Bài giảng Tích phân suy rộng (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Tích phân suy rộng (Phần 2)

1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2)
2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu limfx ( ) = xx→ 0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] b Tích phân suy rộng loại 2 là f() x dx a với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
3. Định nghĩa. Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b bb− f( x ) dx= lim f ( x ) dx aa →0+ bb Nếu f kỳ dị tại a f( x ) dx= lim f ( x ) dx aa →0+ + b Nếu giới hạn hữu hạn: f() x dx hội tụ a Ngược lại: phân kỳ.
4. Nếu f kỳ dị tại a và b b c b fxdx()()()=+ fxdx fxdx a a c Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) b x b f()()() x dx=+0 f x dx f x dx a a x0 (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ)
5. Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi  > 0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). b f()()() x dx=− F b F a a Với F( b )= lim F ( x ) xb→ − Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định.
6. Ví dụ 1 dx x 1 = = arcsin 0 0 1− x2 2 1ln x dx kỳ dị tại x = 0 0 x 1 1 ln2 x = lnx . d( ln x) = = − 0 2 0 Vậy tp trên phân kỳ.
7. Ví dụ 1ln x dx f kỳ dị tại x = 0 0 x 1 12 x =−2x .ln x dx 0 0 x 1 =0 − 4x = − 4 0
8. Ví dụ −1/4 dx I = f kỳ dị tại x = −1/2. −1/2 xx21+ t2 =2 x + 1 2 tdt = 2 dx 1/ 2 tdt 1/ 2 dt I = = 2 0 t 2 −1 0 t 2 −1 t 2 1/ 2 1/ 2 11 t −−1 2 1 =−dt ==ln ln 0 tt−+11 t +1 0 21+
9. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ], >0, kỳ dị tại b Nếu f()) x kg( x , x,a x b b b g() x dx hội tụ thì f() x dx hội tụ a a b b f() x dx phân kỳ thì g() x dx phân kỳ a a
10. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 fx() Đặt k = lim (giới hạn tại điểm kỳ dị) xb→ − gx() bb Cùng hội tụ • 0 k f(),() x dx g x dx aa hoặc phân kỳ b b • k = 0 g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ a a b b • k = g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ a a
11. Tích phân cơ bản bbdx dx IJ==, aa()()b−− x x a Hội tụ khi và chỉ khi < 1 kỳ dị tại b kỳ dị tại a −ln + ln(ba − ) b− dx ()== 1 1 1 a −− ()bx− −−11 1−  ()ba−
12. Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) b Cho f(x) khả tích trên [a, b - ],   0, nếu f a b b hội tụ thì f hội tụ. Khi đó ta nói f a a hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ
13. Ví dụ 1 x Khảo sát sự hội tụ: I= dx 0 sin x f kỳ dị tại x = 0 x x 1 1 0 =fX ( ) = = sin x x x (x − 0)1/2 1 Chọn gx()= (x − 0)1/2
14. 1 Chọn gx()= (x − 0)1/2 f() x x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 g( x ) sin x 11dx I cùng bản chất với g() x dx = 0 0 (x − 0)1/2 nên hội tụ.
15. Ví dụ /2 dx Khảo sát sự hội tụ: I = 0 sinxx cos f(x) ≥ 0, kỳ dị tại /2 và 0, tách I thành 2 tp /3dx /2 dx I =+ 0sinx cos x /3 sin x cos x I 1 I2
16. Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 11 f( x )= , khi x → 0+ sinx cos x x 1 Chọn gx()= x f() x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 gx() sinxx cos 3 nên hội tụ. I1 cùng bản chất với g() x dx 0
17. Xét I2: f kỳ dị tại x = /2 11 fx( )== , sinxx cos sinxx sin − 2 1 − khi x → − x 2 2 1 Chọn gx()= − x 2
18. 1 Chọn gx()= 1 − x 2 − fx() − x x→ =2 ⎯⎯⎯→2 1 gx() sinxx cos 2 nên pkỳ I2 cùng bản chất với g() x dx /3 I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ
19. Ví dụ + dx Khảo sát sự hội tụ: I = 0 x Tổng quát I không phải là tích phân suy rộng loại 1. 1 dx+ dx I =+ =+II12 01xx I1 hội tụ 1 I phân kỳ với mọi I2 hội tụ 1
20. Ví dụ 3/2 + (xx+1) Khảo sát sự hội tụ I= dx 0 ex −1 f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: 3/2 3/2 1(x++11) x+ ( x) x I=+ dx dx 01eexx−−11 I2 I1 (do x = 0 quyết định) (do x = + quyết định)
21. 3/2 (xx+1) x 1 f( x )= = , khi x → 0+ ex −1 x x 1 dx nên hội tụ I1 cùng bản chất với 0 x 3/2 2 fx() (x+1) x x lim= lim = 0( = k ) xx→+ 1 →+ ex −1 x2 + dx hội tụ nên I2 hội tụ Vậy I hội tụ. 1 x2