›
›

Bài giảng Tích phân suy rộng

ppt 45 trang huongle 6490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân suy rộng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_tich_phan_suy_rong.ppt

Nội dung text: Bài giảng Tích phân suy rộng

  1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
  2. Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b a + b f( x ) dx= lim f ( x ) dx aab→+ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, + ) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.
  3. Nhận dạng tpsr loại 1 Nếu f(x) liên tục trên [a, + ) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, + ) thì + f() x dx là tích phân suy rộng loại 1 a + x + dx VD: sin là tpsr loại 1 dx 2 0 x −2 xx++1 + x + x +1 dx dx 0 sin x 0 xx2 +−23 không là tpsr loại 1
  4. ĐỊNH NGHĨA bb f( x ) dx= lim f ( x ) dx − a→− a + a + fxdx()()()=+ fxdx fxdx − − a Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại)
  5. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ + dx I = 2 0 1+ x b dx ()b = = arctan x b = arctanb 2 0 0 1+ x + dx ⎯⎯⎯→b→+ = 2 0 1+ x2
  6. + b I= cos xdx ()b ==cosxdx sin b 0 0 Không có gh khi b →+ Phân kỳ + ln x I = e x b ln x ln b 1 = = tdt =− ln2 b 1 e x 1 2 ⎯⎯⎯→+ b→+ Phân kỳ
  7. Tính chất của tích phân suy rộng 1.f khả tích trên [a, b],  b a. Khi đó  > a + + f() x dx và f() x dx a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
  8. Tính chất của tích phân suy rộng 2.f khả tích trên [a, b],  b a. Khi đó  ≠ 0 + + f() x dx và f() x dx a a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
  9. Tính chất của tích phân suy rộng 3.f, g khả tích trên [a, b],  b a. + và g() x dx hội tụ * a + +(f g) dx hội tụ a + + * f() x dx hội tụ và g() x dx phân kỳ a a phân kỳ
  10. Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b],  b a, F là nguyên hàm của f trên [a, + ), khi đó + f()()()() x dx= F x+ = F + − F a a a trong đó F(+ ) = lim F ( x ) x→ Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.
  11. Ví dụ + x +1 + 1 x dx =− dx 1 x( x2 ++ x 1) 1 x xx2 ++1 + 1 1 2x + 1 1 1 = − + 22 1 x 22xx++1 13 x ++ 24 + 12 1 2 (x + 1/ 2) = lnx − ln( x + x + 1) + arctan 2 22331
  12. + 12 1 2 (x + 1/ 2) = lnx − ln( x + x + 1) + arctan 2 22331 + xx1 (+ 1/ 2) =+ln arctan 2 2 xx++1 331 1 1 1 =0 + .arctan( + ) − ln + arctan 3 3 3 3 1 =+ln3 63 2
  13. Ví dụ + dx 11dt I = 2 = 2 3 2 tant 2 cos t xx1+ 3 1+ tan t dt = 2 sint 3 t 2 1 =ln tan = − ln 2 3 3
  14. Ví dụ + + + x. e−x dx = −xe−−xx + e dx 0 0 0 + = −xe−−xx − e = 1 0
  15. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b a. Khi đó b ()()b= f x dx là hàm tăng theo biến b. a (b) hội tụ khi và chỉ khi (b) bị chận trên.
  16. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b a Nếu f()()xg k x , x a + + g() x dx hội tụ thì f() x dx hội tụ a a + f() x dx phân kỳ thì phân kỳ a
  17. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b a fx() Đặt k = lim x→+ gx() + + Cùng hội tụ • 0 k f(),() x dx g x dx aahoặc phân kỳ + • k = 0 hội tụ f() x dx hội tụ a + + • k = g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ a a
  18. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x) kg(x) f(b) k g(b) + g() x dx hội tụ ()b bị chận trên a g f ()b bị chận trên + f() x dx hội tụ a
  19. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x) kg(x) f(b) k g(b) + f() x dx phân kỳ ()b không bị chận trên a f g ()b không bị chận trên + g() x dx phân kỳ a
  20. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2. fx() lim=K 0, x→+ gx() f() x K −Kx ,  gx( ) 2 KK3 g( x ) f ( x ) g ( x ),  x 22 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1
  21. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2. fx() fx() lim= 0 1, x x→+ gx() gx() f( x ) g ( x ),  x Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1 f()() x g x lim= lim = 0 xx→+ g()() x →+ f x Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm
  22. Tích phân cơ bản + dx với a 0 Hội tụ > 1 a x (Nghĩa là: > 1 thì tp hội tụ, 1 thì tp phân kỳ) Chứng minh: lnba−= ln , 1 b dx ()b = = 1 1 1 a x − ,1 −1 ba −−11
  23. Nguyên tắc khảo sát sự hội tụ 1.Kiểm tra loại tpsr ( tính liên tục của hàm f(x) lấy tp). 2.Nếu hàm f(x) liên tục, cố gắng so sánh với tp cơ bản (thường dùng tiêu chuẩn so sánh 2, bằng phép thay tương đương VCB và VCL). 3.Nếu f có vài điểm gián đoạn loại 1, hoặc thay đổi dấu trên 1 đoạn nhỏ, ngắt bỏ đoạn có chứa các điểm gián đoạn hoặc thay đổi dấu, trên đoạn còn lại làm giống bước 2. + 4.Nếu f(x) đổi dấu xét f() x dx a
  24. Ví dụ + x −1 Khảo sát sự hội tụ: I= dx 1 xx3 ++32 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [1, + ), đây là tpsr loại 1. x −1 0 f ( x ) = ,  x [1, + ) xx3 ++32 x 1 Cách 1: f( x ) = ,  x [1, + ) xx3 2 + dx hội tụ nên I hội tụ 1 x2
  25. Cách 2: x −1 x 1 fx()= =,khi x → + xx3 ++32 xx32 1 Chọn gx()= x2 f( x ) x − 1 1 xx32− = : = ⎯⎯⎯→x→+ 1 gx() x32++32 x x xx3 ++32 + + + dx f() x dx cùng bản chất với g() x dx = 1 11x2
  26. Ví dụ + x −1 Khảo sát sự hội tụ: I= dx 0 xx3 ++32 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [0, + ), đây là tpsr loại 1 Lưu ý: 1.Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu. + dx 2.Không thể so sánh I với 0 x2 + x −1 3.I cùng bản chất với J= dx 3 I hội tụ 1 xx++32
  27. Tính chất của tích phân suy rộng 1.f khả tích trên [a, b],  b a. Khi đó  > a + + f() x dx và f() x dx a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
  28. + 1 I=− x cos 1 dx 1 x Tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm. 1 xx cos− 1 0 ,  [1, + ) x 1 1 1 f( x )= x cos − 1 x − = − xx 2x2 2 1 Chọn gx()= x fx( )2 1x→+ 1 =x cos − 1 ⎯⎯⎯→− g( x ) x 2
  29. fx( )2 1x→+ 1 =x cos − 1 ⎯⎯⎯→− g( x ) x 2 + + + dx f() x dx cùng bản chất với g() x dx = 1 11x Vậy I phân kỳ.
  30. + 11 I=− sin dx 1 xx Khai triển Maclaurin cho f theo u = 1/x trong lân cận 1 1 1 1 1 11 f(). x= − − + o . xx 6 xx33 6 x3 1 fx( ) 1 Chọn gx(),= ⎯⎯⎯→x→+ x3 gx( ) 6 + + dx I cùng bản chất với g() x dx = : hội tụ 11x3
  31. Tìm tất cả các giá trị của để tp sau hội tụ. + 23x + I= dx 3 4 0 (41++xx) 1.f(x) liên tục trên [0, + ), I là tpsr loại 1 2.Ngắt bỏ đoạn [0, 1], I cùng bản chất với + 23x + J= dx 3 4 1 (41++xx) 3.f(x) > 0 trên [1, + ), sử dụng tiêu chuẩn so sánh.
  32. 23x + fx()= (41++xx ) 3 4 21x (1) 4 = 21 , 0 + + xx3 3 2x 1 1 = ,0 (2) 4 2 1 4xx3 3 2x 2 1 ==,0 (3) 4 5 1 5xx3 3
  33. 1 (1) fx( ) 21 , 0 + x 3 1 2 I hội tụ + 1 3 3 11 (2) fx( ) , 0 I phân kỳ 2 1 x 3 21 (3) fx( ) , = 0 I phân kỳ 5 1 x 3
  34. + (không thay tương I= x2. e−x dx 1 đương được) 1 Xét gx()= x f(). x x2 e−x x2+ = = ⎯⎯⎯x→+ →0, gx() 1 ex x + 1 g() x dx phân kỳ. Không có kết luận cho I 1 + 1 g() x dx hội tụ I hội tụ 1
  35. + 1 g() x dx hội tụ I hội tụ 1 Vậy chỉ cần chọn = 2, ta kết luận được I hội tụ. Tức là f(). x x24 e−x x = = →0( = k ) Trong bài gx() 1 ex làm chỉ x2 viết như bên cạnh + 1 dx hội tụ I hội tụ 1 x2
  36. + ln x (không thay tương I= dx 1 x2 đương được) 1 Xét gx()= x ln x 0 nếu 2 − > 0 (1) f( x )2 ln x ==x gx() 1 x2− x + nếu 2 − 0 (2) Lưu ý: phải chọn sao cho có thể kết luận I hội tụ hay phân kỳ.
  37. (1) 2: k = 0 + + (a) 1: g() x dxhội tụ f() x dx hội tụ 1 1 (b) 1: phân kỳ không có kết luận cho I (2) 2: k = và hội tụ không có kết luận cho I
  38. + 2 k = 0 và g() x dx hội tụ (1) (a) 1 1 + f() x dx hội tụ 1 chọn = 3/2 ln x Trong f( x )2 ln x bài làm x x→+ ==1/2 ⎯⎯⎯→ 0 chỉ viết gx() 1 x như bên x3/2 cạnh + + g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ 1 1
  39. Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) + Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b a, nếu f a + hội tụ thì f hội tụ. Khi đó ta nói a hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ
  40. Ví dụ + 2 Khảo sát sự hội tụ: I= x. e−x cos x . dx 1 −x2 f( x )= x . e cos x thay đổi dấu trên [1, + ) + + 2 Xét I== f( x ) dx x . e−x cos x dx 1 11 2 f(). x x e−x
  41. 2 f(). x x e−x (Các hàm không âm) 2 x. e−x x3 = ⎯⎯⎯→x→+ 0 1 2 ex x2 + dx + −x2 hội tụ x. e dx hội tụ 1 x2 1 + f() x dx hội tụ 1 I hội tụ tuyệt đối
  42. + cos x I= dx 1 x2 Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, + ) + + cos x I== f() x dx dx 1 11x2 1 + dx fx(), hội tụ I1 hội tụ x2 1 x2 I hội tụ tuyệt đối
  43. + cos x I= dx 1 x Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, + ) + + cos x I== f() x dx dx 1 11x 1 + dx fx(), phân kỳ x 1 x Không có kết luận cho I1
  44. Dùng tích phân từng phần cho I + cos x I= dx 1 x 1 dx udu= = − x x2 dvxdxvx==cos,sin + cosx+ sin xdx I = − + 22 1 xx1 + sin xdx = sin1 + 1 x2 const hội tụ tuyệt đối I hội tụ
  45. Tích phân cần nhớ + cosax + sin ax I== dx J dx 11xx Với mọi > 0, I và J luôn luôn hội tụ Phương pháp khảo sát: 1.Nếu > 1 : dùng sự hội tụ tuyệt đối (chận bỏ cos, sin) 2.Nếu 0< 1: dùng tp từng phần với u=1/x