Bài giảng Toán cao cấp A1-C1 - Huỳnh Hữu Dinh

116 trang huongle 8540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp A1-C1 - Huỳnh Hữu Dinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_cao_cap_a1_c1_huynh_huu_dinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp A1-C1 - Huỳnh Hữu Dinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 (BẬC CAO ĐẲNG) TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 2
Mục lục 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7 1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 2.1 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 TÍCH PHÂN 65 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.8 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 87 3.8.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . 88 3.9 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 94 3.11 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.11.1 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.12 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 101 3
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3.12.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.12.3 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13 Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.13.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 109 4 Ma trận và định thức 117 4.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.1 Các khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . 127 4.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.1 Hoán vị và nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông . . . . . 130 4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . 136 4.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B 149 4.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 152 4.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . 171 5.1.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2 Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4 Phương pháp phân rã LU 181 5.4.1 Phương pháp Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.4.2 Phương pháp Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 188 5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . 190 5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195 6 Không gian vector 205 6.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . 207 6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 210 6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector . . . . . . . . . . 216 6.5 Tọa độ của vector. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . 222 6.6 Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Trang 4
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . 229 6.6.2 Không gian con nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.7 Không gian vector Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Trang 5
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 6
Chương 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.1. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f(x) xác định trong tập D. Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu lim f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao x→a cho |f(x) − L| 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |(2x + 1) − 3| 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = 2 thì với mọi x thỏa |x − 1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ. Do đó lim (2x + 1) = 3. x→1 Nhận xét 1.1. Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không nhất thiết phải xác định tại điểm x = a. Khi tính giới hạn ta chỉ xét các giá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a. x2 − 4 Ví dụ 1.2. Chứng tỏ rằng lim = 4. x→2 x − 2 7
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Hàm số đã cho không xác định tại x = 2. Ta cần phải chứng minh rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ thì với mọi x thỏa x2 − 4 x2 − 4 |x − 2| 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số N > 0 sao cho với mọi x thỏa x > N(x 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | − 2| x − 1 x − 1 ϵ 2 Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > ϵ + 1 thì với mọi x thỏa 2x 2x x > N ta được | − 2| 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | − | 2x − 1 2 2 (2x − 1) 2ϵ ( ) 1 3 Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > − 1 thì với mọi 2 2ε 3x 3 3x 3 x < −N ta được | − | < ϵ. Do đó lim = . 2x − 1 2 x→−∞ 2x − 1 2 Trang 8
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.1. Các tính chất của giới hạn hữu hạn (a có thể bằng ±∞): 1. Nếu f(x) = c (hằng số) thì lim f (x) = c. x→a 2. Nếu f(x) ≥ c và hàm f(x) có giới hạn tại x = a thì lim f (x) ≥ c. x→a 3. Nếu φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) và lim φ (x) = lim ψ (x) = L thì x→a x→a lim f (x) = L x→a 4. Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f (x) và lim g (x) thì x→a x→a • lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x). x→a x→a x→a • lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x). x→a x→a x→a lim f (x) ( ) f (x) → • lim = x a lim g (x) ≠ 0 x→a g (x) lim g (x) x→a x→a Sử dụng các tính chất trên làm cho việc tính giới hạn trở nên rất đơn giản. Chúng ta xét một số ví dụ điển hình sau: x3 + x + 1 Ví dụ 1.5. Tính giới hạn L = lim . x→1 x2 − x + 1 x3 + x + 1 3 Giải. Vì lim (x2 − x + 1) = 1 ≠ 0 nên L = lim = = 3. x→1 x→1 x2 − x + 1 1 x2 − 3x + 2 Ví dụ 1.6. Tính giới hạn L = lim . x→1 x − 1 Giải. Vì lim (x2 − 3x + 2) = lim (x − 1) = 0 nên ta cần khử dạng vô định x→1 x→1 0 (dạng 0 ) x2 − 3x + 2 (x − 1) (x − 2) lim = lim = lim (x − 2) = −1 x→1 x − 1 x→1 x − 1 x→1 Vậy L = −1. √ 3 x − 1 Ví dụ 1.7. Tính giới hạn L = lim √ . x→1 x − 1 Giải. Giới hạn trên cũng có dạng vô định, ta có √ √ √ 3 x − 1 (x − 1) x + 1 x + 1 2 lim √ = lim (√ √ ) = lim √ √ = → − → 3 − → 3 2 3 x 1 x 1 x 1 x2 + 3 x + 1 x 1 x 1 x + x + 1 3 2 Vậy L = 3 . Trang 9
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM x3 − 2x + 5 Ví dụ 1.8. Tính giới hạn L = lim . x→+∞ 2x3 + 2x + 1 Giải. Chia tử thức và mẫu thức cho x3 ta được x3 − 2x + 5 1 − 2 + 5 1 lim = lim x2 x3 = x→+∞ 3 x→+∞ 2 1 2x + 2x + 1 2 + x2 + x3 2 1 Vậy L = . 2 √ x3 3 x4 − 2x4 − 1 Ví dụ 1.9. Tính giới hạn L = lim √ . x→−∞ 2x3 3 x4 + 2x4 + 2 √ 2 1 3 3 4 4 − √ − √ x x − 2x − 1 1 3 3 3 4 Giải. Ta có lim √ = lim x x x = 1 . x→−∞ 3 3 4 4 x→−∞ 2 + √2 + √3 2 2x x + 2x + 3 3 x x3 3 x4 1 Vậy L = . 2 Định nghĩa 1.3. (Giới hạn vô cùng của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn)) Hàm số f(x) được gọi là tiến ra +∞ (−∞) khi x → a nếu mỗi số dương M lớn tùy ý, ta có thể tìm được δ > 0 sao cho với mọi x thỏa |x − a| M (f(x) 0 lớn tùy ý và x ≠ 2 ta có 1 1 1 > M ⇔ (x − 2)2 M. Do đó lim = +∞. (x − 2)2 x→2 (x − 2)2 −1 Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng lim = −∞. x→1 (x − 1)2 Trang 10
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Với M > 0 lớn tùy ý và x ≠ 1 ta có −1 1 1 0 sao cho f(x) > M, ∀x > N, ký hiệu lim f (x) = +∞. x→+∞ Các giới hạn lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ được định nghĩa tương tự. x2 Ví dụ 1.12. Chứng minh rằng lim = +∞. x→+∞ x + 1 Giải. Với M > 0 lớn tùy ý ta có √ x2 M + M 2 + 4M > M ⇔ x2 − Mx − M > 0 ⇔ x > x + 1 2 √ M+ M 2+4M Vậy với M > 0 lớn tùy ý, chọn N = 2 thì với mọi x > N ta x2 x2 được > M. Do đó lim = +∞. x + 1 x→+∞ x + 1 x2 Ví dụ 1.13. Chứng minh rằng lim = −∞. x→−∞ x + 1 Giải. Với M lớn tùy ý ta có √ x2 −M − M 2 − 4M 0 ⇔ x 0 tùy ý, chọn N = 2 thì với mọi x < N ta được x2 x2 < −M. Do đó lim = −∞. x + 1 x→−∞ x + 1 Trang 11
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.2. Các tính chất của giới hạn vô cùng (a có thể bằng ±∞): 1. Nếu lim f (x) = ±∞ và lim g (x) = ±∞ thì lim [f (x) + g (x)] = ±∞ x→a x→a x→a và lim [f (x) g (x)] = +∞. x→a 2. Nếu lim f (x) = ±∞ và lim g (x) = ∓∞ thì lim [f (x) g (x)] = −∞. x→a x→a x→a 3. Nếu lim f (x) = ±∞ thì x→a • lim cf (x) = ±∞ nếu c > 0. x→a • lim cf (x) = ∓∞ nếu c 0 thì lim [f (x) g (x)] = ±∞. x→a x→a x→a 7. Nếu lim f (x) = ±∞ và lim g (x) = c 0 nên L = +∞. x→+∞ x→+∞ x x3 x3 + 3x + 1 Ví dụ 1.15. Tính giới hạn L = lim . x→−∞ x2 − x + 1 Giải. Ta có ( ) 3 3 3 1 3 1 x + 3x + 1 x 1 + 2 + 3 1 + + = ( x x ) = x x2 x3 x2 − x + 1 2 − 1 1 − 1 1 x 1 x + x2 1 x + x2 1 + 3 + 1 Vì lim x = −∞ và lim x2 x3 = 1 > 0 nên L = −∞. x→−∞ x→−∞ − 1 1 1 x + x2 x2 − sin2x Ví dụ 1.16. Tính giới hạn L = lim . x→+∞ x Trang 12
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Với x > 0 ta có 1 x2 − sin2x x − ≤ ≤ x x x ( ) Mà lim x − 1 = lim x = +∞ nên L = +∞. x→+∞ x x→+∞ Các giới hạn cơ bản Sau đây, tác giả xin giới thiệu đến bạn đọc một số giới hạn cơ bản được dùng nhiều trong bài giảng này: sin x sin u 1. lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u tan x tan u lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u Ví dụ 1.17. Tính các giới hạn sau: sin 3x sin [2 (x2 − 1)] a. lim c. lim x→0 x x→1 x − 1 1 − cos x sin (2013x) b. lim 2 d. lim x→0 x x→0 sin (2014x) sin 3x sin 3x Giải. a. lim = 3 lim = 3. x→0 x x→0 3x 2 x ( ) 1 − cos x 2sin 1 sin x 2 1 b. lim = lim 2 = lim 2 = x→0 2 x→0 2 x→0 x x x 2 2 2 c. Ta có sin [2 (x2 − 1)] sin [2 (x2 − 1)] 2 (x2 − 1) lim = lim x→1 x − 1 x→1 2 (x2 − 1) x − 1 sin [2 (x2 − 1)] 2 (x2 − 1) = lim lim x→1 2 (x2 − 1) x→1 x − 1 = lim 2 (x + 1) = 4 x→1 sin (2013x) 2013 sin (2013x) 2014x 2013 d. lim = lim = x→0 sin (2014x) 2014 x→0 2013x sin (2014x) 2014 Ví dụ 1.18. Tính các giới hạn sau: tan 2x tan (tan x) a. lim c. lim x→0 x x→0 x tan 3x tan x2 b. lim d. lim x→0 sin 2x x→0 sin2x Trang 13
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM tan 2x tan 2x Giải. a. lim = 2 lim = 2. x→0 x x→0 2x tan 3x 3 tan 3x 2x 3 b. lim = lim = . x→0 sin 2x 2 x→0 3x sin 2x 2 tan (tan x) tan (tan x) tan x c. lim = lim = 1. x→0 x x→0 tan x x tan x2 tan x2 x2 d. lim = lim = 1. x→0 sin2x x→0 x2 sin2x arcsin x arcsin u 2. lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u arctan x arctan u lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u Ví dụ 1.19. Tính các giới hạn sau: arctan (sin x) arctan 2x arcsin 3x a. lim c. lim 2 x→0 arcsin (tan x) x→0 √ (x − x2) arctan (x2 − 1) arctan x + 1 − 1 b. lim 3 d. lim x→1 arcsin (x − 1) x→0 x arctan (sin x) arctan (sin x) tan x sin x Giải. a. lim = lim = 1. x→0 arcsin (tan x) x→0 sin x arcsin (tan x) tan x arctan (x2 − 1) arctan (x2 − 1) x3 − 1 x2 − 1 2 b. lim = lim = . x→1 arcsin (x3 − 1) x→1 x2 − 1 arcsin (x3 − 1) x3 − 1 3 arctan 2x arcsin 3x arctan 2x arcsin 3x 6 c. lim = lim = 6. x→0 (x − x2)2 x→0 2x 3x (1 − x)2 √ arctan x + 1 − 1 arctan x 1 d. lim = lim (√ ) = . x→0 x x→0 x arctan x + 1 + 1 2 1 − cos x 1 3. lim = . Tổng quát: nếu lim u = 0 thì x→0 x2 2 x→a 1 − cos u 1 lim = x→a u2 2 Ví dụ 1.20. Tính các giới hạn sau: √ 1 − cos 2x 1 − cos ( x − 1) a. lim c. lim x→0 sin22x x→1 (x − 1)2 − ( ) 1 cos (tan x) 2 b. lim 2 − x→0 2 d. lim x 1 cos sin x x→+∞ x Trang 14
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1 − cos 2x 1 − cos 2x 4x2 1 Giải. a. lim = lim = . x→0 sin22x x→0 4x2 sin22x 2 1 − cos (tan x) 1 − cos (tan x) tan2x 1 b. lim = lim = . → 2 → 2 2 x 0 sin √x x 0 tan x √ sin x 2 1 − cos ( x − 1) 1 − cos ( x − 1) 1 1 c. lim = lim √ √ = . x→1 (x − 1)2 x→1 ( x − 1)2 ( x + 1)2 8 ( ) − 2 2 1 cos d. lim x2 1 − cos = 4 lim ( ) x = 2. x→+∞ x x→+∞ 2 2 x ex − 1 eu − 1 4. lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u ln (x + 1) ln (u + 1) lim = 1. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim = 1. x→0 x x→a x→a u Ví dụ 1.21. Tính các giới hạn sau: ( ) esin x − 1 ln 1 − 2sin2x a. lim c. lim x→0 x x→0 x2 ecos x − e ln (cos x) b. lim d. lim x→0 x2 x→0 x2 esin x − 1 esin x − 1 sin x Giải. a. lim = lim = 1. x→0 x x→0 sin x x ecos x − e ecos x−1 − 1 cos x − 1 e b. lim = e lim = − . → 2 → − 2 x 0 (x x) 0 cos x ( 1 x ) 2 ln 1 − 2sin2x ln 1 − 2sin2x −2sin2x c. lim = lim = −2. x→0 x2 x→0 −2sin2x x2 ln (cos x) ln (1 + cos x − 1) cos x − 1 1 d. lim = lim = − . x→0 x2 x→0 cos x − 1 x2 2 1 1 5. lim (1 + x) x = e. Tổng quát: nếu lim u = 0 thì lim (1 + u) u = e. → → → x 0( ) x a ( x a ) 1 x 1 u lim 1 + = e. Nếu lim u = ±∞ thì lim 1 + = e. x→±∞ x x→a x→a u Ví dụ 1.22. Tính các giới hạn sau: ( ) 2 1 x a. lim 1 + c. lim (cos x + sin x)cot x x→+∞ 2 x→0 ( ) x + x x 1 x − 1 b. lim (cos x) x2 d. lim x→0 x→+∞ x + 1 Trang 15
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM [ ] x2 ( ) 2 ( ) 2 1 x 1 x +x x2+x Giải. a. lim 1 + = lim 1 + = e. x→+∞ x2 + x x→+∞ x2 + x [ ] cos x−1 1 1 x2 − 1 b. lim (cos x) x2 = lim (1 + cos x − 1) cos x−1 = e 2 . x→0 x→0 [ ] (cos x+sin x−1) cot x cot x 1 c. lim (cos x + sin x) = lim (cos x + sin x) cos x+sin x−1 → → x 0 x 0 ( ) cos x − 1 Ta thấy lim (cos x + sin x − 1) cot x = lim + cos x = 1. x→0 x→0 sin x Do đó lim (cos x + sin x)cot x = e. x→0 d. Ta thấy ( ) [( ) ] −2x x − x+1 x+1 − 2 x 1 − 1 = 1 x+1 x + 1 2 ( ) x − 1 x Do đó lim = e−2. x→+∞ x + 1 √ n 1 + x − 1 1 6. lim = (n ∈ N). Nếu lim u = 0 thì x→0 x n x→a √ n 1 + u − 1 1 lim = x→a u n Ví dụ 1.23. Tính các giới hạn sau: √ √ 3 1 + sin 2x − 1 2014 x − 1 a. lim c. lim √ x→0 √ x x→1 √2013 x − 1 3 − − √ 8 x 2 cos x − 1 b. lim 4 d. lim x→0 16 + 2x − 2 x→0 x √ √ 3 1 + sin 2x − 1 3 1 + sin 2x − 1 sin 2x 2 Giải. a. lim = lim = . x→0 x x→0 sin 2x x 3 b. Ta có √ √ √ 3 8 − x − 2 3 1 − x − 1 3 1 − x − 1 x √ = √ 8 = − 8 √ 8 4 − 4 x − − x 4 x − 16 + 2x 2 1 + 8 1 8 1 + 8 1 √ 3 8 − x − 2 4 Do đó lim √ = − . x→0 4 16 + 2x − 2 3 Trang 16
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM c. Ta có √ √ √ 2014 x − 1 2014 1 + x − 1 − 1 2014 1 + x − 1 − 1 x − 1 √ = √ = √ 2013 x − 1 2013 1 + x − 1 − 1 x − 1 2013 1 + x − 1 − 1 √ 2014 x − 1 2013 Do đó lim √ = . x→1 2013 x − 1 2014 √ √ cos x − 1 1 + cos x − 1 − 1 cos x − 1 d. lim = lim = 0. x→0 x x→0 cos x − 1 x 1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái Định nghĩa 1.5. (Giới hạn phải) Cho hàm số f(x) xác định trong tập D. Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu lim f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho x→a+ |f(x) − L| 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho x→a− |f(x) − L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa −δ < x − a < 0. Nhận xét 1.2. Trường hợp L = ±∞ bạn đọc tự định nghĩa. Ví dụ 1.24. Dựa vào định nghĩa giới hạn một phía ta tính được một số giới hạn quan trọng sau: 1 1 1. lim = +∞; lim = −∞. x→0+ x x→0− x 2. lim tan x = −∞; lim tan x = +∞. → π + → π − x 2 x 2 3. lim cot x = +∞; lim cot x = −∞. x→0+ x→0− √ √ 4. lim x = 0; lim x không tồn tại. x→0+ x→0− 1 π 1 π 5. lim arctan = ; lim arctan = − . x→0+ x 2 x→0− x 2 Trang 17
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 6. lim ln x = −∞. x→0+ Ví dụ 1.25. Tính các giới hạn sau: √ √ x2 − 2x + 1 1 + cos 2x a. lim c. lim √ √ x→1+ √ x − 1 x→ π + − 2 √2x π x2 − 2x + 1 b. lim √1 + cos 2x → − − d. lim √ x 1 x 1 → π − − x 2 2x π √ √ 2 x2 − 2x + 1 (x − 1) x − 1 Giải. a. lim = lim = lim = 1. x→1+ x − 1 x→1+ x − 1 x→1+ x − 1 √ √ 2 x2 − 2x + 1 (x − 1) 1 − x b. lim = lim = lim = −1. x→1− x − 1 x→1− x − 1 x→1− x − 1 c. Ta có √ (√ √ ) √ 1 + cos 2x 2x + π 2cos2x √ √ = − 2x − π ( √ 2√x π) 2 x + 2π |cos x| = 2x − π ( ) ( √ √ ) π 2 x + 2π sin x − = 2 2x − π √ 1 + cos 2x √ Do đó lim √ √ = 2π. x→ π + 2x − π 2 √ 1 + cos 2x √ d. Dựa vào câu c ta được lim √ √ = − 2π. → π − − x 2 2x π Định lý 1.1. Hàm số f(x) tồn tại giới hạn tại x = a khi và chỉ khi giới hạn phải và trái của f(x) tại x = a tồn tại và bằng nhau, cụ thể hơn ta có lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L x→a x→a+ x→a− Ví dụ 1.26. Tính các giới hạn sau: √ 1 a. lim |x| x c. lim e x x→0 √ x→0 |x3 − 3x + 3x − 1| x3 + 1 b. lim d. lim 2 x→1 x − 1 x→−1 x + 2x + 1 Trang 18
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. a. Ta có √ • lim |x| x = 0. x→0+ √ • lim |x| x không tồn tại. x→0− √ Do đó lim |x| x không tồn tại. x→0 b. Ta có √ |x3 − 3x + 3x − 1| √ • lim = lim |x − 1| = 0. x→1+ x − 1 x→1+ √ ( ) |x3 − 3x + 3x − 1| √ • lim = lim − |x − 1| = 0. x→1− x − 1 x→1− √ |x3 − 3x + 3x − 1| Do đó lim = 0. x→1 x − 1 c. Ta có 1 • lim e x = +∞. x→0+ 1 • lim e x = 0. x→0− 1 Do đó lim e x không tồn tại. x→0 d. Ta có x3 + 1 x2 − x + 1 • lim = lim = +∞. x→−1+ x2 + 2x + 1 x→−1+ x + 1 x3 + 1 x2 − x + 1 • lim = lim = −∞. x→−1− x2 + 2x + 1 x→−1− x + 1 x3 + 1 Do đó lim không tồn tại. x→−1 x2 + 2x + 1 1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa 1.7. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a (a có thể là ±∞) nếu lim α (x) = 0 x→a Trang 19
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Chú ý 1.1. Trong định nghĩa trên ta có thể thay x → a bằng x → a+ hoặc x → a− (trường hợp a là số hữu hạn). Ví dụ 1.27. Một số VCB thường gặp: 1. α (x) = xc (c > 0) là VCB khi x → 0+. Trường hợp c ∈ N thì α(x) là VCB khi x → 0. 2. Các hàm số sin x, tan x, 1 − cos x, arcsin x, arctan x, ln(x + 1), ex − 1 là VCB khi x → 0. 1 3. Hàm số α(x) = là VCB khi x → ±∞. x → π 4. Hàm số cos x và cot x là VCB khi x 2 . Tính chất 1.3. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a. Khi đó • Hàm số (α + β)(x) = α (x) + β (x) là VCB khi x → a. • Hàm số (kα)(x) = kα (x) là VCB khi x → a. • Hàm số (αβ)(x) = α (x) β (x) là VCB khi x → a. • Nếu γ(x) là hàm bị chặn thì (αγ)(x) = α (x) γ (x) là VCB khi x → a. Định nghĩa 1.8. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a. Đặt k = α (x) lim (giả thiết là giới hạn tồn tại), khi đó x→a β (x) • Nếu k = 0, ta nói α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu α (x) = o (β (x)). • Nếu k = ±∞ thì β (x) = o (α (x)). • Nếu k ≠ 0, k ≠ ±∞ thì ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Trường hợp k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x). Ví dụ 1.28. So sánh các cặp VCB sau (x → 0): a. α (x) = ln (1 + 2 tan x); β (x) = sin x. b. α (x) = esin22x − 1; β (x) = 2 tan x. √ c. α (x) = 3 1 + 3x2 − 1; β (x) = sin2x. d. α (x) = arctan (sin 2x); β (x) = arcsin (tan 2x). Trang 20
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. a. Ta có α (x) ln (1 + 2 tan x) lim = lim x→0 β (x) x→0 sin x ln (1 + 2 tan x) 2 tan x = lim = 2 x→0 2 tan x sin x Vậy α(x) và β(x) là hai VCB đồng bậc. b. Ta có α (x) esin22x − 1 lim = lim x→0 β (x) x→0 2 tan x esin22x − 1 sin22x x = lim 2x = 0 x→0 sin22x 4x2 tan x Vậy α (x) = o (β (x)). c. Ta có √ α (x) 3 1 + 3x2 − 1 lim = lim x→0 β (x) x→0 √ sin2x 3 1 + 3x2 − 1 x2 = 3 lim = 1 x→0 3x2 sin2x Vậy α(x) ∼ β(x). d. Ta có α (x) arctan (sin 2x) lim = lim x→0 β (x) x→0 arcsin (tan 2x) arctan (sin 2x) sin 2x tan 2x = lim = 1 x→0 sin 2x tan 2x arcsin (tan 2x) Vậy α(x) ∼ β(x). Định lý 1.2. Cho α(x), β(x) và γ(x) là ba VCB khi x → a. Khi đó, 1. α(x) ∼ α(x). 2. Nếu α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) thì α(x) ∼ γ(x). 3. Nếu α(x) ∼ β(x) và γ(x) = o(α(x)) thì α (x) + γ (x) ∼ β (x). 4. Nếu α(x) ∼ α′(x), β(x) ∼ β′(x) thì α(x)β(x) ∼ α′(x)β′(x). 5. Nếu α(x) ∼ β(x) thì αn(x) ∼ βn(x) với n ∈ N. Trang 21
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM α (x) 6. Nếu α(x) ∼ α′(x), β(x) ∼ β′(x) và lim tồn tại thì x→a β (x) α (x) α′ (x) lim = lim x→a β (x) x→a β′ (x) α (x) 7. Nếu γ(x) = o(α(x)) và lim tồn tại thì x→a β (x) α (x) + γ (x) α (x) lim = lim x→a β (x) x→a β (x) 8. Nếu β(x) = o(α(x)) và γ(x) = o(α(x)) thì β(x) + γ(x) = o(α(x)). Nhận xét 1.3. Từ Định lý 1.2 ta rút được hai kết quả quan trọng sau: • Trong quá trình tính giới hạn, ta có thể thay thế các VCB tương đương với nhau (các trường hợp ngoại lệ khi thay sẽ dẫn tới kết quả sai, ta sẽ xét trong những phần sau). • Có thể loại bỏ các VCB bậc cao trong quá trình tính giới hạn (cách thức loại bỏ bạn đọc xem kĩ trong các ví dụ mà tác giả trình bày). Một số cặp VCB tương đương thường được sử dụng trong bài giảng: Cho lim u = 0, khi đó x→a • sin u ∼ u, tan u ∼ u khi x → a. • arcsin u ∼ u, arctan u ∼ u khi x → a. 1 • 1 − cos u ∼ u2 khi x → a. 2 • eu − 1 ∼ u khi x → a. • ln(1 + u) ∼ u khi x → a. √ u • n 1 + u − 1 ∼ khi x → a. n Ví dụ 1.29. Tính các giới hạn sau: sin 3x tan (sin 2x) a. lim c. lim x→0 x ( ) x→0 sin (tan 3x) 2 √ 1 − cos sin x 2 − b. lim 1 + 2sin x 1 → 4 d. lim x 0 arcsin 2x x→0 tan2x Trang 22
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. a. Khi x → 0 ta có sin 3x ∼ 3x, ta suy ra sin 3x 3x lim = lim = 3 x→0 x x→0 x b. Khi x → 0 ta có ( ) 1 1 1 − cos sin2x ∼ sin4x ∼ x4 2 2 arcsin42x ∼ 16x4 ( ) 1 − cos sin2x 1 x4 1 Do đó lim = lim 2 = . x→0 arcsin42x x→0 16x4 32 c. Khi x → 0 ta có tan (sin 2x) ∼ sin 2x ∼ 2x sin (tan 3x) ∼ tan 3x ∼ 3x tan (sin 2x) 2x 2 Do đó lim = lim = . x→0 sin (tan 3x) x→0 3x 3 d. Khi x → 0 ta có √ 1 + 2sin2x − 1 ∼ sin2x ∼ x2 tan2x ∼ x2 √ 1 + 2sin2x − 1 x2 Do đó lim = lim = 1. x→0 tan2x x→0 x2 Ví dụ 1.30. Tính các giới hạn sau: earctan2x − 1 ln (cos 3x) a. lim ( ) c. lim x→0 ln 1 − 3sin2x x→0 arcsin√ 22x ( ) x 2 e − 1 2 x2 − √ b. lim x e 1 d. lim 2 x→+∞ x→0+ tan x Giải. a. Khi x → 0 ta có arctan2x − ∼ 2 ∼ 2 e ( 1 )arctan x x ln 1 − 3sin2x ∼ −3sin2x ∼ −3x2 earctan2x − 1 x2 1 Do đó lim ( ) = lim = − . x→0 ln 1 − 3sin2x x→0 −3x2 3 b. Khi x → +∞ ta có 2 2 e x2 − 1 ∼ x2 Trang 23
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ( ) 2 2 2 2 Do đó lim x e x2 − 1 = lim x = 2. x→+∞ x→+∞ x2 c. Khi x → 0 ta có 9 ln (cos 3x) ∼ cos 3x − 1 ∼ − x2 2 arcsin22x ∼ 4x2 9 − 2 ln (cos 3x) x 9 Do đó lim = lim 2 = − . x→0 arcsin22x x→0 4x2 8 Ví dụ 1.31. Tính các giới hạn sau: √ sin22x + arcsin4x 1 + 2x − 1 + sin2x a. lim c. lim x→0 tan x2 + (ex − 1)3 x→0 etan 2x − 1 cos (sin x) − 1 ln (cos 2x) + arcsin (1 + 2x) d. lim b. lim → 2 3 x→0 ln (1 + 2x2) + sin x x 0 arctan x + tan x Giải. a. Khi x → 0 ta có sin22x ∼ 4x2; arcsin4x ∼ x4 tan x2 ∼ x2;(ex − 1)3 ∼ x3 ( ) Ta suy ra arcsin4x = o sin22x ;(ex − 1)3 = o (tan x2). Do đó sin22x + arcsin4x 4x2 lim = lim = 4 x→0 tan x2 + (ex − 1)3 x→0 x2 b. Khi x → 0 ta có ln (cos 2x) ∼ cos 2x − 1 ∼ −2x2; arcsin (1 + 2x) ∼ 2x ln (1 + 2x2) ∼ 2x2; sin x ∼ x ln (cos 2x) + arcsin (1 + 2x) 2x Do đó lim = lim = 2. x→0 ln (1 + 2x2) + sin x x→0 x c. Khi x → 0 ta có √ 1 + 2x − 1 ∼ x; sin2x ∼ x2; etan 2x − 1 ∼ tan 2x ∼ 2x √ 1 + 2x − 1 + sin2x x 1 Do đó lim = lim = . x→0 etan 2x − 1 x→0 2x 2 d. Khi x → 0 ta có 1 1 cos (sin x) − 1 ∼ − sin2x ∼ − x2 2 2 arctan2x ∼ x2; tan x3 ∼ x3 cos (sin x) − 1 − 1 x2 1 Do đó lim = lim 2 = − . x→0 arctan2x + tan x3 x→0 x2 2 Trang 24
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 1.32. Cho hàm số f (x) = ln (1 + 2x) + (e2x − 1)2 − arcsin33x. Khi x → 0, chọn khẳng định đúng a. f (x) ∼ x2 b. f (x) ∼ −x3 c. f (x) ∼ 2x d. f (x) ∼ x Giải. Khi x → 0 ta có ( ) ln (1 + 2x) ∼ 2x; e2x − 1 2 ∼ 4x2; arcsin33x ∼ 27x3 Ta suy ra (e2x − 1)2 = o (ln (1 + 2x)) ; arcsin33x = o (ln (1 + 2x)). Do đó f (x) ∼ 2x. Phương án đúng là c. √ (√ ) Ví dụ 1.33. Cho hàm số f (x) = tan2 ( x)+tan (2x2)− 1 + x2 − 1 sin x. Khi x → 0+, chọn khẳng định đúng a. f(x) ∼ x b. f(x) ∼ −x c. f(x) ∼ x2 d. f(x) ∼ −x2 Giải. Khi x → 0+ ta có ( ) (√ ) ( ) √ x3 tan2 x ∼ x; tan 2x2 ∼ 2x2; 1 + x2 − 1 sin x ∼ 2 √ (√ ) √ Ta suy ra tan (2x2) = o (tan2 ( x)) ; 1 + x2 − 1 sin x = o (tan2 ( x)). Do đó f(x) ∼ x. Phương án đúng là a. { x = e2t − 1 Ví dụ 1.34. Cho hàm số có phương trình tham số . Khi y = t3 − t2 x → 0, chọn khẳng định đúng 1 1 a. y ∼ x3 b. y ∼ −x3 c. y ∼ − x2 d. y ∼ x2 4 4 Giải. Khi x → 0 ta có e2t − 1 → 0, suy ra t → 0. Khi t → 0 ta được x ∼ 2t; y ∼ −t2 1 Do đó y ∼ − x2. Phương án đúng là c. 4 Định nghĩa 1.9. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a (a có thể là ±∞) nếu lim α (x) = ±∞ x→a Ví dụ 1.35. Một số VCL thường gặp: Trang 25
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1. α (x) = xc (c > 0) là VCL khi x → +∞. 2. ax với a > 1 là VCL khi x → +∞. 3. ax với 0 < a < 1 là VCL khi x → −∞. π 4. tan x là VCL khi x → ± . 2 5. cot x là VCL khi x → ±0. 1 6. là VCL khi x → ±0. x 7. ln x là VCL khi x → 0+ hoặc x → +∞. Tính chất 1.4. Cho α(x) và β(x) là hai VCL khi x → a. Khi đó • Hàm số (kα)(x) = kα (x) , k ∈ R∗ là VCL khi x → a. • Hàm số (αβ)(x) = α (x) β (x) là VCL khi x → a. 1 • Hàm số là VCB khi x → a. α(x) Chú ý 1.2. Tổng hai VCL chưa chắc là một VCL. Ta xét ví dụ đơn giản sau: Hai hàm số α(x) = x2 và β(x) = −x2 là VCL khi x → +∞, nhưng tổng α(x) + β(x) = 0 không là VCL khi x → +∞. Một hàm bị chặn nhân với một VCL chưa chắc là một VCL. Xét ví dụ sau: Hàm số α(x) = 0 là hàm bị chặn, hàm số β(x) = x là VCL khi x → +∞, nhưng tích α(x)β(x) = 0 không là VCL khi x → +∞. Định nghĩa 1.10. Cho α(x) và β(x) là hai VCL khi x → a. Đặt α (x) k = lim (giả thiết là giới hạn tồn tại), khi đó x→a β (x) • Nếu k = 0, ta nói β(x) là VCL bậc cao hơn α(x), ký hiệu β (x) ≫ α(x). • Nếu k = ±∞ thì α(x) ≫ β(x). • Nếu k ≠ 0, k ≠ ±∞ thì ta nói α(x) và β(x) là hai VCL cùng bậc. Trường hợp k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCL tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x). Trang 26
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.5. Từ Định nghĩa 1.10 và kết quả ở những phần trước ta được một số kết quả quan trọng sau: • xa ≫ xb(a > b > 0) khi x → +∞. • xa ≫ lnb x(a, b > 0) khi x → +∞. • ax ≫ bx(a > b > 1) khi x → +∞. • ax ≫ xb(a > 1, b > 0) khi x → +∞. • xcx ≫ ax(a > 1, c > 0) khi x → +∞. Định lý 1.3. Cho α(x), β(x) và γ(x) là ba VCL khi x → a. Khi đó 1. α(x) ∼ α(x). 2. Nếu α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) thì α(x) ∼ γ(x). 3. Nếu α(x) ∼ β(x) và α(x) ≫ γ(x) thì α (x) + γ (x) ∼ β (x). 4. Nếu α(x) ∼ α′(x), β(x) ∼ β′(x) thì α(x)β(x) ∼ α′(x)β′(x). 5. Nếu α(x) ∼ β(x) thì αn(x) ∼ βn(x) với n ∈ N. α (x) 6. Nếu α(x) ∼ α′(x), β(x) ∼ β′(x) và lim tồn tại thì x→a β (x) α (x) α′ (x) lim = lim x→a β (x) x→a β′ (x) α (x) 7. Nếu α(x) ≫ γ(x) và lim tồn tại thì x→a β (x) α (x) + γ (x) α (x) lim = lim x→a β (x) x→a β (x) Nhận xét 1.4. Từ Định lý 1.2 ta rút được hai kết quả quan trọng sau: • Trong quá trình tính giới hạn, ta có thể thay thế các VCL tương đương với nhau. • Có thể loại bỏ các VCL bậc thấp, hàm bị chặn, các hằng số trong quá trình tính giới hạn. Trang 27
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 1.36. Tính các giới hạn sau: 3x4 + x2 − x + 1 4x + x3 + 1 a. lim c. lim x→+∞ 2x4 + x3 + 2 x→+∞ 5x + x10 + 1 x + ln2x + 1 xx + 5x + x3 b. lim d. lim x→+∞ 2x + sin x + 2 x→+∞ 2xx + 4x + x2 Giải. Áp dụng Tính chất 1.5 và Đinh lý 1.3 ta được 3x4 + x2 − x + 1 3x4 3 a. lim = lim = . x→+∞ 2x4 + x3 + 2 x→+∞ 2x4 2 x + ln2x + 1 x 1 b. lim = lim = . x→+∞ 2x + sin x + 2 x→+∞ 2x 2 4x + x3 + 1 4x c. lim = lim = 0. x→+∞ 5x + x10 + 1 x→+∞ 5x xx + 5x + x3 xx 1 d. lim = lim = . x→+∞ 2xx + 4x + x2 x→+∞ 2xx 2 1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.11. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau đây: 1. Hàm số f(x) xác định tại điểm a, tức a ∈ D. 2. Tồn tại lim f (x). x→a 3. lim f (x) = f (a). x→a Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên D nếu f(x) liên tục lại mọi điểm thuộc D. Hàm số f(x) không liên tục lại a thì ta nói f(x) gián đoạn tại a. Ví dụ 1.37. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x + 1 tại điểm x = 1. Giải. Ta có • f(1) = 3. Trang 28
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • lim f (x) = lim (2x + 1) = 3 x→1 x→1 Ta thấy lim f (x) = f (1) nên f(x) liên tục tại x = 1. x→1 Ví dụ 1.38. Cho hàm f(x) xác định như sau:   3 − x 1 ̸ − nếu x = 1 f (x) =  x 1 4 nếu x = 1 Xét tính liên tục của f(x) tại x = 1. Giải. Ta có • f (1) = 4. x3 − 1 • lim f (x) = lim = lim (x2 + x + 1) = 3. x→1 x→1 x − 1 x→1 Ta thấy lim f (x) ≠ f (1) nên f(x) gián đoạn tại x = 1. x→1 Ví dụ 1.39. Cho hàm số f(x) xác định như sau:  ( )  2 4 arcsin 2x + ln (1 + 2x ) ∈ −π π \{ } 2 nếu x , 0 f (x) =  sin x + x4 8 8 3a + 1 nếu x = 0 Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0. Giải. Ta có • f(0) = 3a + 1. arcsin22x + ln (1 + 2x4) 4x2 • lim = lim = 4. x→0 sin2x + x4 x→0 x2 Hàm f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi 3a + 1 = 4 hay a = 1. Nhận xét 1.5. Các hàm số sơ cấp cơ bản: các đa thức, các hàm phân x ̸ ̸ thức hữu tỉ, hàm mũ a (0 < a = 1), hàm loga loga x(0 < a = 1), các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x, các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan x đều liên tục trên tập xác định của nó. Các hàm số được tạo ra từ các hàm số sơ cấp cơ bản nhờ việc thực hiện một số hữu hạn một phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép lấy hàm hợp thông qua các hàm sơ cấp cơ bản cũng liên tục trên tập xác định của nó. Trang 29
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 1.12. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Hàm số f(x) được gọi là liên tục phải (trái) tại điểm x = a ∈ D nếu ( ) lim f (x) = f (a) lim f (x) = f (a) x→a+ x→a− √ Ví dụ 1.40. Hàm số f(x) = x liên tục phải tại x = 0 nhưng không liên tục trái tại x = 0 (vì lim f (x) không tồn tại). → − √x 0 Hàm số f(x) = 1 − x liên tục trái tại x = 1 nhưng không liên tục phải tại điểm này.   1 nếu x > 0 Hàm số sign (x) =  0 nếu x = 0 không liên tục trái và liên tục −1 nếu x < 0 phải tại x = 0. Chú ý 1.3. Hàm số f(x) được gọi là liên tục trong đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b), đồng thời f(x) liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. Định lý 1.4. Hàm số f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi f(x) liên tục phải và liên tục trái tại x = a, cụ thể hơn ta có lim f (x) = f (a) ⇔ lim f (x) = f (a) = lim f (x) x→a x→a+ x→a− Ví dụ 1.41. Cho hàm số f(x) xác định như sau: { x2 + x − 2 nếu x ≥ 1 f (x) = 1 − x nếu x < 1 Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x = 1. Giải. Ta có • f(1) = 0. • lim f (x) = lim (x2 + x − 2) = 0. x→1+ x→1+ Trang 30
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • lim f (x) = lim (1 − x) = 0. x→1− x→1− Ta thấy lim f (x) = lim f (x) = f (1). x→1− x→1+ Do đó f(x) liên tục tại x = 1. Ví dụ 1.42. Cho hàm số f(x) xác định bởi:   sin2x + arctan x nếu x > 0 f (x) =  2x 1 + 2x nếu x ≤ 0 Xác định tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0. Giải. Ta có • f(0) = 1. sin2x + arctan x x 1 • lim f (x) = lim = lim = . x→0+ x→0+ 2x x→0+ 2x 2 • lim f (x) = lim (1 + 2x) = 1. x→0− x→0− Ta thấy lim f (x) ≠ lim f (x) nên f(x) không liên tục tại x = 0. x→0− x→0+ Ví dụ 1.43. Cho hàm số f(x) xác định như sau: { 1 (cos 2x) arctan2x nếu x > 0 f (x) = 2x + a nếu x ≤ 0 Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0. Giải. Ta có • f (0) = a. −2x2 1 ln(cos 2x) lim + x2 −2 • lim f (x) = lim (cos 2x) arctan2x = lim e arctan2x = ex→0 = e . x→0+ x→0+ x→0+ • lim f (x) = lim (2x + a) = a. x→0− x→0− Hàm số f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi a = e−2. Trang 31
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 1.13. Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Giả sử f(x) gián đoạn tại điểm a. Ta nói rằng • a là điểm gián đoạn bỏ được của f(x), nếu tồn tại giới hạn trái, phải tại a và lim f (x) = lim f (x). x→a+ x→a− • a là điểm gián đoạn loại I của f(x), nếu tồn tại giới hạn trái, phải tại a và lim f (x) ≠ lim f (x). Trong trường hợp này, giá x→a+ x→a− trị lim f (x) − lim f (x) được gọi là bước nhảy của f(x) tại a. x→a+ x→a− • Trong những trường hợp còn lại a được gọi là điểm gián đoạn loại II. arctan x Ví dụ 1.44. Hàm số y = mặc dù không xác định tại 0, nhưng 0 x arctan x là điểm gián đoạn bỏ được của nó vì lim = 1. Nếu đặt x→0 x { arctan x với x ≠ 0 f (x) = x 1 với x = 0 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0. { x2 + x + 1 với x > 0 Hàm số f (x) = có x = 0 là điểm gián đoạn 2x − 1 với x ≤ 0 loại I vì lim f (x) = 1 ≠ lim f (x) = −1. x→0+ x→0+ 1 Hàm số y = có x = 0 là điểm gián đoạn loại II. x BÀI TẬP Bài tập 1.1. Tính các giới hạn sau: x5 + 1 x2 − 5x + 4 a. lim c. lim x→−1√x4 + 1 √ x→1 √ x3 − 1 2 + x − 2 − x 3 x + 8 − 2 b. lim d. lim √ x→0 x x→0 4 x + 1 − 1 Bài tập 1.2. Tính các giới hạn sau: Trang 32
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM √ xn − 1 n x − 1 a. lim (m, n ∈ N) c. lim √ (m, n ∈ N) x→1 xm −√1 x→1 (m x − 1 ) 3 − 6 + x 1 3 b. lim √ d. lim − x→3 2 − 7 − x x→1 x − 1 x3 − 1 Bài tập 1.3. Tính các giới hạn sau: (x + 1)3 (x + 1)4 + (x − 1)4 a. lim c. lim x→+∞ (√x3 + 2 √ ) x→−∞ (√ x4 √ ) b. lim x2 + 1 − x2 − 1 d. lim 3 x2 + x − 3 x2 − x x→±∞ x→±∞ Bài tập 1.4. Tính các giới hạn sau: sin x x2 + sin2x a. lim c. lim x→+∞ x x→+∞ x2 − cos x ax d. lim ax (0 1) c. lim (a > 1, n ∈ N) x→+∞ x→+∞ xn x (a + b)x b. lim n (n ∈ N) x→+∞ d. lim (a, b > 0) (ln x) x→+∞ x (ax + bx) P (x) Bài tập 1.8. Tính giới hạn lim với P (x),Q(x) là hai đa thức. x→±∞ Q (x) ( ) 1 Bài tập 1.9. Chứng minh rằng lim ax + = +∞ với mọi a > 0. x→±∞ ax Bài tập 1.10. Tính các giới hạn sau: sin x − sin a sin (x2 − 3x + 2) a. lim c. lim x→a x − a x→1 x − 1 x3 + 1 sin (sin 3x) b. lim d. lim x→−1 sin (x + 1) x→0 x Trang 33
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 1.11. Tính các giới hạn sau: ( ) 2014 x + sin 4x a. lim x sin c. lim x→+∞ x x→0 2x − sin x cos x sin πx d. lim b. lim x→ π 4x2 − π2 x→1 x3 − 1 2 Bài tập 1.12. Tính các giới hạn sau: √ tan ( x − 1) tan x − tan a a. lim c. lim x→1 x2 − 1 x→a tan (x − a) tan nx πx b. lim d. lim (1 − x) tan x→π x2 − π2 x→1 2 Bài tập 1.13. Tính các giới hạn sau: (√ ) arctan x + 1 − 1 arcsin (x2 − 4x + 4) a. lim c. lim x→0 sin 2x x→2 x3 − 3x − 2 arcsin (tan πx) arctan (1 − cos x) b. lim d. lim x→1 x − 1 x→0 x2 ( ) 1 Bài tập 1.14. Tính giới hạn lim x2 sin . x→+∞ 1 + 2 + + [x] Bài tập 1.15. Tính các giới hạn sau: √ √ tan2 x arcsin2 1 − x a. lim c. lim √ x→0+ sin x x→1− x − 1 1 b. lim xe x d. lim x ln x x→0− x→0+ Bài tập 1.16. Chứng minh rằng lim xα(ln x)β = 0 (α, β > 0). x→0+ Bài tập 1.17. Tính các giới hạn sau: ( ) 2 x 1 x + x + 1 a. lim (cos 3x) sin2x c. lim x→0 x→+∞ (x2 − x)+ 1 1 x b. lim (1 + sin x) x a ∈ R x→0 d. lim 1 + (a ) x→+∞ x Bài tập 1.18. Tính các giới hạn sau: √ √ 1 + 2sin2x − 1 4 81 + 3x − 3 a. lim c. lim √ x→0 √ tan2x x→0 √3 27 − 3x − 3 5 x − 2 − 2 − b. lim √ x + 2x 1 x→32 − d. lim 2 2x 8 x→1 (x2 − 1) Bài tập 1.19. Tính các giới hạn sau: cos x2 − cos x 1 − (sin x + cos x) a. lim c. lim x→0 x2 x→0 √ x √ 1 − cos32x 1 + cos x − 2 b. lim d. lim x→0 x2 x→0 x2 Trang 34
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 1.20. Tính các giới hạn sau: ln (sin x + cos x) a. lim c. lim x [ln (x + 1) − ln x] x→0 x ( ) x→+∞√ 1 x+1−1 b. lim (x − 1) e x − 1 e − 1 x→+∞ d. lim x→0 sin x Bài tập 1.21. Tính các giới hạn sau: √ √ x2 + x + x2 + 1 3x + 2x + x2 a. lim c. lim x→+∞ x + ln3 (x + 1) x→+∞ 3x + ln x + 1 x x x2x + 5x + 1 e + 3 2 + x b. lim d. lim x x→+∞ 3x2x + x3 + 1 x→+∞ 2ex + 3 2 + 1 Bài tập 1.22. Tính các giới hạn sau: arcsin (tan23x) ln (tan x) a. lim (√ ) c. lim x→0 x 2 3 → π − (e − 1) + 1 + x − 1 x 4 4x π (1 − cos 2x) + sin2x sin (2x − x2) + tan2x b. lim d. lim 2 x→0 ln (cos x) + x3 x→0 ln (1 + 3x) + sin 2x (√ ) √ Bài tập 1.23. Cho hàm số f (x) = x + 1 − 1 + sin x − (ex − 1)2. Khi x → 0+, ta chọn khẳng định đúng √ √ a. f(x) ∼ x b. f(x) ∼ −x c. f(x) ∼ x d. f(x) ∼ − x { x = ln (1 + 2t) Bài tập 1.24. Cho hàm số . Khi x → 0, ta chọn y = sin t + tan22t khẳng định đúng x x x2 x2 a. y ∼ b. y ∼ − c. y ∼ d. y ∼ − 2 2 2 2  1  arctan nếu x < 1 − 2 Bài tập 1.25. Cho hàm số y = (x 1) . Tìm a để  x2 + 3x + a nếu x ≥ 1 x2 + 1 f(x) liên tục tại x = 1.   π 1  + arctan nếu x < 1 2 − 3 Bài tập 1.26. Cho hàm số y = (x 1) . Tìm  (x − 1)2a  nếu x ≥ 1 x2 + 2x − 3 a để f(x) liên tục tại x = 1.   x sin x + ln (1 + 2x) 1 nếu < x < 0 Bài tập 1.27. Cho hàm số y =  sin x 2 . x2 + sin x + a nếu x ≥ 0 Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0. Trang 35
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM   x sin x + 2tan2x nếu x < 0 Bài tập 1.28. Cho hàm số y =  x2 . Với giá cos2x + 2a nếu x ≥ 0 trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0.   x tan x nếu x ≠ 0 ln (1 + x2) Bài tập 1.29. Cho hàm số f (x) =  . Với giá trị 2a + 1 nếu x = 0 nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0. { cos x nếu x ≠ 0 Bài tập 1.30. Cho hàm số y = x . Với giá trị nào của a nếu x = 0 a thì hàm số liên tục tại x = 0.   arcsin x + sin2 2x nếu x ∈ (−1; 1) \{0} Bài tập 1.31. Cho hàm số y =  tan x . 2a + 1 nếu x = 0 Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0. Trang 36
Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm của hàm số Định nghĩa 2.1. Cho f(x) xác định trong khoảng (a, b). Ta nói rằng f(x) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn (có thể vô hạn) ′ f (x0 + h) − f (x0) f (x0) = lim h→0 h ′ f (x0) được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. ′ Trường hợp f (x0) hữu hạn ta nói f(x) khả vi tại x0. Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f(x) khả vi trên (a, b). Nhận xét 2.1. Nếu hàm số f(x) khả vi tại x0 thì f(x) sẽ liên tục tại x0 nhưng f(x) liên tục tại x0 thì ta không suy ra được f(x) khả vi tại x0. Năm 1872 Karl Weierstrass đã xây dựng một hàm số liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào. Ta có thể định nghĩa đạo hàm một phía như sau: − • ′ f (x0 + h) f (x0) f+ (x0) = lim (đạo hàm phía phải). h→0+ h ′ f (x0 + h) − f (x0) • f− (x0) = lim (đạo hàm phía trái). h→0− h 37
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Hàm số f(x) được gọi là khả vi trên đoạn [a, b] nếu f(x) khả vi trên khoảng (a, b), có đạo hàm phía phải tại a và đạo hàm phía trái tại b. Ví dụ 2.1. Cho hàm số f(x) = x3. Tính f ′(1). Giải. Ta có f (1 + h) − f (1) (1 + h)3 − 1 ( ) = = h2 + 3h + 3 h h Khi đó f ′ (1) = lim (h2 + 3h + 3) = 3. h→0 Ví dụ 2.2. Cho hàm số f(x) = sin x. Tính f ′(0). Giải. Ta có f (0 + h) − f (0) sin h = h h sin h Khi đó f ′ (0) = lim = 1. h→0 h Ví dụ 2.3. Cho hàm số f(x) = cos x. Tính f ′(0). Giải. Ta có f (0 + h) − f (0) cos h − 1 = h h cos h − 1 − 1 h2 Khi đó f ′ (0) = lim = lim 2 = 0. h→0 h h→0 h Ví dụ 2.4. Cho hàm số f(x) = ex. Tính f ′(a) với a ∈ R. Giải. Ta có ( ) f (a + h) − f (a) ea+h − ea ea eh − 1 = = h h h ( ) ea eh − 1 Khi đó f ′ (a) = lim = ea. h→0 h   2 1 x sin nếu x ≠ 0 ′ Ví dụ 2.5. Cho hàm số f (x) =  x . Tính f (0). 0 nếu x = 0 Giải. Ta có f (h) − f (0) h2 sin 1 1 = h = h sin h h h 1 1 Khi đó f ′ (0) = lim h sin = 0 (vì sin là hàm bị chặn). h→0 h h Trang 38
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM √ ′ Ví dụ 2.6. Cho hàm số f(x) = x x. Tính f+(0). Giải. Với h > 0 ta có √ f (h) − f (0) h h √ = = h h h √ ′ Khi đó f+ (0) = lim h = 0. h→0+ 2 ′ Ví dụ 2.7. Cho hàm số f(x) = 2x + |x|. Tính f−(0). Giải. Với h < 0 ta có f (h) − f (0) 2h2 + |h| − 0 2h2 − h = = = 2h − 1 h h h ′ Khi đó f−(0) = lim (2h − 1) = −1. h→0−   1 ̸ x cos 2 nếu x = 0 ′ Ví dụ 2.8. Cho hàm số f (x) =  x . Tính f (0). 0 nếu x = 0 Giải. Ta có 1 f (h) − f (0) h cos 2 1 = h = cos h h h2 1 Vì lim cos không tồn tại nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0. h→0 h2 1 Nhận xét 2.2. Trong Ví dụ 2.8, nếu lim cos = a ∈ R thì lim cos x = a h→0 h2 x→+∞ 1 (chỉ cần đặt x = ). Khi đó h2 a = lim cos x = lim cos (x + π) = lim − cos x = −a x→+∞ x→+∞ x→+∞ π Ta suy ra a = 0. Mặt khác sin x = cos(x − ) nên 2 ( ) π lim sin x = lim cos x − = a = 0 x→+∞ x→+∞ 2 ( ) Khi đó 1 = lim cos2x + sin2x = lim cos2x+ lim sin2x = 0 (vô lý). x→+∞ x→+∞ x→+∞ Định lý 2.1. Hàm số f(x) có đạo hàm tại a khi và chỉ khi f(x) có ′ ′ đạo hàm hai phía tại a và f+ (a) = f− (a). Trang 39
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM | | ′ ̸ ′ − Ví dụ 2.9. Hàm f (x) = x không khả vi tại 0 vì f+ (0) = 1 = f− (0) = 1. { x2 + x + 1 nếu x ≥ 0 Ví dụ 2.10. Cho hàm số f (x) = . Tính f ′(0). x + 1 nếu x 0 x ′ Ví dụ 2.11. Cho hàm số f (x) =  π . Tính f (0). sin x nếu x ≤ 0 2 Giải. Ta có 1 − h arctan • ′ f (h) f (0) h 1 π f+ (0) = lim = lim = lim arctan = . h→0+ h h→0+ h h→0+ h 2 π − sin h ′ f (h) f (0) 2 π • f− (0) = lim = lim = . h→0− h h→0− h 2 π π Ta thấy f ′ (0) = f ′ (0) = nên f ′(0) = . − + 2 2 Tính chất 2.1. Cho f(x), g(x) xác định và khả vi trong khoảng (a, b), khi đó ′ 1. [αf (x) + βg (x)] = αf ′ (x) + βg′ (x) , ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ (a, b). ′ 2. [f (x) g (x)] = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) , ∀x ∈ (a, b). [ ]′ f (x) f ′ (x) g (x) − f (x) g′ (x) 3. = , ∀x ∈ (a, b) nếu g(x) ≠ 0. g (x) g2 (x) 4. Nếu u(x) liên tục trên [a, b], khả vi tại x0 ∈ (a, b), f(x) xác định trên khoảng D chứa miền giá trị của u(x) và f(x) khả vi tại u(x0) thì hàm số hợp h = f ◦ u khả vi tại x0 và ′ ′ ′ ′ h (x0) = [f (u (x0))] = f (u (x0)) u (x0) Trang 40
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ′ 5. Nếu f(x) khả vi trong khoảng (a, b) chứa x0 sao cho f (x) liên tục trong (a, b) và f ′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) thì tồn tại hàm ngược x = f −1(y) −1 trong khoảng (c, d) nào đó của y0 = f(x0), f (y) khả vi tại y0 và ′ 1 x (y0) = ′ f (x0) Để tính được đạo hàm, ta phải nắm rõ bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp và vận dụng thành thạo Tính chất 2.1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp Hàm số Đạo hàm xα uα αxα−1 αuα−1.u′ 1 u′ ln x ln u x u 1 u′ loga x loga u x ln a u. ln a sin x sin u cos x cos u.u′ cos x cos u − sin x − sin u.u′ 1 u′ tan x tan u cos2 x cos2 u 1 u′ cot x cot u − 2 − 2 sin x sin′ u arcsin x arcsin u √ 1 √ u 1−x2 1−u2 ′ arccos x arccos u − √ 1 − √ u 1−x2 1−u2 1 u′ arctan x arctan u 1+x2 1+u2 ex eu ex eu.u′ ax au ax. ln a au. ln a.u′ √ √ ′ √1 √u x u 2 x 2 u √ √ ′ n x n u √1 √u n n xn−1 n n un−1 1 1 − 1 − u′ x u x2 u2 Ví dụ 2.12. Tính đạo hàm các hàm số sau: a. f (x) = (x3 + 1)100 c. f (x) = sin (sin x + x2) b. f (x) = 3arcsin x d. f (x) = ln (arctan x + x) Giải. Sử dụng bảng đạo hàm trên ta được ′ a. f ′ (x) = 100(x3 + 1)99(x3 + 1) = 300x2(x3 + 1)99. arcsin x ′ 3 ln 3 b. f ′ (x) = 3arcsin x ln 3(arcsin x) = √ . 1 − x2 ′ c. f ′ (x) = (sin x + x2) cos (sin x + x2) = (cos x + 2x) cos (sin x + x2). ′ 1 2 (arctan x + x) 2 + 1 x + 2 d. f ′ (x) = = x +1 = . arctan x + x arctan x + x (x2 + 1) (arctan x + x) Trang 41
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Chú ý 2.1. Việc tính đạo hàm của hàm f(x) = u(x)v(x) có đôi chút khó khăn. Phương pháp sau đây hay được sử dụng để tính f ′(x). Vì f(x) = u(x)v(x) nên ln f(x) = v(x) ln u(x), khi đó ′ ′ [ln f (x)] = [v (x) ln u (x)] f ′ (x) v (x) u′ (x) ⇔ = v′ (x) ln u (x) + f (x) ( u (x) ) v (x) u′ (x) ⇔ f ′ (x) = f (x) v′ (x) ln u (x) + u (x) Ví dụ 2.13. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = xx. ′ ′ Giải. Ta có ln f (x) = x ln x, suy ra [ln f (x)] = (x ln x) = ln x + 1. Do đó f ′ (x) = f (x) (ln x + 1) = xx (ln x + 1). ( ) 2 1 x Ví dụ 2.14. Tính đạo hàm của hàm số f (x) = 1 + . x ( ) 1 Giải. Ta có ln f (x) = x2 ln 1 + , suy ra x [ ( )]′ ( ) ′ 1 1 x [ln f (x)] = x2 ln 1 + = 2x ln 1 + − x x x + 1 ( ) 2 ( ( ) ) 1 x 1 x Do đó f ′ (x) = 1 + 2x ln 1 + − . x x x + 1 Định lý 2.2. (Đạo hàm của{ hàm phụ thuộc tham số) Cho hàm x = x (t) số có phương trình tham số t ∈ (α, β), trong đó hàm số y = y (t) x(t) khả vi và đơn điệu trong khoảng (α, β), y(t) khả vi trong (α, β). Khi đó ta có đẳng thức ′ ′ yt yx = ′ xt { x = et Ví dụ 2.15. Cho hàm số . Tính y′ và y′ (1). y = t2 + 2t x x Giải. Ta có ′ ′ y t 2t + 2 yx = ′ = t x t e t ′ Với x = 1 ta suy ra e = 1 hay t = 0. Do đó yx(1) = 2. Trang 42
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM { x = sin t ( ) Ví dụ 2.16. Cho hàm số t ∈ − π , π . Tính y′ và y′ (0). y = e2t − 2t 2 2 x x Giải. Ta có ′ 2t − ′ yt 2e 2 yx = ′ = xt cos t ′ Với x = 0 ta suy ra sin t = 0 hay t = 0. Do đó yx (0) = 0. 2.2 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 2.2. Cho hàm số f(x) xác định và khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó, f ′(x) cũng là hàm số nên có thể có đạo hàm. Ta ký hiệu đạo hàm của f ′(x) là f ′′(x) hoặc f (2)(x) và f ′′(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x). Cứ tiếp tục như thế ta xác định được các hàm số f (x) , f ′ (x) , f ′′ (x) , . . . , f (n) (x) trong đó f (i)(x) là đạo hàm của f (i−1)(x) với i = 1, n, qui ước f (0)(x) = f(x). f (n)(x) được gọi là đạo hàm cấp n của f(x). Ví dụ 2.17. Cho hàm số f(x) = ex2 . Tính f ′′(x). Giải. Ta có f ′(x) = 2xex2 . Do đó f ′′(x) = 2ex2 (1 + 2x2). Ví dụ 2.18. Cho hàm số f(x) = arctan x. Tính f ′′(0). 1 2x Giải. Ta có f ′ (x) = ; f ′′ (x) = − . Do đó f ′′(0) = 0. x2 + 1 (x2 + 1)2 Ví dụ 2.19. Cho hàm số f(x) = sin2 x. Tính f (4)(0). Giải. Ta có f ′ (x) = 2 sin x cos x = sin 2x f ′′ (x) = 2 cos 2x f (3) (x) = −4 sin 2x f (4) (x) = −8 cos 2x Do đó f (4)(0) = −8. Ví dụ 2.20. Cho hàm số f(x) = e2x. Tính f (2014)(0). Trang 43
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Ta có f ′ (x) = 2e2x f ′′ (x) = 22e2x f (3) (x) = 23e2x . . f (2014) (x) = 22014e2x Do đó f (2014)(0) = 22014. Tính chất 2.2. Cho f(x) và g(x) là hai hàm có đạo hàm cấp n trong khoảng (a, b), khi đó 1. [f (x) + g (x)](n) = f (n) (x) + g(n) (x) , ∀x ∈ (a, b). 2. [αf (x)](n) = αf (n) (x) , ∀x ∈ (a, b) , α ∈ R. ∑n (n) k (k) (n−k) ∀ ∈ 3. [f (x) g (x)] = Cnf (x) g (x), x (a, b). k=0 Bảng đạo hàm cấp n một số hàm sơ cấp Hàm số Đạo hàm cấp n (ax + b)n ann! n π sin(ax + b) a sin(ax + b + n 2 ) n π cos(ax + b) a cos(ax + b + n 2 ) 1 (−1)nn!an ax + b (ax + b)n+1 − (−1)n 1 (n − 1)!an ln(ax + b) (ax + b)n eax+b aneax+b cax+b ancax+b lnn c Ví dụ 2.21. Cho hàm số f(x) = xex. Tính f (100)(0). Giải. Áp dụng tính chất 3 ta được ∑100 x (100) k (k) x (100−k) (xe ) = C100(x) (e ) k=0 Ta đã biết (x)(0) = x, (x)(1) = 1, (x)(n) = 0 với n ≥ 2 và (ex)(n) = ex với mọi n ≥ 0 nên x (100) 0 x 1 x x x (xe ) = C100xe + C100e = xe + 100e Do đó f (100)(0) = 100. Trang 44
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1 Ví dụ 2.22. Cho hàm số f(x) = sin 3x + . Tính f (100)(0). x + 1 Giải. Ta có ( ) π (−1)100100!1100 100! f (100) (x) = sin 3x + 100 + = sin 3x + 2 (x + 1)101 (x + 1)101 Do đó f (100)(0) = 100!. Ví dụ 2.23. Cho hàm số f(x) = x cos x. Tính f (100)(0). Giải. Ta có ∑100 (100) k (k) (100−k) (x cos x) = C100(x) (cos x) k=0 ( ) π Vì (cos x)(n) = cos x + n với mọi n ∈ N nên 2 ( ) ( ) π π (x cos x)(100) = x cos x + 100 + 100 cos x + 99 2 2 = x cos x + sin x Khi đó f (100)(0) = 0. 1 Ví dụ 2.24. Cho hàm số f (x) = . Tính f (2014)(0). x2 − 3x + 2 Giải. Ta có 1 1 1 1 = = − x2 − 3x + 2 (x − 2) (x − 1) x − 2 x − 1 Do đó ( ) ( ) 1 (2014) 1 (2014) f (2014) (x) = − x −(2 x − 1 ) 1 1 = 2014! − (x − 2)2015 (x − 1)2015 ( ) 1 Ta suy ra f (2014) (0) = 2014! 1 − . 22015 Trang 45
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm Sau đây tác giả xin nêu một số kết quả quan trọng của đạo hàm, được sử dụng nhiều và có ứng dụng hay (các chứng minh độc giả có thể xem trong mục tại liệu tham khảo). Định nghĩa 2.3. Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b). Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu tăng (giảm) trong (a, b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a, b) sao cho x1 f(x2)). 3 Ví dụ 2.25. Hàm số f(x) = x là đơn điệu tăng trong R vì ∀x1, x2 ∈ R sao cho x1 0 nên f(x ) > f(x ). Vậy f(x) = x3 là 2 2 4 2 1 đơn điệu tăng trong R. − − π π ∀ ∈ Ví dụ 2.26. Hàm số f(x) = sin x giảm trong khoảng ( 2 , 2 ) vì x1, x2 − π π ( 2 , 2 ) sao cho x1 < x2 thì x + x x − x f (x ) − f (x ) = sin x − sin x = −2 cos 1 2 sin 2 1 2 1 1 2 2 2 − π π Ta suy ra f(x2) < f(x1) hay f(x) là hàm đơn điệu giảm trong ( 2 , 2 ). Ví dụ 2.27. Các hàm số f(x) = arctan x, ex tăng trong R. Hàm số f(x) = e−x giảm trong R. Định lý 2.3. Cho hàm số f(x) xác định và khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó, • Nếu f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đơn điệu tăng trong (a, b). • Nếu f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đơn điệu giảm trong (a, b). Trang 46
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 2.28. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = xex. Giải. Trước hết ta có f ′(x) = ex(x+1). Ta thấy f ′(x) 0, ∀x ∈ (−1, +∞) nên f(x) giảm trong khoảng (−∞, −1), tăng trong khoảng (−1, +∞). Ví dụ 2.29. Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( ) y = f (x) = 4 arctan 2x − ln 1 + 4x2 Giải. Ta có 8 8x 8 − 8x f ′ (x) = − = 1 + 4x2 1 + 4x2 1 + 4x2 Ta thấy f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 1) và f ′(x) 0, ∀x ∈ (−∞, 0) và f ′(x) f(x0)(f(x) < f(x0))∀x ∈ (c, d)\{x0} Định lý 2.4. (Định lý Fermat). Giả sử f(x) xác định trên (a, b) và đạt cực trị địa phương tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm ′ tại x0 thì f (x0) = 0. Trang 47
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Hệ quả 2.1. Giả sử f(x) xác định và khả vi trên (a, b), lấy x0 ∈ (a, b). Khi đó, ′ ′ • Nếu f (x0) = 0 và f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì f(x) đạt cực đại địa phương tại x0. ′ ′ • Nếu f (x0) = 0 và f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0. ′ ′ • Nếu f (x0) = 0 và f (x) không đổi dấu khi qua x0 thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Ví dụ 2.31. Khảo sát sự biến thiên và xác định cực trị của hàm số f(x) = xe−x. Giải. Ta tính được f ′ (x) = e−x (1 − x). Ta thấy f ′ (x) = 0 ⇔ x = 1 và f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 1); f ′(x) 0, ∀x ∈ ( , +∞); f ′(x) < 0, ∀x ∈ ( , ) e 10 e 1 ∞ 1 1 nên f(x) tăng trong khoảng ( e , + ); f(x) giảm trong khoảng ( 10 , e ); 1 − 1 e f(x) đạt cực tiểu tại xCD = e và yCD = e . Định lý 2.5. (Định lý Cauchy). Giả sử f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó, tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho: ′ ′ [f (b) − f (a)] g (x0) = [g (b) − g (a)] f (x0) Trang 48
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định lý Cauchy là một trong những định lý cơ bản của giải tích, có nhiều hệ quả hay. Sau đây là hai kết quả quan trọng, rất nổi tiếng được suy ra từ Định lý Cauchy. Hệ quả 2.2. (Định lý Roll). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) sao cho f(a) = f(b). Khi đó, tồn tại x0 ∈ (a, b) ′ sao cho f (x0) = 0. Hệ quả 2.3. (Định lý Lagrange). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó, tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho ′ f (b) − f (a) = (b − a) f (x0). Định lý Lagrange là công cụ chính để chứng minh Đinh lý 2.3. Định nghĩa 2.5. Cho hàm số f(x) xác định trong tập D ⊂ R. Giá trị M(m) được gọi là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f(x) trong D nếu hai điều kiện sau được thỏa: • f(x) ≤ M(f(x) ≥ m), ∀x ∈ D. • Tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M(f(x0) = m). ( ) Ta ký hiệu M = max f (x) m = min f (x) . x∈D x∈D Ví√ dụ 2.33. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = 100 − x2 trong đoạn [−8, 6]. √ √ Giải. Với mọi x ∈ [−8, 6] ta có 100 − x2 ≤ 100 − 02 = 10, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy max f (x) = f (0) = 10. x∈[−8,6] √ √ Tương tự 100 − x2 ≥ 100 − (−8)2 = 6, ∀x ∈ [−8, 6], đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = −8. Vậy min f (x) = f (−8) = 6. x∈[−8,6] √ √ Ví dụ 2.34. Tìm giá trị max và min của hàm số f(x) = x − 2 + 4 − x trong đoạn [2, 4]. Trang 49
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Ta có √ f 2 (x) = 2 + 2 (x − 2) (4 − x) √ 2 ≥ ⇔ ≥ suy ra f (x) 2 f (x) 2, đẳng thức√ xảy ra khi và chỉ khi x = 2 hoặc x = 4. Vậy min f (x) = f (2) = f (4) = 2. x∈[2,4] Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được f 2 (x) ≤ 2 + (x − 2) + (4 − x) = 4 ⇔ f(x) ≤ 2 đẳng thức xảy ra khi x = 3. Vậy max f (x) = f (3) = 2. x∈[2,4] Định lý 2.6. Cho hàm số f(x) liên tục trong [a, b] và khả vi trong ′ (a, b). Giả sử phương trình f (x) = 0 có k nghiệm xi, i = 1, k trong (a, b). Khi đó, • max f (x) = max {f (x1) , f (x2) , . . . , f (xk) , f (a) , f (b)}. x∈[a,b] • min f (x) = min {f (x1) , f (x2) , . . . , f (xk) , f (a) , f (b)}. x∈[a,b] Ví dụ 2.35. Tìm max và min của hàm số f(x) = x3 − 2x2 + x + 2 trong đoạn [0, 3]. Giải. Ta có f ′ (x) = 3x2 − 4x + 1. Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm 1 x = 1 và x = 3 đều thuộc khoảng (0, 3). Ta tính được ( ) 1 58 f (1) = 2; f = ; f (0) = 2; f (3) = 14 3 27 Do đó max f (x) = f (3) = 14 và min f (x) = f (0) = f (1) = 2. x∈[0,3] x∈[0,3] Ví dụ 2.36. Tìm max và min của hàm số f (x) = ex2−2x+2 trong đoạn [−1, 2]. Giải. Ta có f ′ (x) = (2x − 2) ex2−2x+2. Phương trình f ′(x) = 0 có nghiệm x = 1 thuộc khoảng (−1, 2). Ta tính được f (1) = e; f (−1) = e5; f (2) = e2 Do đó max f (x) = f (−1) = e5 và min f (x) = f (1) = e. x∈[−1,2] x∈[−1,2] Trang 50
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 2.4 Quy tắc L’Hospital 0 ∞ Quy tắc này thường dùng để tìm giới hạn dạng bất định 0 hoặc ∞ . Định lý 2.7. (Quy tắc L’Hospital). Giả sử f(x), g(x) là hai hàm số khả vi trong (a, b) và g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b), trong đó −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Giả sử có f ′ (x) lim ′ = L(L hữu hạn hoặc vô hạn) x→a+ g (x) Nếu lim f (x) = lim g (x) = 0 hoặc lim g (x) = ±∞ thì x→a+ x→a+ x→a+ f (x) f ′ (x) lim = lim ′ = L x→a+ g (x) x→a+ g (x) Ta cũng có kết quả tương tự nếu x → b−. f (x) Chú ý 2.2. Khi gặp giới hạn hai phía lim với x0 ∈ (a, b) thì ta vẫn x→x0 g (x) có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nếu các giả thiết trong quy tắc này thỏa mãn khi x tiến đến x0 theo cả hai phía trái và phải. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần nếu các giả thiết vẫn được thỏa mãn. Ví dụ 2.37. Dùng quy tắc L’Hospital tính các giới hạn sau: x − sin x tan x − x a. lim c. lim x→0 x3 x→0 x3 ex − 1 − x tan x − sin x b. lim d. lim x→0 x2 x→0 x3 Giải. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được x − sin x 1 − cos x sin x 1 a. lim = lim = lim = . x→0 x3 x→0 3x2 x→0 6x 6 ex − 1 − x ex − 1 ex 1 b. lim = lim = lim = . x→0 x2 x→0 2x x→0 2 2 tan x − x tan2x 1 c. lim = lim = . x→0 x3 x→0 3x2 3 tan x − sin x tan2x + 1 − cos x 3 x2 1 d. lim = lim = lim 2 = . x→0 x3 x→0 3x2 x→0 3x2 2 Trang 51
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 2.38. Dùng quy tắc L’Hospital tính các giới hạn sau: a. lim x ln x c. lim xne−x (n ∈ N) x→0+ x→+∞ ln (xa − aa) ln (cos x) b. lim (a > 1) d. lim x→a+ ln (x − a) x→0 x2 Giải. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được ln x 1 − x − a. lim x ln x = lim 1 = lim 1 = lim ( x) = 0. x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x2 ln (xa − aa) axa−1 (x − a) aa b. lim = lim = lim − = 1. x→a+ ln (x − a) x→a+ xa − aa x→a+ axa 1 c. Sử dụng quy tắc L’Hospital n lần liên tiếp ta được xn nxn−1 n! lim xne−x = lim = lim = = = 0 x→+∞ x→+∞ ex x→+∞ ex ex ln (cos x) tan x 1 d. lim = lim − = − . x→0 x2 x→0 2x 2 f (x) Nhận xét 2.3. Có nhiều trường hợp tồn tại lim nhưng không tồn x→x0 g (x) f ′ (x) tại lim ′ . x→x0 g (x) Ví dụ 2.39. Cho f(x) = x và g(x) = x + sin x. Khi đó giới hạn f (x) x + sin x lim = lim = 1 x→+∞ g (x) x→+∞ x trong khi đó giới hạn f ′ (x) lim = lim (1 + cos x) x→+∞ g′ (x) x→+∞ rõ ràng không tồn tại vì lim cos x không tồn tại. x→+∞ 2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin Định nghĩa 2.6. (Đa thức Taylor). Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm liên tục đến cấp n − 1 trên [a, b] và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại x0 ∈ [a, b]. Ta gọi đa thức Taylor cấp n của f(x) tại x0 là đa thức sau: ∑n f (k) (x ) P (x , f) = 0 (x − x )k n 0 k! 0 k=0 Trang 52
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định lý 2.8. (Khai triển Taylor với phần dư Peano). Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm liên tục đến cấp n − 1 trên [a, b] và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại x0 ∈ [a, b]. Khi đó, ∑n f (k) (x ) f (x) = P (x , f) + o(x − x )n = 0 (x − x )k + o(x − x )n n 0 0 k! 0 0 k=0 Với x0 = 0 ta có khai triển Maclaurin với phần dư Peano ∑n f (k) (0) f (x) = xk + o (xn) k! k=0 Ví dụ 2.40. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano hàm số f(x) = ex tới x3. Giải. Ta có f (x) = ex ⇒ f (0) = 1 f ′ (x) = ex ⇒ f ′ (0) = 1 f ′′ (x) = ex ⇒ f ′′ (0) = 1 f ′′′ (x) = ex ⇒ f ′′′ (0) = 1 Khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f(x) = ex tới x3 ∑3 f (k) (0) ( ) x2 x3 ( ) f (x) = xk + o x3 = 1 + x + + + o x3 k! 2! 3! k=0 Một cách tương tự ta có thể khai triển Maclaurin với phần dư Peano ∑n xk của hàm số f(x) = ex tới xn, cụ thể hơn ta có ex = + o (xn). k=0 k! Ví dụ 2.41. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f(x) = sin x tới x3. Giải. Ta có f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0 f ′ (x) = cos x ⇒ f ′ (0) = 1 f ′′ (x) = − sin x ⇒ f ′′ (0) = 0 f ′′′ (x) = − cos x ⇒ f ′′′ (0) = −1 Trang 53
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f(x) = sin x tới ∑3 f (k) (0) x3 x3 là sin x = xk + o (x3) = x − + o (x3). k=0 k! 6 Ví dụ 2.42. Khai triển Taylor với phần dư Peano của hàm số f(x) = cos(x − 1) tại x = 1 tới (x − 1)4. Giải. Ta có f (x) = cos (x − 1) ⇒ f (1) = 1 f ′ (x) = − sin (x − 1) ⇒ f ′ (1) = 0 f ′′ (x) = − cos (x − 1) ⇒ f ′′ (1) = −1 f ′′′ (x) = sin (x − 1) ⇒ f ′′′ (1) = 0 f (4) (x) = cos (x − 1) ⇒ f (4) (1) = 1 Khai triển Taylor với phần dư Peano của hàm số f(x) = cos(x−1) tại (x − 1)2 (x − 1)4 x = 1 tới (x − 1)4 là cos (x − 1) = 1 − + + o(x − 1)4. 2! 4! Nhận xét 2.4. Khai triển Taylor có tính chất địa phương, nó chỉ cho ta xấp xỉ giá trị của hàm f(x) trong lân cận khá bé của điểm xuất phát x0, tại đó ta có thể tính được giá trị của f(x) và các đạo hàm của nó. Phần dư Peano còn rất chung chung theo nghĩa không thể dùng nó để khống chế sai số. Kết quả dưới đây mô tả cụ thể hơn dạng của phần dư và cho phép ta không chế sai số. Định lý 2.9. (Khai triển Taylor với phần dư Lagrange) Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm liên tục đến cấp n trên [a, b] và có đạo hàm hữu hạn cấp n + 1 trong (a, b). Khi đó, ta có khai triển Taylor với phần dư Lagrange sau: ∑n f (k) (x ) f (n+1) (x + θ(x − x )) f (x) = 0 (x − x )k + 0 0 (x − x )n+1 k! 0 (n + 1)! 0 k=0 với x, x0 ∈ [a, b] và θ ∈ (0, 1). Với x0 = 0 ta có khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange ∑n f (k) (0) f (n+1) (θx) f (x) = xk + xn+1 k! (n + 1)! k=0 Trang 54
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Khai triển Maclaurin một số hàm quan trọng x x2 xn 1. ex = 1 + + + + + o (xn). 1! 2! n! 2 3 n x x − x 2. ln (1 + x) = x − + − + (−1)n 1 + o (xn). 2 3 n x3 x5 x2n+1 3. sin x = x − + − + (−1)n + o (x2n+2). 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n 4. cos x = 1 − + − + (−1)n + o (x2n+1). 2! 4! (2n)! x3 x5 x2n+1 5. arctan x = x − + − + (−1)n + o (x2n+2). 3 5 2n + 1 1 6. = 1 + x + x2 + + xn + o (xn). 1 − x 1 7. = 1 − x + x2 − + (−1)nxn + o (xn). 1 + x α α(α−1) 2 α(α−1) (α−n+1) n n 8. (1 + x) = 1 + αx + 2! x + + n! x + o (x ). Với phần dư Lagrange ta được một số khai triển sau: x x2 xn eθxxn+1 1. ex = 1 + + + + + . 1! 2! n! (n + 1)! 2 3 n n n+1 x x − x (−1) x 2. ln (1 + x) = x − + − + (−1)n 1 + . 2 3 n (n + 1) (1 + θx)n+1 x3 x2n+1 (−1)n+1x2n+3 cos θx 3. sin x = x − + + (−1)n + . 3! (2n + 1)! (2n + 3)! x2 x2n (−1)n+1x2n+2 cos θx 4. cos x = 1 − + + (−1)n + . 2! (2n)! (2n + 2)! α α(α−1) (α−n+1) n α(α−1) (α−n)xn α−n−1 5. (1 + x) = 1+αx+ + n! x + n! (1 + θx) . Nhận xét 2.5. Chúng ta có thể sử dụng khai triển Maclaurin (phần dư Peano) các hàm số trên để khai triển các hàm phức tạp hơn. Ta xét một số ví dụ sau: 2 1 Ví dụ 2.43. Khai triển Maclaurin hàm số f(x) = ex + tới x6. 1 − x2 Giải. Ta có Trang 55
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 4 6 4 6 2 x x x x • ex = 1 + x2 + + + o (x6) = 1 + x2 + + + o (x6). 2! 3! 2 6 1 • = 1 + x2 + x4 + x6 + o (x6). 1 − x2 3x4 5x6 Ta suy ra f (x) = 2 + 2x2 + + + o (x6). 2 6 1 Ví dụ 2.44. Khai triển Maclaurin hàm số f (x) = tới x3. x2 − 3x + 2 Giải. Ta có 1 1 1 f (x) = = − x2 − 3x + 2 1 − x 2 − x 1 1 Khai triển Maclaurin hai hàm số và ta được 1 − x 2 − x 1 • = 1 + x + x2 + x3 + o (x3). 1 − x 1 1 1 1 x x2 x3 • = = + + + + o (x3) − − x 2 x 2 1 2 2 4 8 16 3 5x 9x2 17x3 Ta suy ra f (x) = + + + + o (x3). 2 4 8 16 Ví dụ 2.45. Khai triển hàm số f(x) = earctan x tới x3. Giải. Ta có arctan2x arctan3x ( ) earctan x = 1 + arctan x + + + o x3 2 6 x3 Mặt khác arctan x = x − + o (x4) 3 Ta suy ra ( ) 2 ( ) x3 4 3 − x x 3 + o (x ) earctan x = 1 + x − + o (x4) + ( 3 ) 2 3 − x3 4 x 3 + o (x ) + + o (x3) 6 Vì xn = o(x3) với mọi x ∈ N, m ≥ 4 nên từ biểu thức trên ta được x2 1 earctan x = 1 + x + − x3 + o (x3). 2 6 Trang 56
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM x2 Ví dụ 2.46. Khai triển Maclaurin hàm số f(x) = tới x4. 1 − ln(1 + x) Giải. Ta có 1 f(x) = x2 ( ) x2 1 − x − + o (x2) [ ( 2 ) ( ) ] x2 x2 2 = x2 1 + x − + o (x2) + x − + o (x2) + o (x2) 2 2 x4 Do đó f (x) = x2 + x3 + + o (x4). 2 Khai triển Maclaurin cũng là một công cụ mạnh để tính các giới hạn phức tạp. Chúng ta xét một số ví dụ điển hình sau: arctan x − sin x Ví dụ 2.47. Tính giới hạn L = lim . x→0 x3 Giải. Ta có x3 • arctan x = x − + o (x4). 3 x3 • sin x = x − + o (x4). 6 ( ) ( ) 3 3 1 3 x− x +o(x4) − x− x +o(x4) − x 1 3 6 6 − Khi đó L = lim 3 = lim = . x→0 x x→0 x3 6 ex3 + x cos x − sin x − 1 Ví dụ 2.48. Tính giới hạn L = lim . x→0 x3 Giải. Ta có • ex3 = 1 + x3 + o (x3). x2 • cos x = 1 − + o (x3). 2 x3 • sin x = x − + o (x3). 6 2 x3 + o (x3) 2 Khi đó L = lim 3 = . x→0 x3 3 Trang 57
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Công thức Maclaurin cũng là một công cụ để tính gần đúng giá trị của các hàm phức tạp. x3 Ví dụ 2.49. Nếu ta dùng công thức xấp xỉ sin x ≈ x− thì sai số ϵ thỏa 6 |x|5 mãn điều kiện ϵ ≤ . 120 Áp dụng công thức trên ta được sin(0, 01) ≈ 0, 00999983 với sai số ϵ 0.015 không vượt quá = 8, 3 × 10−13. 120 x2 x3 Ví dụ 2.50. Với |x| 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. (n) • f (x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại x0. Ví dụ 2.51. Tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 − 3x + 2. Giải. Ta có • f ′(x) = 3x2 − 3. • f ′′(x) = 6x Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm x = ±1. Hơn nữa, ta thấy f ′′(1) = 6 và f ′′(−1) = −6. Vậy f(x) đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 1. Trang 58
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 2.52. Tìm cực trị của hàm số f(x) = ex + e−x + 2 cos x. Giải. Ta có • f ′ (x) = ex − e−x − 2 sin x. • f ′′ (x) = ex + e−x − 2 cos x. • f ′′′ (x) = ex − e−x + 2 sin x. • f (4)(x) = ex + e−x + 2 cos x. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có f ′′(x) ≥ 2 − 2 cos x ≥ 0, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Do đó f ′(x) là một hàm tăng, suy ra phương trình f ′(x) = 0 có tối đa một nghiệm. Mà f ′(0) = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất. Ta thấy f ′ (0) = f ′′ (0) = f ′′′ (0) = 0 và f (4)(0) = 4 > 0 nên f(x) đạt cực tiểu tại x = 0. 2.6 Vi phân cấp 1 Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b) và liên tục tại x0 ∈ (a, b). Ta muốn xấp xỉ ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) bằng một đơn thức của ∆x, cụ thể là, tìm biểu diễn f(x) dưới dạng ∆y = A∆x + o(∆x), x ∈ (a, b), ∆x = x − x0 (2.1) trong đó A là hằng số cần tìm. Từ công thức Taylor (khai triển cấp 1), suy ra rằng để f(x) có tính chất trên điều kiện cần và đủ là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 và khi ′ đó A = f (x0). Do đó, ′ ∆y = f (x0)∆x + o(∆x) Định nghĩa 2.7. Ta nói rằng f(x) khả vi tại x0 nếu đẳng thức 2.1 được thực hiện. Trong trường hợp đó, ta ký hiệu df (x0) = A∆x và gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0. ′ Cho f(x) = x ta được dx = ∆x, suy ra df (x0) = f (x0) dx . Trang 59
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 2.53. Cho hàm số f(x) = sin x. Tính df(0). Giải. Ta có df (0) = f ′ (0) dx = cos 0dx = dx. Ví dụ 2.54. Cho hàm số f(x) = arctan 2x. Tính df(0). ( ) ′ 2 Giải. Ta có df (0) = f (0) dx = 2 dx = 2dx. 1 + 4x x=0 Ví dụ 2.55. Cho hàm số f(x) = (2x)x2 . Tính df(x). Giải. Vì f(x) = (2x)x2 nên ln f(x) = x2 ln 2x, suy ra ′ ′ [ln f (x)] = (x2 ln x) = x + 2x ln x ⇔ f ′ (x) = xx2 (x + 2x ln x) Do đó df (x) = xx2 (x + 2x ln x) dx. Tính chất 2.3. Cho hai hàm số f(x) và g(x) khả vi trên (a, b). Khi đó, 1. d [f (x) + g (x)] = df (x) + dg (x) , ∀x ∈ (a, b). 2. d [αf (x)] = αdf (x) , ∀x ∈ (a, b) , ∀α ∈ R. 3. d [f (x) g (x)] = f (x) dg (x) + g (x) df (x) , ∀x ∈ (a, b). [ ] f (x) g (x) df (x) − f (x) dg (x) 4. d = , g (x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b). g (x) g2 (x) 5. Cho hàm hợp h(x) = f(u(x)). Khi đó dh (x) = f ′ (u (x)) u′ (x) dx. 2.7 Vi phân cấp cao Định nghĩa 2.8. Giả sử hàm số f(x) là hàm khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b). Vi phân df(x) là hàm số của x nhưng chỉ có f ′(x) phụ thuộc vào x, còn dx là gia số của biến độc lập x không phụ thuộc x. Vì df(x) là hàm theo biến x nên ta có thể lấy vi phân của hàm số này. Ta gọi vi phân cấp 2 của hàm số f(x) là vi phân của vi phân hàm số đó, ký hiệu d[df(x)] = d2f(x). Theo định nghĩa vi phân ta có ′ d2f (x) = [f ′ (x) dx] dx = f ′′ (x) dx2 Trang 60
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM (do dx không phụ thuộc x nên ta có thể đưa ra ngoài dấu đạo hàm). Tương tự, vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp n−1 của hàm số f(x), ký hiệu dnf(x) = d[dn−1f(x)]. Dùng phương pháp qui nạp ta được dnf (x) = f (n) (x) dxn Ví dụ 2.56. Cho hàm số f(x) = x4 + arctan x + cos x. Tính d2f(0). Giải. Ta có 1 • f ′ (x) = 4x3 + − sin x. x2 + 1 2x • f ′′ (x) = 12x2 − − cos x. (x2 + 1) Do đó d2f(0) = f ′′(0)dx2 = −dx2. 1 Ví dụ 2.57. Cho hàm số f(x) = sin 2x + . Tính d100f(0). x + 1 Giải. Ta có ( ) π (−1)100100! 100! f (100) (x) = 2100 sin 2x + 100 + = 2100 sin 2x + 2 (x + 1)101 (x + 1)101 Do đó d100f(0) = f (100)(0)dx100 = 100!dx100. Tính chất 2.4. Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm hữu hạn cấp n trong (a, b). Khi đó, 1. dn [f (x) + g (x)] = dnf (x) + dng (x) , ∀x ∈ (a, b). 2. dn [αf (x)] = αdnf (x) , ∀x ∈ (a, b) , α ∈ R. ∑n n k k n−k ∀ ∈ 3. d [f (x) g (x)] = Cnd f (x) d g (x), x (a, b). k=0 BÀI TẬP Bài tập 2.1. Chứng minh tất cả các công thức trong Bảng đạo hàm. Trang 61
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 2.2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại x = 0 bằng định nghĩa: { 1 xe x nếu x ≠ 0 a. f (x) = 0 nếu x = 0 { x2 cot x nếu x > 0 b. f (x) = ≤ { sin x nếu x 0 3 1 x 2 x2 nếu x ≠ 0 c. f (x) = 0 nếu x = 0 { x2 ln x nếu x > 0 d. f (x) = 1 − cos x nếu x ≤ 0 Bài tập 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau đây: a. f (x) = x (x − 1) (x − 2) c. f (x) = 3arctan(sin x) b. f (x) = ln (arcsin x + 5x) d. f (x) = tan (tan (tan x)) Bài tập 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau đây: 3 √ a. f (x) = (3x)x c. f (x) = x x x 1 b. f (x) = (x + sin x) d. f (x) = (ln cos x) x2 Bài tập 2.5. Cho hàm số   1 xn sin nếu x ≠ 0 f (x) =  x 0 nếu x = 0 Nghiên cứu tính liên tục và khả vi của hàm f(x) với n ∈ {1, 2, }. { x = t3 + t + 1 Bài tập 2.6. Cho hàm số . Tính y′ và y′ (1). y = t2 + arctan t x x { x = arctan t Bài tập 2.7. Cho hàm số . Tính y′ và y′ ( π ). y = sin 2t + cos 2t x x 4 { x = ln t Bài tập 2.8. Cho hàm số t > 0. Tính y′ và y′ (0). y = ln (1 + t2) x x Bài tập 2.9. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây ( ) 1 x + 1 a. f (x) = e2x+1 + ln (x − 1) c. f (x) = + ln 1 ex+1 ex b. f (x) = d. f (x) = x2 sin 2x x2 − 4x + 3 Bài tập 2.10. Cho hàm số f(x) = |x|3. Tính f ′(x), f ′′(x) và chứng tỏ f ′′′(0) không tồn tại. Trang 62
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 2.11. Chứng minh rằng các đa thức Chebyshev 1 T (x) = cos (n arccos x) , n ∈ N n 2n−1 thỏa mãn phương trình ( ) − 2 ′′ − ′ 2 1 x Tn (x) xTn (x) + n Tn (x) = 0 Bài tập 2.12. Tìm max và min các hàm số sau: x2 − x + 1 a. f (x) = trong đoạn [−1, 2]. x2 + x + 1 x 1 b. f (x) = x trong đoạn [ 10 , 10]. − 2 π c. f (x) = tan x tan x trong nửa khoảng [0; 2 ). d. f (x) = xe−x2 . Bài tập 2.13. Tính các giới hạn sau: x3 − 2x2 − x + 2 x cos x − sin x a. lim c. lim x→1 3 − x→0 3 x 7x + 6 xx tan x − sin x xe 2 b. lim d. lim x→0 x − sin x x→+∞ x + ex Bài tập 2.14. Tính các giới hạn sau: 1 1 a. lim x x−1 c. lim (cot x) ln x x→1+ x→0+ b. lim ln x ln (x − 1) d. lim xxx−1 x→1+ x→0+ Bài tập 2.15. Khai triển Maclaurin các hàm số sau: 2 x 2 a. f (x) = tới x4. c. f (x) = ex −x tới x5. − x 1 e 2n+1 b. f (x) = esin x tới x3. d. f (x) = tan x tới x . Bài tập 2.16. Tính các giới hạn sau: tan x − arctan x a. lim x→0 x3 tan (tan x) − sin (sin x) b. lim x→0 tan x − sin x x2 ex − 1 − x − c. lim 2 x→0 ln (1 + x3) 2 2 x ex + ln (1 + x3) − x sin − 1 d. lim 2 x→0 x3 Bài tập 2.17. Tính vi phân các hàm số sau: √ arccos x tan x a. f (x) = 3 + x c. f (x) = x ( ) 1 sin x b. f (x) = (arctan x) x2 d. f (x) = ln 1 + e Trang 63
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 2.18. Tính vi phân cấp n các hàm số sau: a. f (x) = e2x + ln (x + 1) 1 b. f (x) = x2 − 5x + 6 x2 c. f (x) = x − 1 d. f (x) = x2 cos x Bài tập 2.19. Khảo sát sự biến thiên và xác định cực trị các hàm số sau (trong tập xác định của mỗi hàm số): a. f (x) = ex2+2x c. f (x) = arcsin (x2 − x) b. f (x) = (2x)x d. f (x) = x2e2x Trang 64
Chương 3 TÍCH PHÂN 3.1 Tích phân bất định Định nghĩa 3.1. Cho hàm f(x) xác định trên (a, b) (a có thể là −∞, và b có thể là +∞). Hàm F (x) xác định trên (a, b) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) nếu F ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). Ví dụ 3.1. Một vài ví dụ về nguyên hàm x5 1. là nguyên hàm của x4 trên R. 5 2. sin x là nguyên hàm của cos x trên R. 1 3. arctan x là nguyên hàm của trên R. 1 + x2 4. ex là nguyên hàm của ex trên R. 1 5. arccos x là nguyên hàm của −√ trên (−1, 1). 1 − x2 Định lý 3.1. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) đều có dạng F (x) + C với C là hằng số. 65
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 3.2. Cho hàm f(x) xác định trên (a, b). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) trên∫(a, b) được gọi là tích phân bất định của f(x) trên (a, b), ký hiệu là f (x) dx. Từ Định lý 3.1 ta có ∫ f(x)dx = F (x) + C, với C là hằng số tùy ý ∫ ∫ Trong ký hiệu f(x)dx thì được gọi là dấu tích phân, x là biến lấy tích phân, f(x) là hàm dưới dấu tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Ví dụ 3.2. Theo ví dụ 3.1, ta có ∫ x5 1. x4dx = + C. 5 ∫ 2. cos xdx = sin x + C. ∫ 1 3. dx = arctan x + C. x2 + 1 ∫ 4. exdx = ex + C. ∫ 1 5. −√ dx = arccos x + C 1 − x2 Chú ý 3.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên ′ [a, b] nếu F (x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) và F+(a) = ′ f(a),F−(b) = f(b). Tính chất 3.1. Cho f(x), g(x) có nguyên hàm trên (a, b). Khi đó, ∫ ∫ ∫ 1. [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx. ∫ ∫ 2. [αf (x)] dx = α f (x) dx, ∀α ∈ R. [∫ ]′ 3. f (x) dx = f (x). Trang 66
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bảng tích phân bất định các hàm số sơ cấp Từ bảng các đạo hàm cơ bản ta suy ra các tích phân bất định cơ bản. ∫ ∫ xα+1 dx 1. xαdx = + C, α ≠ −1; 2. = ln |x| + C; ∫ α + 1 ∫ x ax 3. exdx = ex + C; 4. axdx = + C, 0 < a ≠ 1; ∫ ∫ ln a 5. cos xdx = sin x + C; 6. sin xdx = − cos x + C; ∫ ∫ 1 − 1 7. 2 dx = cot x + C; 8. 2 dx = tan x + C; ∫ sin x ∫ cos x 1 1 9. dx = arctan x + C; 10. √ dx = arcsin x + C. 1 + x2 1 − x2 3.2 Phương pháp tính tích phân bất định Phương pháp phân tích Phân tích hàm cần lấy tích phân thành tổng các hàm sơ cấp đã biết, sau đó dùng Tính chất 3.1 và bảng tích phân để tính tích phân đã cho. Ví dụ 3.3. Tính các tích phân bất định sau: ∫ ∫ √ √ a. ( x + 1)(x − x + 1)dx c. tan2 xdx ∫ ∫ x4 x2 + 1 b. dx d. dx x2 + 1 x Giải. a. Ta có ∫ ∫ ∫ √ √ √ 3 ( x + 1)(x − x + 1)dx = (x x + 1)dx = (x 2 + 1)dx 2 5 = x 2 + x + C 5 b. Ta có ∫ ∫ ( ) x4 1 dx = x2 − 1 + dx x2 + 1 x2 + 1 1 = x3 − x + arctan x + C. 3 ∫ ∫ ∫ ( ) c. tan2xdx = tan2x + 1 dx − dx = tan x − x + C. ∫ ∫ ∫ x2 + 1 1 x2 d. dx = xdx + dx = + ln |x| + C. x x 2 Trang 67
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Phương pháp đổi biến Phương pháp đổi biến dựa vào kết quả sau: ∫ Định nghĩa 3.3. Nếu f(x)dx = F (x) + C thì ∫ f[u(t)]u′(t)dt = F [u(t)] + C với u(t) là hàm khả vi. Phương pháp đổi biến thường được sử dụng ở hai dạng sau đây: • Dạng 1: Phương pháp đổi biến dưới dấu tích phân. Giả sử có thể tìm được hàm u(x) khả vi và hàm g(u) sao cho f(x)dx = g[u(x)]u′(x)dx = g(u)du. Khi đó ta có ∫ ∫ ∫ f(x)dx = g[u(x)]u′(x)dx = g(u)du (3.1) Nếu tính được ∫ g(u)du = G(u) + C thì ∫ f(x)dx = G[u(x)] + C • Dạng 2: Phương pháp thế. Giả sử ta có thể đặt x = ϕ(u) với ϕ(u) là hàm khả vi và có hàm ngược là u = ϕ−1(x). Khi ấy ∫ ∫ ∫ f(x)dx = f[ϕ(u)]ϕ′(u)du = g(u)du. Giả sử tìm được ∫ g(u)du = G(u) + C. Suy ra ∫ f(x)dx = G[ϕ−1(x)] + C. ∫ √ Ví dụ 3.4. Tính 3 (2x + 1)2dx. Trang 68
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Ta có ∫ ∫ √ √ d(2x + 1) 3 (2x + 1)2dx = 3 (2x + 1)2 2 du Đặt u = 2x + 1 ta có du = 2dx, = dx, suy ra 2 ∫ √ ∫ √ ∫ 3 2 d(2x + 1) 3 du 1 2 (2x + 1) = u2 = u 3 du 2 2 2 1 3 5 3 5 = u 3 + C = (2x + 1) 3 + C 2 5 10 ∫ √ 3 3 5 Vậy (2x + 1)2dx = (2x + 1) 3 + C. 10 ∫ 1 Ví dụ 3.5. Tính dx, a > 0. x2 + a2 Giải. Ta có ∫ ∫ ( ) 1 1 1 x dx = ( ) d . x2 + a2 a x 2 a a + 1 x Đặt u = , suy ra dx = adu. ∫ a ∫ 1 1 du 1 1 x Vậy dx = = arctan u + C = arctan + C. x2 + a2 a u2 + 1 a a a ∫ √ Ví dụ 3.6. Tính 1 − x2dx. π π Giải. Đặt x = sin t, − ≤ t ≤ . Ta có dx = cos tdt và 2 2 ∫ ∫ √ ∫ ∫ √ 1 + cos 2t 1 − x2dx = 1 − sin2 t cos tdt = cos2 tdt = dt 2 1 1 1 1 √ = t + sin 2t + C = arcsin x + x 1 − x2 + C 2 4 2 2 √ vì sin 2t = 2 sin t cos t = 2x 1 − x2. ∫ 1 Ví dụ 3.7. Tính √ dx. x2 + 1 π π 1 Giải. Đặt x = tan t, − < t < . Ta có dx = dt và 2 2 cos2 t ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 √ dx = √ dt = √ dt x2 + 1 tan2 t + 1 cos2 t 1 cos2 t cos2 t Trang 69
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ ∫ ∫ dt cos tdt d(sin t) = = = cos t cos2 t 1 − sin2 t 1 + √ tan t 1 1 + sin t 1 1+tan2 t = ln + C = ln + C 2 1 − sin t 2 1 − √ tan t 1+tan2 t √ √ 1 1 + tan2 t + tan t 1 1 + x2 + x = ln √ + C = ln √ + C 2 1 + tan2 t − tan t 2 1 + x2 − x √ = ln( 1 + x2 + x) + C ∫ 1 √ Vậy √ dx = ln( 1 + x2 + x) + C. x2 + 1 ∫ dt 1 1 + sin t Chú ý 3.2. Trong ví dụ 3.7, ta tính được = ln + C. cos t 2 1 − sin t Biến đổi tiếp tục ta thu được ∫ ( ) dt t π = ln tan + + C. cos t 2 4 Tương tự, ta cũng tính được ∫ dt t = ln tan + C sin t 2 ∫ 1 Ví dụ 3.8. Tính √ dx. x2 − 1 1 π π − cos t Giải. Đặt x = , − < t < , t ≠ 0. Ta có dx = dt và sin t 2 2 sin2 t ∫ ∫ ∫ 1 1 − cos t √ − cos t √ dx = √( ) dt = tan2 t dt 2 − 2 2 2 x 1 1 − 1 sin t sin t ∫ sin t ∫ − cos t dt = | tan t| dt = − sin2 t | sin t| Trường hợp x < −1 ứng với sin t < 0 nên ∫ ∫ 1 dt t sin t √ dx = = ln tan + C = ln + C x2 − 1 sin t 2 1 + cos t sin t 1 = ln √ + C = ln √ x + C 2 ( ) 1 + 1 − sin t 1 + 1 − 1 2 x √ 1 = ln √ + C = ln x + x2 − 1 + C. x − x2 − 1 Trang 70
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trường hợp x > 1 ứng với sin t > 0 nên ∫ ∫ 1 dt t sin t √ dx = − = − ln tan + C = − ln + C x2 − 1 sin t 2 1 + cos t sin t 1 = − ln √ + C = − ln √ x + C 2 ( ) 1 + 1 − sin t 1 + 1 − 1 2 x √ 1 = − ln √ + C = ln x + x2 − 1 + C. x + x2 − 1 ∫ 1 √ Vậy √ dx = ln x + x2 − 1 + C. x2 − 1 Phương pháp tích phân từng phần Định lý 3.2. Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và v(x)u′(x) có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy hàm u(x)v′(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và ta được đẳng thức ∫ ∫ u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) − v(x)u′(x)dx (3.2) ∫ Ví dụ 3.9. Tính x2 ln xdx. Giải. Ta có ∫ ∫ ( ) ∫ x3 x3 x3 x2 ln xdx = ln xd = ln x − d (ln x) 3 3 3 ∫ x3 x2 x3 x3 = ln x − dx = ln x − + C 3 3 3 9 ∫ x3 x3 Vậy x2 ln xdx = ln x − + C. 3 9 ∫ Ví dụ 3.10. Tính arcsin xdx. Giải. Ta có ∫ ∫ ∫ x arcsin xdx = x arcsin x − xd(arcsin x) = x arcsin x − √ dx 1 − x2 Trang 71
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ d(1 − x2) = x arcsin x + √ − 2 √ 2 1 x = x arcsin x + 1 − x2 + C ∫ √ Vậy arcsin xdx = x arcsin x + 1 − x2 + C ∫ dx Ví dụ 3.11. Tính I = , n ∈ N∗. n (x2 + a2)n Giải. Với mọi n ≥ 1 ta có ∫ ∫ − dx x − 2nxdx 2 2 n = 2 2 n x. 2 2 n+1 (x + a ) (x + a ) ∫ (x + a ) x x2 = 2 2 n + 2n 2 2 n+1 dx (x + a ) ∫ (x + a ) x x2 + a2 − a2 = 2 2 n + 2n 2 2 n+1 dx (x + a ) (∫(x + a ) ∫ ) x dx dx = + 2n − a2 (x2 + a2)n (x2 + a2)n (x2 + a2)n+1 x = + 2n(I − a2I ). (x2 + a2)n n n+1 Suy ra x 2n − 1 I = + I , ∀n ∈ N∗. n+1 2na2(x2 + a2)n 2na2 n ∫ dx 1 x Với n = 1 ta có I = = arctan + C. 1 x2 + a2 a a 3.3 Tích phân hàm hữu tỷ P (x) Định nghĩa 3.4. Hàm hữu tỷ R(x) là hàm có dạng R(x) = , Q(x) trong đó P (x) là đa thức bậc m và Q(x) là đa thức bậc n. • Nếu m n thì R(x) được gọi là phân thức không thực sự. Trang 72
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhận xét 3.1. Nếu R(x) là phân thức không thực sự thì bằng cách chia đa thức P (x) cho Q(x) ta viết được P (x) = Q(x).S(x) + D(x), với S(x),D(x) là hai đa thức và bậc của D(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Khi ấy ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ D(x) D(x) R(x)dx = S(x) + dx = S(x)dx + dx Q(x) Q(x) ∫ Vì S(x) là đa thức nên tích phân S(x)dx được tính dễ dàng. Và ∫ như vậy, việc tính tích phân R(x)dx được đưa về việc tính tích phân ∫ D(x) của một phân thức thực sự, dx. Q(x) Tích phân của phân thức thực sự Định lý 3.3. Mọi đa thức Q(x) bậc n đều có thể phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không có nghiệm thực, nghĩa là α β 2 µ 2 ν Q(x) = an(x − a) (x − b) (x + px + q) (x + rx + s) , trong đó, a, . . . , b, p, q, . . . , r, s ∈ R; p2 − 4q < 0, . . . , r2 − 4s < 0 và α + β + + 2(µ + + ν) = n. Để dễ định ý, ta giả sử α β 2 µ 2 ν Q(x) = an(x − a) (x − b) (x + px + q) (x + rx + s) . D(x) Khi ấy, phân thức thực sự được phân tích một cách duy Q(x) nhất dưới dạng D(x) A A A = 1 + 2 + + α Q(x) x − a (x − a)2 (x − a)α B B B + 1 + 2 + + β x − b (x − b)2 (x − b)β M x + N M x + N M x + N + 1 1 + 2 2 + + µ µ x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x2 + px + q)µ E x + F E x + F E x + F + 1 1 + 2 2 + + ν ν , (3.3) x2 + rx + s (x2 + rx + s)2 (x2 + rx + s)ν với A1, ,Aα,B1, ,Bβ,M1,N1, ,Mµ,Nµ, và E1,F1, ,Eν,Fν là các hằng số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. Trang 73
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhận xét 3.2. Nhờ phân tích 3.3, mà việc tính tích phân của một phân thức thực sự được đưa về việc tính tích phân của các phân thức sau, được gọi là phân thức đơn giản A A Mx + N Mx + N , , , , x − b (x − b)n x2 + px + q (x2 + px + q)n ở đó, p2 − 4q < 0. ∫ ∫ Mx + N Mx + N Ta chỉ cần tính tích phân dx và dx vì x2 + px + q (x2 + px + q)n tích phân của phân thức thứ nhất và thứ hai rất đơn giản. Ta có ( ) p 2 p2 x2 + px + q = x + + q − . 2 4 p p2 Đặt u = x + và a2 = q − do p2 − 4q < 0. Khi ấy, 2 4 ∫ ∫ ( ) ∫ Mx + N M 2udu − Mp du 2 dx = 2 2 + N 2 2 x + px + q 2 u + a ( 2 ) u + a M Mp 1 u = ln(u2 + a2) + N − arctan + C 2 2 a a và ∫ ∫ ( ) ∫ Mx + N M 2udu − Mp du 2 n dx = 2 2 n + N 2 2 n (x + px + q) 2 (u + a ) (2 (u) + a ) M Mp = − (u2 + a2)1−n + N − I , 2(n − 1) 2 n với In được tính ở ví dụ 3.11. ∫ x4 Ví dụ 3.12. Tính I = dx. x3 − x2 + x − 1 Giải. Ta có x4 1 1 = x + 1 + = x + 1 + . x3 − x2 + x − 1 x3 − x2 + x − 1 (x − 1)(x2 + 1) Suy ra ∫ 1 dx I = x2 + x + C + . 2 1 (x − 1)(x2 + 1) 1 Ta phân tích thành tổng những phân thức đơn giản, (x − 1)(x2 + 1) 1 A Bx + C = + , ∀x ≠ 1 (x − 1)(x2 + 1) x − 1 x2 + 1 Trang 74
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ⇔ 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 1), ∀x ≠ 1 ⇔ 1 = (A + B)x2 + (C − B)x + A − C, ∀x ≠ 1   1  A + B = 0  A = 2 ⇔ C − B = 0 ⇔ B = − 1   2 − − 1 A C = 1 C = 2 Suy ra ∫ ∫ ∫ dx 1 dx 1 x + 1 = − dx − 2 − 2 (x 1)(x + 1) 2 ∫ x 1 2 ∫ x + 1 ∫ 1 dx 1 2x 1 dx = − dx − 2 x − 1 4 x2 + 1 2 x2 + 1 1 1 1 = ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − arctan x + C 2 4 2 2 1 1 1 1 Vậy I = x2 + x + ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − arctan x + C. 2 2 4 2 ∫ dx Ví dụ 3.13. Tính I = . x5 − x2 Giải. Với mọi x∈ / {0; 1} ta có 1 1 A B C Dx + E = = + + + x5 − x2 x2(x − 1)(x2 + x + 1) x x2 x − 1 x2 + x + 1 Quy đồng mẫu ta được 1 = Ax(x − 1)(x2 + x + 1) + B(x − 1)(x2 + x + 1) + Cx2(x2 + x + 1) + (Dx + E)x2(x − 1), ∀x∈ / {0; 1}, hay 1 = (A + C + D)x4 + (B + C − D + E)x3 + (C − E)x2 − Ax − B, ∀x∈ / {0; 1} Đồng nhất các hệ số, ta có   A + C + D = 0   B + C − D + E = 0 C − E = 0   −A = 0  −B = 1 Trang 75
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1 1 1 Giải hệ ta được A = 0,B = −1,C = ,D = − và E = . Do đó, 3 3 3 1 1 1 x − 1 = − + − x5 − x2 x2 3(x − 1) 3(x2 + x + 1) 1 1 1 2x + 1 1 1 = − + − + ( ) x2 3(x − 1) 6 x2 + x + 1 2 1 2 3 x + 2 + 4 1 1 1 1 2x + 1 Vậy I = + ln |x − 1| − ln(x2 + x + 1) + √ arctan √ + C. x 3 6 3 3 3.4 Tích phân hàm lượng giác R(u, v) được gọi là biểu thức hữu tỷ đối với u, v nếu R(u, v) được tạo thành từ u, v thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân và chia. Trong mục này ta xét tích phân ∫ I = R(sin x, cos x)dx. Phương pháp chung x Đặt t = tan , −π < x < π. Ta có 2 2dt 2t 1 − t2 dx = , sin x = , cos x = , 1 + t2 1 + t2 1 + t2 và do đó tích phân I được đưa về tích phân hàm hữu tỷ theo biến t, ∫ ( ) 2t 1 − t2 2dt I = R , , 1 + t2 1 + t2 1 + t2 đã biết cách tính ở 3.3.∫ cos xdx Ví dụ 3.14. Tính I = . 2 + cos x x 2dt Giải. Đặt t = tan , −π < x < π ⇒ dx = . Ta có 2 1 + t2 ∫ 2 ∫ ∫ ( ) 1−t 2 2 2dt 1 − t 2dt 2 4 I = 1+t = = − dt 2 + 1−t2 1 + t2 3 + t2 1 + t2 1 + t2 3 + t2 1+t2 ( ) ( ) 4 t 4 1 x = 2 arctan t − √ arctan √ + C = x − √ arctan √ tan + C 3 3 3 3 2 ( ) 4 1 x Vậy I = x − √ arctan √ tan + C. 3 3 2 Trang 76
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ 2 − sin x Ví dụ 3.15. Tính I = dx. 2 + cos x x 2dt Giải. Đặt t = tan , −π < x < π ⇒ dx = . Ta có 2 1 + t2 ∫ ∫ − 2t 2 2 2 2dt t − t + 1 I = 1+t = 4 dt 2 + 1−t2 1 + t2 (t2 + 3)(t2 + 1) ∫ ( 1+t2 ) 1 − t = 4 2 2 2 dt ∫ (t + 3 (t + 3)(t + 1)) 1 − t = 4 2 2 2 dt ∫ (t + 3 (t + 3)(t + 1) ) 1 1 2t 1 2t = 4 + − dt t2 + 3 4 (t2 + 3) 4 (t2 + 1) 4 t = √ arctan √ − ln(t2 + 3) + ln(t2 + 1) + C 3 ( 3 ) 4 1 x tan2 x + 3 = √ arctan √ tan + ln 2 + C 2 tan2 x + 1 3 ( 3 ) 2 4 1 x = √ arctan √ tan + ln(2 + cos x) + C 3 3 2 ( ) 4 1 Vậy I = √ arctan √ tan x + ln(2 + cos x) + C. 3 3 2 Một số trường hợp đặc biệt Trong một vài trường hợp, phương pháp chung dẫn đến một tích phân hữu tỷ rất phức tạp. Sau đây, ta trình bày một số trường hợp đặc biệt, ở đó là các phép đổi biến thích hợp tùy theo dạng đặc biệt của R(sin x, cos x) • Nếu R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) thì đặt t = cos x. • Nếu R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) thì đặt t = sin x. • Nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) thì đặt t = tan x. ∫ sin3 x Ví dụ 3.16. Tính I = dx. 2 + cos x sin3 x Giải. Xem R(sin x, cos x) = , ta nhận thấy 2 + cos x sin3 x R(− sin x, cos x) = − = −R(sin x, cos x). 2 + cos x Trang 77
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Đặt t = cos x, ⇒ dt = − sin xdx. Ta có ∫ ∫ ∫ sin2 x t2 − 1 t2 − 4 + 3 I = sin xdx = dt = dt ∫ (2 + cos x ) 2 + t 2 + t 3 1 = t − 2 + dt = t2 − 2t + 3 ln(2 + t) + C 2 + t 2 1 = cos2 x − 2 cos x + 3 ln(2 + cos x) + C 2 1 Vậy I = cos2 x − 2 cos x + 3 ln(2 + cos x) + C. 2 ∫ cos xdx Ví dụ 3.17. Tính I = . cos4 x − 4 sin2 x + 4 cos x Giải. Xem R(sin x, cos x) = , ta nhận thấy cos4 x − 4 sin2 x + 4 cos x R(sin x, − cos x) = − = −R(sin x, cos x). cos4 x − 4 sin2 x + 4 Đặt t = sin x, ⇒ dt = cos xdx. Ta có ∫ ∫ dt dt I = = − 2 2 − 2 4 − 2 ∫ (1 t ) 4t + 4∫ (t 6t + 5 ) dt 1 1 1 = = − dt (t2 − 1)(t2 − 5) 4 t2 − 5 t2 − 1 √ 1 t − 5 1 t − 1 = √ ln √ − ln + C 8 5 t + 5 8 t + 1 √ 1 sin x − 5 1 sin x − 1 = √ ln √ − ln + C 8 5 sin x + 5 8 sin x + 1 √ 1 sin x − 5 1 sin x − 1 Vậy I = √ ln √ − ln + C. 8 5 sin x + 5 8 sin x + 1 ∫ sin xdx Ví dụ 3.18. Tính I = . cos2 x(cos x − sin x) sin x Giải. Xem R(sin x, cos x) = , ta nhận thấy cos2 x(cos x − sin x) sin x R(− sin x, − cos x) = = R(sin x, cos x). cos2 x(cos x − sin x) Trang 78
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Đặt t = tan x, ⇒ dt = (1 + tan2 x)dx. Ta có ∫ ∫ 1 sin x tan x(1 + tan2 x) I = dx = dx 2 − − ∫ cos x cos x∫(1 tan x) ∫ ( 1 tan x) t t − 1 + 1 1 = dt = dt = −1 − dt 1 − t 1 − t t − 1 = −t − ln |t − 1| + C = − tan x − ln | tan x − 1| + C Vậy I = − tan x − ln | tan x − 1| + C. ∫ Chú ý 3.3. Đối với tích phân sin2m x cos2n xdx thay vì đặt t = tan x ta nên dùng các công thức hạ bậc. ∫ Ví dụ 3.19. Tính I = sin4 x cos2 xdx. Giải. Ta có ( ) 1 − cos 2x 1 2 sin4 x cos2 x = sin2 x(sin x cos x)2 = sin 2x 2 2 1 1 = sin2 2x − sin2 2x cos 2x 8 8 1 − cos 4x 1 = − sin2 2x cos 2x 16 8 Suy ra ∫ ( ) 1 − cos 4x 1 I = − sin2 2x cos 2x dx 16 8 1 1 1 = x − sin 4x − sin3 2x + C 16 64 48 1 1 1 Vậy I = x − sin 4x − sin3 2x + C. 16 64 48 Như vậy tích phân của một hàm hữu tỷ theo sin x, cos x tính được bằng cách đưa về tích phân của một hàm hữu tỷ theo biến lấy tích phân. Đôi khi, ta thực hiện theo chiều ngược lại để tính tích phân của hàm hữu tỷ. ∫ dx Ví dụ 3.20. Tính I = . (1 + x2)3 Trang 79
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Thay vì dùng công thức truy hồi như ở ví dụ 3.11 ta đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan2 t)dt. Khi ấy ∫ ∫ ∫ dt 4 1 2 I = 2 2 = cos tdt = (1 + cos 2t) dt ∫(1 + tan t) 4 1 = (1 + 2 cos 2t + cos2 2t)dt 4 ∫ ∫ ∫ 1 1 1 = dt + cos 2tdt + cos2 2tdt 4 2 ∫ 4 1 1 1 = t + sin 2t + (1 + cos 4t)dt 4 4 8 3 1 1 = t + sin 2t + sin 4t + C, 8 4 32 với 2 tan t 2x t = arctan x, sin 2t = = 1 + tan2t 1 + x2 2 tan t 1 − tan2t 4x(1 − x2) sin 4t = 2 sin 2t cos 2t = 2 = 1 + tan2t 1 + tan2t (1 + x2)2 3 1 x 1 x(1 − x2) Suy ra I = arctan x + + + C. 8 2 1 + x2 8 (1 + x2)2 3.5 Tích phân hàm vô tỷ ∫ ( √ ) Tích phân I = R x, ax2 + bx + c dx Tùy thuộc vào dấu của a ta biến đổi tam thức ax2 +bx+c thành tổng hay hiệu hai bình phương. Khi ấy, tích phân I trở thành một trong trong ba dạng sau: ∫ ( √ ) 2 2 − π 1. I = R x, (αx + β) + γ dx. Đặt αx + β = γ tan t, 2 < t < αx + β π ⇔ t = arctan . 2 γ ∫ ( ) √ γ 2. I = R x, (αx + β)2 − γ2 dx. Đặt αx + β = , 0 ≤ t ≤ π, t ≠ cos t π γ ⇔ t = arccos . 2 αx + β ∫ ( ) √ π 3. I = R x, γ2 − (αx + β)2 dx. Đặt αx + β = γ sin t, − ≤ t ≤ 2 π αx + β ⇔ t = arcsin . 2 γ Trang 80
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ dx Ví dụ 3.21. Tính I = √ . x2(x + 1 + x2) π π Giải. Đặt x = tan t, − < t < ⇔ t = arctan x. Ta có dx = (1 + tan2 t)dt 2 2 và ∫ ∫ (1 + tan2 t)dt cos tdt I = √ = . tan2 t(tan t + 1 + tan2 t) sin2 t(sin t + 1) Đặt u = sin t ⇒ du = cos tdt. Khi ấy ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) du 1 1 − 1 1 − 1 1 I = 2 = du = 2 du ∫ (u (u + 1) u ) u u + 1 u u u + 1 1 − 1 1 − 1 − | | | | = 2 + du = ln u + ln u + 1 + C u u u + 1 u 1 u + 1 1 sin t + 1 = − + ln + C = − + ln + C. u u sin t sin t Mà tan t x sin t = cos t tan t = √ = √ 2 2 1 + tan t 1 + x √ √ 1 + x2 x + 1 + x2 nên I = − + ln + C. x x ∫ (x + 3)dx Ví dụ 3.22. Tính I = √ . 3 + 4x − 4x2 Giải. Ta có ∫ (x + 3)dx I = √ . 4 − (2x − 1)2 π π 2x − 1 Đặt 2x − 1 = 2 sin t, − < t < ⇔ t = arcsin . Ta có dx = cos tdt 2 2 2 và ∫ ∫ sin t + 7 sin t + 7 I = √ 2 cos tdt = 2 cos tdt − 2 2 cos t ∫ (4 4 sin )t ( ) 1 7 1 7 = sin t + dt = − cos t + t + C. 2 2 2 2 ( ) 2x − 1 2 3 + 4x − 4x2 Mà cos2 t = 1 − sin2 t = 1 − = nên cos t = 2 4 1√ π π 3 + 4x − 4x2, do − < t < . 2 ( 2 2 ) 1 1√ 7 2x − 1 Suy ra I = − 3 + 4x − 4x2 + arcsin + C. 2 2 2 2 Trang 81
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ ( √ √ ) ax + b ax + b Tích phân I = R x, m , n dx với R(u, v, w) là hàm cx + d cx + d hữu tỷ theo u, v và w. Ta dùng phép đổi biến ax + b = tk cx + d với k là bội số chung nhỏ nhất của m, n. Sau một số phép biến đổi ta đưa tích phân về dạng ∫ I = R1(t)dt, với R1(t) là hàm hữu tỷ theo t. ∫ dx Ví dụ 3.23. Tính I = √ √ . 2x − 1 − 4 2x − 1 Giải. Đặt 2x − 1 = t4. Ta có dx = 2t3dt và ∫ ∫ ∫ ( ) 2t3dt t2dt 1 I = = 2 = 2 t + 1 + dt 2 − − − t t t 1 √ t 1 √ = (t + 1)2 + ln(t − 1)2 + C = ( 4 2x − 1 + 1)2 + ln( 4 2x − 1 − 1)2 + C. ∫ dx √ √ Vậy √ √ = ( 4 2x − 1+1)2 +ln( 4 2x − 1−1)2 +C. 2x − 1 − 4 2x − 1 ∫ √ 1 − x dx Ví dụ 3.24. Tính I = . 1 + x x √ 1 − x 1 −˘ t2 −4t Giải. Đặt = t ⇔ x = . Ta có dx = dt và 1 + x 1 + t2 (1 + t2)2 ∫ ∫ 1 + t2 t t2 I = −4 t dt = −4 dt − 2 2 2 − 2 2 ∫ (1 t (1 + t ) ) (1 t )(1 + t ) 1 1 t + 1 = −2 − dt = 2 arctan t + ln + C 1 − t2 1 + t2 t − 1 √ √ √ 1 − x 1 − x − 1 + x = 2 arctan + ln √ √ + C. 1 + x 1 − x + 1 + x ∫ √ √ √ √ 1 − x dx 1 − x 1 − x − 1 + x Vậy = 2 arctan + ln √ √ + C. 1 + x x 1 + x 1 − x + 1 + x Trang 82
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3.6 Tích phân xác định Cho hàm y = f(x) liên tục và không âm trên [a, b]. Miền giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0 và y = f(x) được gọi là hình thang cong. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn−1 < xn = b Dựng các đường thẳng x = xk(k = 1, n − 1), kết quả là hình thang cong cần tính diện tích được chia thành n hình thang cong nhỏ. Xét hình thang cong nhỏ thứ k(k = 1, n − 1) ứng với hai điểm chia liên tiếp xk−1 và xk. Vì f(x) liên tục trên [a, b] nên với n đủ lớn sao cho max ∆xk đủ nhỏ thì giá trị của hàm số f(x) trên [xk−1, xk] thay đổi không đáng kể. Do đó, diện tích của hình thang nhỏ thứ k được xấp xỉ bằng diện tích hình chữ nhật có hai cạnh là ∆xk và f(tk), với tk tùy ý thuộc [xk−1, xk]. Vậy diện tích của hình thang cong được xấp xỉ bằng ∑n f(tk)∆xk = Sn (3.4) k=1 Khi n → ∞ sao cho max ∆xk → 0 mà Sn → S, không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn các tk thì S được gọi là diện tích của hình thang cong. Định nghĩa 3.5. Cho hàm số f(x) xác định và bị chận trên [a, b]. Chia [a, b] thành những đoạn nhỏ bằng các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn−1 < xn = b, và lập tổng ∑n In = f(tk)∆xk k=1 trong đó tk tùy ý thuộc [xk−1, xk], k = 1, n − 1. Nếu n → ∞ sao cho max1≤k≤n ∆xk → 0 mà In → I, không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn các tk, thì ta nói hàm số f(x) khả tích trên [a, b] và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a, b], được ký hiệu là ∫ b I = f(x)dx. a Trong ký hiệu trên, ta gọi [a, b] là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy tích phân, f(x) là hàm số lấy tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Trang 83
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Điều kiện đủ để hàm khả tích Định lý 3.4. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì nó khả tích trên [a, b]. Định nghĩa 3.6. Hàm số f(x) được gọi liên tục từng khúc trên [a, b] nếu f(x) chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn loại một và không có điểm gián đoạn loại hai trên [a, b]. Định lý 3.5. Nếu hàm số f(x) liên tục từng khúc trên [a, b] thì nó khả tích trên [a, b]. Định lý 3.4 và 3.5 cho ta lớp khá nhiều các hàm khả tích. ∫ 1 Ví dụ 3.25. Tính xdx. 0 Giải. Vì f(x) = x liên tục trên [0, 1] nên khả tích trên đó. Chia [0, 1] bởi k các điểm x = , k = 1, n k n 1 2 k n 0 < < < . . . < < . . . < = 1. n n n n 1 k − 1 k k Ta có ∆x = , k = 1, n. Trên [ , ] ta lấy t = . Khi ấy k n n n k n ∑n ∑n k 1 1 ∑n n(n + 1) 1 I = f(t )∆x = = k = → n k k n n n2 2n2 2 k=1 k=1 k=1 ∫ 1 1 Vậy xdx = . 0 2 ∫ 1 Ví dụ 3.26. Tính axdx, 0 < a ≠ 1. 0 Trang 84
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Vì f(x) = ax liên tục trên [0, 1] nên khả tích trên đó. Chia [0, 1] k bởi các điểm x = , k = 1, n k n 1 2 k n 0 b ta định nghĩa ∫ ∫ b a f(x)dx = − f(x)dx a b và nếu a = b thì ta định nghĩa ∫ a f(x)dx = 0 a Định lý 3.6. Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Ta có 1. f(x) + g(x), kf(x), với k ∈ R, là các hàm khả tích trên [a, b] và ∫ ∫ ∫ b b b • [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx. ∫a ∫ a a b b • kf(x)dx = k f(x)dx. a a Trang 85
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ b 2. Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], thì f(x)dx ≥ 0. Suy ra nếu f(x) ≥ a g(x), ∀x ∈ [a, b], thì ∫ ∫ b b f(x)dx ≥ g(x)dx. a a 3. Hàm |f(x)| khả tích trên [a, b] và ∫ ∫ b b f(x)dx ≤ |f(x)|dx. a a 4. Với mọi c ∈ (a, b), f(x) khả tích trên [a, c], trên [c, b] thì ∫ ∫ ∫ b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. a a c 3.7 Công thức Newton - Leibnitz Tích phân với cận trên thay đổi ∫ x Cho f(x) khả tích trên [a, b]. Với x ∈ [a, b], đặt F (x) = f(t)dt. Ta có a Định lý 3.7. F (x) là hàm liên tục trên [a, b]. Hơn nữa, nếu f(x) liên tục tại x ∈ (a, b) thì F (x) có đạo hàm tại x và F ′(x) = f(x). ′ Chú ý 3.5. Trong chứng minh trên, nếu x = a thì dễ thấy F+(a) = f(a); ′ tương tự ta cũng có F−(b) = f(b). Hệ quả 3.1. Nếu f(x) liên∫ tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên x [a, b], chẳng hạn là F (x) = f(t)dt, ∀x ∈ [a, b]. a Trang 86
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Công thức Newton - Leibnitz Định lý 3.8. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên đó thì ∫ b f(x)dx = F (b) − F (a). (3.5) a Chú ý 3.6. Công thức 3.5 được gọi là Công thức Newton - Leibnitz. Ta ký hiệu − b F (b) F (a) = F (x) a. Khi đó, 3.5 có dạng ∫ b b − f(x)dx = F (x) a = F (b) F (a) a 3.8 Phương pháp tính tích phân xác định 3.8.1 Phương pháp đổi biến Định lý 3.9. Nếu 1. f(x) liên tục trên [a, b]. 2. u(t) và u′(t) liên tục trên [α, β], 3. u([α, β]) ⊂ [a, b] và u(α) = a, u(β) = b. thì ∫ ∫ b β f(x)dx = f[u(t)]u′(t)dt (3.6) a α ∫ 1 √ Ví dụ 3.27. Tính I = x2 1 − x2dx. 0 Trang 87
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM π π Giải. Đặt x = sin t, ≤ t ≤ , suy ra dx = cos tdt và x = 0 ⇒ t = 2 2 π arcsin 0 = 0; x = 1 ⇒ t = arcsin 1 = . Các giả thiết của định lý 3.9 được 2 thỏa mãn, ta có ∫ ∫ π √ ∫ π 1 √ 2 2 x2 1 − x2dx = sin2 t 1 − sin2 t cos tdt = sin2 t cos2 tdt 0 0 0 ∫ π ∫ π 1 2 1 2 = sin2 2tdt = (1 − cos 4t)dt 4 (0 ) 8 0 π 1 1 2 π = t − sin 4t = 8 4 0 16 π Vậy I = . 16 ∫ π 2 cos xdx Ví dụ 3.28. Tính I = 2 0 1 + sin x Giải. Đặt t = sin x, suy ra dt = cos xdx và x = 0 ⇒ t = sin 0 = 0; x = π π ⇒ t = sin = 1. Các giả thiết của định lý 3.9 được thỏa mãn, ta có 2 2 ∫ ∫ π 1 2 cos xdx dt 1 π 2 = 2 = arctan t 0 = 0 1 + sin x 0 1 + t 4 π Vậy I = . 4 3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần Định lý 3.10. Cho u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a, b]. Ta có ∫ ∫ b b ′ b − ′ u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] a v(x)u (x)dx (3.7) a a ∫ π Ví dụ 3.29. Tính I = x sin xdx. 0 Giải. Đặt { { u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx v = − cos x. Trang 88
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Các giả thiết của định lý 3.10 được thỏa mãn, ta có ∫ ∫ π π − π π x sin xdx = ( x cos x) 0 + x cos xdx = π + sin x 0 = π. 0 0 Vậy I = π. ∫ 1 Ví dụ 3.30. Tính I = arctan xdx. 0 Giải. Đặt { { u = arctan x du = dx ⇒ 1+x2 dv = dx v = x. ta có ∫ ∫ π 1 1 − xdx arctan xdx = (x arctan x) 0 2 0 0 1 + x 1 π 1 = arctan 1 − ln(1 + x2)1 = − ln 2 2 0 4 2 π 1 Vậy I = − ln 2. 4 2 ∫ e Ví dụ 3.31. Tính I = ln xdx. 1 Giải. Đặt { { u = ln x du = dx ⇒ x dv = dx v = x. Ta có ∫ ∫ e e e − − − ln xdx = (x ln x) 1 dx = e (e 1) = 1. 1 1 Vậy I = 1. ∫ π 2 Ví dụ 3.32. Tính ex cos xdx. 0 Giải. Đặt { { x x u = e ⇒ du = e dx dv = cos xdx v = sin x. Ta có ∫ π ∫ π 2 π 2 x x 2 − x e cos xdx = (e sin x) 0 e sin xdx 0 0 Trang 89
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫ π 2 π x = e 2 + e d(cos x) 0 ∫ π π 2 π x x 2 2 − = e + (e cos x) 0 e cos xdx 0 ∫ π 2 π x = e 2 − e − e cos xdx 0 ∫ π 2 ( ) x 1 π Suy ra e cos xdx = e 2 − e . 0 2 3.9 Tích phân suy rộng ∫ b Đối với tích phân xác định f(x)dx thì hai điều kiện buộc phải có là a 1. Miền lấy tích phân là [a, b] bị chận. 2. Hàm lấy tích phân, f(x), phải là hàm bị chận trên [a, b]. Trong mục này, chúng ta mở rộng khái niệm tích phân khi một trong hai điều kiện trên bị vi phạm. Cụ thể, ta sẽ khảo sát hai loại tích phân sau: 1. Miền lấy tích phân là miền không bị chận, gồm: ∫ ∫ ∫ +∞ b +∞ f(x)dx, f(x)dx và f(x)dx. a −∞ −∞ 2. Hàm lấy tích phân∫ không bị chận tại một điểm trong miền lấy tích b phân [a, b], tức là, f(x)dx với lim f(x) = ∞ hay lim f(x) = ∞, → + → − a x a x b hoặc lim f(x) = ∞ với a < c < b. x→c 3.10 Tích phân suy rộng loại một 3.10.1 Các định nghĩa Trang 90