Bài giảng toán cao cấp C1 đại học - Đoàn Vương Nguyễn

53 trang huongle 7580

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng toán cao cấp C1 đại học - Đoàn Vương Nguyễn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_cao_cap_c1_dai_hoc_doan_vuong_nguyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng toán cao cấp C1 đại học - Đoàn Vương Nguyễn

Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc BÀI GI ẢNG TOÁN CAO C ẤP C1 ĐẠI H ỌC (S ố đvhp: 2 – s ố ti ết: 30) Ch ươ ng 0. Bổ túc ki ến th ức c ơ b ản Ch ươ ng 1. Tích phân suy r ộng và chu ỗi s ố Ch ươ ng 2. Hàm s ố nhi ều bi ến s ố Ch ươ ng 3. Một s ố bài toán kinh t ế Ch ươ ng 4. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 và tích phân bội hai c ơ b ản Biên so ạn: Đoàn V ươ ng Nguyên TÀI LI ỆU THAM KH ẢO 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao c ấp A1 – C1 – ĐH Công nghi ệp TP. HCM. 2. Nguy ễn Đình Trí – Toán cao c ấp (T ập 2, 3) – NXB Giáo d ục. 3. Lê V ăn H ốt – Toán cao c ấp C 2 – ĐH Kinh t ế TP. HCM. 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao c ấp – ĐH Kinh t ế - Tài chính TP. HCM – NXB Th ống kê. 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao c ấp (T ập 1, 3, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM. 6. Nguy ễn Vi ết Đông – Toán cao c ấp (T ập 1, 2) – NXB Giáo d ục. 7. James Stewart, Calculus Early Transcendentals , Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks 8. Robert Wrede, Murray. R. Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus , Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc Ch ươ ng 0. BỔ TÚC KI ẾN TH ỨC C Ơ B ẢN 0.1. Bổ túc v ề hàm s ố 0.1.1. Định ngh ĩa Xét hai t ập con khác r ỗng D và Y của ℝ . Hàm s ố f là một quy t ắc (hay ánh x ạ) cho t ươ ng ứng m ỗi ph ần t ử x∈ D với duy nh ất m ột ph ần t ử y∈ Y , ký hi ệu là f( x ) f: ℝ⊃ D → Y ⊂ ℝ x֏ y= fx( ) • T ập D được g ọi là mi ền xác đị nh (MX Đ) c ủa hàm s ố f , ký hi ệu là Df . • T ập fD()f= {()| fxx ∈ D f } được g ọi là mi ền giá tr ị c ủa hàm f . • Đồ th ị của hàm f có MX Đ D là t ập h ợp điểm {(xfx, ( ) ) x∈ D } trên m ặt ph ẳng Oxy . • Nếu hàm f th ỏa mãn fx(−= ) fx (), ∀∈ x D f thì f được g ọi là hàm s ố ch ẵn. • Nếu hàm f th ỏa mãn fx(− ) =− fx (), ∀∈ xD f thì f được g ọi là hàm s ố lẻ. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 1 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc • Hàm f được g ọi là đồng bi ến trên (a ; b ) nếu fx()1 fx () 2 khi x1 0) . Chú ý • MX Đ c ủa f −1 = mi ền giá tr ị c ủa f , và mi ền giá tr ị c ủa f −1 = MX Đ c ủa f . • Đồ th ị c ủa hàm y= f−1( x ) đối x ứng v ới đồ th ị c ủa hàm y= f( x ) qua đường th ẳng y= x . 0.1.4. Hàm s ố L ượng giác ng ược 0.1.4.1. Hàm s ố y = arcsin x π π  arcsinxy=⇔ sin yxy = , ∈− ;    2 2       1  1 VD. Tính arcsin −  và cot arcsin .  2   4  Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 2 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Gi ải. 1  π π  1 π π π  • Ta có arcsin − = − , vì sin − = − và − ∈ − ;  .       2  6  6  2 6 2 2  1 1 π π  • Đặt arcsin = ϕ , ta được sin ϕ = và ϕ ∈ − ;  .   4 4 2 2    1 15  1 cos ϕ Vậy, ta có cosϕ = 1 − = , và cot arcsin = cotϕ = = 15 . 16 4 4  sin ϕ 0.1.4.2. Hàm s ố y = arccos x arccosxy=⇔ cos yxy = , ∈  0; π      π 3 π  1 2 π VD. arccos 0 = ; arccos(− 1) = π ; arccos = ; arccos − = . 2 2 6 2  3 0.1.4.3. Hàm s ố y = arctan x    π π  arctanxy=⇔ tan yxy = , ∈− ;   2 2  Quy ước π π arctan(+∞= ) ,arctan( −∞=− ) 2 2 π π VD. arctan(− 1) = − ; arctan 3 = . 4 3 0.1.4.4. Hàm s ố y = arccot x arccotxy=⇔ cot yxy = , ∈ ( 0; π) Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 3 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Quy ước arccot(+∞= ) 0, arccot( −∞= ) π 3π π VD. arccot(− 1) = ; arccot 3 = . 4 6 0.2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố Quy t ắc tính gi ới h ạn Gi ả s ử k là h ằng s ố và limf ( x ) , limg ( x ) tồn t ại. Khi đó x→ a x→ a 1) lim[kfx .( )]= k .lim fx ( ) 2) lim[()fx± gx ()] = lim fx () ± lim gx () xa→ xa → xa→ xa → xa → f( x ) limf ( x ) 3) lim[fxgx ( )( )]= lim fx ( ).lim gx ( ) 4) lim = x→ a nếu limg ( x )≠ 0 xa→ xa → xa → x→ a gx() lim gx () x→ a x→ a Định lý Nếu fx()≤ gx () khi x ti ến đế n a (x≠ a ) và limf ( x ) , limg ( x ) tồn t ại thì limfx ( )≤ lim gx ( ) . x→ a x→ a xa→ xa → Định lý k ẹp gi ữa Nếu fx()≤ hx () ≤ gx () khi x ti ến đế n a ( x≠ a ) và limfx ( )= lim gx ( ) = L thì limh ( x ) = L . xa→ xa → x→ a Chú ý 1 1 1 =+∞, =−∞ , = 0 0+ 0 − ±∞ Một s ố k ết qu ả gi ới h ạn c ần nh ớ sin()αx tan() α x 1) lim= lim = 1 α()0x→α()x α ()0 x → α () x x   1  1 x 2) lim1 + = lim1() +x = e x→±∞ x   x →0 n n   ℤ+ 3) lim[fx ( )]=  lim fx ( )  , n ∈ xa→ xa →  Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 4 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc limg ( x ) g( x )   x→ a 4) lim[()]fx=  lim fx ()  nếu limf ( x )> 0 xa→{ }  xa →  x→ a + 5) limn fx ()= n lim() fx , n ∈ ℤ (nếu n lẻ, ta gi ả s ử r ằng limf ( x )> 0 ) xa→ xa → x→ a ln x x α 6) lim= lim = 0 n ếu α≥1, β > 1 . x→+∞x α x →+∞ βx 0.3. Hàm s ố liên t ục Định ngh ĩa • Hàm s ố f được g ọi là liên t ục t ại điểm a nếu limfx ()= fa () . x→ a • Hàm s ố f được g ọi là liên t ục bên trái tại điểm a nếu limfx ()= fa () . x→ a − • Hàm s ố f được g ọi là liên t ục bên ph ải tại điểm a nếu limfx ()= fa () . x→ a + • Hàm s ố f được g ọi là liên t ục trên kho ảng (a ; b ) n ếu f liên t ục t ại m ọi điểm thu ộc (a ; b ) . (Nếu f liên tục ph ải t ại a và liên t ục trái t ại b thì f liên t ục trên đoạn [a ; b ] ). Chú ý • Mọi đa th ức đề u liên t ục trên ℝ =( −∞ ; +∞ ) . • Mọi hàm s ố s ơ c ấp đề u liên t ục trên mi ền xác định c ủa nó. 0.4. Đạo hàm và vi phân Định ngh ĩa vi phân Đại l ượng dy= f′( x ) dx được g ọi là vi phân c ủa hàm s ố y= f( x ) . Chú ý dy dy= fxdx′() ⇔ fx ′ () = dx Các quy t ắc tính đạ o hàm Gi ả s ử f , g và h là các hàm s ố kh ả vi, ta có: 1) [()fx± gx ()]′ = fx ′ () ± gx ′ () ; 2) [Cfx ()]′= Cfx .() ′ (C ∈ ℝ ) ; 3) [()()]fxgx′= fxgx ′ ()() + fxgx ()() ′ ; fx()  ′ fxgx′ ()()− fxgx ()() ′ 4)   =(g ( x ) ≠ 0) ;   2 g( x )  [g ( x )] 5) Nếu y= f( u ) với u= g( x ) thì yx′()= yuux ′ ().() ′ ; 1 6) Nếu y= f( x ) và x= f−1( y ) thì y′( x ) = ; x′( y ) Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 5 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc y′( t ) 7) Nếu y= f( x ) cho b ởi x= ϕ( t ) và y= ψ( t ) thì y′( x ) = . x′( t ) Đạo hàm c ủa các hàm s ố s ơ c ấp α α −1 α α −1 1) (x )′ = α . x ()u′ = α u′ u 1 u′ 2) ( x )′ = ( u )′ = 2 x 2 u 3) (sinx )′ = cos x (sinu )′ = u′ .cos u 4) (cosx )′ = − sin x (cosu )′ = − u′ .sin u 1 u′ 5) (tan)x′ = = 1 + tan 2 x (tan)u′ = = u′ (1 + tan2 u ) cos 2 x cos 2 u 1 u′ 6) (cotx )′ =− =−+ (1 cot2 x ) (cotu )′ =− =− u′ (1 + cot2 u ) sin 2 x sin 2 u x x u u 7) (e ) ′ = e (e ) ′ = u′ e x x u u 8) (a )′ = a .ln a (a )′ = ua′ . .ln a 1 u′ 9) ()ln|x | ′ = ()ln|u | ′ = x u ′ 1 ′ u′ 10) ()loga |x | = ()loga |u | = x.ln a u.ln a 1 u′ 11) (arcsinx ) ′ = (arcsinu ) ′ = 1 − x 2 1 − u2 1 u′ 12) (arccosx ) ′ = − (arccosu ) ′ = − 1 − x 2 1 − u2 1 u′ 13) (arctanx ) ′ = (arctanu ) ′ = 1 + x 2 1 + u2 1 u′ 14) (arccotx ) ′ = − (arccotu ) ′ = − 1 + x 2 1 + u2 0.5. Quy t ắc L’Hospital f( x ) Nếu limf ( x ) và limg ( x ) đồng th ời b ằng 0 (ho ặc b ằng vô cùng) thì lim được g ọi là d ạng vô đị nh x→ x x→ x x→ x 0 0 0 g( x ) 0 / 0 (ho ặc ∞/ ∞ ). Các d ạng gi ới h ạn này được gi ải quy ết nh ờ quy t ắc L’Hospital sau ′ Nếu f( x ) và g( x ) kh ả vi trên (a , b ) (có th ể không kh ả vi t ại x 0 ) và g( x )≠ 0 với x≠ x 0 thì fx() fx′ () lim= lim xx→ xx → 0gx() 0 gx′ () Chú ý Các d ạng vô đị nh: 0. ∞ , ∞0 , 00 , 1∞ , và ∞ − ∞ đều có th ể bi ến đổ i để áp d ụng quy t ắc L’Hospital. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 6 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 0.6. Tích phân Công th ức đổi bi ến s ố Nếu ∫ fxdx()= Fx () + C và hàm s ố x= ϕ( t ) kh ả vi thì ∫ f(())ϕ t ϕ′ () tdt= F (()) ϕ t + C Công th ức tích phân t ừng ph ần ∫udv= uv − ∫ vdu Các d ạng tích phân t ừng ph ần th ường g ặp • Đối v ới d ạng tích phân ∫ Pxe( ) αx dx thì ta đặt u= Px( ), dv = edxαx . • Đối v ới d ạng tích phân ∫ Px( )ln α xdx thì ta đặt u=ln,α x dv = P () x dx . MỘT S Ố NGUYÊN HÀM C ẦN NH Ớ x α+1 1) adx.= ax + C , a ∈ ℝ ; 2) xdxα = + C , α ≠− 1 ; ∫ ∫ α + 1 dx dx 3) =ln|x | + C ; 4) ∫ =2 x + C ; ∫ x x a x 5) edxx= e x + C ; 6) ax dx= + C ; ∫ ∫ ln a 7) ∫ cosx dx= sin x + C ; 8) ∫ sinxdx= − cos x + C ; dx dx 9) =tan x + C ; 10) = −cot x + C ; ∫ cos 2 x ∫ sin 2 x dx1 x dx x 11) =arctan + C ; 12) =arcsin +C , a > 0 ; ∫ 2 2 ∫ x+ a a a a2− x 2 a dx1 xa− dx x 13) =ln + C ; 14) =ln tan + C ; ∫ x2− a 2 2a x+ a ∫ sinx 2 dx x π  dx 15)   C ; 16) x x2 a C ; ∫ =ln tan  + + ∫ =ln + ++ cosx  2 4   x2 + a x a 17) x2 + a dx =xa2 ++ln+ xxaC 2 + + ; ∫ 2 2 x a2 x 18) axdx22−= ax 22 −+arcsin + C . ∫ 2 2 ||a . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 7 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Ch ươ ng 1. TÍCH PHÂN SUY R ỘNG VÀ CHU ỖI S Ố Bài 1. Tích phân suy r ộng Bài 2. Khái ni ệm cơ b ản v ề chu ỗi s ố Bài 3. Chu ỗi s ố d ươ ng Bài 4. Chu ỗi s ố có d ấu tùy ý Bài 1. TÍCH PHÂN SUY R ỘNG Khái ni ệm m ở đầ u • Cho hàm s ố fx()≥ 0, ∀ x ∈ [;] ab . Khi đó, di ện tích hình ph ẳng gi ới h ạn b ởi đồ th ị hàm s ố y= f( x ) và tr ục hoành là b S= fxdx( ) . ∫ a • Cho hàm s ố fx()≥ 0, ∀ xa ∈ [; +∞ ) ( b → +∞ ). Khi đó, di ện tích S có th ể tính được c ũng có th ể không tính được. Trong trường h ợp tính được h ữu hạn thì +∞ b S= fxdx() = lim fxdx () . ∫b→+∞ ∫ a a 1.1. Tích phân suy r ộng lo ại 1 1.1.1. Định ngh ĩa b Cho hàm số f( x ) xác định trên [a ;+∞ ) , kh ả tích trên m ọi đoạn [a ; b ] . Gi ới h ạn (n ếu có) limf () x dx b→+∞ ∫ a được g ọi là tích phân suy r ộng lo ại 1 c ủa f( x ) trên [a ;+∞ ) , ký hi ệu là +∞ b fxdx()= lim fxdx () ∫b→+∞ ∫ a a Định ngh ĩa t ươ ng t ự: b b fxdx()= lim fxdx () ∫a→−∞ ∫ −∞ a +∞ b f() x dx= lim f () x dx ∫b→+∞ ∫ −∞ a→−∞ a Chú ý • N ếu các gi ới h ạn trên t ồn t ại h ữu h ạn, ta nói tích phân h ội t ụ; ng ược l ại là tích phân phân k ỳ. • Nghiên c ứu v ề tích phân suy r ộng là kh ảo sát s ự h ội t ụ và tính giá tr ị h ội t ụ (n ếu được). Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 8 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc +∞ dx VD 1. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa tích phân I = . ∫ α 1 x b dx b  • Tr ường h ợp α = 1: I=lim = limln x  = +∞ (phân k ỳ). b→+∞∫ x b →+∞  1   1  b  1 dx 1 b  1  ,α > 1 • Tr ường h ợp α khác 1: I=lim = lim  x 1−α  b1−α α − 1 α   =lim() − 1 =  b→+∞∫ x 1 − α b →+∞  1   1 − α b→+∞  1  + ∞,α 1 : tích phaân hoäi tuï vaø I = α −1 α ≤1 : tích phaân phaân kyø vaø I = +∞ 0 dx VD 2. Tính tích phân I = . ∫ 2 −∞ (1− x ) Chú ý +∞ +∞ • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( +∞ ) , ta dùng công th ức f() x dx= F () x . x→+∞ ∫ a a b b • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( −∞ ) , ta dùng công th ức f() x dx= F () x . x→−∞ ∫ −∞ −∞ +∞ +∞ • T ươ ng t ự: f() x dx= F () x . ∫ −∞ −∞ +∞ dx VD 3. Tính tích phân I = . ∫ 2 −∞ 1 + x 1.1.2. Các tiêu chu ẩn h ội t ụ 1.1.2.1. Tiêu chu ẩn 1 0≤fx () ≤ gx (), ∀ x ∈ [; a +∞ )  +∞  +∞ ⇒ f( x ) dx hoäi tuï  g( x ) dx hoäi tuï ∫  ∫ a  a Các tr ường h ợp khác t ươ ng t ự. +∞ 10 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa tích phân I= ∫ e−x dx . 1 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 9 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 1.1.2.2. Tiêu chu ẩn 2 +∞ +∞ ∫fxdx() hoäi tuï⇒ ∫ fxdx () hoäi tuï a a Các tr ường h ợp khác t ươ ng t ự. +∞ VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa tích phân I= ∫ e−x cos 3 xdx . 1 1.1.2.3. Tiêu chu ẩn 3 f( x ) Gi ả s ử fx( ), gx ( ) liên t ục, d ươ ng trên [a ;+∞ ) và lim = k . x→+∞ g( x ) +∞ +∞ • N ếu 0 <k < +∞ thì ∫ f( x ) dx và ∫ g( x ) dx cùng h ội t ụ ho ặc phân k ỳ. a a +∞ +∞ • N ếu k = 0 và ∫ g( x ) dx hội t ụ thì ∫ f( x ) dx hội t ụ. a a  k = +∞  +∞ • N ếu +∞ thì f( x ) dx phân k ỳ.  g( x ) dx phaân ky ø ∫ ∫ a  a • Các tr ường h ợp khác t ươ ng t ự. +∞ dx VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa tích phân I = . ∫ 2 3 1 1+x + 2 x Chú ý +∞ +∞ Nếu fx()∼ gx () khi x → +∞ thì ∫ f( x ) dx và ∫ g( x ) dx có cùng tính ch ất. a a +∞ dx VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa tích phân I = . ∫ x x 1 1+ sin + Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 10 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc +∞ dx VD 8. Điều ki ện của α để I = h ội t ụ là: ∫ 3 α 1 x.ln x + 1 3 1 A. α > 3 ; B. α > ; C. α > 2; D. α > . 2 2 +∞ (x2 + 1) dx VD 9. Tìm điều ki ện c ủa α để I = h ội t ụ ? ∫ α 4 1 2x+ x − 3 1.2. Tích phân suy r ộng lo ại 2 1.2.1. Định ngh ĩa Gi ả s ử hàm s ố f( x ) xác định trên [a ; b ) , limf ( x ) = ∞ và kh ả tích trên m ọi đoạn [a ; b −ε ] ( ε > 0) . x→ b − b−ε Gi ới h ạn (n ếu có) limf () x dx được g ọi là tích phân suy r ộng lo ại 2 c ủa f( x ) trên [a ; b ) , ký hi ệu là ε→0 ∫ a b b −ε fxdx()= lim fxdx () ∫ε→0 ∫ a a Định ngh ĩa t ươ ng t ự: b b b b −ε fxdx()= lim fxdx () lim = ∞ ; fxdx () = lim fxdx () lim = ∞ ,lim = ∞ ∫∫ε→0 (x→ a+ ) ∫∫ε →0 (xa→+ xb → − ) a a+ε a a + ε Chú ý Nếu các gi ới h ạn trên t ồn t ại h ữu h ạn thì ta nói tích phân h ội t ụ; ng ược l ại là tích phân phân k ỳ. b dx VD 10. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa tích phân I=, b > 0 . ∫ α 0 x b dx b  • Tr ường h ợp α = 1: I=lim = limln x = ln b − limln ε = +∞ . + +   + ε→0∫ x ε → 0ε  ε → 0 ε b b dx 1 b  • Tr ường h ợp α khác 1: I xdx−α x 1 − α  =limα = lim = lim   ε→0∫ ε → 0 ∫ α ε → 0  ε   εx ε 1 −  b1−α 1  ,α 1.  Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 11 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Vậy b1−α α − ; D. α ∈ ℝ . 2 2 1 x α + 1 VD 15. Tích phân suy r ộng I= dx phân k ỳ khi và ch ỉ khi: ∫ 2 0 (x+ 1)sin x 1 1 A. α ≤ − 1 B. α ≤ − C. α ≥ − D. α ∈ ℝ . 2 2 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 12 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Chú ý I I I Gi ả s ử I= I1 + I 2 v ới ,1 , 2 là các tích phân suy r ộng ta có: 1) I1 và I2 h ội t ụ ⇒ I h ội t ụ. I → −∞(phaân ky ø ) I → +∞(phaân ky ø )  1  1 2)  ho ặc  thì I phân k ỳ. I ≤ 0 I ≥ 0  2  2 I → −∞(phaân ky ø ) I → +∞(phaân ky ø )  1  1 3)  ho ặc  thì ta ch ưa th ể k ết lu ận I phân k ỳ. I > 0 I < 0  2  2 1 x α + 1 VD 16. Tích phân I= dx phân k ỳ khi và ch ỉ khi: ∫ 2 0 xsin x 1 1 1 A. α ≤ B. α ≤ − C. α ≤ − D. α ∈ ℝ . 4 4 2 +∞ +∞ sin x cosx+∞ sin x VD. Xét tích phân I= dx , ta có: I= − + dx . ∫ x x ∫ 2 1 1 1 x +∞ cosx cos x • − =−lim += cos1 cos1 (1). xx→+∞ x 1 +∞sinx +∞ dx +∞ sin x • dx≤ ⇒ dx h ội t ụ (2). ∫2 ∫ 2 ∫ 2 1x 1 x 1 x T ừ (1) và (2) ta suy ra I h ội t ụ. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 13 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Bài 2. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề CHU ỖI S Ố 2.1. Định ngh ĩa u u u • Cho dãy s ố có vô h ạn các s ố h ạng 1, 2 , ,n , . Bi ểu th ức ∞ uu+ + + u + = u 1 2 n∑ n n=1 được g ọi là chu ỗi s ố. • Các s ố u1, u 2 , , u n , là các s ố h ạng và un được g ọi là s ố h ạng t ổng quát c ủa chu ỗi s ố. • T ổng n s ố h ạng đầ u tiên Suun=1 + 2 + + u n được g ọi là tổng riêng th ứ n c ủa chu ỗi s ố. • N ếu dãy S h ội t ụ đế n s ố S h ữu h ạn thì ta nói chu ỗi s ố hội t ụ và có t ổng là S , ta ghi là { n }n∈ℕ ∞ u S . ∑ n = n=1 Ng ược l ại, ta nói chu ỗi s ố phân k ỳ. ∞ VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi số ∑aq n−1 ( a ≠ 0 ). n=1 • Tr ường h ợp q = 1 : Sn = na → +∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. 1−qn 1 − q n • Tr ường h ợp q ≠ 1 : S= u. = a . . n 1 1−q 1 − q a Nếu |q | 1 thì S → +∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. n 1 −q n V ậy ∞ ∑aqn−1 hoäi tuï ⇔| q | < 1 n=1 ∞ 1 VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n( n + 1) ∞ 1  VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố   . ∑ ln 1 +  n=1  n  Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 14 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc ∞ 1 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n 2.2. Điều ki ện c ần để chu ỗi s ố h ội t ụ ∞ ∞ Nếu chu ỗi u h ội t ụ thì limu = 0 , ng ược l ại n ếu limu ≠ 0 thì u phân k ỳ. ∑ n n→∞ n n→∞ n ∑ n n=1 n=1 ∞ n 4 VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 n=1 3n+ n + 2 ∞ n 5 VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 n=1 n + 1 2.3. Tính ch ất ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1) N ếu u v h ội t ụ thì uv u v . ∑n, ∑ n ∑(nn+ ) = ∑ n + ∑ n n=1 n = 1 n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ 2) N ếu u h ội t ụ thì αu α u . ∑ n ∑n= ∑ n n=1 n=1 n = 1 3) Tính ch ất h ội t ụ hay phân k ỳ c ủa chu ỗi s ố không đổ i n ếu ta thêm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. Bài 3. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG 3.1. Định ngh ĩa ∞ Chu ỗi s ố u được g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu u n . ∑ n n ≥0, ∀ n=1 Khi un >0, ∀ n thì chu ỗi s ố là d ươ ng th ực s ự. 3.2. Các định lý so sánh Định lý 1 ∞ ∞ Gi ả s ử hai chu ỗi s ố u, v th ỏa 0≤u ≤ v , ∀≥ n n . Khi đó: ∑n ∑ n n n 0 n=1 n = 1 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 15 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc ∞ ∞ • N ếu v hội t ụ thì u hội t ụ. ∑ n ∑ n n=1 n=1 ∞ ∞ • N ếu u phân k ỳ thì v phân k ỳ. ∑ n ∑ n n=1 n=1 ∞ 1 VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n n=1 n.2 ∞ 1 ∞ 1  VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hòa b ằng cách so sánh v ới   . ∑ ∑ ln 1 +  n=1 n n=1  n  Định lý 2 ∞ ∞ u Gi ả s ử hai chu ỗi s ố u, v th ỏa mãn u > 0 và v > 0 v ới n đủ l ớn và lim n = k . ∑n ∑ n n n n→∞ n=1 n = 1 vn ∞ ∞ • k u phân k ỳ v phân k ỳ. = 0 : ∑ n ⇒ ∑ n n=1 n=1 ∞ ∞ • k u hội t ụ v hội t ụ. = +∞ : ∑ n ⇒ ∑ n n=1 n=1 ∞ ∞ • k u và v cùng tính ch ất. 0 1 và phân k ỳ khi α ≤ 1. ∑ α n=1 n ∞ n + 1 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 5 n=1 2n + 3 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 16 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 3.3. Các tiêu chu ẩn h ội t ụ 3.3.1. Tiêu chu ẩn D’Alembert ∞ u Cho chu ỗi s ố d ươ ng u và lim n+1 = D . Ta có: ∑ n n→∞ n=1 un • N ếu D 1 thì chu ỗi s ố phân k ỳ; • N ếu D = 1 thì ta ch ưa th ể k ết lu ận. n ∞ 1 1  VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 +  . ∑ n   n=1 3  n   ∞ 5n (n !) 2 VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 (2n )! 3.3.2. Tiêu chu ẩn Cauchy ∞ Cho chu ỗi s ố d ươ ng u và lim n u= C . Ta có: ∑ n n→∞ n n=1 • N ếu C 1 thì chu ỗi s ố phân k ỳ; • N ếu C = 1 thì ta ch ưa th ể k ết lu ận. n2 ∞ 1  VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố   . ∑  n=1 2  ∞ nn VD 8. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n n=1 3 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 17 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 3.3.3. Tiêu chu ẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Gi ả s ử hàm s ố f( x ) liên t ục, f( x )≥ 0 và gi ảm trên [;k+∞ ), k ∈ ℕ . Ta có: ∞ +∞ ∑ f() n hoäi tuï⇔ ∫ f () x dx hoäi tuï n= k k ∞ 1 VD 9. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 2 n=1 n+ 2 n ∞ 1 VD 10. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 n=2 nln n Bài 4. CHU ỖI S Ố CÓ D ẤU TÙY Ý 4.1. Chu ỗi s ố đan d ấu 4.1.1. Định ngh ĩa ∞ Chu ỗi s ố n u được g ọi là chu ỗi s ố đan d ấu n ếu u n . ∑(− 1) n n >0, ∀ n=1 ∞ (− 1) n ∞ 2n + 1 VD. và (− 1) n+1 là các chu ỗi s ố đan d ấu. ∑ ∑ n+1 n=1 n n=1 2 4.1.2. Định lý Leibnitz ∞ n Nếu dãy {u } ℕ gi ảm và limu = 0 thì chu ỗi s ố (− 1) u h ội t ụ. n n ∈ n→∞ n ∑ n n=1 Khi đó, ta g ọi chu ỗi s ố là chu ỗi Leibnitz . ∞ (− 1) n VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n ∞ 2n + 1 VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) n . ∑ n+1 n=1 2 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 18 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc ∞ (− 1) n VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n n=2 n +( − 1) 4.2. Chu ỗi s ố có d ấu tùy ý 4.2.1. Định ngh ĩa ∞ • Chu ỗi số u u ℝ được g ọi là chu ỗi có d ấu tùy ý . ∑ n( n ∈ ) n=1 ∞ ∞ • Chu ỗi s ố u được g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu chu ỗi s ố u h ội t ụ. ∑ n ∑|n | n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ • Chu ỗi s ố u được g ọi là bán hội t ụ nếu chu ỗi u h ội t ụ và chu ỗi u phân k ỳ. ∑ n ∑ n ∑|n | n=1 n=1 n=1 ∞ (− 1) n ∞ (− 1) n ∞(− 1)n ∞ 1 VD. Chu ỗi s ố ∑ là bán h ội t ụ vì ∑ h ội t ụ (VD 1) và ∑= ∑ phân k ỳ. n=1 n n=1 n n=1n n = 1 n 4.2.2. Định lý ∞ ∞ Nếu chu ỗi s ố u hội t ụ thì chu ỗi có d ấu tùy ý u hội t ụ. ∑|n | ∑ n n=1 n=1 ∞ cos(nn ) VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 2 n=1 n ∞ (− 1)n + ( − 2) n +1 VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n n=1 3 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 19 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Ch ươ ng 2. HÀM S Ố NHI ỀU BI ẾN S Ố Bài 1. Khái ni ệm c ơ b ản Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân Bài 3. C ực tr ị c ủa hàm hai bi ến s ố Bài 1. CÁC KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN 1.1. T ập h ợp trong R n Xét không gian Euclide n chi ều ℝn ( n ≥ 2 ) và t ập h ợp D ⊂ ℝn . ℝn • M ột ph ần t ử x ∈ là m ột b ộ n s ố th ực (x1 , x 2 , , x n ) . Điểm M bi ểu di ễn ph ần t ử x được g ọi là có tọa độ (x1 , x 2 , , x n ) , ký hi ệu là Mxx(1 , 2 , , x n ) . Kho ảng cách gi ữa Mxx(1 , 2 , , x n ) , Nyy(1 , 2 , , y n ) được ký hi ệu và định ngh ĩa là dMN xy2 xy 2 xy 2 (,)= (11 − )( +− 22 ) ( ++−n n ) . ℝn • Xét điểm M 0 ∈ và s ố th ực ε > 0 bé tùy ý, ta g ọi ε −lân c ận (g ọi t ắt là lân c ận) c ủa điểm M 0 là t ập ℝn hợp t ất c ả các điểm M ∈ sao cho d( M0 , M ) 0 . T ập h ợp t ất c ả các điểm M sao cho dMM(0 , ) < r được g ọi là qu ả c ầu m ở tâm M 0 , bán kính r ; t ập h ợp các điểm M th ỏa dMM(0 , ) ≤ r được g ọi là qu ả c ầu đóng tâm M 0 , bán kính r ; t ập h ợp các điểm M th ỏa dMM(0 , ) = r được g ọi là mặt c ầu tâm M 0 , bán kính r . T ập h ợp D được g ọi là bị ch ặn n ếu t ồn t ại m ột qu ả c ầu đóng ch ứa D . • Tập h ợp D được g ọi là tập liên thông n ếu ta có th ể n ối hai điểm b ất k ỳ thu ộc D b ởi m ột đường cong liên t ục nằm hoàn toàn trong D (H.1.1.2). T ập liên thông D được g ọi là đơ n liên n ếu D có biên là một m ặt cong kín (H.1.1.3); t ập liên thông D có biên là hợp c ủa nhi ều mặt cong kín r ời nhau được g ọi là đa liên (H.1.1.4). Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 20 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 1.2. Hàm s ố nhi ều bi ến • Trong ℝn cho t ập D ≠ φ . Ánh x ạ f: D → ℝ xác định b ởi ֏ ℝ D⊃(, xx12 , , xn ) ufxx = (, 12 , , x n ) ∈ được g ọi là hàm s ố n bi ến s ố. T ập D được g ọi là mi ền xác đị nh c ủa hàm s ố f , ký hi ệu là Df . Các bi ến x1, x 2 , , x n là các bi ến độ c l ập. N ếu Mxx(1 , 2 , , x n ) thì ta có th ể vi ết u= f( M ) . Khi n = 3 , ta được hàm s ố ba bi ến s ố và th ường được vi ết là u= fxyz(, , ) . • Khi n = 2 , ta được hàm s ố hai bi ến s ố và th ường được vi ết là z= fxy( , ) . Giá tr ị z= fxy( , ) được g ọi là giá tr ị c ủa f tại (x , y ) và miền giá tr ị c ủa hàm f là ℝ G=∈={ z | z fxyxy (,),(,) ∈ D f } . Đồ th ị c ủa hàm z= fxy( , ) là t ập h ợp t ất c ả các điểm N(, x y , f ( M )) trong không gian Oxyz , v ới Mxy( , ) ∈ D f (H.1.1.5). Chú ý • Trong tr ường h ợp khi xét hàm s ố f( M ) mà không nói gì thêm thì ta hi ểu mi ền xác đị nh c ủa hàm s ố là tập t ất c ả các điểm M ∈ ℝn sao cho f( M ) có ngh ĩa. Mi ền xác đị nh c ủa hàm f th ường là t ập liên thông. • Trong ch ươ ng trình, ch ủ y ếu ta ch ỉ xét hàm s ố f( x , y ) và f(, x y , z ) . 2 ℝ2 VD 1. Hàm s ố fxy(,)= 3 xy − cos xy có Df = . VD 2. Hàm s ố z=4 − x2 − y 2 có mi ền xác đị nh (MX Đ) là hình tròn đóng tâm O(0,0) , bán kính 22 22 R = 2 n ằm trong m ặt ph ẳng Oxy . Vì MxyD(,)∈z ⇔−− 4 xy ≥⇔ 0 xy + ≤ 4 . xy VD 3. Hàm s ố z = có MX Đ là n ửa m ặt phẳng trong Oxy , nằm phía trên đường th ẳng 1 −x + y y= x − 1 . Vì MxyD(,)∈z ⇔−+>⇔>− 1 xy 0 yx 1 . Bài 2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng 2.1.1. Đạo hàm riêng c ấp 1 Định ngh ĩa ℝ2 Gi ả s ử hàm s ố f( x , y ) xác định trên mi ền m ở D ⊂ ch ứa điểm M0( x 0 , y 0 ) . Cố đị nh y= y 0 , nếu hàm số một bi ến f( x , y 0 ) có đạo hàm t ại x 0 thì ta g ọi đạ o hàm đó là đạo hàm riêng theo bi ến x c ủa hàm s ố f( x , y ) t ại (x0 , y 0 ) , ký hi ệu là: ∂f f′( x , y ) hay (x , y ) hay f( x , y ) . x 0 0 ∂x 0 0 x 0 0 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 21 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Vậy fxy(,)− fxy (,) ′ 0 0 0 fx ( x0 , y 0 )= lim x→ x 0 x− x 0 Tươ ng t ự, đạo hàm riêng theo bi ến y t ại (x0 , y 0 ) là fxy(,)− fxy (,) ′ 0 0 0 fy ( x0 , y 0 )= lim y→ y 0 y− y 0 Chú ý • Các quy t ắc tính đạ o hàm c ủa hàm s ố m ột bi ến đề u đúng cho đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố nhi ều bi ến. • Hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự, ch ẳng h ạn fxyz(,,)− fxyz (,,) ′ 00 000 fx ( x0 , y 0 , z 0 )= lim . x→ x 0 x− x 0 VD 1. Tính các đạo hàm riêng c ủa hàm s ố fxy(,)= xy45 − 4 xy 32 −+ 3 x 2 y 3 t ại (1;− 1) . x3+ y 3 VD 2. Tính các đạo hàm riêng c ủa hàm s ố z = . x2− y 2 y 2 VD 3. Tính các đạo hàm riêng c ủa hàm s ố z = arctan . x VD 4. Tính các đạo hàm riêng t ại (1,− 1, − 2) c ủa hàm s ố fxyz(,,)= ln( xy2 + z 2 ) . 2.1.2. Đạo hàm riêng c ấp cao ′ ′ • Các đạo hàm riêng (n ếu có) c ủa các hàm s ố fx ( x , y ) , fy ( x , y ) được g ọi là các đạo hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố f( x , y ) , ký hi ệu là: ∂2 f ∂ ∂ f  f′′= ( f ′ ) ′ hay =   hay f= ( f ) , 2 x x 2   xx xx x ∂x ∂x ∂ x   Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 22 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc ∂2 f ∂ ∂ f  f′′= ( f ′ ) ′ hay =   hay f= ( f ) , 2 y y 2   yy y y y ∂y ∂y ∂ y  ∂2 f ∂ ∂ f  f′′ f ′ ′ hay   hay f f , xy= ( xy ) =   xy= ( xy ) ∂∂yx ∂ y ∂ x  ∂2 f ∂ ∂ f  f′′ f ′ ′ hay   hay f f . yx= ( y ) x =   yx= ( y ) x ∂∂xy ∂ x ∂ y  • Các hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến và đạo hàm riêng c ấp cao h ơn hai có định ngh ĩa t ươ ng t ự, ch ẳng h ạn: fxy(5) (,)= (((( fxy′ (,))))) ′ ′ ′ ′ = ( fxy ′′ (,)) ′′′ , f(6) (,,) xyz= ((( fxyz′′ (,,)))) ′ ′ ′′ . x2 y 3 x xyyy x2 y 3 x22 yxz x 2y x z 2 VD 5. Tính các đạo hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố fxy(,)= xy34 − 2 xy 23 . VD 6. Cho hàm s ố fxy( , ) = xy52 + xy 23 −+ x 4 y 5 . Tính đạo hàm riêng c ấp n ăm f (5) (1,− 1) . x3 y 2 Định lý Schwarz ′′ ′′ ℝ2 Nếu hàm s ố f( x , y ) có các đạo hàm riêng c ấp hai fxy ( x , y ) và fyx ( x , y ) liên t ục trong mi ền m ở D ⊂ ′′ ′′ thì fxy(,) xy= f yx (,) xy . Chú ý • Định lý Schwarz còn được phát bi ểu cho đạ o hàm c ấp n c ủa hàm s ố n bi ến fxx(1 , 2 , , x n ) . Ch ẳng h ạn, ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ hàm s ố f(, x y , z ) có các đạo hàm riêng c ấp ba fxyz , fxzy , fyxz , fyzx , fzxy và fzyx liên t ục trong mi ền m ở V ⊂ ℝ3 thì chúng b ằng nhau. • Ứng d ụng c ủa đị nh lý là, khi hàm nhi ều bi ến có các đạ o hàm riêng liên t ục thì ta có th ể thay đổ i th ứ t ự lấy đạ o hàm theo các bi ến m ột cách tùy ý. VD 7. Cho hàm s ố z= e 3x− 2 y . Tính z(n+ 5) ( x , y ) . x5 y n Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 23 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 2.2. Vi phân 2.2.1. Vi phân cấp 1 Gi ả s ử hàm số f( x , y ) liên t ục trong lân c ận của điểm M0( x 0 , y 0 ) . Cho x m ột s ố gia x và y m ột s ố gia y , khi đó hàm số f( x , y ) có t ươ ng ứng s ố gia là: =f fx(0 + xy , 0 +− y )(,) fxy 00 fx xy y fxy y fxy yfxy f f =[(0 + , 0 +− )(, 00 + )] +[(,00 +− ) (,)] 00 =+x y . Gi ả s ử hàm s ố f( x , y ) có các đạo hàm riêng t ại điểm M 0 , áp d ụng công th ức s ố gia gi ới n ội cho hàm s ố một bi ến ta có: f xfx′ xy y f yfxy′ y =x.( x 0 +θ 1 , 0 + ) và =y.(, y 0 0 +θ 2 ) (trong đó 0<θ1 < 1 và 0<θ2 < 1 ). ′ ′ Bây gi ờ, n ếu gi ả s ử thêm fx và fy liên t ục t ại điểm M 0 thì:  ′ ′ limfxx (+θ xy , + y ) = fxyx (,) =f fxy′( , ) + xε x (x , y ) → (0,0) 010 00  x x 0 0 1  ⇒   limfxy′ (,+θ y ) = fxy ′ (,) =f fxy′( , ) + yε y (x , y ) → (0,0) y002 y 00  y y 0 0 2 (trong đó ε1 → 0 , ε2 → 0 khi x → 0 và y → 0 ). Suy ra ′ ′ =ffxyxfxyyx(,)00 + y (,) 00 ++ε 1 x ε 2 y . Mặt khác, đặ t ρ =( x )2 + ( y ) 2 , ta có: ε1x + ε 2 y lim= 0 ⇒ε1 +x ε 2 = y O () ρ . (x , y ) → (0,0) (x )2 + ( y ) 2 Vậy ′ ′ =f fxyx(,)00 + x fxy y (,) 00 + yO ()ρ (∗ ) . Định ngh ĩa • N ếu khi x → 0 và y → 0 mà f có th ể vi ết được dưới d ạng (∗ ) thì ta nói rằng hàm s ố f( x , y ) kh ả vi t ại điểm (x0 , y 0 ) . Đại l ượng ′ ′ fxyx(,)00 x + fxy y (,) 00 y ký hi ệu df( x0 , y 0 ) , được g ọi là vi phân toàn ph ần (g ọi t ắt là vi phân ) của hàm s ố f( x , y ) t ại điểm (x0 , y 0 ) . • T ươ ng t ự nh ư hàm s ố m ột bi ến, n ếu x và y là bi ến độ c l ập thì dx= x và dy= y . Vậy, ta có công th ức vi phân c ủa f( x , y ) t ại (x , y ) là ′ ′ dfxy(,)= fx (,) xydx + f y (,) xydy • Vi phân c ủa hàm số nhi ều h ơn hai bi ến s ố có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự, ch ẳng h ạn ′ ′ ′ dfxyz(,,)= fx (,,) xyzdx + f y (,,) xyzdy + f z (,,) xyzdz • Hàm s ố f được g ọi là kh ả vi trong mi ền V ⊂ ℝn n ếu f kh ả vi t ại m ọi điểm thu ộc V . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 24 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 8. Tính df( x , y ) c ủa hàm s ố fxy(, )= sin( xy2 ) . VD 9. Cho fxyz(, , ) = ze3x− 3 y . Tính df (3, 1,− 1) . 2.2.2. Vi phân c ấp cao 2.2.2.1. Định ngh ĩa • Gi ả s ử f( x , y ) là hàm kh ả vi v ới x , y là hai bi ến độ c l ập và ′ ′ dfxy(,)= fx (,) xydx + f y (,) xydy . Gi ả s ử df( x , y ) c ũng kh ả vi, khi đó vi phân c ủa df( x , y ) , ký hi ệu là dfxy2 (,)= ddfxy ( (,)) , được g ọi là vi phân toàn ph ần c ấp hai (g ọi t ắt là vi phân c ấp hai ) c ủa hàm s ố f( x , y ) . • Ti ếp t ục đị nh ngh ĩa nh ư trên, ta được vi phân c ấp ba của hàm s ố f( x , y ) là dfxy3(,)= ddfxy ( 2 (,)) , ., vi phân c ấp n của hàm s ố f( x , y ) là dfxyn(,)= dd ( n −1 fxy (,)) . 2.2.2.2. Công th ức tính • Do x , y là hai bi ến độ c l ập nên các s ố gia dx= x , dy= y là h ằng s ố đố i v ới x và y . Ký hi ệu (dx ) n= dx n và (dy ) n= dy n , ta có: 2 ′ ′ dfxy(,)= df ((,)x xydx + f y (,)) xydy ′ ′′′ ′′ =[(,)fx xydx + f yxx (,)] xydy dx + [(,) f xydx + f yy (,)] xydydy =[(,)f′′ xydx + f ′′ (,)] xydydx + [(,) f ′′ xydx + f ′′ (,)] xydydy x2 xy xy y 2 =f′′(,)() xydx2 + 2(,) f ′′ xydxdy + f ′′ (,)() xydy 2 . x2 xy y 2 V ậy ta có công th ức vi phân c ấp hai c ủa f( x , y ) là dfxy2(,)= f′′ (,) xydx 2 + 2(,) f ′′ xydxdy + f ′′ (,) xydy 2 x2 xy y 2 • T ươ ng t ự, ta có công th ức vi phân c ấp ba c ủa f( x , y ) là df33=+ fdx′′′3 f ′′′ dxdy 2 + 3 f ′′′ dxdy 23 + fdy ′′′ x3 xy 2 xy 2 y 3 Chú ý Nếu x và y là các bi ến trung gian ph ụ thu ộc vào bi ến s và t thì dxn≠ dx n , dyn≠ dy n nên các công th ức trên không còn đúng n ữa. Các ví d ụ sau đây ta ch ỉ xét tr ường h ợp các bi ến x và y độc l ập. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 25 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 2 VD 10. Cho hàm s ố fxy( , ) = e x− y . Tính d2 f (1,− 1) . VD 11. Tính vi phân c ấp 2 c ủa hàm s ố fxy(,)= ln( x − y 2 ) . VD 12. Tính vi phân c ấp 3 c ủa hàm số fxy( , ) = xy3 2 . VD 13. Tính vi phân d3 z c ủa hàm s ố z= e 2x− 3 y . VD 14. Tính d3 f( x , y ) c ủa hàm số fxy(,)= x2 cos2 y . Bài 3. C ỰC TR Ị C ỦA HÀM S Ố HAI BI ẾN 3.1. Cực tr ị đị a ph ươ ng Định ngh ĩa • Gi ả s ử hàm s ố z= fxy( , ) xác định trong mi ền D ch ứa M0( x 0 , y 0 ) . N ếu với m ọi điểm M( x , y ) thu ộc lân c ận c ủa M 0 nh ưng khác M 0 mà hi ệu f = fM() − fM (0 ) có d ấu không đổ i thì ta nói r ằng hàm s ố z= fxy( , ) đạt cực tr ị đị a ph ươ ng (g ọi t ắt là cực tr ị) t ại M 0 . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 26 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc • N ếu f > 0 thì hàm s ố f( x , y ) đạt cực tiểu t ại M 0 . Điểm M 0 được g ọi là điểm c ực ti ểu và f( M 0 ) được g ọi là giá tr ị c ực ti ểu c ủa f( x , y ) , ký hi ệu là fCT . • N ếu f = 0() fO .  2  4 Vậy hàm s ố f( x , y ) đạt c ực ti ểu t ại O(0,0) . 3.2. C ực tr ị t ự do 3.2.1. Định lý Điều ki ện c ần Nếu hàm s ố z= fxy( , ) đạt c ực tr ị t ại điểm M0( x 0 , y 0 ) và t ại đó hàm s ố có đạ o hàm riêng thì ′ ′ fxyx(,)00= fxy y (,) 00 = 0 ′ ′ Điểm M 0 th ỏa mãn fMx()0= fM y ()0 0 = được g ọi là điểm d ừng (hay điểm t ới h ạn). Điểm M 0 có th ể không ph ải là điểm c ực tr ị. Điều ki ện đủ Gi ả s ử hàm s ố z= fxy( , ) có điểm d ừng là M0( x 0 , y 0 ) và có đạo hàm riêng c ấp hai liên t ục trong m ột lân cận c ủa điểm M 0 . Ta đặt A= f′′ ( M ) , B= f′′ ( M ) , C= f′′ ( M ) và =AC − B 2 . x 2 0 xy 0 y2 0 Khi đó, ta có: 1) nếu > 0 và A > 0 thì f( x , y ) đạt c ực ti ểu t ại điểm M 0 ; 2) nếu > 0 và A < 0 thì f( x , y ) đạt c ực đạ i t ại điểm M 0 ; 3) n ếu < 0 thì f( x , y ) không đạt c ực tr ị t ại M 0 ; 4) n ếu = 0 thì ta ch ưa th ể k ết lu ận. Chú thích Cực tr ị lo ại này được g ọi là cực tr ị t ự do vì khi đi tìm điểm cực tr ị, ta xét các điểm M( x , y ) ch ạy kh ắp D mà không có s ự f ràng bu ộc nào (H.1.3.1). 3.2.2. Ph ươ ng pháp tìm c ực tr ị t ự do Gi ả s ử hàm s ố f( x , y ) có đạo hàm riêng c ấp hai liên t ục trên D ⊂ ℝ2 . Để tìm c ực tr ị c ủa f( x , y ) , ta th ực hi ện các b ước sau Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 27 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc • B ước 1. Tìm điểm d ừng b ằng cách gi ải h ệ ph ươ ng trình f′(,) x y = 0  x  f′(,) x y = 0  y • B ước 2. Gi ả s ử (x0 , y 0 ) là m ột nghi ệm c ủa h ệ và Mxy0( 0 , 0 ) ∈ D , ta tính: A= f′′ ( xy , ) , B= f′′ ( xy , ) , C= fxy′′ ( , ) ⇒= ACB − 2 . x 2 0 0 xy 0 0 y2 0 0 • B ước 3. Dựa vào điều ki ện đủ của đị nh lý để k ết lu ận. VD 1. Tìm điểm d ừng c ủa hàm s ố fxy(,)= x3 ++ y 3 3 y 2 − 125 x − . VD 2. Tìm giá tr ị c ực tr ị c ủa hàm s ố fxy(,)=−− x2 3 y 2 − 2 xy + 43 x − . VD 3. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố fxy(,)= x4 + y 4 − 4 xy + 1 . 1 1 VD 4. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= xy + + . x y Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 28 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 5. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố fxy(,)25= x3 + x 2 + xy 22 +− y 4 . 3.3. C ực tr ị có điều ki ện Gi ả s ử hàm s ố z= fxy( , ) có đồ th ị là S c ắt hình tr ụ theo giao tuy ến là m ột đường cong C . G ọi hình chi ếu c ủa C trên Oxy là đường cong ():γ ϕ (,)x y = 0 . Nếu t ại điểm M 0 ∈ (γ ) hàm số f( x , y ) đạt c ực tr ị thì ta nói M 0 là điểm c ực tr ị có điều ki ện của f( x , y ) v ới điều ki ện ràng bu ộc ϕ(,)x y = 0 (H.1.3.2). Chú thích • C ực tr ị có điều ki ện khác c ực tr ị t ự do ở ch ỗ khi đi tìm điểm cực tr ị, ta ch ỉ xét các điểm M( x , y ) ch ạy trên đường cong (γ ) ⊂ Df . • Để tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= fxy( , ) v ới điều ki ện ϕ(,)x y = 0 , ta dùng ph ươ ng pháp kh ử ho ặc ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange . 3.3.1. Ph ươ ng pháp kh ử Gi ả s ử c ần tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= fxy( , ) liên t ục trên mi ền D th ỏa điều ki ện ϕ(,)x y = 0 ( ϕ(x , y ) kh ả vi), ta th ực hi ện các b ước sau • Bước 1. Từ ph ươ ng trình ϕ(,)x y = 0 , ta gi ải y theo x (ho ặc x theo y ) và th ế vào hàm số z= fxy( , ) . • Bước 2. Ta tìm c ực tr ị c ủa hàm hợp một bi ến z= fxyx( , ( )) . VD 6. Tìm c ực tr ị c ủa hàm z= x2 + y 2 th ỏa mãn điều ki ện xy = 1. 3.3.2. Ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange Gi ả s ử c ần tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= fxy( , ) liên t ục trên mi ền D th ỏa điều ki ện ϕ(,)x y = 0 ( ϕ(x , y ) kh ả vi), ta th ực hi ện các b ước sau • B ước 1. L ập hàm ph ụ (hàm ph ụ còn được g ọi là hàm Lagrange ) Lxy(,)= fxy (,) + λϕ (,) xy Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 29 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc • B ước 2. Tìm điểm d ừng b ằng cách giải h ệ ph ươ ng trình Lxy′(,)= fxy ′ (,) +λϕ ′ (,) xy = 0  x x x Lxy′(,)= fxy ′ (,) +λϕ ′ (,) xy = 0  y y y  ϕ(,)x y = 0  Gi ả s ử ta có n điểm d ừng Mk( x k , y k ) ứng v ới λk (k= 1, , n ) . • B ước 3. Tính các vi phân: dLxy2(,)= L′′ (,) xydx 2 + 2(,) L ′′ xydxdy + L ′′ (,) xydy 2 , và x 2 xy y 2 ′ ′ dϕ(,) xy= ϕx (,) xydx + ϕ y (,) xydy . • B ước 4. Tại điểm Mk( x k , y k ) ứng v ới λk , ta gi ải: ′ ′ ϕxk()M dx+ ϕ yk () M dy = 0 ⇒ dy theo dx (ho ặc ng ược l ại). 2 2 2 Sau đó, thay vào d L( M k ) (chú ý dx+ dy > 0 ). Kết lu ận: 2 1) n ếu d L( M k )> 0 thì hàm s ố f( x , y ) đạt c ực ti ểu t ại điểm Mk ; 2 2) nếu d L( M k )< 0 thì hàm s ố f( x , y ) đạt c ực đạ i t ại điểm Mk . Chú ý Nếu t ừ vi phân d2 L( x , y ) mà ta có th ể k ết lu ận được c ực tr ị thì không c ần ph ải tính dϕ( x , y ) . VD 7. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố fxy(,)= x2 + 2 y 2 th ỏa mãn điều ki ện x2+ y 2 = 1. Chú ý Khi ta thay ϕ(,)x y = 0 b ởi m ột ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng thì nhân t ử λ s ẽ thay đổ i nh ưng không làm thay đổi k ết qu ả c ủa bài toán. x2 y 2 VD 8. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= xy th ỏa điều ki ện + = 1 . 8 2 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 30 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Ch ươ ng 3. M ỘT S Ố BÀI TOÁN KINH T Ế Bài 1. Bài toán lãi kép – Đánh thu ế doanh thu Bài 2. Bài toán tìm m ức s ản l ượng để doanh nghi ệp đạ t l ợi nhu ận t ối đa Bài 3. Bài toán ng ười tiêu dùng – Tìm đầu vào sao cho chi phí s ản xu ất nh ỏ nh ất CÁC KHÁI NI ỆM – KÝ HI ỆU TRONG KINH T Ế 1. Trung bình c ủa hàm H( V ) Xét hai đại l ượng kinh t ế H, V có m ối quan h ệ hàm v ới nhau: H= H( V ) . T ỉ s ố được g ọi là V hàm trung bình c ủa H , ký hi ệu là AH( V ) . VD. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất l ượng hàng Q và bán h ết v ới đơn giá là P thì t ổng doanh thu s ẽ là PQ R= PQ . Vậy AR= = P . Q Trong kinh t ế, đơn giá là trung bình c ủa doanh thu. 2. Biên t ế Biên t ế c ủa hàm H( V ) theo bi ến V t ại V0 là đại l ượng HV()− HV () 0 ′ lim= H () V 0 V→ V 0 V− V 0 ký hi ệu là MHV ( V 0 ) . Ch ẳng h ạn, biên t ế c ủa doanh thu R theo s ản l ượng Q t ại Q0 là đại l ượng mô t ả độ t ăng c ủa doanh thu Q MR Q R′ Q khi t ăng thêm 1 đơ n v ị t ại Q0 . Ta có Q ()0= () 0 . VD. Gi ả s ử chi phí C c ủa 1 doanh nghi ệp để s ản xu ất ra Q s ản ph ẩm là: 1 CQ=3 −10 Q 2 + 1000 Q + 70 ( đơ n v ị ti ền t ệ). 3 Sử d ụng biên t ế, ta ước l ượng chi phí để doanh nghi ệp s ản xu ất ra s ản ph ẩm th ứ 50 là: C ′(50)= 2500 ( đơ n v ị ti ền t ệ). Bảng ký hi ệu Ký hi ệu Ý ngh ĩa P Đơ n giá ( Price ) Q Số l ượng ( Quantity ) R Doanh thu ( Revenue ) Π Lợi nhu ận ( Profit ) C Chi phí ( Cost ) D Cầu ( Demand ) S Cung ( Supply ) T Thu ế ( Tax ) Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 31 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc BÀI 1. BÀI TOÁN LÃI KÉP – ĐÁNH THU Ế DOANH THU 1.1. Bài toán lãi kép • Gi ả s ử m ột ng ười g ửi s ố ti ền P0 vào m ột ngân hàng v ới lãi su ất s(%) trong th ời gian t . Sau th ời gian t thì ng ười đó có t ổng s ố ti ền là P=+ P0 sP 0 = P 0 (1 + s ) s • N ếu chia kho ảng th ời gian t ra làm n kho ảng b ằng nhau thì lãi su ất m ỗi kho ảng là (%) . n T ổng s ố ti ền cu ối kho ảng th ời gian th ứ nh ất ng ười đó có được là s s  PP P P   =+0 0 = 0 1 +  n n  • Ng ười đó l ại g ửi ti ếp s ố ti ền có được vào ngân hàng thì cu ối khoảng th ứ hai s ố ti ền có được là 2 ss  s s PP P   P   =01 ++ 0  1 +=  0  1 +  nn  n   n  Ti ếp t ục nh ư v ậy cho đế n cu ối k ỳ thì t ổng s ố ti ền ng ười đó có được là n s  P   0 1 +   n   • N ếu t ăng s ố l ần rút và g ửi lên vô h ạn l ần thì sau kho ảng th ời gian t , t ổng s ố ti ền ng ười đó có, được tính theo công th ức lãi kép liên t ục là s n n   s  s s  PP≈lim 1 += lim P  1 +=   Pe s n→∞0 n →∞  0    0 n  n    VD 1. Đầu tháng 1 n ăm 2010, m ột ng ười g ửi 100 tri ệu đồ ng ở 1 ngân hàng v ới lãi su ất 8% trên m ột n ăm và cu ối n ăm 2010 t ới nh ận. Tính t ổng s ố ti ền c ả v ốn l ẫn lãi ng ười đó nh ận được trong các tr ường h ợp sau: 1) Đầu n ăm g ửi đế n cu ối n ăm đế n nh ận; 2) M ỗi tháng đế n rút ti ền và g ửi l ại; 3) M ỗi ngày đến rút ti ền và g ửi l ại; 4) Lãi kép liên t ục. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 32 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 1.2. Bài toán đánh thu ế doanh thu Gi ả s ử m ột doanh nghi ệp s ản xu ất độc quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm. G ọi Q là s ản l ượng và P là giá bán 1 đơ n vị s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ường v ề lo ại s ản ph ẩm trên trong 1 đơ n v ị th ời gian là QD () P= DP () , t ổng chi phí là C= C( Q ) và t ổng s ố thu ế là T= T( t ) (v ới t là m ức thu ế doanh thu định trên m ột đơn v ị s ản ph ẩm). Ta có 3 bài toán sau đây • Bài toán 1 Tìm m ức s ản l ượng Q theo t để doanh nghi ệp đạ t m ức l ợi nhu ận t ối đa sau thu ế. M ức s ản l ượng này được g ọi là sản l ượng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp. • Bài toán 2 Tìm t để khi doanh nghi ệp đạ t m ức l ợi nhu ận t ối đa thì thu ế thu được t ừ doanh nghi ệp là l ớn nh ất. • Bài toán 3 Tìm t để sản l ượng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp đạ t m ột m ức t ối thi ểu hay t ối đa. Cách gi ải B ước 1. T ừ hàm c ầu ta tìm P theo Q . B ước 2. L ập các hàm: • T ổng thu ế doanh nghi ệp ph ải đóng là T= Qt , doanh thu c ủa doanh nghi ệp là R= RQ( ) = PQ . • L ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp thu được là: Π=R − C − T (doanh thu “–” chi phí “–” thu ế). B ước 3. • Tìm m ức s ản l ượng Q0( t ) theo t để hàm Π đạt giá tr ị l ớn nh ất (Bài toán 1). • T ừ Q0( t ) tìm được, ta tìm t để hàm T đạt giá tr ị l ớn nh ất (Bài toán 2). • Gi ải Q0( t ) ≥ Q hay Q0( t ) ≤ Q v ới Q là m ức s ản l ượng t ối thi ểu hay t ối đa (Bài toán 3). VD 2. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa lo ại s ản ph ẩm này và hàm 2 tổng chi phí sản xu ất l ần l ượt là QD ( P )= 800 − P và C= Q +200 Q + 100 . 1) N ếu bi ết m ức thu ế doanh thu đị nh trên m ột đơn v ị s ản ph ẩm là t thì doanh nghi ệp s ẽ ấn đị nh s ản lượng nh ư th ế nào để l ợi nhu ận sau thu ế là l ớn nh ất ? 2) Khi doanh nghi ệp đạt l ợi nhu ận sau thu ế l ớn nh ất, hãy tìm m ức thu ế doanh thu t áp trên m ột đơn v ị sản ph ẩm để t ổng thu ế thu được t ừ doanh nghi ệp này là l ớn nh ất ? 3) Nhu c ầu xã h ội c ần có t ối thi ểu 125 đơn v ị s ản ph ẩm c ủa doanh nghi ệp này. V ậy m ức thu ế doanh thu ch ỉ được áp t ối đa là bao nhiêu ? Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 33 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Bài 2. BÀI TOÁN TÌM M ỨC SẢN L ƯỢNG ĐỂ DOANH NGHI ỆP ĐẠ T L ỢI NHU ẬN T ỐI ĐA (Cực đạ i hóa l ợi nhu ận theo s ản l ượng ) 2.1. S ản xu ất trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo 2.1.1. Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm Trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo thì giá bán do th ị tr ường quy ết đị nh và không ph ụ thu ộc vào m ức s ản lượng c ủa doanh nghi ệp. Khi đó, t ổng doanh thu là R= PQ và hàm l ợi nhu ận là Π =R − C . Ta tìm m ức s ản l ượng Q để hàm Π đạt c ực đạ i. VD 1. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá c ủa s ản ph ẩm trên th ị tr ường là P = 130 ( đơ n v ị ti ền) và t ổng chi phí để s ản xu ất ra Q (Q > 1) đơ n v ị s ản ph ẩm 1 là C= QQ3 −+ 2 10 Q + 20 . Hãy tìm m ức s ản l ượng để l ợi nhu ận doanh nghi ệp đạt c ực đạ i ? 3 2.1.2. Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm Gi ả s ử m ột doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá bán c ủa các s ản ph ẩm là P1 , P2 ; hàm t ổng chi phí ph ụ thu ộc vào m ức s ản l ượng Q1 , Q2 là C= CQQ(1 , 2 ) . Tìm mức s ản l ượng t ươ ng ứng c ủa t ừng s ản ph ẩm mà doanh nghi ệp c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa. Cách gi ải B ước 1. L ập các hàm doanh thu và l ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp: R= PQ11 + PQ 22 và Π =R − C . * * B ước 2. Tìm hai m ức s ản l ượng d ươ ng Q1 , Q2 để hàm l ợi nhu ận Π đạt c ực đạ i. Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 34 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 2. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai s ản ph ẩm này trên th ị tr ường là P1 = 450 , P2 = 630 ( đơ n v ị ti ền). Bi ết hàm t ổng chi phí là: 2 2 CQQ(,)12=+ Q 1122 QQQ ++ 210 Q 1 + 360 Q 2 + 100 . Hãy tìm m ức s ản l ượng c ủa m ỗi s ản ph ẩm mà doanh nghi ệp c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? Chú ý Trong th ực t ế, n ếu b ị h ạn ch ế v ề v ốn thì doanh nghi ệp ph ải t ự ấn đị nh m ức phí t ối đa là C 0 . Khi đó, bài toán có thêm điều ki ện ràng bu ộc C≤ C 0 và tr ở thành bài toán c ực đạ i trên mi ền đóng, b ị ch ận có biên gồm nhi ều c ạnh. 2.2. S ản xu ất trong điều ki ện độ c quy ền 2.2.1. Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm • Trong điều ki ện sản xu ất độ c quy ền thì giá P c ủa s ản ph ẩm do doanh nghi ệp (DN) quy ết đị nh. L ượng cầu QD do ng ười tiêu dùng quy ết đị nh l ại ph ụ thu ộc vào P . Ta có quan h ệ hàm QD= Q D ( P ) . −1 • Mu ốn tiêu th ụ h ết s ản ph ẩm, ngh ĩa là Q= QD ( P ) , thì DN ph ải ấn đị nh m ức giá P= QD () Q = PQ () . Hàm t ổng doanh thu và l ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp lúc này là: RQ()= PQQ (). và Π =RQ() − CQ () . • T ừ Π =RQ() − CQ () , ta tìm được m ức s ản l ượng c ần s ản xu ất và giá bán để doanh nghi ệp có được l ợi nhu ận t ối đa. VD 3. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền một lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu v ề lo ại s ản ph ẩm này là QD =1200 − P và hàm t ổng chi phí để đạ t m ức s ản l ượng Q là CQ=0,253 − 30,625 Q 2 + 1528,5 Q + 20000 . Tìm m ức s ản l ượng và giá bán để doanh nghi ệp có lợi nhu ận c ực đạ i ? Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 35 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 2.2.2. Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm v ới s ản l ượng Q1 , Q2 . Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ường về hai lo ại s ản ph ẩm này là Q= DPP( , ) , Q= DPP( , ) và hàm t ổng chi phí là C= CQQ( , ) . D1 1 1 2 D2 2 1 2 1 2 Tìm m ức s ản l ượng c ủa hai lo ại s ản ph ẩm trên mà doanh nghi ệp c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? Cách gi ải B ước 1. Khi doanh nghi ệp định giá bán để bán h ết s ản ph ẩm thì: DPP112( , ) = Q 1 , DPP212( , ) = Q 2 (*). Gi ải hệ (*) ta được: P1= PQQ 112( , ) , P2= PQQ 212( , ) . B ước 2. Lập các hàm doanh thu và l ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp: R= PQQQ112(, ). 1 + PQQQ 212 (, ). 2 và Π =R − C . * * B ước 3. T ừ hàm Π =R − C , ta tìm các giá tr ị d ươ ng Q1 và Q2 để Π đạt c ực đạ i. VD 4. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu v ề hai lo ại s ản ph ẩm này là: Q=1200 − 2 P + P và Q=1440 + P − P D1 1 2 D2 1 2 và hàm t ổng chi phí s ản xu ất là CCQQ=(12 , ) = 480 Q 1 + 720 Q 2 + 400 . Tìm m ức s ản l ượng và giá bán tươ ng ứng mà doanh nghi ệp c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? Chú ý Tr ường h ợp DN s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm nh ưng được tiêu thụ ở 2 th ị tr ường tách bi ệt. Bi ết hàm c ầu c ủa t ừng th ị tr ường là Q= D( P ) , Q= D( P ) thì ta v ẫn gi ải nh ư trên v ới Q= Q + Q . D1 1 1 D2 2 2 1 2 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 36 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 5. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm và có 2 th ị tr ường tiêu th ụ tách bi ệt. Bi ết hàm c ầu v ề lo ại s ản ph ẩm này trên 2 th ị tr ường l ần l ượt là Q=310 − P , Q=350 − P , và hàm t ổng D1 1 D2 2 chi phí là CCQ=( ) =+ 20 30 QQ + 2 . Tìm m ức s ản l ượng và giá bán t ươ ng ứng trên m ỗi th ị tr ường để doanh nghi ệp có l ợi nhu ận t ối đa ? BÀI 3. BÀI TOÁN NG ƯỜI TIÊU DÙNG TÌM ĐẦU VÀO SAO CHO CHI PHÍ S ẢN XU ẤT NH Ỏ NH ẤT 3.1. Bài toán ng ười tiêu dùng B P P • Gi ả s ử m ột ng ười tiêu dùng d ự đị nh dùng s ố ti ền là để mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là 1, 2 v ới s ố lượng hàng s ẽ mua l ần l ượt là x và y . • Ng ười tiêu dùng s ẽ nh ận được l ợi ích t ừ s ố hàng đã mua. L ợi ích này là m ột hàm ph ụ thu ộc vào l ượng hàng ng ười đó mua và được g ọi là hàm l ợi ích hay h ữu d ụng ( utility function ), ký hi ệu là U= Uxy( , ) . • Tìm s ố l ượng các lo ại hàng trên mà ng ười tiêu dùng s ẽ mua sao cho giá tr ị s ử d ụng l ớn nh ất là tìm điểm cực đạ i c ủa hàm U( x , y ) v ới điều ki ện Px1+ Py 2 = B . B P P VD 1. M ột ng ười tiêu dùng dùng s ố ti ền là = 178 để mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là 1=4, 2 = 6 . Hàm l ợi ích cho 2 lo ại hàng là U=( x + 2)( y + 1) . Tìm s ố l ượng x, y c ủa hai lo ại hàng trên mà ng ười tiêu dùng s ẽ mua sao cho giá trị s ử d ụng là l ớn nh ất ? Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 37 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 3.2. Bài toán tìm đầu vào để chi phí s ản xu ất nh ỏ nh ất P P • Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm c ần 2 đầ u vào v ới đơn giá t ươ ng ứng là 1, 2 c ố đị nh. • Để có được m ức s ản l ượng Q thì DN c ần s ố l ượng đầ u vào t ươ ng ứng là x và y . Ta có hàm s ản xu ất Q= Qxy( , ) và chi phí là Cxy( , ) = Px1 + Py 2 . • Tìm s ố l ượng đầ u vào (x , y ) để DN s ản xu ất Q s ản ph ẩm v ới t ổng chi phí bé nh ất là tìm điểm c ực ti ểu của hàm Cxy( , ) = Px1 + Py 2 v ới điều ki ện Qxy( , ) = Q . VD 2. M ột DN s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm c ần l ượng đầ u vào (x , y ) v ới đơn giá là P1 = 10 , P2 = 40 . Bi ết hàm s ản xu ất Qxy(, )= 10 xy . Tìm s ố l ượng đầ u vào để doanh nghi ệp s ản xu ất 200 s ản ph ẩm v ới tổng chi phí bé nh ất ? Ch ươ ng 4. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I VÀ TÍCH PHÂN BỘI HAI C Ơ B ẢN Bài 1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề ph ươ ng trình vi phân Bài 2. Một s ố phươ ng trình vi phân c ấp 1 Bài 3. Tích phân kép c ơ b ản Bài 1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Định ngh ĩa ph ươ ng trình vi phân • Ph ươ ng trình ch ứa đạ o hàm hay vi phân c ủa 1 ho ặc vài hàm c ần tìm được g ọi là ph ươ ng trình vi phân . Ph ươ ng trình ch ứa đạ o hàm c ủa m ột bi ến độ c l ập được g ọi là ph ươ ng trình vi phân th ường ( Differential Equation ), ph ươ ng trình ch ứa đạ o hàm riêng được g ọi là ph ươ ng trình vi phân đạo hàm riêng ( Partial Differential Equation ). • C ấp cao nh ất c ủa đạ o hàm trong ph ươ ng trình vi phân được g ọi là cấp c ủa ph ươ ng trình vi phân đó. • D ạng t ổng quát c ủa ph ươ ng trình vi phân c ấp n là Fxyy(, ,′ , , y (n ) )= 0() ∗ . N ếu t ừ ( ∗ ) ta gi ải được theo y(n ) thì phươ ng trình vi phân có d ạng y(n )= fxyy(, ,′ , , y ( n − 1) ) . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 38 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc • Nghi ệm c ủa ( ∗ ) trên kho ảng D nào đó là hàm y= ϕ( x ) xác định trên D sao cho khi thay vào ( ∗ ) ta được đồ ng nh ất th ức trên D . Đồ th ị nghi ệm y= ϕ( x ) c ủa m ột ph ươ ng trình vi phân được g ọi là đường cong tích phân . • Gi ải m ột ph ươ ng trình vi phân là đi tìm t ất c ả các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình vi phân đó. Nghi ệm c ủa m ột ph ươ ng trình vi phân có th ể được bi ểu di ễn d ưới d ạng hàm ẩn. 1.2. Phươ ng trình vi phân c ấp 1 • D ạng t ổng quát của ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 là F(,, x y y ′ )= 0() ∗ . • Nghi ệm c ủa ( ∗ ) là hàm s ố y= y( x ) th ỏa ( ∗ ). • Nghi ệm y= y( x ) c ủa ( ∗ ) có ch ứa h ằng s ố C được g ọi là nghi ệm t ổng quát . x xy y • Khi th ế điều ki ện đầ u =0, = 0 vào nghi ệm t ổng quát ta được giá tr ị C 0 c ụ th ể và nghi ệm c ủa ( ∗ ) lúc này được g ọi là nghi ệm riêng . • Nghi ệm thu được tr ực ti ếp t ừ ( ∗ ) và không th ỏa nghi ệm t ổng quát được g ọi là nghi ệm k ỳ d ị. Chú ý Trong ch ươ ng trình, ta không xét nghi ệm k ỳ d ị và vi ệc gi ải ph ươ ng trình vi phân theo cách không đầy đủ (ngh ĩa là ta bỏ qua các điều ki ện có ngh ĩa). 2 VD. Phươ ng trình vi phân y′ − xy = 0 có nghi ệm t ổng quát là y= Ce x /2 . 2 2 Th ế x = 0 và y = 2 vào y= Ce x /2 ta được nghi ệm riêng là y= 2 e x /2 . Bài 2. M ỘT S Ố PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I 2.1. Ph ươ ng trình v ới bi ến phân ly 2.1.1. D ạng c ơ b ản Ph ươ ng trình vi phân v ới bi ến phân ly có d ạng fydy( )= gxdx ( ) (1) Ph ươ ng pháp gi ải Ta l ấy tích phân hai v ế c ủa (1): ∫fydy()= ∫ gxdx () . VD 1. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ y2− x 2 = 0 với điều ki ện đầ u y(0)= 2 . VD 2. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ = 3 x2 y . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 39 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 3. Gi ải ph ươ ng trình (x2 + 1) y′ + 3 xy ( −= 1) 0 . VD 4. Gi ải pt: xy(2+ cos yy )′ − 2 x 2 += 1 0 . 2.1.2. Dạng ph ươ ng trình đư a v ề bi ến phân ly (tham kh ảo) Ph ươ ng trình vi phân đư a v ề bi ến phân ly có d ạng    ax+ by + c  y′= f   (1 ′ ) ax′+ by ′ + c ′  a b trong đó =⇔0ax′ + by ′ =α ( x + by ) . a′ b ′ Ph ươ ng pháp gi ải B ước 1. Đặt u= ax + by ⇒ u′ =+ a by ′ . u′ − a B ước 2. (1′ )⇒ = g ( u ) (đây là ph ươ ng trình vi phân có bi ến phân ly). b 2.2. Ph ươ ng trình vi phân đẳng c ấp c ấp 1 2.2.1. D ạng c ơ b ản Ph ươ ng trình vi phân đẳng c ấp c ấp 1 có d ạng   y  y′ = f   (2) x   Ph ươ ng pháp gi ải y B ước 1. Đặt u= ⇒ y′ = uxu + ′ . x du dx B ước 2. (2)⇒+=u xu′ fu ( ) ⇒ = (đây là ph ươ ng trình vi phân có bi ến phân ly). fu( ) − u x y y y VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ = + ln . x x x Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 40 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc y Gi ải. Đặt u = , ph ương trình tr ở thành x du du dx d(ln u ) dx uxu+′ =+ uuuln ⇒ x = uu ln ⇒ =⇒ = dx uuxln∫ ln u ∫ x ⇒ln|lnu | = ln| x | + C ⇒ln|u | = ln| Cx | ⇒= u Ce x . Vậy nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình là y= Cxe x (chú ý các h ằng s ố C !). y2 x VD 5. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ = + . x y y π VD 6. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy′ − y = x tan với điều ki ện đầ u y(1) = . x 2 2.2.2. Ph ươ ng trình vi phân đư a v ề đẳ ng c ấp Ph ươ ng trình vi phân đư a v ề đẳ ng c ấp có d ạng y′= fxy( , ) (2 ′ ) trong đó, f( x , y ) là hàm đẳng c ấp b ậc 0: f(, kx ky )= f (,), x y ∀ k ∈ ℝ \{0} .   y  Ph ươ ng pháp gi ải. Ta biến đổ i (2′ ) ⇒y ′ = ϕ , r ồi gi ải ti ếp nh ư trên. x  VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân ydx+−( y xdy ) = 0, y (2) = 1 . Gi ải. Ph ươ ng trình tr ở thành y   dyyx u  y  = ⇒=y′ ⇒+= u xu ′ , u =  dx x− y y1 − u  x  1 − x 1−u dx 1 − u dx ⇒du =⇒ du = u2x∫ u 2 ∫ x 1 x 1 1 C − − ⇒−−ln|uC | += ln| x | ⇒ ln| xuC | =− ⇒xu = eu ⇒= y Ce y ( ∗ ). u u Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 41 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 2y− x Thay x=2, y = 1 vào nghi ệm t ổng quát ( ∗ ), ta được C= e 2 . V ậy nghi ệm riêng c ủa ( ∗ ) là y= e y . VD 7. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (2)x2 + xydx + xydy = 0 . 4x2+ xy + y 2 VD 8. Gi ải ph ươ ng trình y′ = với điều ki ện đầ u y(1)= 2 . x 2 2.2.3. Ph ươ ng trình vi phân khác đư a v ề đẳ ng c ấp (tham kh ảo)   a b  ax+ by + c  Ph ươ ng trình vi phân đư a v ề đẳ ng c ấp có d ạng y′= f   (2 ′′ ) , trong đó ≠ 0. ax′+ by ′ + c ′  a′ b ′ Ph ươ ng pháp gi ải  ax+ by + c = 0 B ước 1. Gi ải h ệ  ta được nghi ệm (x , y ) . a′ x+ by ′ + c ′ = 0 0 0  x X xyY y B ước 2. Đổi bi ến =+0, =+ 0 ta được: Y   a+ b  aX(+ x )( + bY + y ) + c  aX bY     0 0   +   X  (2′′ ) ⇒Y ′ = f   ⇒=Yf′  ⇒= Yf ′  . aX′(+ x )( + bY ′ + y ) + c ′  aXbY′+ ′   Y  0 0  a′+ b ′   X  Y B ước 3. Đặt u= ⇒ Y′ =+ uXu ′ ta được ph ươ ng trình vi phân đẳng c ấp. X 2.3. Phươ ng trình vi phân toàn ph ần Nếu hai hàm P( x , y ) , Q( x , y ) và các đạo hàm riêng c ủa chúng liên t ục trong mi ền m ở D , th ỏa điều ki ện ′ ′ Qxyx(,)= Pxy y (,),(,) ∀ xy ∈ D thì ph ươ ng trình vi phân có d ạng Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 (3) được g ọi là ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần. Nếu t ồn t ại hàm u( x , y ) sao cho duxy[(,)]= Pxydx (,) + Qxydy (,) thì nghi ệm t ổng quát c ủa (3) là uxy( , ) = C Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 42 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Nh ận xét ′ ′ uxyx(,)= Pxy (,), uxy y (,) = Qxy (,) Ph ươ ng pháp gi ải u′ = P(3 a )  x B ước 1. T ừ (3) ta có  u′ = Q(3 b ).  y B ước 2. L ấy tích phân (3 a) theo bi ến x ta được uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3 c), trong đó C( y ) là hàm theo bi ến y . ′ ′ ′ B ước 3. Đạo hàm (3 c) theo bi ến y ta được uy=ϕ y (,) xy + Cy () (3 d). B ước 4. So sánh (3 b) và (3 d) ta tìm được C( y ) . Thay C( y ) vào (3 c) ta được u( x , y ) . Các gi ải khác Nếu P( x , y ) và Q( x , y ) liên t ục t ại M0( x 0 , y 0 ) thì x y x y uxy(,)= Pxydx (,) + Qxydy (,) = Pxydx (,) + Qxydy (,) ∫0 ∫ ∫ ∫ 0 x0 y 0 x 0 y 0 VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (2x2+ xey − edx x )( + xe 2 y − ydy 3 )0 = . Gi ải. Ta có u′ P x2 xey ea x  x == +2 − ( ) y  ⇒P′ = Q ′ = 2 xe . u ′ = Qxey =2y − 3 ( b ) y x  y x 3 ()(,)a⇒ uxy = Pdx =+−+ xe2 y e x Cy () ⇒u′ = xe2 y + Cy ′ ( ) () c . ∫ 3 y y4 x 3 y 4 So sánh (b ) và (c ) ta được C′( y ) = − y 3 ⇒Cy() =−⇒ uxy (,) =+ xee2 y −− x . 4 3 4 x3 y 4 V ậy nghi ệm t ổng quát là +xee2 y −− x = C . 3 4 Cách khác x y uxy(,)(2=∫ x20 +−+ xe edxx ) ∫ ( xe 23 y − ydy )0 = 0 0 x y 3 4  3 4 x2x  2 y y  x2 y x y = +−x e +  xe −  = +x e −− e + 1. 3  4  3 4  0  0 x3 y 4 V ậy nghi ệm t ổng quát là +xee2 y −− x = C . 3 4 VD 9. Cho ph ươ ng trình vi phân (3y2++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 2 6 xy 3) dy = 0 ( ∗ ). 1) Ch ứng t ỏ ( ∗ ) là ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần. 2) Gi ải ph ươ ng trình ( ∗ ). Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 43 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc   x2 x 2 x  VD 10. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (2xye+ ln y ) dx ++ e dy = 0 , v ới y(0)= 1 .  y  2.4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 có d ạng y′ + pxy( ) = qx ( ) (4) trong đó p( x ) , q( x ) là các hàm liên t ục. Khi q( x )= 0 thì (4) được g ọi là ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 thu ần nh ất. • Xét ph ươ ng trình thu ần nh ất y′ + pxy( ) = 0 , ta có: dy dy − p( x ) dx =−pxy() ⇒ =− pxdx () ⇒ln||y =− pxdx () ⇒= y e ∫ . dx∫ y ∫ ∫ p( x ) dx Nhân hai v ế c ủa (4) v ới e∫ , ta được: ∫pxdx() ∫ pxdx () ∫ pxdx () d ∫pxdx()  ∫ pxdx () ye′.+ ypxe .(). = qxe (). ⇒ye. = qxe (). dx   pxdx() pxdx () − pxdx() pxdx ()  ⇒y. e∫ =∫ q (). x e ∫ dx + C ⇒ye =∫∫ qxe( ). ∫ dxC +  .   Ph ươ ng pháp gi ải − p( x ) dx B ước 1. Tìm bi ểu th ức A( x ) = e ∫ . q( x ) B ước 2. Tìm bi ểu th ức Bx( ) = dx . ∫ A( x ) B ước 3. Nghi ệm t ổng quát là y= AxBx() () + C  .   Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta ch ọn h ằng s ố là 0. • Ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố là đi tìm nghi ệm tổng quát c ủa (4) d ưới d ạng − p( x ) dx y= Cxe().∫ = CxAx ().() Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 44 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc y VD. Trong ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố, ta đi tìm nghi ệm t ổng quát c ủa y′ +2 = 4ln x x d ưới d ạng: x C( x ) C( x ) C( x ) C( x ) A. y = ; B. y = ; C. y = ; D. y = − . x 2 x 3 x x dx −2 − p( x ) dx ∫ ln x−2 C( x ) Gi ải. Ta có: y= Cxe()∫ = Cxe () x =Cxe( ) = ⇒ A . x 2 VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (4xy− 3) dx + ( x2 + 1) dy = 0 th ỏa điều ki ện đầ u y(0)= 1 . dyx4 3 4 x 3 Gi ải. Ph ươ ng trình vi phân tr ở thành =−y + ⇒+ y′ y = . dx x2+1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 4x 3 Ta có: px()= ,() qx = . x2+1 x 2 + 1 4x d( x 2 + 1) −dx − 2 ∫2 ∫ 2 1 Axe( ) =x+1 = e x + 1 = và (x 2+ 1) 2 q( x ) Bx( )= dx = 3( x2 +=+ 1) dxx 3 3 x . ∫A( x ) ∫ 1 Nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình là y=( xxC3 + 3 + ) . (x 2+ 1) 2 x3 +3 x + 1 Thay điều ki ện đầ u, ta được nghi ệm riêng là y = . x4+2 x 2 + 1 VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân yx′(+ y2 ) = y . dy x dx 1 Gi ải. Bi ến đổ i yxy′()+2 =⇒ y () xy + 2 = y ⇒+=y ⇒− x′ . xy = ( ∗ ). dx y dy y 1 Xem x là hàm, y là bi ến ta được: py()= − ,() qy = y . y dy ∫ q( y ) Ta có: Ay( ) = ey = y và By( ) = dyy = . ∫ A( y ) Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm là x= yy( + C ) . VD 11. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ +3 xy2 = 6 x 2 . VD 12. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy2 ′ + xy = 1 th ỏa điều ki ện đầ u y(1)= 2 . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 45 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD 13. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ sin xy+ cos xx = sin( x 2 ) . VD 14. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy′ ln x= y + exx (ln) x 2 , v ới y(2)= ln2 . 2.5. Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli có d ạng y′ + pxy( ) = qxy ( )α (5) trong đó 0≠α ≠ 1 , p( x )≡/ 0 và q( x )≡/ 0 . Ph ươ ng pháp gi ải y′ y B ước 1. Chia hai v ế c ủa (5) cho y α ta được: +px() = qx () ⇒yy′ −α + pxy()1 − α = qx (). yα y α B ước 2. Đặt zy=1−α ⇒ z′ =−(1α ) yy ′ − α , ta được: (5)⇒+−z′ (1α ) pxz ( ) =− (1 α ) qx ( ) (đây là ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp 1 v ới hàm z( x ) ). VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy′ − y = y2 ln x . 1 ln x Gi ải. Chia 2 v ế cho y 2 , ph ươ ng trình vi phân tr ở thành y′. y−2− y − 1 = . x x 1 ln x Đặt zy=−1 ⇒ z′ =− yy ′ − 2 , ta được z′ + z = − . x x 1 ln x Ta có: px()= ,() qx = − . x x dx − ∫ −ln x 1 q( x ) 1 Ax( ) = ex = e = và Bx()= dx =− ln xdxx =− ln x ⇒=z( x − ln xC + ) . x ∫A( x ) ∫ x x Vậy nghi ệm t ổng quát là y = . x−ln x + C Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 46 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc VD. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (sinx3 yxy− )′ + 2 y = 0 . dx Gi ải. Bi ến đổ i: pt⇒ x3 sin y + 2 y = x dy xsin y ⇒2yxx′ −=− x3 sin yx ⇒− ′ =− x 3 2y 2 y 1 sin y ⇒x′ x−3 −. x − 2 =− . 2y 2 y Đặt zx=−2 ⇒ z′ =− 2 xx ′ − 3 . 1 1 siny 1 sin y pt⇒− z′ − z =− ⇒+ zz ′ = . 2 2y 2 y yy dy −∫ 1 Aye()=y = ,() By = sin ydy =− cos y . y ∫ 1 1 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm =( − cosy + C ) . x 2 y 2 y 3 VD 15. Gi ải ph ươ ng trình vi phân y′ + y = . x x 2 3y′ x x + 1 VD 16. Gi ải ph ươ ng trình − +y = 0 . 2 y x Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 47 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Bài đọc thêm ỨNG D ỤNG C ỦA PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN 1. Điểm cân b ằng giá • Xét m ột lo ại hàng hóa. Gi ả s ử hàm c ầu QD và hàm cung QS cho b ởi: Q a bP Q c dP a b c d ℤ+ D = − và S = − + ( , , , ∈ ). a+ c Khi th ị tr ường cân b ằng, ngh ĩa là Q= Q , thì m ức giá s ẽ là P = . D S b+ d • Trong th ực t ế thì giá, l ượng cung, l ượng c ầu luôn thay đổ i và ph ụ thu ộc vào th ời gian t : P= PtQ(),DD = QPt (()), Q SS = QPt (()) . • T ại th ời điểm kh ảo sát t = 0 , m ức giá P(0) ≠ P . ′ Tốc độ t ăng hay gi ảm giá P( t ) t ỉ l ệ thu ận v ới QD− Q S . ′ Vậy Pt()=λ( QQD − S ) =−+ λ ()( bdPP − ),0 λ > . Đặt k=λ( b + d ) > 0 , ta có ph ươ ng trình vi phân v ới bi ến phân ly P′ = − kP( − P ) . Ph ươ ng trình này có nghi ệm t ổng quát là Pt( ) = P + Ce −kt . • Do k > 0 , nên limP () t= P . V ậy theo th ời gian, th ị tr ường s ẽ t ự điều ch ỉnh giá v ề m ức cân b ằng P . t→+∞ 2. Các ví d ụ VD 1. Cho hàm cung và c ầu c ủa m ột lo ại hàng hóa: ′ ′′ QS = −6 + 8 P và QD =42 − 4 PPP − 4 + . T ại th ời điểm t = 0 , ta có P(0)= 6 và P′(0)= 4 . Gi ả s ử hàng hóa được bán h ết t ại m ọi th ời điểm: ′′ ′ QQD= S ⇒ P −4 P − 12 P =− 48 (*). Gi ải (*), ta được nghi ệm t ổng quát: −2t 6 t Pt( ) = Ce1 + Ce 2 và nghi ệm riêng Pt( )= e−2t + e 6 t + 4 . Do lim = +∞ , nên ta k ết lu ận giá c ủa m ặt hàng này không ổn đị nh theo th ời gian. t→+∞ VD 2. Cho hàm cung và c ầu c ủa m ột lo ại hàng hóa: ′ ′′ QS = −5 + 3 P và QD =40 − 2 PPP − 2 − . T ại th ời điểm t = 0 , ta có P(0)= 12 và P′(0)= 1 . Gi ả s ử hàng hóa được bán h ết t ại m ọi th ời điểm: ′′ ′ QQD= S ⇒ P +2 P + 5 P = 45 ( ). Gi ải ( ), ta được nghi ệm t ổng quát: −t Pt()= eC (1 cos2 tC + 2 sin2) t + 9 . Và nghi ệm riêng Pte()=−t (3cos2 t + 2sin2) t + 9 . Do lim= 9 , nên ta k ết lu ận giá c ủa m ặt hàng này theo th ời gian s ẽ t ự điều ch ỉnh v ề m ức P = 9 . t→+∞ Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 48 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Bài 3. TÍCH PHÂN BỘI HAI C Ơ B ẢN 3.1. Bài toán m ở đầ u • Xét hàm s ố z= fxy( , ) không âm, liên t ục trên mi ền D ⊂ ℝ2 và có đồ th ị là S . M ột kh ối tr ụ có các đường sinh song song v ới tr ục Oz , đáy d ưới là mi ền D và đáy trên gi ới hạn b ởi m ặt S . • Để tính th ể tích V c ủa kh ối tr ụ, ta chia đáy D thành n ph ần Si (i= 1, , n ) không d ẫm lên nhau. Di ện tích của mỗi ph ần c ũng được ký hi ệu là S . i Trong m ỗi Si ta l ấy điểm Mi( x i , y i ) tùy ý. Khi đó, kh ối tr ụ được chia thành n kh ối tr ụ nh ỏ Vi có đáy là Si và chi ều cao x ấp x ỉ f( M i ) . n n Suy ra thể tích V c ủa kh ối tr ụ x ấp x ỉ V fxy S . ∑i = ∑ ( iii , ) i=1 i = 1 Gọi d dABAB Si n là đường kính c ủa S và đặt d dd d . i =max{ (,) , ∈=i ( 1, ,) } i = max{1 , 2 , ,n } n Nếu ta chia mi ền D càng m ịn, ngh ĩa là d càng bé, thì V càng g ần v ới V . Vậy ta có ∑ i i=1 n V=lim fxyS (, ) d→0 ∑ i i i i=1 3.2. Tích phân b ội hai 3.2.1. Định ngh ĩa • Cho hàm s ố f( x , y ) xác định trên mi ền D đóng và b ị ch ặn trong m ặt ph ẳng Oxy . Ta chia mi ền D (còn được g ọi là phân ho ạch mi ền D ) một cách tùy ý thành n ph ần Si ( i= 1, , n ) không d ẫm lên nhau, gọi di ện tích m ỗi ph ần là Si v ới đường kính t ươ ng ứng là di . Trong m ỗi Si ta ch ọn điểm tùy ý Mi( x i , y i ) và g ọi n I fxy S n=∑ ( iii , ) i=1 là tổng tích phân c ủa hàm s ố f( x , y ) trên mi ền D ứng v ới phân ho ạch mi ền D và cách ch ọn điểm Mi nh ư trên. • Đặt d= max{ dd1 , 2 , , d n } . Nếu gi ới h ạn n I=lim fxyS (, ) d→0 ∑ i i i i=1 Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 49 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc tồn t ại h ữu h ạn, không ph ụ thu ộc vào cách phân ho ạch mi ền D và cách ch ọn điểm Mi thì s ố th ực I được gọi là tích phân bội hai (hay tích phân kép ) của hàm s ố f( x , y ) trên mi ền D , ký hi ệu là I= ∫∫ fxydS( , ) D • Xét phân ho ạch mi ền D b ởi các đường th ẳng song song v ới Ox , Oy ta được S = x. y . Khi d → 0 thì  x → 0 S → 0 và  ⇒dS = dxdy . y → 0  Vậy ta có I= ∫∫ fxydxdy( , ) D • N ếu t ồn t ại tích phân ∫∫ f( x , y ) dxdy thì ta nói hàm f( x , y ) kh ả tích trên mi ền D . D 3.2.2. Tính ch ất c ủa tích phân b ội hai Gi ả thi ết r ằng các tích phân d ưới đây đề u t ồn t ại. T ừ đị nh ngh ĩa, ta có các tính ch ất sau 1) ∫∫ dxdy= S( D ) (di ện tích c ủa mi ền D ) D 2) ∫∫kfxydxdy.(,)= k ∫∫ fxydxdy (,) ( k ∈ ℝ ) D D 3) ∫∫[(,)fxy+ gxydxdy (,)] = ∫∫ fxydxdy (,) + ∫∫ gxydxdy (,) D D D 4) N ếu D được chia thành hai mi ền D1 và D2 không d ẫm nhau thì ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fxydxdy (,) + ∫∫ fxydxdy (,) D D1 D 2 5) N ếu 0≤fxy (,) ≤ gxy (,),(,) ∀∈ xy D thì ∫∫fxydxdy(,)≤ ∫∫ gxydxdy (,) D D 6) N ếu maxfxy ( , ) = M và minfxy ( , ) = m thì mSD.()≤ fxydxdy (,) ≤ MSD .() . D D ∫∫ D 3.3. Ph ươ ng pháp tính tích phân b ội hai 3.3.1. Định lý Fubini Gi ả s ử hàm s ố f( x , y ) kh ả tích trong hình thang cong D xyℝ2 axbyx yyx ={(,) ∈ | ≤≤ , 1() ≤≤ 2 () } y2 ( x ) trong đó yx(), y () x liên t ục trên [a , b ] và v ới m ỗi x∈ [ a , b ] c ố đị nh, tích phân f( x , y ) dy t ồn t ại thì 1 2 ∫ y1( x ) tồn t ại tích phân l ặp y x b 2 ( )    ∫∫fxydxdy(,)= ∫ ∫ fxydydx (,)    D ayx1( )  Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 50 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Tươ ng t ự, n ếu D xyℝ2 xy xxycyd v ới x y , x y liên t ục trên c d và ={(,) ∈ |()1 ≤≤ 2 (), ≤≤ } 1( ) 2( ) [ , ] x2 ( y ) ∫ fxydx(,)() y∈ [,] cd t ồn t ại thì x1( y ) x y d 2 ( )    ∫∫fxydxdy(,)= ∫ ∫ fxydxdy (,)    D cxy1( )  Chú ý 1) Tích phân l ặp b ội hai th ường được vi ết d ưới d ạng yx yx yx b2 ()  b2 () b 2 ()   ∫∫ fxydydx(,) = ∫∫ fxydydx (,) = ∫∫ dx fxydy (,) ,   ayx1()  ayx1 () ayx1 () xy xy xy d2 ()  d2 () d 2 ()   ∫∫ fxydxdy(,) = ∫∫ fxydxdy (,) = ∫∫ dy fxydx (,) .   cxy1()  cxy1 () cxy1 () 2) C ận tích phân a≤ x ≤ b ho ặc c≤ y ≤ d được g ọi là c ận c ụ th ể, c ận xy1()≤ x ≤ xy 2 () ho ặc yx1()≤ y ≤ yx 2 () là c ận không c ụ th ể (c ận ph ụ thu ộc). Trong tích phân l ặp, tích phân có c ận không c ụ th ể được đặ t ở gi ữa (ho ặc phía sau) để tính tr ước và tích phân có c ận c ụ th ể được đưa ra ngoài (ho ặc phía tr ước) để tính sau. x2 ( y ) 3) Khi tính tích phân ∫ f( x , y ) dx , ta xem y là h ằng s ố. x1( y ) y2 ( x ) Khi tính tích phân ∫ f( x , y ) dy , ta xem x là h ằng s ố. y1( x ) Các tr ường h ợp riêng 1) N ếu mi ền D là hình ch ữ nh ật [,]ab× [, cd ] , ngh ĩa là D={(,) xy ∈ℝ2 | axbcyd ≤≤ , ≤≤ } , thì bd db ∫∫fxydxdy(,)= ∫ ∫ fxydydx (,) = ∫ ∫ fxydxdy (,) D ac ca 2) N ếu D=[,] ab × [, cd ] và fxy(,)= uxvy ().() thì b  d     fxydxdy(,)= uxdx () ×  vydy ()  ∫∫ ∫  ∫  D a   c  3) N ếu D xyℝ2 axbyx yyx v ới y x , y x liên t ục trên a b và ={(,) ∈ | ≤≤ , 1() ≤≤ 2 () } 1( ) 2( ) [ , ] fxy(,)= uxvy ().() thì b y2 ( x ) ∫∫fxydxdy(,)= ∫ uxdx () ∫ vydy () D a yx1( ) Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 51 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc 4) N ếu D xyℝ2 xy xxycyd v ới x y , x y liên t ục trên c d và ={(,) ∈ |()1 ≤≤ 2 (), ≤≤ } 1( ) 2( ) [ , ] fxy(,)= uxvy ().() thì d x2 ( y ) ∫∫fxydxdy(,)= ∫ vydy () ∫ uxdx () D c xy1( ) 3.3.2. Ph ươ ng pháp tính 1) Tr ường h ợp mi ền D đã được bi ểu di ễn nh ư trong định lý thì ta vi ết thành tích phân l ặp r ồi tính. 2) Tr ường h ợp mi ền D ch ưa được bi ểu di ễn, ta th ực hi ện nh ư sau • Bước 1. D ựa vào ph ươ ng trình c ủa biên D , ta v ẽ và xác định mi ền D trên m ặt ph ẳng Oxy . • Bước 2. Chi ếu mi ền D lên tr ục Ox ho ặc Oy sao cho biên c ủa D được chia thành hai đường cong tr ơn. • Bước 3. Bi ểu di ễn D , vi ết tích phân thành tích phân l ặp r ồi tính. 3) Nếu khi chi ếu mi ền D lên c ả hai tr ục Ox và Oy mà biên c ủa D b ị chia thành hai đường cong tr ơn từng khúc thì ta ph ải chia D ra thành nh ững mi ền đơn gi ản h ơn. π π  VD. Tính tích phân I= 2 x cos ydxdy , trong đó Dxy=( , ) ∈ℝ2 −≤≤ 1 x 2, ≤≤ y  . ∫∫ 4 2  D   π   π 2   2      2   2  6 − 3 2      2   Gi ải. Ta có: I=×2 xdx cos ydy =  x sin y π  = . ∫  ∫   −1    −1  π   4  2     4  VD. Tính tích phân I=∫∫ (2 x + ydxdy ) , trong đó Dxy={(,) ∈ℝ2 | yx ≤≤−−≤≤ 1,2 y y 0} . D 01−y 0   1−y   2  4 Gi ải. Ta có: I= (2 xydxdy + ) = ( x + xy )  dy =− . ∫ ∫ ∫  y  3 −2y   − 2 VD. Đư a I= ∫∫ fxydxdy( , ) v ề d ạng tích phân l ặp, bi ết mi ền D được gi ới h ạn b ởi các đường: D y= x + 1 và y= x 2 − 1 . Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 52 01-09-2014
Đoàn V ươ ng Nguyên Bài gi ảng Toán Cao c ấp C1 Đại h ọc Gi ải. Hoành độ giao điểm c ủa y= x + 1 và y= x 2 − 1 là: x = − 1, x = 2 . Suy ra D=−≤≤{ 1 xx 2,2 −≤≤+ 1 yx 1} . 2x + 1 Vậy I= ∫ ∫ fxydydx( , ) . −1 x2 −1 VD. Tính tích phân I= ∫∫ y dxdy , trong đó mi ền D được gi ới h ạn b ởi các đường: D y= x − 4 và y2 = 2 x . Gi ải. Trong hình v ẽ bên ph ải ta th ấy r ằng, n ếu ta chi ếu mi ền D lên Ox thì D b ị chia thành hai ph ần. Do đó, ta chi ếu mi ền D lên Oy và vi ết l ại ph ươ ng trình c ủa các đường đã cho là: y 2 yx= −4 ⇔ xy = + 4 , và y2 =2 x ⇔ x = . 2  y 2  Suy ra Dxy=(,) ∈ℝ2 ≤≤+−≤≤ xy 4,2 y 4  .    2  4y+4 4 2   y  Vậy I= ydydx = yy +−4 dy = 18 . ∫ ∫ ∫  2  −2y2 − 2   2 VD 1. Tính tích phân I=∫∫ ( x − 3 ydxdy2 ) , với mi ền D =[0, 2] × [1, 2] . D VD 2. V ẽ mi ền D và tính I=∫∫ ( x + 2 ydxdy ) , với D={0 ≤≤ x 1, 2 xy2 ≤≤+ 1 x 2 } . D VD 3. Tính I= ∫∫ 2 x dxdy , trong đó mi ền D được gi ới h ạn b ởi y= x + 1 và y= x 2 − 1 . D VD 4. Tính I= ∫∫ xydxdy , bi ết mi ền D được gi ới h ạn b ởi y= x − 1 và y2 =2 x + 6 . D Hết Đại h ọc Công nghi ệp Tp. H ồ Chí Minh (IUH) Page 53 01-09-2014