Bài giảng Tích phân xác định

Nội dung text: Bài giảng Tích phân xác định

1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2. Bài toán diện tích y= f() x S a b
3. Chia S thành nhiều diện tích con
4. Xấp xỉ các diện tích con bằng diện tích các hình chữ nhật con
5. Chia S càng nhỏ
6. Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S
7. ĐỊNH NGHĨA Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của [a, b] thỏa mãn a x0 < x1 < <xn  b d = max{(xi+1 – xi)/ i = 0, ,n-1}: đường kính phân hoạch Xét hàm số f(x) xác định trên [a, b], P là 1 phân hoạch của [a, b]. Trên [xi, xi+1] chọn i tùy ý, đặt n−1 Tổng tích phân S( P , f )=− f (i )( x i+1 x i ) ứng với phân i=0 hoạch P
8. n−1 S( P , f )=− f (i )( x i+1 x i ) i=0 f khả tích tồn tại giới hạn hữu hạn của f( ) S(P, f) khi d→ 0 i (không phụ thuộc P) a=x x x x =b 0 i i i+1 n b limS ( P , f )= f ( x ) dx d→0 a
9. Ví dụ về tổng tích phân Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x0 <x1< <xn = 1. Tìm tổng tích phân nếu: i = xi
10. 11 1 i x− x = d = ,  = x =0, +i = ii+1 nnii n n i f ()== iin  1 0 1 2 3
11. nn−−11i 1 S( P , f )=  f (i )(xx i+1 −= i ) ii==00nn 11n−1 =22in =[0 + 1 + + ( − 1)] nni=0 (nn− 1) 1 = → 2n2 d→0 2 1 1 = xdx 0 2
12. Điều kiện để f khả tích trên [a, b] Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b]. b ( Khi đó f() x dx là tích phân xác định.) a 2 sin x Ví dụ: dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. −1 x 2 xln xdx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. 0 2 ln xdx không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2. 0
13. Tính chất hàm khả tích 1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b] 2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b] 3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a,b], khi đó b m()()() b − a f x dx M b − a a bb *()()()() f x g x f x dx g x dx aa
14. Tính chất hàm khả tích bb 4. cf ( x ) dx= c f ( x ) dx , aa b b b [fx ( )+ gxdx ( )] = fxdx ( ) + gxdx ( ) a a a a ab 5. f ( x ) dx = 0 6. f ( x ) dx=− f ( x ) dx a ba b c b 7. f ( x ) dx=+ f ( x ) dx f ( x ) dx a a c
15. Tính chất hàm khả tích b 8. dx=− b a a b b+ T 10. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T: f()() x dx= f x dx a a+ T a 11. f lẻ trên [-a, a]: f( x ) dx = 0 −a aa f chẵn trên [-a, a] f( x ) dx= 2 f ( x ) dx −a 0
16. Định lý giá trị trung bình f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c [a,b] sao cho b f( c )( b−= a ) f ( x ) dx a x t 2 Áp dụng: tính giới hạn lim e dx x→+ 0 2 hàm e t liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại c [0,x] sao cho x 22 etc dx=( x − 0) e x → + x→+ 0
17. ĐỊnh lý cơ bản của phép tính vi tích phân * Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số x F()() x= f t dt liên tục trên [a,b] a * Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và F'( x )= f ( x ),  x ( a , b ) Đạo hàm theo cận trên  ()x Hệ quả: F()() x= f t dt f liên tục, và  khả vi ()x F'() x=− f (()) x  '() x f (())'() x x
18. Ví dụ x2 +1 1/ Tính đạo hàm của f( x )=+ ln(1 t2 ) dt x2 f ( x )= 2 x .ln(1 + ( x24 + 1)) − 2 x .ln(1 + x ) 2/ Tìm cực trị của f(x) trong (0, 1) x 21t − f() x= dt 2 0 tt++1 21x − fx ()= đổi dấu khi đi qua x = 1/2 (0, 1) xx2 ++1
19. x 2 2x et dt 0 3/ Tính giới hạn lim 2 x→+ ex Theo vd phần định lý giá trị trung bình x 2 lim et dx = + x→+ 0 Vậy gh trên có dạng VĐ 0/0, áp dụng qtắc L’H x x 2 t 2 2x et dt 2x e dt lim0 = lim 0 x2 xx→+ →+ 2 e (ex )
20. x x 2 t 2 2x et dt 2x e dt lim0 = lim 0 x2 xx→+ →+ 2 e (ex ) x 22 22 etx dt+ xe 0 = lim 2 x→+ 2xex x 22 etx dt+ xe = lim 0 x→+ 2 (xex )
21. x 22 etx dt+ xe = lim 0 x→+ 2 (xex ) 2 2 2 ex++ e x2 x2 e x ==lim22 1 x→+ exx+ 2 x2 e
22. Công thức Newton-Leibnitz f liên tục trên [a, b],F là nguyên hàm của f trên [a, b] b f()()()() x dx= F xb = F b − F a a a
23. Phương pháp đổi biến số • Nếu f liên tục trên [a, b] • x = u(t) thỏa u(t) và u’(t) liên tục trên [ , ] • u( ) = a, u() = b b  f( x ) dx= f ( u ( t )) u ( t ) dt a
24. PP tích phân từng phần Nếu u(x), v(x) cùng các đạo hàm liên tục trên [a, b] bb u()() x dv x=− u ().() x v xb v ()() x du x a aa
25. Ví dụ 4 dx 4 =lnxx +2 + 9 2 ( ) 3 3 x + 9 3 =ln9 − ln(3 + 3 2) = ln 12+
26. Ví dụ 4 dx I = xt= 01+ x 2 2 2tdt 1 I = =−21 dt t t 0 1+ 0 1+ 2 =2tt − ln(1 + )0 = 2(2 − ln3)
27. Một tích phân cần nhớ /2 /2 nn In == sin xdx cos xdx 00 ux= sinn−1 dv= sin xdx /2 /2 I= −cos x .sinnn−−1 x + ( n − 1) sin 2 x .cos 2 xdx n 0 0 /2 =(n − 1) sinn−22 x (1 − sin x ) dx 0
28. /2 nn−2 In =( n − 1) (sin x − sin x ) dx 0 =(n − 1)( Inn−2 − I ) n −1 =IInn−2 n (2n − 1)!! I2n = (2n )!! 2 (2n )!! I21n+ = (2n + 1)!!