Bài giảng Tín hiệu và Hệ thống - Chương 3: Phân tích hệ thống trong miền thời gian - Lê Vũ Hà

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và Hệ thống - Chương 3: Phân tích hệ thống trong miền thời gian - Lê Vũ Hà

1. CHƯƠNG III PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21
2. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương trình của các định luật vật lý mà hoạt động của hệ thống tuân theo. Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21
3. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ví dụ: phương trình vi phân của mạch RC dV V V C ra + ra = vào dt R R Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21
4. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Dạng tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống tuyến tính bất biến: N M X d i y(t) X d j x(t) a = b i dti j dtj i=0 j=0 với x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21
5. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Giải phương trình vi phân tuyến tính Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: y(t) = y0(t) + ys(t) y0(t): đáp ứng khởi đầu, còn gọi là đáp ứng khi không có kích thích, là nghiệm của phương trình thuần nhất N X d i y(t) a = 0 (1) i dti i=0 ys(t): đáp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21
6. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu y0(t) là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t = 0), không xét tới tín hiệu vào x(t). Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng est với s là một biến phức, thay vào phương trình ta có: N X i st ai s e = 0 i=0 → s là nghiệm của phương trình đại số tuyến tính bậc N sau đây: N X i ai s = 0 (2) i=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21
7. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. Gọi các nghiệm của phương trình (2) là {sk |k = 1 N}, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các {sk } đều là nghiệm đơn: N X sk t y0(t) = ck e k=1 Giá trị của các hệ số {ck } được xác định từ các điều kiện khởi đầu. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21
8. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau: pk −1 ! X sk t X i y0(t) = ck e t k i=0 trong đó pk số lần bội của nghiệm sk . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21
9. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không ys(t) là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(t) khi các điều kiện khởi đầu đều bằng không. ys(t) còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống. Để xác định ys(t), thông thường ta giả thiết ys(t) có dạng tương tự tín hiệu vào x(t) với một vài hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 21
10. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không Chú ý khi giả thiết dạng của ys(t): ys(t) phải độc lập với tất cả các thành phần của y0(t). Ví dụ, nếu x(t) = eαt , ta có thể gặp một số trường hợp như sau: αt Nếu e không phải là một thành phần của y0(t), ta αt có thể giả thiết ys(t) có dạng ce . Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc αt trưng (2) → e là một thành phần của y0(t) → ys(t) phải có dạng cteαt . Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2) → eαt , teαt , ,t p−1eαt là các thành phần của p αt y0(t) → ys(t) phải có dạng ct e . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 21
11. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu Tích chập của hai tín hiệu f (t) và g(t), ký hiệu f (t) ∗ g(t), được định nghĩa như sau: Z +∞ f (t) ∗ g(t) = f (τ)g(t − τ)dτ −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 21
12. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Tính giao hoán: f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t) Tính kết hợp: [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] Tính phân phối: [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ h(t) + g(t) ∗ h(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 21
13. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Dịch thời gian: nếu x(t) = f (t) ∗ g(t), ta có x(t − t0) = f (t − t0) ∗ g(t) = f (t) ∗ g(t − t0) Nhân chập với tín hiệu xung đơn vị: f (t) ∗ δ(t) = f (t) Tính nhân quả: nếu f (t) và g(t) là các tín hiệu nhân quả thì f (t) ∗ g(t) cũng là tín hiệu nhân quả. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 21
14. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bằng mối quan hệ y(t) = T[x(t)], ta có thể biến đổi biểu diễn đó như sau: Z ∞  y(t) = T[x(t) ∗ δ(t)] = T x(τ)δ(t − τ)dτ −∞ Z ∞ = x(τ)T[δ(t − τ)]dτ = x(t) ∗ h(t) −∞ ở đó, h(t) = T[δ(t)] được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn bởi T. Một hệ thống tuyến tính bất biến là xác định khi đáp ứng xung của hệ thống đó xác định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 21
15. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Phân tích đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Hệ thống tĩnh (hệ thống không bộ nhớ): đáp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại t = 0. Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung là tín hiệu nhân quả. Hệ thống ổn định: khi và chỉ khi điều kiện sau đây đối với đáp ứng xung được thỏa mãn Z ∞ |h(t)|dt < ∞ −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 21
16. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) ∗ h2(t) Ghép song song hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) + h2(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 21
17. Mô Hình Biến Trạng Thái Biến trạng thái của hệ thống Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái. Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến là tập hợp các phương trình vi phân của các biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái trong tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện thời và tín hiệu vào → hệ thống hoàn toàn xác định khi trạng thái khởi đầu của hệ thống là xác định. Mô hình biến trạng thái rất thuận tiên để biểu diễn hệ thống đa biến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 21
18. Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Gọi {u1(t), u2(t) } là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t) } là các biến ra, và {q1(t), q2(t) } là các biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến. Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi (t) X X = a q (t) + b u (t)(i = 1, 2, ) dt ij j ik k j k Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: X X yi (t) = cij qj (t) + dik uk (t)(i = 1, 2, ) j k Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 21
19. Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Mô hình tráng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến thường được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: dq(t) = Aq(t) + Bu(t) dt y(t) = Cq(t) + Du(t) ở đó, u(t), y(t) và q(t) là các vector cột với các phần tử lần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến trạng thái của hệ thống; A, B, C và D là các ma trận hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 21
20. Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Thiết lập các phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến sau đây: N M X d i y(t) X d j x(t) a = b i dti j dtj i=0 j=0 j j Đặt uj (t) = d x(t)/dt (j = 0 M) là các tín hiệu vào của hệ thống và viết lại phương trình trên dưới dạng: N M X d i y(t) X a = b u (t) i dti j j i=0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 21
21. Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Chọn các biến trạng thái như sau: dy(t) d N−1y(t) q (t) = y(t), q (t) = , , q (t) = 1 2 dt N dtN−1 Các phương trình trạng thái: dq (t) dq (t) 1 = q (t), 2 = q (t), dt 2 dt 3 dq (t) N−1 = q (t) dt N  N−1 M  dqN(t) 1 X X = − ai qi+1(t) + bj uj (t) dt aN 0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 21