›
›

Bài giảng Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

pdf 84 trang huongle 5210
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_tich_phan_va_ung_dung_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 3 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Tích phân suy rộng. 7. Các tiêu chuẩn hội tụ. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 2 dụng
  3. 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU • Tính diện tích hình phẳng 푅 nằm trên trục , dưới đường = = 1 − 2 và giữa = 0, = 1. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 3 dụng
  4. • Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 4 dụng
  5. • Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 5 dụng
  6. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 6 dụng
  7. • Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 7 dụng
  8. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 8 dụng
  9. • Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của tại điểm giữa các khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 9 dụng
  10. • Khoảng xác định , của hàm số có thể được chia thành 푛 khoảng con có độ dài bằng nhau − Δ = 푛 • Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con. • Tổng như vậy có dạng 1 훥 + 2 훥 + 3 훥 + ⋯ + 푛 훥 • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác của diện tích cần tìm. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 10 dụng
  11. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 11 dụng
  12. Tính khoảng cách di chuyển • Nếu một vật di chuyển với vận tốc 푣 푡 thì trong khoảng thời gian từ 푡 = đến 푡 = vật đó đi được bao xa? • Nếu biết một nguyên hàm của 푣 푡 là 퐹 푡 thì vị trí của vật đó ở thời điểm 푡 là 푠 푡 = 퐹 푡 + . • Quãng đường đi được là 푠 − 푠 = 퐹 − 퐹 . • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của 푣 푡 hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không? C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 12 dụng
  13. • Chia khoảng , thành n khoảng thời gian đều nhau có độ dài Δ푡. – Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn 푡1tùy ý. – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn 푡2 tùy ý. – – Trên khoảng thời gian thứ 푛, chọn 푡푛 tùy ý. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 13 dụng
  14. • Xấp xỉ quãng đường đi được như sau – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ bằng 푣 푡1 Δ푡. – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ bằng 푣 푡2 Δ푡. – – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 푛 xấp xỉ bằng 푣 푡푛 Δ푡. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 14 dụng
  15. 2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma 푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛−1 + 푛 =1 • Ví dụ 10 12 + 22 + 32 + ⋯ + 102 = 2 =1 100 1 + 2 + ⋯ + 100 = 𝑖 𝑖=1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 15 dụng
  16. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 16 dụng
  17. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 17 dụng
  18. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 18 dụng
  19. Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục , đường cong = = 1 − 2 và hai đường thẳng đứng = 0, = 1. Chia khoảng 0,1 thành 푛 khoảng con có độ dài bằng nhau Δ = 1/푛. a) Viết lại tổng dưới 퐿푛 bằng ký hiệu sigma và tính lim 퐿푛 푛→∞ b) Viết lại tổng trên 푈푛 bằng ký hiệu sigma và tính lim 푈푛 푛→∞ Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số bằng = 3. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 19 dụng
  20. Tổng Riemann • Tổng quát, xét hàm số xác định trên khoảng , . • Chia , thành 푛 khoảng (không nhất thiết có độ dài bằng nhau) bằng cách chọn 푛 − 1 điểm 1, 2, , 푛−1 nằm trong khoảng , thỏa < 1 < 2 < ⋯ < 푛−1 < • Để tiện lợi, đặt 0 = và 푛 = . • Tập hợp 푃 = 0, 1, 2, , 푛 gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng , . • Đặt Δ = − −1 (nếu cách khoảng chia đều nhau thì Δ = − /푛 với mọi ). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 20 dụng
  21. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 21 dụng
  22. • Trên khoảng con thứ chọn số tùy ý. • Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của trên , 푛 푆푃 = Δ =1 • Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và được chọn tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì 푛 − − 푆 = + 푛 푛 푛 =1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 22 dụng
  23. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 23 dụng
  24. Định nghĩa tích phân • Chuẩn (norm) của phân hoạch 푃, ký hiệu 푃 , được định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con 푃 = max Δ 1≤ ≤푛 • Nếu với mọi phân hoạch 푃 để cho 푃 đủ nhỏ, tổng Riemann 푆푃 đủ gần giá trị 퐽 nào đó (bất chấp cách chọn trong mỗi khoảng con) thì ta nói 퐽 là tích phân xác định của trên khoảng , . • Nói cách khác, nếu tổng Riemann 푆푃 tiến về giá trị 퐽 nào đó khi 푃 → 0 thì ta nói tích phân xác định của trên , là 퐽. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 24 dụng
  25. Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral Cho hàm số xác định trên khoảng , . Ta nói 퐽 là tích phân xác định của trên , nếu 퐽 là giới hạn 푛 của tổng Riemann 푆푃 = =1 Δ khi 푃 → 0 theo nghĩa Với mọi 휀 > 0, tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi phân hoạch 푃 của , thỏa 푃 < 훿 và với mọi sự lựa chọn ∈ −1, ta có 푛 푆푃 − 퐽 = Δ − 퐽 < 휀 =1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 25 dụng
  26. • Tích phân xác định 퐽 của trên , được ký hiệu là C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 26 dụng
  27. • Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên = 푡 푡 = = ⋯ • Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định 퐽 = và hàm là khả tích trên , . Khi đó ta có thể viết 푛 lim Δ = 퐽 = 푃 →0 =1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 27 dụng
  28. Tính khả tích của hàm liên tục • Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số 1, nếu hữu tỉ = là không khả tích. 0, nếu vô tỉ • Hàm số được gọi là có bước nhảy (jump discontinuity) tại nếu giới hạn trái và phải khi tiến về đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau. Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục Nếu hàm số liên tục trên , hoặc nếu chỉ có hữu hạn bước nhảy trên , thì tồn tại và khả tích trên , . C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 28 dụng
  29. Một số tính chất C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 29 dụng
  30. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 30 dụng
  31. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 31 dụng
  32. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 32 dụng
  33. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 33 dụng
  34. Ví dụ 2. 1. Tính tích phân , với > 0 0 2. Tính tích phân , với > 3. Tính tích phân 2 , với > C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 34 dụng
  35. 3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN • Nếu 푡 khả tích trên , thì với ∈ , đặt 퐹 = 푡 푡 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 35 dụng
  36. 퐹 + ℎ − 퐹 ≈ ℎ 퐹 + ℎ − 퐹 퐹′ = lim = ℎ→0 ℎ C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 36 dụng
  37. Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu liên tục trên , thì 퐹 = 푡 푡 liên tục trên , , khả vi trên , và 퐹′ = 퐹′ = 푡 푡 = Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính biết 2 1. = 1 + 푡3 푡 2. = cos 1 + 푡2 푡 1 4 3. = 푒sin 푡 푡 2 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 1+3 37 dụng
  38. Công thức Newton-Leibnitz Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 2 Nếu liên tục trên , và 퐹 là một nguyên hàm của trên , thì = 퐹 − 퐹 ≡ 퐹 Ví dụ 4. Tính các tích phân. 4 3 4 1. sin 2. − 2 0 1 2 1 푡 1 1 3. 4. 2 0 1 + 푡 0 1 + C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 38 dụng
  39. 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích phân bất định Nếu = là hàm số khả vi mà giá trị thuộc khoảng và nếu liên tục trên thì ′ = Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định. 3 휃 1. 2푒 2. 푒휃 + 푒−휃 2 3. 2 + 1 4. 3 2 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng + 1 24/08/2015 39 dụng
  40. Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Nếu ′ liên tục trên , và liên tục trên miền giá trị của = thì 𝑔 ′ = 𝑔 Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định. 1 /2 cos 휃 2 3 1. 3 + 1 2. 3 휃 −1 /4 sin 휃 3 /4 푒 4 푡 3. tan 4. 푡 1 + ln2 푡 − /3 C01128 - Chương 3: Tích phân và1 ứng 24/08/2015 40 dụng
  41. Tích phân của hàm đối xứng (symmetric function) • Cho hàm số xác định trên khoảng đối xứng − , . • được nói là chẵn nếu − = , ∀ ∈ − , . • được nói là lẻ nếu − = − , ∀ ∈ − , . Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng Cho liên tục trên khoảng đối xứng − , . a) Nếu chẵn (even) thì − = 2 0 . b) Nếu lẻ (odd) thì − = 0. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 41 dụng
  42. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 42 dụng
  43. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 43 dụng
  44. Tích phân từng phần – integration by parts Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định ′ = − ′ hoặc viết gọn 푣 = 푣 − 푣 . Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định. 1. cos 2 2. ln 3. arctan C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 44 dụng
  45. Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định ′ = − ′ hoặc viết gọn 푣 = 푣 − 푣 . Ví dụ 8. Tính các tích phân. 4 1 1. 푒− 2. arcsin 0 0 3. 2푒 4. 3 sin 3 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 45 dụng
  46. 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN • Một thiết diện (cross-section) của khối 푆 là một miền phẳng tạo thành từ việc cắt 푆 bằng một mặt phẳng. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 46 dụng
  47. Tính thể tích • Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao Thể tích = diện tích đáy × chiều cao C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 47 dụng
  48. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 48 dụng
  49. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 49 dụng
  50. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 50 dụng
  51. • Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt mặt thứ nhất theo một góc 450 tại tâm của khối trụ. Tính thể tích cái nêm này. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 51 dụng
  52. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 52 dụng
  53. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 53 dụng
  54. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 54 dụng
  55. Tính độ dài đường cong • Đường cong = gọi là trơn (smooth) nếu là hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 55 dụng
  56. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 56 dụng
  57. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 57 dụng
  58. • Tính độ dài của đồ thị hàm số 3 1 = + , ∈ 1,4 12 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 58 dụng
  59. Tính công của lực • Một vật chịu tác động của một lực (force) 퐹 có độ lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di chuyển một khoảng thì công (work) của lực 퐹 được định nghĩa là 푊 = 퐹 . • Nếu lực 퐹 = 퐹 (không phải là hằng số), tác động làm vật di chuyển từ = đến = thì công của lực là bao nhiêu? • Chia khoảng , thành 푛 khoảng con −1, . Lấy ∈ −1, thì công được xấp xỉ bằng 푛 Work ≈ 퐹 Δ =1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 59 dụng
  60. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 60 dụng
  61. • Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với 퐹 = với là hằng số. • Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự nhiên 1 푡 xuống còn 0.75 푡, biết = 16 푙 / 푡 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 61 dụng
  62. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 62 dụng
  63. 6. PHƯƠNG PHÁP SỐ • Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation) C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 63 dụng
  64. Quy tắc hình thang C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 64 dụng
  65. Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule • Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường parabol. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 65 dụng
  66. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 66 dụng
  67. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 67 dụng
  68. 7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I). Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I Nếu liên tục trên , ∞ thì ∞ = lim →∞ Nếu liên tục trên −∞, thì = lim −∞ →−∞ C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 68 dụng
  69. • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân suy rộng loại I ∞ ∞ = + −∞ −∞ với liên tục trên −∞, ∞ và là hằng số tùy ý. • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 69 dụng
  70. Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng. ∞ 1. 푒− /2 0 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 70 dụng
  71. 1 1 2. −∞ 2 − 3 ∞ 1 3. 0 + 1 ∞ 4. 2 −∞ 1 + C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 71 dụng
  72. 0 5. 푒2 −∞ ∞ 1 6. 3 −1 3 + 5 ∞ ln 7. 2 1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 72 dụng
  73. ∞ 2 + 1 8. 3 0 푒 ∞ 푒 9. 2 −∞ 1 + 푒 Ví dụ 10. Với giá trị nào của thì tích phân sau hội tụ? ∞ 1 = 1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 73 dụng
  74. Tích phân suy rộng loại II • Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là suy rộng loại II (improper integral of Type II). Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II Nếu liên tục trên , và gián đoạn tại thì = lim + → Nếu liên tục trên , và gián đoạn tại thì = lim− → C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 74 dụng
  75. • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu liên tục trên , ∪ , và gián đoạn tại ∈ , thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II = + • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 75 dụng
  76. Ví dụ 11. Tính các tích phân suy rộng. 1 1. 0 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 76 dụng
  77. 1 1 2. 0 1 − C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 77 dụng
  78. 3 3. 2/3 0 − 1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 78 dụng
  79. /2 4. 0 cos 1 5. ln 0 Ví dụ 12. Với giá trị nào của thì tích phân sau hội tụ? 1 1 0 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 79 dụng
  80. 7. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 80 dụng
  81. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 81 dụng
  82. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 82 dụng
  83. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 83 dụng
  84. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 84 dụng