Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Các dạng toán về định thức

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Các dạng toán về định thức

1. dạng 1 TÍNH ĐỊNH THỨC D = detAn Th1: Định thức D là định thức đặc biệt 1.a. Có một dòng hoặc một cột bằng 0 b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhau c. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ D = 0 2. Có dạng tam giác hoặc dạng chéo D = tích các phần tử trên đường chéo chính
2. Ví dụ: 8 2 8 7 6 0 6 9 6 = 0 2 5 2 7 4 3 4 9 8 2 8 7 7 0 1 6 9 9 0 0 2 7 0 = 48 0 0 0 3 9 0 0 0 0 1
3.  Th2: D=detAn không đặc biệt ❖n=1 A = (a) thì detA = a : 1 ➢Ví dụ: Tính detA , A = (2 -1 0) 3 A = ( a ) 1x3 -1 3x1 Ta có a = 2 - 3 - 0 = - 1 A = ( -1 ) detA = -1
4. ❖n=2: a11 a12 = a11 a22 - a21 a12 a21 a22 ➢Ví dụ: 1-i 4 = (1-i)(1+i) - 3(4) = -10 3 1+i
5. ❖n=3: Cách 1 Dùng Quy tắc Sarius a11 a12 a13 = a a a33 + a a a + a a a a a a 11 22 12 23 31 13 21 32 21 22 23 a a a a a a - 31 22 13 - 32 23 11 - a33 a21 a12 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
6. Ví dụ: Tính định thức sau đây: 1 x 0 1 x 0 1 x D = x 2 1 x 2 1 x 2 3 2 2 3 2 2 3 2 D = 4 + 3x + 0 -0 -2- 2x2 = -2x2 +3x+2
7. Cách 2 Đưa về định thức đặc biệt  TC1: Định thức không thay đổi khi lấy một dòng cộng với k lần một dòng khác  TC2: Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dòng  TC3: Nhân tử chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức
8. ➢Ví dụ : Tính định thức sau đây: a+b c 1 a+b+c c 1 D = b+c a 1 = b+c+a a 1 c+a b 1 c+a+b b 1 1 c 1 = (a+b+c) 1 a 1 1 b 1 = 0
9. ❖n 4: Cách 1 Khai triển theo một dòng hoặc một cột (Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0) ➢Ví dụ : Tính định thức sau đây 2+1 9 1 2 1 = a21(-1) D21 2+2 0-1 0 0 + a22(-1) D22 2+3 0 5 4 2 + a23(-1) D23 2+4 3 1 4 1 + a24(-1) D24
10. 9 1 2 1 0-1 0 0 0 5 4 2 3 1 4 1 2+2 = a22 (-1) D22 9 2 1 = (-1)1 0 4 2 = -36 3 4 1
11. Cách 2 Dùng hệ quả của khai triển Laplace B (0) (0) B D C C D A = C D D C (0) B B (0) ( B, D là ma trận vuông ) detA = detB.detD
12. ➢Ví dụ: Tính định thức sau đây: 2 1 3 1 4 1 5 2 D = -2 2 0 0 2 3 0 0 -2 2 3 1 D = 2 3 5 2 = (-10)(1) = -10
13. Cách 3 Đưa về định thức đặc biệt ➢Ví dụ 1: Tính định thức d2-d1 d3-d1 1 3 1 0 1 3 1 0 1 2 1 -1 0 -1 0 -1 = 1 3 4 1 0 0 3 1 0 0 3 3 0 0 3 3
14. 1 3 1 0 1 3 1 0 0 -1 0 -1 d4-d3 0 -1 0 -1 = = -6 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 3 0 0 0 2
15. ➢Ví dụ 2: Tính định thức sau đây: 3 2 2 2 9 9 9 9 1 1 1 1 D = 2 3 2 2 D= 2 3 2 2 = 9 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 Lấy d2, d3, d4 trừ 2d1 1 1 1 1 D = 9 0 1 0 0 = 9 0 0 1 0 0 0 0 1
16. 0 -1 -2 -3 -4 Cách 4 Dùng tính chất detA = detAT 1 0 -3 -4 -5 ➢Ví dụ: Tính định thức D = 2 3 0 -5 -6 3 4 5 0 7 0 1 2 3 4 -1 0 3 4 5 4 5 6 7 0 (-1)5D = -2 -3 0 5 5 -3 -4 -5 0 7 -4 -5 -6 -7 0 (-1)5 D = D - D = D D = 0
17. BÀI 1 (PHẦN 2)
18. Dạng 2 SO SÁNH HAI ĐỊNH THỨC PP1: Tính hai định thức PP2: Dùng các tính chất của định thức ➢ Đổi chỗ thích hợp các dòng hoặc các cột ➢ Rút nhân tử chung của các dòng và các cột ra ngoài dấu định thức
19. ➢Ví dụ 1 : So sánh hai định thức sau đây: 0 1 5 3 11 0 5 3 1 2 3 4 2 1 3 4 A = B = 2 4 2 0 4 2 2 0 9 3 6 1 3 9 6 1 Đổi chỗ cột 1 và cột 2 của A 1 0 5 3 2 1 3 4 -A = = B 4 2 2 0 3 9 6 1
20. ➢Ví dụ 2 : So sánh hai định thức sau đây: 0 2 2 88 0 3 3 9 1 2 3 4 1 2 3 3 A = B = 2 1 2 0 2 1 2 0 1 3 6 0 1 3 6 0 0 1 1 4 1 2 3 4 A = 2 2 1 2 0 1 3 6 0
21. 0 1 1 4 0 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 1 A = 2 = 2.4 2 1 2 0 2 1 2 0 1 3 6 0 1 3 6 0
22. 0 1 1 1 0 31 31 39 1 2 3 1 1 2 3 3 A =2.4. B = 3 2 1 2 0 2 1 2 0 1 3 6 0 1 3 6 0 Vậy: A/8 = B/9 0 1 1 1 1 2 3 1 B = 3.3. 2 1 2 0 1 3 6 0
23. ➢Ví du ï3: So sánh hai định thức sau đây: 3 9 6 1 1 0 5 3 2 1 3 4 2 1 3 4 A = B = 22 4 2 0 1 2 1 0 1 0 5 3 3 9 6 1 Đặt nhân tử chung của dòng 3 ra ngoài Đổi chỗ dòng 1 và dòng 4 của A 13 09 65 13 2 1 3 4 A = - 2 = -2B 1 2 1 0 13 09 56 13
24. Dạng 3 GIẢI PT detA = f(x) PP1: Tính detA và giải PT PP2: Nhẩm nghiệm khi f(x) = 0 detA = 0 khi A có a. một dòng hoặc một cột bằng 0 b. hai dòng hoặc hai cột bằng nhau c. hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ
25. ➢Ví dụ 1: Giải PT sau đây: 2 1 3 x 4 x 5 2 = 10x2 -2 2 0 0 x 3 0 0 -2 2 3 x = 10x2 x 3 5 2 (-6-2x)(6-5x) = 10x2 x = 2
26. ➢Ví dụ 2: Giải PT sau đây: x 0 22 1 0 x 6 3 = 0 x tùy ý x 3 00 0 5 x 4 2 x x2 x3 x4 1 1 1 1 = 0 2 4 8 16 -1 1 -1 1 x = 1, 2, -1, 0
27. ➢Ví dụ 3: CMR PT sau đây có nghiệm X+1 X-2 X-2 X-2 f(0) = -1 X X+1 X-2 X-2 f(x)= = 0 f(2) = 27 X X X-1 X-2 X X X X+1 ĐPCM 13 -20 -02 -02 02 13 -02 -20 f(0)f(2) = 02 02 -1 -20 02 02 02 13
28. Dạng 4 Bài toán về quan hệ giữa detA, detkA, detA-1, detAT PP: Dựa vào tính chất sau đây: n det(kAn) = k detAn detA = det(AT) detA. det(A-1) = 1 det(AB)= detAdetB
29. ➢Ví dụ 1: Nếu A là ma trận vuông cấp 4 có detA = -2. Tính det(2AT) n det(kAn) = k detAn detA = det(AT) det(2AT) = 24detAT = 24detA = -32
30. ➢Ví dụ 2: Nếu A là ma trận vuông cấp 3 có det(2A) = -24. Tính det(3A-1) det(2A) = -24 n det(kAn) = k detAn 23detA = -24 detA. det(A-1) = 1 detA = -3 det(A-1) = -1/3 det(3A-1) = 33 det(A-1) = -27/3 = -9
31. ➢Ví dụ 3: Tìm cấp của ma trận vuông A biết: Det(A-1 )= 1/3 (1) 2n = 16 Det(2AT) = 48 (2) n = 4 Gỉa sử A có cấp là n (1) DetA = 3 DetAT = 3 (2) 2nDetAT = 48
32. ➢Ví dụ 4: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai:  det(-A )= -detA Vậy mệnh đề chỉ n n đúng khi n lẻ hoặc detA = 0 det(-An )=det(-1.An) n n = (-1) detAn -detAn, nếu n lẻ = detAn, nếu n chẵn
33.  det(An+Bn )= detAn+detBn 1 0 -1 0 0 0 A = B = A+B = 0 1 0 -1 0 0 detA = 1 det(A+B) = 0 detB = 1 Vậy mệnh đề trên sai detA+detB = 2
34. k k  det[(An) ]= [detAn] k det(An) = det(AnAn. . . An) k lần = detAn.detAn. . .detAn k lần k = [detAn] Vậy mệnh đề trên đúng