chuẩn kiến thức)

pdf 51 trang huongle 5790
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân hàm một biến (Chuẩn kiến thức)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_tich_phan_ham_mot_bien_chuan_kien_thuc.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tích phân hàm một biến (Chuẩn kiến thức)

  1. Chương 5 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 50
  2. Nội dung 1 Tích phân Bài toán tính diện tích – Định nghĩa tích phân Định lý cơ bản của vi tích phân Nguyên hàm Đổi biến và tích phân từng phần – Tính tích phân 2 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy rộng loại II Các tiêu chuẩn hội tụ 3 Ứng dụng của tích phân Tính diện tích, thể tích vật thể tròn xoay, độ dài đường cong Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 50
  3. Bài toán tìm diện tích Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 50
  4. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 50
  5. Thay vì lấy giá trị của f tại các đầu mút xi như trên, ta ∗ có thể chọn tại điểm bất kỳ xi ∈ [xi−1, xi ]. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 50
  6. Định nghĩa tích phân Định nghĩa tích phân Cho f là hàm xác định trên [a, b], ta chia [a, b] thành n khoảng con với độ rộng ∆x = (b − a)/n. Gọi x0(= a) < x1 < x2 < ··· < xn(= b) là các đầu mút của của các khoảng con đó. Trên mỗi khoảng con ta lấy ∗ xi ∈ [xi−1, xi ]. Thì tích phân (xác định) của f từ a tới b được định nghĩa là: Z b n X ∗ f (x)dx = lim f (xi )∆x n→∞ a i=1 nếu nó tồn tại. Nếu tích phân của f tồn tại, ta nói f khả tích. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 50
  7. Ký hiệu dx chỉ nói lên rằng x là biến độc lập. Bản thân dx trong ký hiệu tích phân không mang nghĩa gì cả. Cho Z b Z b Z b nên: f (x)dx = f (u)du = f (t)dt = a a a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 50
  8. Các tính chất của tích phân Z b kdx = k(b − a) với c là hằng số. a Z a Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx; f (x)dx = 0 b a a Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó: Z b Z b Z b 1. [f (x) + kg(x)]dx = f (x)dx + k g(x)dx a a a 2. Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và [c, b]. Và khi đó: Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 50
  9. Z b 3. Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0. a Suy ra nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì Z b Z b f (x)dx ≥ g(x)dx a a Z b Z b 4. Hàm |f | khả tích và |f (x)|dx ≥ f (x)dx a a Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] hoặc chỉ gián đoạn (loại 1) tại một số hữu hạn các điểm, thì f khả tích trên [a, b] Như vậy các hàm sơ cấp đều khả tích. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 50
  10. Định lý cơ bản của vi tích phân Định lý cơ bản của vi tích phân 1 Z x Cho f liên tục trên [a, b], đặt: F (x) = f (t)dt a (a ≤ x ≤ b). Thì F liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và F 0(x) = f (x). Ví dụ: Tính đạo hàm của Z x p 1. F (x) = 1 + t2dt. 0 4 Z x dt 2. F (x) = t . 1 2 + cos(e ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 50
  11. Định lý cơ bản của vi tích phân 2 (Công thức Newton - Leibnitz) Cho f liên tục trên [a, b], thì: Z b f (x)dx = F (b) − F (a) a Trong đó F là một nguyên hàm bất kỳ của f , nghĩa là F 0(x) = f (x). Ví dụ: Z π/4 Tính sin x dx. 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 10 / 50
  12. Nguyên hàm F được gọi là nguyên hàm của f nếu F 0 = f . Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng định sự tồn tại nguyên hàm của các hàm liên tục. Nếu F là một nguyên hàm của f thì khi đó mọi nguyên hàm G của f đều có dạng G(x) = F (x) + C. Tập các nguyên hàm của f được ký hiệu là: Z f (x)dx Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 11 / 50
  13. Bảng một số nguyên hàm Z x a+1 1. x a dx = + C, với a 6= −1 a + 1 Z dx 2. = ln |x| + C x Z 3. ex dx = ex + C Z ax 4. ax dx = + C ln a Z 5. sin x dx = − cos x + C Z 6. cos x dx = sin x + C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 12 / 50
  14. Z dx 7. = tan x + C cos2 x Z dx 8. = − cot x + C sin2 x Z dx 9. √ = arcsin x + C 1 − x 2 Z dx x  10. √ = arcsin + C, a > 0 a2 − x 2 a Z dx 11. = arctan x + C 1 + x 2 Z dx 1 x  12. = arctan + C, a > 0 a2 + x 2 a a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 13 / 50
  15. Đổi biến Quy tắc đổi biến cho tích phân bất định Cho u = g(x) là hàm khả vi, miền giá trị của nó là I , và f liên tục trên I . Khi đó: Z Z f (g(x))g 0(x)dx = f (u)du. Nhờ công thức này mà người ta xem dx như là vi phân. Ví dụ: Tính Z 1. x 3 cos(x 4 + 2) dx Z p 2. x 5 1 + x 2 dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 14 / 50
  16. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Giả sử g 0 là hàm liên tục trên [a, b] và f liên tục trên miền xác định của u = g(x). Khi đó: Z b Z g(b) f (g(x))g 0(x)dx = f (u)du. a g(a) Ví dụ: Tính Z 2 dx 3. 2 1 (3 − 5x) Z e ln x 4. dx 1 x Z π/3 etan x 5. 2 dx 0 cos x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 15 / 50
  17. Giả sử f liên tục trên [−a, a], ta có: 1. Nếu f chẵn (nghĩa là f (−x) = f (x)) thì Z a Z a f (x)dx = 2 f (x)dx −a 0 2. Nếu f lẻ (nghĩa là f (−x) = −f (x)) thì Z a f (x)dx = 0 −a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 16 / 50
  18. Tích phân từng phần Từ công thức đạo hàm một tích, ta có công thức sau. Z Z f (x)g 0(x)dx = f (x)g(x) − g(x)f 0(x)dx Z Z hay udv = uv − vdu Ví dụ: Tính Z 1. (2x − 1) cos(3x) dx Z 2. ln x dx Z 3. e2x sin(3x) dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 17 / 50
  19. Áp dụng công thức Newton-Leibnitz ta được: Z b Z b 0 b 0 f (x)g (x)dx = f (x)g(x)|a − g(x)f (x)dx a a Z b Z b b hay udv = uv|a − vdu a a Ví dụ: Tính Z 2 x 4. arctan dx 0 2 Z 1 5. (x 2 + 1)e−x dx 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 18 / 50
  20. Một số ví dụ. Z 1. sin5 x cos2 x dx √ Z 9 − x 2 2. dx x 2 Z dx 3. √ , với x > 3 x 2 x 2 − 9 Z dx 4. √ x 2 x 2 + 4 Z 3 x 3 + x 5. dx 2 x − 1 Z x + 5 6. dx x 2 + x − 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 19 / 50
  21. Z 4x 2 − 3x + 2 7. dx 4x 2 − 4x + 3 Z e2x 8. dx e2x + 3ex + 2 Z x + arcsin x 9. √ dx 1 − x 2 Z π 10. ecos t sin(2t) dt 0 Chú ý: Không phải hàm số nào cũng có nguyên hàm là các hàm sơ cấp. Nói cách khác, không phải mọi nguyên hàm đều tính được. Ví dụ như các nguyên hàm sau là x Z 2 Z e Z sin x “không tính được”: ex dx, dx, dx, x x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 20 / 50
  22. Tích phân suy rộng loại I R t 1. Nếu a f (x) dx tồn tại với mọi t ≥ a thì: Z +∞ Z t f (x) dx = lim f (x) dx a t→+∞ a miễn là nó tồn tại (hữu hạn). R b 2. Nếu t f (x) dx tồn tại với mọi t ≤ b thì: Z b Z b f (x) dx = lim f (x) dx −∞ t→−∞ t miễn là nó tồn tại (hữu hạn). R +∞ R b Các tích phân suy rộng a f (x) dx, −∞ f (x) dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn nói trên tồn tại và hữu hạn. Ngược lại, ta nói nó phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 21 / 50
  23. R +∞ R a 3. Nếu các tích phân a f (x) dx, −∞ f (x) dx đều hội tụ, ta định nghĩa: Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. −∞ −∞ a Chú ý: số a trong định nghĩa trên có thể lấy tùy ý. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 22 / 50
  24. Z +∞ 1 Ví dụ: 1. Tính 2 dx. 1 x Z +∞ 1 2. Tính dx. 1 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 23 / 50
  25. Z 0 Z 1 2x 1 3. Tính e dx 4. Tính 2 dx −∞ −∞ (3 − 2x) Z +∞ 1 Z +∞ 2x + 1 5. Tính 2 dx 6. Tính 3x dx −1 1 + x 0 e Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 24 / 50
  26. Z ∞ ln x 7. Tính 3 dx 1 x Z +∞ ex 8. Tính 2x dx −∞ 1 + e Z 0 dx 9. Tính 2 −∞ x + x + 1 10. Với giá trị nào của p thì tích phân sau hội tụ? Z +∞ 1 p dx 1 x Z +∞ 1 p dx hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ nếu p ≤ 1. 1 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 25 / 50
  27. Tích phân suy rộng loại II 1. Nếu f liên tục trên [a, b) và limx→b f (x) = ±∞ thì: Z b Z t f (x) dx = lim f (x) dx − a t→b a miễn là nó tồn tại (hữu hạn). 2. Nếu f liên tục trên (a, b] và limx→a f (x) = ±∞ thì: Z b Z b f (x) dx = lim f (x) dx + a t→a t miễn là nó tồn tại (hữu hạn). Các tích phân suy rộng nói trên được gọi là hội tụ nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn. Ngược lại, ta nói nó phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 26 / 50
  28. Z 5 1 Ví dụ: 1. Tính √ dx 2 x − 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 27 / 50
  29. Z π/2 dx 2. Tính 0 cos x Z 1 3. Tính ln x dx 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 28 / 50
  30. 3. Nếu limx→c f (x) = ±∞, với a < c < b, và cả hai R c R b tích phân a f (x) dx, c f (x) dx đều hội tụ, ta định nghĩa: Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 29 / 50
  31. Ví dụ: Z 3 dx 4. Tính 0 x − 1 5. Với giá trị nào của p thì tích phân sau hội tụ? Z 1 1 p dx 0 x Z 1 1 p dx hội tụ nếu p < 1 và phân kỳ nếu p ≥ 1. 0 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 30 / 50
  32. Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn trị tuyệt đối 1. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x], x > a. Nếu Z +∞ Z +∞ |f (x)|dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a 2. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x], x ∈ (a, b). Z b Z b Nếu |f (x)|dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a Tương tự cho dạng khác. Chú ý, chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn Z +∞ Z +∞ sin x sin x dx hội tụ, nhưng dx không hội tụ 1 x 1 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 31 / 50
  33. Tiêu chuẩn so sánh 1 Cho f , g là các hàm số dương thỏaf (x) ≤ g(x). Z +∞ Z +∞ 1. Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a Z +∞ Z +∞ Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân a a kỳ. Z b Z b 2. Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a Z b Z b Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ. a a Tương tự cho các dạng tích phân còn lại. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 32 / 50
  34. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau. Z +∞ 1 + x 2 1. dx 1 + x + x 3 0 √ Z +∞ x + 1 2. √ dx 2 1 x x + 1 + 1 +∞ Z 2 3. e−x dx 1 Z 1 1 4. √ 2 dx 0 x + sin x Z π/2 1 5. dx x sin x 0 √ Z +∞ sin(x x) 6. √ dx 1 x x + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 33 / 50
  35. Tiêu chuẩn so sánh 2 Cho f , g là các hàm số dương. f (x) Z +∞ 1. Nếu lim = α ∈ (0, +∞), thì f (x)dx x→+∞ g(x) a Z +∞ và g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. a f (x) Z b 2. Nếu lim = α ∈ (0, +∞), thì f (x)dx và x→b g(x) a Z b g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. a Tương tự cho các dạng tích phân còn lại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 34 / 50
  36. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau. Z +∞ x 2 + ln x + 1 1. 5 2 dx 1 x + 3x + 3 Z +∞ x 3 + 2x − 1 2. √ dx 4 3 1 x + x + x + 2 Z 1 1 3. dx p3 2 0 (1 − x) (2 + x) Z 1 sin x 4. √ dx 0 x x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 35 / 50
  37. Diện tích hình phẳng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 36 / 50
  38. n X ∗ ∗ A = lim [f (xi ) − g(xi )]∆x. n→+∞ i=1 Như vậy: Diện tích của miền giới hạn bởi các đường cong y = f (x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b, trong đó f , g là các hàm liên tục, f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b], là: Z b A = [f (x) − g(x)] dx a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 37 / 50
  39. Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol y = x 2 và y = 2x − x 2. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 38 / 50
  40. Tổng quát, diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x), y = g(x) và nằm giữa x = a, x = b là: Z b A = |f (x) − g(x)| dx a Ví dụ: Tính diện tích giới hạn bởi y = sin x, y = cos x và x = 0, x = π/2. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 39 / 50
  41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f (y), x = g(y), nằm giữa y = c, y = d, với f , g liên tục, f (y) ≥ g(y) là: Z d A = [f (y) − g(y)] dx c Ví dụ: Tính dt gh bởi y = x − 1 và y 2 = 2x + 6. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 40 / 50
  42. Thể tích vật thể Dùng mp Px (vuông góc với Ox tại x) cắt vật thể S. Giả sử diện tích tiết diện là A(x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 41 / 50
  43. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 42 / 50
  44. Cho S là khối nằm giữa x = a, x = b. Nếu diện tích của tiết diện của S với mp Px (vuông góc trục Ox tại x) là A(x), với A(x) là hàm liên tục, thì thể tích của S là: n Z b X ∗ V = lim A(xi )∆x = A(x) dx n→∞ i=1 a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 43 / 50
  45. Ví dụ: 1. Tính thể tích khối√ sinh ra do quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi y = x, y = 0 và x = 1. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 44 / 50
  46. Ví dụ: 2. Tính thể tích khối sinh ra do quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi y = x 3, x = 0 và y = 8. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 45 / 50
  47. Thể tích của khối thu được bằng cách quay quanh Oy miền phẳng nằm dưới đường cong y = f (x) với x từ a đến b là: Z b V = 2πxf (x) dx, với 0 ≤ a < b. a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 46 / 50
  48. Ví dụ: Tính thể tích của khối thu được bằng cách quay quanh Oy miền giới hạn bởi y = 2x 2 − x 3 và y = 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 47 / 50
  49. Độ dài đường cong Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 48 / 50
  50. Nếu f 0 liên tục trên [a, b] thì độ dài đường cong y = f (x), a ≤ x ≤ b là: Z b L = p1 + [f 0(x)]2 dx a Ví dụ: 1. Tính đd đc y 2 = x 3 từ (1, 1) đến (4, 8). Ví dụ: 2. Tính đd đc y 2 = x từ (0, 0) đến (1, 1). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 49 / 50
  51.  x = x(t) Cho đường cong cho bởi ptts , t ∈ [a, b], y = y(t) trong đó x(t), y(t) là các hàm liên tục trên [a, b]. Độ dài của nó là: Z b L = p[x 0(t)]2 + [y 0(t)]2 dt a  x = r(t − sin t) Ví dụ: Tính độ dài đường cycloid , y = r(1 − cos t) t ∈ [0, 2π], r là tham số. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Tích phân một biến Toán T1 - MS: C01016 50 / 50