›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Các dạng toán về ma trận (Phần 1)

ppt 53 trang huongle 2150
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Các dạng toán về ma trận (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_cao_cap_bai_2_cac_dang_toan_ve_ma_tran_phan_1.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Các dạng toán về ma trận (Phần 1)

  1. BÀI 2 ( PHẦN 1 )
  2. Dạng 1 TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A-1 PP: Dùng định lý A khả nghịch detA khác 0 ➢Ví dụ 1: Tìm x để A khả nghịch x A = ( x 2 3 ) -x -1
  3. A khả nghịch detA khác 0 x A = (x 2 3) -x = (x2-2x-3) -1 x -1 detA = x2-2x-3 x 3 A khả nghịch x2-2x-3 0
  4. ➢Ví dụ 2: Tìm m để A khả nghịch 1 1 3 1 2 m A = 2 4 6 2 -3 1 -3 m -9 -3 -6 1-m B C A = B.C detA = detB.detC
  5. 1 1 3 1 2 m A = 2 4 6 2 -3 1 = B.C -3 m -9 -3 -6 1-m detB = 0, m detA = 0, m A-1 không tồn tại với mọi m
  6. Dạng 2 -1 TÌM MA TRẬN An ❖n=1: Nếu A = (a), a = 0 thì A-1=(1/a ) A = (2) A-1=(1/2) a b 1 d -b ❖n=2: A = A-1 = c d detA -c a ➢Ví dụ: Tìm A-1 biết -1 -3 A = 1 -2
  7. -1 -3 -2 -3 A = A-1 =1 1 -2 5 -1 -1 ❖n 3: PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp PP2: Dùng công thức
  8. PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp Phép bđsc A I I A- 1 °Đổi chỗ hai dòng °Nhân một dòng với một số khác 0 °Cộng vào một dòng k lần một dòng khác
  9. ➢Ví dụ : Tìm A-1, biết: A I 1 1 0 A = 2 3 1 1 1 1 I A-1
  10. 1 1 0 1 0 0 A I = 2 3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 d2-2d1, d3-d1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 -2 1 0 0 0 1 -1 0 1
  11. 1 1 0 1 0 0 A-1 0 1 1 -2 1 0 2 -1 1 0 0 1 -1 0 1 -1 1 -1 d1d2-d2d3 -1 0 1 11 10 00 21 -10 10 00 11 00 11 11 11 00 00 11 11 00 11
  12. PP2: Dùng công thức A11 A2 . . . An 1 A A1 . . . 1A A-1 = . 12 22 n . 2 A . A1 A2 . . . An i+jn n n  Ai j = (-1) Di j  Di j là định thức bỏ dòng i, cột j từ detA
  13. 1 S➢ =Ví dụ: (Tính A +tổngA các+ Aphần) tử ở 11 2 31 -1 A dòng1 1 của A 1 1 10 1 0 A = A2 = 3 21 3 1 detA = 1 1 1 11 1 1 A11 A2 A3 S = ( A 111 + A 2 + A )3 -1 1 1 A = A1 12 A221 A32 A A13 A23 A33
  14. S = A 11 + A 2 + A 31 = 2 1 1 1 0 A =(-1)1+1D A = 2 3 1 11 11 1 1 1 = D11 = 2 2+1 A21=(-1) D21 = -D21 = -1 3+1 A31=(-1) D31 = D31 = 1
  15. BÀI 2 ( PHẦN 2)
  16. Dạng 3 TÍNH CHẤT CỦA A-1 TC1:(A -1)-1 = A TC2:(A T)-1 =(A-1)T TC3:(AB) -1 =B-1A-1
  17. ➢Ví dụ1: Nếu A khả nghịch thì mệnh đề sau đúng hay(2A) sai-1 = 2A-1  Nếu A=(a) thì A-1=(1/a), a khác 0 A=(1) 2A =(2) (2A)-1=(1/2) Vậy A-1=(1/1)=(1) mệnh đề trên 2A-1= (2) sai
  18. ➢Ví dụ2: Nếu A, B, C khả nghịch và cùng cấp thì mệnh đề sau đúng hay sai (ABC)-1 = C-1B-1A-1  TC: (AB)-1 = B-1A-1 (ABC)-1 =[(AB)C] -1 = C-1(AB)-1 = C-1B-1A-1 Vậy mệnh đề trên đúng
  19. dạng 4 GIẢI PT MA TRẬN PP1: Dùng ma trận nghịch đảo AX = A- A X= A -B1 PP2: BGiải hpt tuyến1 tính  Tìm cấp của X  Tìm phần tử của X Chú ý Nếu A,B vuông detA=0, detB=0 thì pt AX=B VN
  20. ➢Ví dụ1 : Tìm X để: AX=B(*) 0 2 -1 1 0 0 A = 0 6 -3 B = 2 5 0 -1 -1 4 -1 -1 4 2 -1 detA = (-1) = 0 6 -3 detB = 20 0 Vậy: pt (*)vô nghiệm
  21. ➢Ví dụ2 : Tìm X để: AX=B -1 -3 1 2 A = B = 1 -2 0 1 Cách1 AX = A- A X= A -B1 detA = B5 1 - A-1 = 1 -2 3 5 -1 -1
  22. X = A-1B -2 3 1 2 = 1 5 -1 -1 0 1 -2 -1 = 1 5 -1 -3 -2/5 -1/5 X = -1/5 -3/5
  23. Cách2 AX = B -1 -3 1 2 A = B = 1 -2 0 1  Cấp của X: 2x2 x y X = z t
  24.  Phần tử của X -1 -3 x y 1 2 = 1 -2 z t 0 1 -x-3z = 1 x-2z = 0 -y-3t = 2 y-2t = 1
  25. -x-3z = 1 x = -2/5 x-2z = 0 y = -1/5 -y-3t = 2 z = -1/5 y-2t = 1 t = -3/5 -2/5 -1/5 X = -1/5 -3/5
  26. ➢Ví dụ3 : Tìm X để: XA=B -1 -3 1 2 A = B = 1 -2 0 1 Cách1XA = XA A - = B A-1 B 1 -2 -3 A-1 =1 5 -1 -1
  27. 1 2 -2 -3 X =BA-1= 1 0 1 5 -1 -1 1 2 -2 -3 = 1 5 0 1 -1 -1 -4 -5 X = 1 5 -1 -1
  28. Cách2 x y -1 -3 1 2 XA = B = z t 1 -2 0 1 x = -4/5 y = -1 z = -1/5 t = -1/5 -4 -5 X = 1 5 -1 -1
  29. ➢Ví dụ4: Tìm X thỏa: A = (1 2) 4 AX = B C = XAT = C B = (2 3) 2 A X = B  12 12 Cấp của X T X A 21 = C21 x y X = z t  Phần tử của X
  30. x y A = (1 2) (1 2) _= (2 3) z t B = (2 3) x y 1 4 4 = C = z t 2 2 2 x + 2z = 2 y + 2t = 3 x + 2y = 4 z + 2t = 2
  31. x + 2z = 2 x = 2 y + 2t = 3 y = 1 x + 2y = 4 z = 0 z + 2t = 2 t = 1 2x 1y X = 0z 1t
  32. ➢Ví dụ5: Tìm X để: AXB=C A = 1 1 B = 1 2 C = 1 1 1 2 0 1 0 1 A-1AXB B -1= A -C1 B-1 2 -1 A-1 = 1 1 -1 1 1 -2 B-1 = 1 1 0 1
  33. 2 -1 X = A - 1 C B-1 A-1= -1 1 2 -3 X = 1 -2 -1 2 B-1 = 0 1 1 1 C = 0 1
  34. BÀI 2 ( PHẦN 3 )
  35. Dạng 5 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN PP1: Dùng định nghĩa PP2: Đưa về ma trận bậc thang ➢Ví dụ1 : Tìm r(A) , biết: 1 2 3 2 A = 2 0 3 4 1 0 0 1 2 4 6 4 Dùng định nghĩa
  36. 1 2 3 2 detA = 0 A = 2 0 3 4 1 0 0 1 r(A) < 4 2 4 6 4 2 3 2 B = 0 3 4 0 0 1 detB = 6 0 r(A) = 3
  37. ➢Ví dụ2 : Tìm r(A) , biết: 1 2 3 D = 1 4 6 2 0 3 0 1 A = 1 0 0 = 4 0 2 4 6 r(A) = 3 4 0 1 5X3 r(A) = 3 11 0 0 D = 2 4 6 4 0 1
  38. PP2: Đưa về ma trận bậc thang ➢Ví dụ3 : Tìm r(A) , biết: 1 2 1 0 0 1 5 1 -1 -1 A = 1 2 2 1 1 0 0 3 3 3
  39. 1 2 1 0 0 1 5 1 -1 -1 1 2 2 1 1 0 0 3 3 3 d2-d1 d3-d1 1 2 1 0 0 0 3 0 -1 -1 0 0 1 1 1 0 0 3 3 3
  40. 1 2 1 0 0 0 3 0 -1 -1 0 0 1 1 1 0 0 3 3 3 d4 – 3d3 r(A) = 3 1 2 1 0 0 0 3 0 -1 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
  41. ➢Ví dụ4: Tìm x để r(A) = 2 biết: 1 2 1 x A = 1 5 1 -1 2 4 2 x2 1 2 D = = 3 0 1 5 Vậy r(A)= 2
  42. 2 D2 = 3x1 2- 6x1 1 2 1 x D1 = 1 5 1 A = 1 5 1 -1 D = -23x24 + 6x2 3 2 4 2 x2 Vậy 1r(A)2 =x 2 D2 = 1 5 -1 2 4 x2 x = 0 hay2 1 x =x 2 D3 = 5 1 -1 4 2 x2
  43. Ví dụ 5: Nếu A, B cấp 4, khả nghịch CMR: r(A.B) = r[(B)-1] A khả nghịch r(A) = cấp của A, B cấp 4, khảA nghịch A.B cấp 4, khả nghịch r(A.B)= 4
  44. r(A.B) = 4 B-1 khả nghịch r(B-1)= cấp của B-1 r(B-1) = 4 r(A.B) = r(B)-1
  45. Dạng 6 T/C CỦA PHÉP TOÁN TRÊN MA 1. Phép cộng hai maTRẬN trận  A+B = B+A  (A+B)+C = A+(B+C)  (0)+A = A+(0)= A  A+(-A) = (0)
  46. 2. Phép nhân một số với một ma trậnm(A+B) = mA+mB (m+t)A = mA+tA 3. Phép nhân hai ma trận A(BC)=(AB)C  A(0)=(0), (0)A=(0) A(B+C)=AB+AC (AB)T=BTAT m(AB)=(mA)B=A(mB)
  47. ➢Ví dụ1: Tìm B để AB = BA 1 1 1 1 x y A = AB = 0 1 0 1 z t  Cấp của B x+z y+t AB = BA = z t x y B = z t  Phần tử của B
  48. x+z y+t AB = z t x y 1 1 x x+y BA = = z t 0 1 z z+t AB = BA x+z = x y+t = x+y t = z+t
  49. x+z = x z = 0 y+t = x+y t = x t = z+t z = 0 x y B = 0z xt (x, y tùy ý)
  50. ➢Ví dụ 2 : CMR các mệnh đề sau đây sai với A, B là hai ma trận vuông cùng cấp1. bấtA kỳ2 = B2 A = B V A = -B 00 1n 0 20 0 AA == B =A k = 00 00 0 00 0 A2 = B2 0 0 = 0 0
  51. 2. AB = (0) A = (0) V B = (0) A = 0 1 B = 0 2 0 0 0 0 AB = 0 0 0 0
  52. 3. (A – B)2 = A2 - 2AB + B2 (A – B)2 = (A – B)(A – B) = A(A – B) – B(A – B) = A2 – AB – BA + B2 Để chứng minh 3. sai ta chọn A, B sao cho AB khác BA
  53. A = 0 1 B = 0 2 0 0 0 1 AB = 0 1 0 0 BA= 0 0 0 0