Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương

173 trang huongle 2980

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_cao_cap_c1_doan_hong_chuong.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1 Đoàn Hồng Chương1 1Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Toán cao cấp C1 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1. Dãy số là một tập hợp các số x1, x2, . . . , xn, được viết theo một thứ tự nhất định. Kí hiệu (xn). • x1, x2, : số hạng. • xn : số hạng tổng quát. Cách cho một dãy số • Cho công thức số hạng tổng quát. • Cho công thức truy hồi. • Mô tả. Ví dụ 1.1. Cho các dãy số n 2 • (xn): xn = 2 + n , n = 1, 2, Trang 1
Toán cao cấp C1 • (xn): x1 = 1, xn+1 = 2xn + 3, n = 1, 2, • (xn) là dãy các số nguyên tố. Định nghĩa 1.2. Cho dãy số (xn). • (xn) được gọi là dãy số tăng nếu xn xn+1, ∀n ∈ N Ví dụ 1.2. Xét tính tăng giảm của các dãy số n n + 1 1. xn = , n = 1, 2, 2. x = , n = 1, 2, n + 1 n n Giải. 1. Ta có n + 1 n (n + 1)2 − n(n + 2) 1 x − x = − = = > 0, ∀n ∈ , n+1 n n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) N Trang 2
Toán cao cấp C1 nên xn+1 > xn, ∀n ∈ N. Vậy (xn) là dãy số tăng. 2. Ta có n + 2 n + 1 (n + 1)2 − n(n + 2) 1 x − x = − = − = − < 0, ∀n ∈ , n+1 n n + 1 n n(n + 1) n(n + 1) N nên xn+1 < xn, ∀n ∈ N. Vậy (xn) là dãy số giảm. Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (xn). • (xn) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho xn ≤ M, ∀n ∈ N. • (xn) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ N. • (xn) được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số thực m và M sao cho m ≤ xn ≤ M, ∀n ∈ N. Ví dụ 1.3. Xét tính bị chặn của các dãy số Trang 3
Toán cao cấp C1 2n n 1. x = , n = 1, 2, 2. xn = , n = 1, 2, n n + 1 n2 + 1 1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.4. Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (xn) nếu: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho |xn − a| n0. (1.1) Kí hiệu: lim xn = a. n→∞ • Nếu dãy số (xn) có giới hạn thì ta nói (xn) hội tụ. • Nếu dãy số (xn) không có giới hạn thì ta nói (xn) phân kì. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn của các dãy số n + 1 1 1. x = , n = 1, 2, 2. x = , n = 1, 2, n n n 2n Giải. n + 1 1. Ta dự đoán lim = 1, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi > 0, n→+∞ n Trang 4
Toán cao cấp C1 n + 1 ta cần tìm n0 ∈ N để bất đẳng thức − 1 n0. n n + 1 1 1 1 1 Từ − 1 = . Chọn n0 = + 1 thì n0 > . Do đó n n n + 1 − 1 n0. Vậy n 1 n + 1 ∀ > 0, ∃n0 = + 1 sao cho − 1 n0. n n + 1 Điều này chứng tỏ lim = 1. n→∞ n 1 2. Ta dự đoán lim = 0, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi > 0, ta n→+∞ 2n 1 cần tìm n0 ∈ N để bất đẳng thức − 0 n0. Từ 2n 1 1 1 1 1 − 0 = log . Chọn n0 = log + 1 thì n0 > log . Do 2n 2n 2 2 2 1 đó n − 0 n0. Vậy 2 1 1 ∀ > 0, ∃n0 = log + 1 sao cho − 0 n0. 2 2n Trang 5
Toán cao cấp C1 1 Điều này chứng tỏ lim = 0. n→+∞ 2n Dãy số dần đến vô cùng 3n n − 2n2 Ví dụ 1.5. 1. lim = +∞. 2. lim = −∞. 2 n + 1 1.3 Các tính chất Định lý 1.1. Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất. Định lý 1.2. Nếu dãy số (xn) có giới hạn thì nó bị chặn. Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho 3 dãy số (xn), (yn), (zn). Nếu yn ≤ xn ≤ zn, ∀n ∈ N và lim yn = lim zn = a, thì lim xn = a. 1 1 1 Ví dụ 1.6. Tìm giới hạn lim √ + √ + + √ . n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n Giải. Trang 6
Toán cao cấp C1 Từ 1 1 √ ≥ √ , n2 + 1 n2 + n 1 1 √ ≥ √ , n2 + 2 n2 + n 1 1 √ ≥ √ , n2 + n n2 + n suy ra n 1 1 1 √ ≤ √ + √ + + √ . n2 + n n2 + 1 n2 + 2 n2 + n Bằng cách tương tự, ta có 1 1 1 n √ + √ + + √ ≤ √ . n2 + 1 n2 + 2 n2 + n n2 + 1 n n Thêm nữa lim √ = lim √ = 1. Do đó n→∞ n2 + 1 n→∞ n2 + n 1 1 1 lim √ + √ + + √ = 1. n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n Trang 7
Toán cao cấp C1 Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn). Dãy tăng và bị chặn trên (hoặc dãy giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. √ Ví dụ 1.7. Tìm giới hạn của dãy số (x ) cho bởi công thức x = 2, x = √ n 1 n+1 2 + xn, n = 1, 2, Giải. Trước tiên ta chứng minh dãy số (xn) bị chặn. Thật vậy, bằng qui nạp, ta có √ √ √ x1 = 2 0, ∀n ∈ N và xn 0, ∀n ∈ N, suy ra xn < xn+1, ∀n ∈ N. Trang 8
Toán cao cấp C1 Vậy (xn) là dãy tăng và bị chặn trên, do đó hội tụ. Đặt lim xn = a. Từ giả √ n→∞ thiết xn+1 = 2 + xn, cho n → ∞, ta có phương trình √ a = 2 + a. Phương trình có 2 nghiệm a = 2 và a = −1. Nghiệm a = −1 loại vì xn > 0, ∀n ∈ N. Vậy lim xn = 2. n→∞ Bảng một số giới hạn cơ bản 1 1n 1. lim = 0. 3. lim 1 + = e. n n √ 2. lim qn = 0, với |q| < 1. 4. lim n n = 1. Trang 9
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 1.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau 3n2 + 4n + 2 n + 2n 1. lim . 6. lim . n2 − 2n + 3 n + 1 √ 2. lim( n2 + n − n). √ 2n + 1n 3. lim( 3 n − n3 + n). 7. lim . 2n − 1 3 + 4n 4. lim n. 1 + 3.4 2 2 3n 2n + 5.6n n + 1 5. lim . 8. lim . 3n + 6n n2 + 2 Bài tập 1.2. Tìm giới hạn của các dãy số sau 2n 1 1. lim . 3. x1 = , xn+1 = xn(2 − xn), n ∈ . n! 2 N n 2 xn 2. lim . 4. x1 = 1, xn+1 = , n ∈ N. (n + 2)! 2 + xn Trang 10
Toán cao cấp C1 §2. Giới hạn hàm số 2.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Số thực L được gọi là giới hạn của hàm số f khi x dần tới x0 nếu và chỉ nếu ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b)\{x0}, |x − x0| 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x0 − x < δ ⇒ |f(x) − L| < . (2.3) Kí hiệu: lim f(x) = L. − x→x0 Trang 11
Toán cao cấp C1 Ví dụ 2.1. Tìm các giới hạn √ 1 + cos x 0 3 2 1. lim (dạng vô định ). x + x 0 x→π 2. lim (dạng vô định ). sin x 0 x→0± x 0 Giải. x x 2 cos2 cos 1 + cos x 2 2 1. Ta có lim = lim x x = lim x = 0. x→π sin x x→π 2 sin cos x→π sin √ √ 2( √2 2 x3 + x2 |x| 1 + x 1 + x, khi x > 0 2. Ta có = = √ . x x − 1 + x, khi x < 0 Do đó √ √ x3 + x2 x3 + x2 lim = 1 và lim − 1. x→0+ x x→0− x Giới hạn dần đến vô cùng và giới hạn tại vô cùng Ví dụ 2.2. Tìm các giới hạn sau 2x − 3 1 2. lim 2x−1 . 1. lim . ± x→±∞ 2x + 3 x→1 Trang 12
Toán cao cấp C1 Giải. 1. Ta có 3 x 1 − 2 − 3 x 3 lim = lim 2 = 1 (do lim = 0). x→+∞ 2x + 3 x→+∞ 3 x→+∞ 2x 1 + 2x 2x − 3 lim = −1 (do lim 2x = 0). x→−∞ 2x + 3 x→−∞ 2. Ta có 1 1 lim 2x−1 = +∞ (do lim = +∞). x→1+ x→1+ x − 1 1 1 lim 2x−1 = 0 (do lim = −∞). x→1− x→1− x − 1 2.2 Các tính chất Định lý 2.1. Giới hạn của hàm số (nếu có) là duy nhất. Định lý 2.2. Cho f :(a, b) → (c, d), g :(c, d) → R và x0 ∈ (a, b). Nếu lim f(x) = M, lim g(y) = N x→x0 y→M Trang 13
Toán cao cấp C1 thì lim g ◦ f(x) = N. x→x0 Định lý 2.3. Cho f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b). lim f(x) = L ⇔ với mọi dãy (xn), nếu xn → x0 thì dãy f(xn) hội tụ đến L . x→x0 Định lý 2.4 (Định lý kẹp). Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nếu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ (a, b) và lim g(x) = lim h(x) = L, x→x0 x→x0 thì lim f(x) = L. x→x0 sin x Ví dụ 2.3. Tính giới hạn lim . x→0 x Giải. Xét đường tròn lượng giác tâm O, bán kính OA = 1 và x là góc lượng giác của cung AC. Trang 14
Toán cao cấp C1 π 1 1 1 Nếu 0 < x < , thì S = sin x, S = x, S = tan x. 2 ∆AOC 2 hình quạt AOC 2 ∆AOB 2 Do đó sin x < x < tan x. Suy ra sin x π cos x < < 1, ∀x ∈ 0, . x 2 π Vì sin(−x) = − sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈ − , 0, theo bất đẳng 2 thức trên ta có sin x cos x < < 1. x Trang 15
Toán cao cấp C1 Vậy sin x π π cos x 0. 5. lim = 1. x→+∞ xα x→0 x sin x ax − 1 2. lim = 1. 6. lim = ln a(0 < a =6 1). x→0 x x→0 x tan x ln(1 + x) 3. lim = 1. 7. lim = 1. x→0 x x→0 x x 1 log (1 + x) 1 4. lim 1 + = e. 8. lim a = (0 < a =6 1). x→±∞ x x→0 x ln a Trang 16
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 2.1. Tính các giới hạn sau x2 − 9 1 − cos x 1. lim . 5. lim . x→3 x2 − 7x + 12 x→0 x sin x √ 4x 6. lim ( x2 + x − x). 2. lim √ . x→±∞ x→0 9 + x − 3 √3 2x − x2 x3 + 1 − 1 3. lim . 7. lim . x→2 x − 2 x→0 x π sin 3x lim − x tan x 4. lim . 8. π . x→0 tan 5x x→ 2 2 Bài tập 2.2. Tính các giới hạn sau 1. lim x. cot x. 3x+4 x→0 x + 2 √ 4. lim . ln x2 + 1 x→+∞ x − 3 2. lim √ . cot x 2 5. lim(1 + tan x) . x→0 x + 1 − 1 x→0 ln(cos x) ln x − 1 3. lim 2 . 6. lim . x→0 ln(x + 1) x→e x − e Trang 17
Toán cao cấp C1 §3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn 3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 (Vô cùng bé). Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng bé, viết tắt là VCB, khi x → x0 nếu lim f(x) = 0. (3.1) x→x0 Định nghĩa 3.2 (Vô cùng lớn). Cho hàm số f(x) các định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng lớn, viết tắt là VCL, khi x → x0 nếu lim |f(x)| = +∞. (3.2) x→x0 Ví dụ 3.1. Biểu thức nào sau đây là VCB, VCL? √ 1. f(x) = 5 1 − x − 1 khi x dần đến 0. 3tan x π − 2. f(x) = khi x dần đến . 2 2 1 3. f(x) = (cos x)x2 khi x dần đến 0. Trang 18
Toán cao cấp C1 3.2 So sánh các VCB và các VCL Định nghĩa 3.3 (So sánh các VCB). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x0. • Ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn g(x) nếu f(x) lim = 0. (3.3) x→x0 g(x) • Ta nói f(x) là VCB cấp thấp hơn g(x) nếu f(x) lim = ∞. (3.4) x→x0 g(x) Định nghĩa 3.4 (VCB tương đương). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x0. Ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → x0, kí hiệu f(x) ∼ g(x), nếu f(x) lim = 1. (3.5) x→x0 g(x) Ví dụ 3.2. Hãy so sánh cấp của các VCB sau 1. f(x) = ln(1 + x2), g(x) = x2 khi x → 0. Trang 19
Toán cao cấp C1 x2 2. f(x) = ln(cos x), g(x) = − khi x → 0. 2 √ √ 3. f(x) = 1 − 1 − 4x2, g(x) = 1 + 2x − 1 khi x → 0. Giải. ln(1 + x) f(x) ln(1 + x2) 1. Áp dụng công thức lim = 1, ta có lim = lim = 1. x→0 x x→0 g(x) x→0 x2 Vậy ln(1 + x2) ∼ x2 khi x → 0. ln(1 + x) 2. Bằng cách đổi biến t = −x, từ lim = 1, ta suy ra x→0 x ln(1 − x) lim = −1. x→0 x x sin x Thêm nữa, cos x = 1 − 2 sin2 và lim = 1, nên 2 x→0 x 2 x 2 x f(x) ln(cos x) ln(1 − 2 sin ) 2 sin lim = lim = lim 2 . 2 = 1. x→0 g(x) x→0 x2 x→0 2 x x2 − 2 sin − 2 2 2 x2 Vậy ln(cos x) ∼ − khi x → 0. 2 Trang 20
Toán cao cấp C1 3. Ta có √ √ f(x) 1 − 1 − 4x2 4x2 1 + 2x + 1 lim = lim √ = lim . √ = 0. x→0 g(x) x→0 1 + 2x − 1 x→0 2x 1 + 1 − 4x2 √ √ Vậy 1 − 1 − 4x2 là VCB cấp cao hơn 1 + 2x + 1 khi x → 0. Định nghĩa 3.5 (So sánh các VCL). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x0. • Ta nói f(x) là VCL cấp cao hơn g(x) nếu f(x) lim = ∞. (3.6) x→x0 g(x) • Ta nói f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x) nếu f(x) lim = 0. (3.7) x→x0 g(x) Định nghĩa 3.6 (VCL tương đương). Cho f(x) và g(x) là các VCL khi x → x0. Ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi x → x0, kí hiệu f(x) ∼ g(x), nếu f(x) lim = 1. (3.8) x→x0 g(x) Trang 21
Toán cao cấp C1 Ví dụ 3.3. Hãy so sánh các cấp của các VCL sau 1 1 1. f(x) = , g(x) = khi x → 0. x tan x √ √ 2. f(x) = x + x2 − x, g(x) = x2 + 1 + x2 khi x → −∞. Giải. f(x) tan x 1. Ta có lim = lim = 1, nên f(x) ∼ g(x) khi x → 0. x→0 g(x) x→0 x r 1 r 1 √ |x| 1 + − x 1 + + 1 f(x) x + x2 − x x x 2. Ta có = √ = = − (vì x < 0). g(x) x2 + 1 + x2 r 1 r 1 |x| 1 + + x2 x − 1 + x2 x2 Do đó r 1 √ 1 + + 1 x + x2 − x x lim √ = lim − = 0. x→−∞ x2 + 1 + x2 x→−∞ r 1 x − 1 + x2 Vậy f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x) khi x → −∞. Trang 22
Toán cao cấp C1 3.3 Ứng dụng VCB và VCL để tìm giớn hạn hàm số 0 Định lý 3.1 (Dạng vô định ). Cho f, g là các VCB khi x → x . 0 0 f(x) f1(x) Nếu f(x) ∼ f1(x) và g(x) ∼ g1(x), thì lim = lim . x→x0 g(x) x→x0 g1(x) Định lý 3.2 (Qui tắc ngắt VCB). Cho f, g là các VCB khi x → x0. Nếu f(x) là VCB cấp thấp hơn g(x) khi → x0 thì f(x) + g(x) ∼ f(x). Ví dụ 3.4. Tìm các giới hạn 1 − cos x 1 − cos 4x 2 p √ 1. lim . 2. lim . sin x x x→0 x2 x→0 x. tan 2x 3. lim 3 . x→0 x2 + x2 Giải. x2 1. Từ 1 − cos x ∼ khi x → 0, ta có 2 x2 1 − cos x 1 lim = lim 2 = . x→0 x2 x→0 x2 2 Trang 23
Toán cao cấp C1 (4x)2 2. Ta có 1 − cos 4x ∼ và tan 2x ∼ 2x khi x → 0. Do đó 2 (4x)2 1 − cos 4x lim = lim 2 = 4. x→0 x. tan 2x x→0 x.2x p √ p √ 3. Áp dụng công thức sin x ∼ x khi x → 0 ta có sin2 x x ∼ ( x x)2 khi x → 0. 3 3 3 Ta lại có x2 là VCB cấp cao hơn x2 nên x2 + x2 ∼ x2 . Vậy √ √ sin2 px x (px x)2 lim 3 = lim 3 = 1. x→0 x2 + x2 x→0 x2 ∞ Định lý 3.3 (Dạng vô định ). Cho f, g là các VCL khi x → x . ∞ 0 f(x) f1(x) Nếu f(x) ∼ f1(x) và g(x) ∼ g1(x), thì lim = lim . x→x0 g(x) x→x0 g1(x) Định lý 3.4 (Qui tắc ngắt VCL). Cho f, g là các VCL khi x → x0. Nếu f(x) là VCL cấp cao hơn g(x) khi → x0 thì f(x) + g(x) ∼ f(x). Ví dụ 3.5. Tìm các giới hạn sau Trang 24
Toán cao cấp C1 √ 3 √ √ 7x − x5 + 6x 2. lim x4 + 1 − x4 + 3x2 . 1. lim √ . x→∞ x→∞ 13x3 + x2 − 6 x Giải. √ 1. f(x) = 7x3 − x5 + 6x Xét biểu thức √ . √ Ta có 7x3 là VCB cấp cao hơn x5 và 6x khi x → ∞ nên 7x3 − x5 +6x ∼ 7x3. 3 2 √ 3 Tương tự 13x + x√ − 6 x ∼ 13x . 7x3 − x5 + 6x 7x3 7 Vậy lim √ = lim = . x→∞ 13x3 + x2 − 6 x x→∞ 13x3 13 2. Ta có √ √ 1 − 3x2 lim x4 + 1 − x4 + 3x2 = lim √ √ x→∞ x→∞ x4 + 3x2 + x4 + 1 √ √ √ √ Áp dụng qui tắc ngắt VCL, ta có x4 + 1 ∼ x4 và x4 + 3x2 ∼ x4 khi x → ∞. Do đó 1 − 3x2 1 − 3x2 1 − 3x2 3 lim √ √ = lim √ = lim = − . x→∞ x4 + 3x2 + x4 + 1 x→∞ 2 x4 x→∞ 2x2 2 Trang 25
Toán cao cấp C1 Bảng một số VCB tương đương 1. sin x ∼ x khi x → 0. x2 5. 1 − cos x ∼ khi x → 0. 2 tan x ∼ x x → 0 2. khi . 6. ln(1 + x) ∼ x khi x → 0. 3. arcsin x ∼ x khi x → 0. 7. ex − 1 ∼ x khi x → 0. 4. arctan x ∼ x khi x → 0. 8. (1 + x)k − 1 ∼ kx khi x → 0. BÀI TẬP Bài tập 3.1. Tính các giới hạn sau 1 − sin 4x − cos 4x ln(1 + tan x) 1. lim . 4. lim . x→0 1 + sin 4x − cos 4x x→0 x + sin3 x √ sin 2x − tan 2x 1 − 1 − 4x2 2. lim . 5. lim √ . x→0 x3 x→0 1 − arctan x sin2 3x e2x − 1 3. lim 2 . 6. lim . x→0 ln (1 + 2x) x→0 ln(1 − 4x) Trang 26
Toán cao cấp C1 √ p5 (1 − x)3 − 1 4 1 + x2 + x3 − 1 7. lim . 8. lim . x→0 (1 + x)p3 (1 + x)2 − 1 x→0 ln cos x Bài tập 3.2. Tính các giới hạn sau √ ex2 − 1 3 8 + 3x − 2 1. lim √ . 4. lim √4 . x→0 1 + sin2 x − 1 x→0 16 + 4x − 2 √ √ p √ tan x + 1 − sin x + 1 2 sin x2 + x3 + ln(1 + x) 2. lim . 5. lim p √ . x→0 x3 x→0 x + x x √ ln(1 + x − 3x2 + 2x3) 3 e1−x − 1 3. lim . 6. lim . x→0 ln(1 + 3x − 4x2 + x3) x→1 ln cos(x − 1) Bài tập 3.3. Tính các giới hạn sau 3x+4 x+1 √ 1 x + 2 x2 − 51−x 5. lim (cos x)x . 1. lim . 3. lim . x→0 x→∞ x − 3 x→∞ 2 x + 1 tan x 2 6. lim(sin x) . 2 x +1 x→0 x + 1 1 2. lim . 4. lim(1 − 2x)x . x→∞ x2 + 9 x→0 Trang 27
Toán cao cấp C1 Bài tập 3.4 (Lãi suất kép-Interest compounding). Suppose that starting out with a principal P (or capital) of $1, we find that a hypothetical banker to offer us the unusual interest rate of 100% per annum ($1 interest per year). If interest is to be compounded once a year, the value of our asset at the end of year will be $2; we shall denote this value by V (1), where the number in parentheses indicates the frequency of compounding within 1 year: V (1) = P rincipal × (1 + interestrate) = 1 × (1 + 100%) = 2 If interest is compounded semiannually, however, an interest amounting to 50% of principal will accrue at the end of 6 months. We shall therefore have $1,50 as the new principal during the second-6 month period, in which interest will be calcu- lated at 50% of $1,50. Thus our year-end asset value will be $1,5×(1+50%), that is 12 V (2) = 1 + . 2 Trang 28
Toán cao cấp C1 13 14 By analogous reasoning, we can write V (3) = 1 + ,V (4) = 1 + , etc; 3 4 or, in general, 1n V (n) = 1 + , n where n represents the frequency of compounding in 1 year. In the limiting case, when interest is compounded continuously during the year, the value of the asset will grow in "snowballing" fashion, become at the end of 1 year lim V (n) = e. n→n Task: establish the continuous interest-compounding in these cases: • more years of compounding. • a principal other than $1. • a nominal interest rate other than 100%. Trang 29
Toán cao cấp C1 §4. Hàm số liên tục 4.1 Hàm số liên tục Định nghĩa 4.1. Cho hàm số f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: 1. tồn tại giới hạn lim f(x); c→x0 2. lim f(x) = f(x0). x→x0 Ví dụ 4.1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0. √  x2 + 1 − 1  , khi x =6 0; f(x) = x  0, khi x = 0. √ 1 2 x2 + 1 − 1 x Giải. Ta có lim = lim 2 = f(0) = 0. Vậy hàm số f(x) liên tục x→0 x x→0 x tại x0 = 0. Định nghĩa 4.2. Cho hàm số f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Trang 30
Toán cao cấp C1 1. Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên trái tại điểm x0 nếu • tồn tại giới hạn lim f(x); − x→x0 • lim f(x) = f(x0). − x→x0 2. Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên phải tại điểm x0 nếu • tồn tại giới hạn lim f(x); + x→x0 • lim f(x) = f(x0). + x→x0 Định lý 4.1. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại điểm x0. Định nghĩa 4.3. Hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ (a, b) và liên tục bên phải tại điểm a, liên tục bên trái tại điểm b. Định lý 4.2. Cho hàm f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. Trang 31
Toán cao cấp C1 Ví dụ 4.2. Chứng minh rằng phương trình x.2x − 1 = 0 chỉ có một nghiệm trên khoảng (0, 1). Định lý 4.3. Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. 4.2 Khái niệm về điểm gián đoạn Định nghĩa 4.4. Nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f(x) gián đoạn tại x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của f(x). Ví dụ 4.3 (Các điểm gián đoạn). Định nghĩa 4.5. Giả sử f(x) gián đoạn tại x0. Khi đó • Nếu tồn tại lim nhưng f(x0) không xác định hoặc lim f(x) =6 f(x0) thì x0 x→x0 x→x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được. • Nếu tồn tại lim f(x), lim f(x) nhưng lim f(x) =6 lim f(x) thì x0 được gọi − + − + x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 là điểm gián đoạn loại I. Trang 32
Toán cao cấp C1 • Nếu không tồn tại lim f(x) hoặc lim f(x) thì x0 được gọi là điểm gián đoạn − + x→x0 x→x0 loại II. Ví dụ 4.4. Xét loại điểm gián đoạn của hàm số sau  x + 1  , khi x 0 (tương ứng x < 0), hàm số f(x) = 2x2 + 1 (tương ứng x + 1 f(x) = ) xác định và liên tục. x x + 1 Tại x0 = 0, ta có lim f(x) = lim = −∞ nên f(x) gián đoạn tại điểm x→0− x→0− x x0 = 0 và x0 là điểm gián đoạn loại II. Trang 33
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 4.1. Xét tính liên tục của các hàm số sau  x2 − 4  tan x  , khi x =6 2;  , khi x =6 0; 1. f(x) = x − 2 3. f(x) = x  4, khi x = 2.  x, khi x = 0.  1  sin2 x  1 , khi x =6 1;  , khi x =6 0; 2. f(x) = 1 + 21−x 4. f(x) = 1 − cos x  0, khi x = 1.  1, khi x = 0. Bài tập 4.2. Xác định và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau   1 + x  x. cos x, khi x ≥ 0;  , khi x =6 −1; 1. f(x) = 1 2. f(x) = 1 + x3 , khi x < 0.  x  1, khi x = −1. Bài tập 4.3. Xác định và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau x + 2 2|x − 1| 1. f(x) = x + . 2. f(x) = . |x + 2| x2 − x3 Trang 34
Toán cao cấp C1 §5. Đạo hàm và vi phân 5.1 Đạo hàm Định nghĩa 5.1. Cho hàm số f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Giới hạn (nếu có) f(x) − f(x0) lim , (5.1) x→x0 x − x0 0 được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Kí hiệu f (x0). Nếu đặt ∆y = f(x) − f(x0) : số gia của hàm số, ∆x = x − x0 : số gia của biến số, thì công thức (5.1) được viết lại như sau 0 ∆y f (x0) = lim . (5.2) ∆x→0 ∆x Định lý 5.1. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f(x) liên tục tại x0. Định nghĩa 5.2. (Đạo hàm một phía) Trang 35
Toán cao cấp C1 • Đạo hàm bên trái: f(x) − f(x0) f 0(x−) = lim . (5.3) 0 − x→x0 x − x0 • Đạo hàm bên phải f(x) − f(x0) f 0(x+) = lim . (5.4) 0 + x→x0 x − x0 Định lý 5.2. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm bên 0 − 0 + trái, có đạo hàm bên phải tại x0 và f (x0 ) = f (x0 ). 5.2 Các qui tắc tính đạo hàm Định lý 5.3. Cho u, v là các hàm số và c là hằng số. 1. c0 = 0. 3. (u + v)0 = u0 + v0. 5. (u.v)0 = u0.v + u.v0. 0 u u0v − u.v0 6. = . 2. (cu)0 = c.u0. 4. (u − v)0 = u0 − v0. v v2 Định lý 5.4 (Đạo hàm của hàm hợp - Chain rule). Cho các hàm số f(a, b) → R, g : f([a, b]) → R. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số g(y) có Trang 36
Toán cao cấp C1 đạo hàm tại điểm y0 = f(x0) thì hàm số g ◦ f có đạo hàm tại điểm x0 và 0 0 0 (g ◦ f) (x0) = g (y0).f (x0). (5.5) Ví dụ 5.1. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1. y = sin(x2 + 2x − 3). x2 − 1 2. y = log . a x + 1 Định lý 5.5 (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 0 và có hàm ngược là g. Khi đó nếu f (x0) =6 0 và g liên tục tại điểm y0 = f(x0) thì g có đạo hàm tại y0 và 0 1 g (y0) = 0 . (5.6) f (x0) Ví dụ 5.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1. y = arcsin x. 2. y = arccos x. 3. y = arctan x. 4. y = arccotx. Giải. 1. Ta có hàm số y = arcsin x là hàm số ngược của hàm số x = sin y. Áp dụng Trang 37
Toán cao cấp C1 công thức tính đạo hàm của hàm ngược, ta có 1 1 1 1 (arcsin x)0 = = = = √ . 0 p (sin y) cos y 1 − sin2 y 1 − x2 2. Ta có hàm số y = arccos x là hàm số ngược của hàm số x = cos y. Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ngược, ta có 1 1 1 1 (arccos x)0 = = − = − = −√ . (cos y)0 sin y p1 − cos2 y 1 − x2 Bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) 1 c 0 sin x cos x ex ex arcsin x √ 1 − x2 1 xn nxn−1 cos x − sin x ax ax ln a arccos x −√ 1 − x2 1 1 1 1 1 − tan x ln x arctan x x x2 cos2 x x 1 + x2 √ 1 1 1 1 x √ cot x − log x arccotx − 2 x sin2 x a x ln a 1 + x2 Trang 38
Toán cao cấp C1 Bảng đạo hàm của một số hàm hợp f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) f(x) f 0(x) u0 sin u u0. cos u eu u0.eu arcsin u √ 1 − u2 u0 un n.u0.un−1 cos u −u0. sin u au u0.au ln a arccos u −√ 1 − u2 1 u0 u0 u0 u0 − tan u ln u arctan u u u2 cos2 u u 1 + u2 √ u0 u u0 u0 u √ cot u − log u arccotu − 2 u sin2 u a u ln a 1 + u2 5.3 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 5.3. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) chứa x0 và 0 f (x) có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó ta nói hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 và kí hiệu 00 0 0 f (x0) = f (x0) . Bằng cách qui nạp, đạo hàm cấp n của hàm số f(x), kí hiệu là f (n)(x), được xác Trang 39
Toán cao cấp C1 định như sau: 0 f (n)(x) = f (n−1)(x) . (5.7) Ví dụ 5.3. Hãy tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a) f(x) = ex. b) f(x) = sin x c) f(x) = cos x. Đáp số. 1. (ex)(n) = ex. ( (−1)k sin x, n = 2k 2. (sin x)(n) = . (−1)k cos x, n = 2k + 1. ( (−1)k cos x, n = 2k 3. (cos x)(n) = . (−1)k+1 sin x, n = 2k + 1. Định lý 5.6 (Công thức Leibnitz). Giả sử u, v là các hàm số có đạo hàm đến cấp n . Khi đó n (n) X k (k) (n−k) (uv) = Cnu v , (5.8) k=0 n! với Ck = , u(0) = u, v(0) = v. n k!(n − k)! Trang 40
Toán cao cấp C1 Ví dụ 5.4. Tính đạo hàm đến cấp 4 của hàm số y = (x3 + 3x)ex. Giải. Đặt u = x3 + 3x, v = ex. Ta có v(n) = ex và u0 = 3x2 + 3, u00 = 6x, u000 = 6, u(4) = 0. Áp dụng công thức Leibnitz, ta có 4 X (u.v)(4) = u(k)v(4−k) k=1 (4) 1 0 000 2 00 00 3 000 0 (4) = u.v + C4 .u v + C4 .u v + C4 .u v + u v = ex x3 + 3x + 4(3x2 + 3) + 6.6x + 4.6 + 0 = ex(x3 + 12x2 + 39x + 36). 5.4 Ứng dụng đạo hàm để tìm giới hạn 1. Qui tắc L’Hospital Định lý 5.7. Giả sử f, g là có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b) chứa x0 và các điều kiện sau thỏa mãn (i) f(x0) = g(x0) = 0; Trang 41
Toán cao cấp C1 f 0(x) (ii) tồn tại giới hạn lim 0 = L. x→x0 g (x) f(x) Khi đó lim = L. x→x0 g(x) Định lý 5.8. Giả sử f, g là có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b) chứa x0 và các điều kiện sau thỏa mãn (i) lim f(x0) = lim g(x0) = ∞; x→x0 x→x0 f 0(x) (ii) tồn tại giới hạn lim 0 = L. x→x0 g (x) f(x) Khi đó lim = L. x→x0 g(x) Ví dụ 5.5. Dùng qui tắc L’Hospital để tìm giới hạn của các hàm số sau tan x − x ln x a) lim . c) lim . x→0 x − sin x x→+∞ x2 √ 1 b) lim x. ln x. d) lim (x + x2 + 1)ln x . x→0+ x→+∞ Trang 42
Toán cao cấp C1 Giải. 1 − 1 tan x − x 2 1 + cos x a. lim = lim cos x = lim = 2. x→0 x − sin x x→0 1 − cos x x→0 cos2 x 1 ln x b. lim x. ln x = lim = lim x = 0. + + 1 + 1 x→0 x→0 x→0 − x x2 1 ln x c. lim = lim x = 0. x→+∞ x2 x→+∞ 2x √ 1 √ d. Đặt y = (x + x2 + 1)ln x . Ta có ln y = ln(x + x2 + 1)/ ln x. √ 0 x + x2 + 1 √ √ ln(x + x2 + 1) x + x2 + 1 lim ln y = lim = lim x→+∞ x→+∞ ln x x→+∞ 1 x x x 1 + √ x2 + 1 x = lim √ = lim √ = 1. x→+∞ x + x2 + 1 x→+∞ x2 + 1 Trang 43
Toán cao cấp C1 √ 1 Vậy lim (x + x2 + 1)ln x = e. x→+∞ 2. Công thức khai triển Taylor Định nghĩa 5.4 (Đa thức Taylor). Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp cao hơn n tại x0. Khi đó đa thức 00 (n) f (x0) f (x0) P (x) = f(x ) + f 0(x )(x − x ) + (x − x )2 + + (x − x )n, (5.9) n 0 0 0 2! 0 n! 0 được gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm f tại điểm x0. Ví dụ 5.6. Tìm đa thức Taylor của các hàm số sau tại điểm x0 = 0 1. f(x) = ex. 2. f(x) = sin x. 3. f(x) = cos x. Đáp số. x2 x3 x4 xn 1. ex = 1 + x + + + + + . 2! 3! 4! n! x3 x5 x7 x2n+1 2. sin x = x − + − + + (−1)n . 3! 5! 7! (2n + 1)! x2 x4 x6 x2n 3. cos x = 1 − + − + + (−1)n . 2! 4! 6! (2n)! Trang 44
Toán cao cấp C1 Định lý 5.9 (Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano). Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm đến cấp n − 1 tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b), có đạo hàm cấp n tại điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó n f(x) = Pn(x) + O((x − x0) ), khi x → x0; (5.10) trong đó • Pn(x) là đa thức Taylor bậc n; n n •O ((x − x0) ) là vô cùng bé cấp cao hơn (x − x0) . Định lý 5.10 (Công thức khai triển Maclaurin). Giả sử f thỏa các điều kiện trong công thức khai triển Taylor với phần dư Peano và x0 = 0. Khi đó công thức f 00(0) f (n)(0) f(x) = f(x ) + f 0(0)x + x2 + + xn + O(xn), (5.11) 0 2! n! được gọi là công thức khai triển Maclaurin. Ví dụ 5.7. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau Trang 45
Toán cao cấp C1 a) f(x) = sin x. c) f(x) = ln(1 + x). e) f(x) = x2.ex. 1 1 d) f(x) = . f) f(x) = √ . b) f(x) = cos x. 1 + x 1 + 4x Giải. a. Ta có (sin x)0 = cos x, (sin x)00 = − sin x, (sin x)000 = − cos x, (sin x)(4) = sin x. Bằng qui nạp, suy ra ( (−1)k sin x, n = 2k (sin x)(n) = . (−1)k cos x, n = 2k + 1. Do đó ( 0, n = 2k (sin x)(n) = . x=0 (−1)k, n = 2k + 1. Vậy khai triển Maclaurin của hàm sin x là 0 1 0 1 0 1 sin x = 0 + x − .x2 − x3 + x4 + x5 − x6 − x7 + 2! 3! 4! 5! 6! 7! x3 x5 x7 x9 x11 sin x = x − + − + − + 3! 5! 7! 9! 11! Trang 46
Toán cao cấp C1 b. Ta có (cos x)0 = − sin x, (cos x)00 = − cos x, (cos x)000 = sin x, (cos x)(4) = cos x. Bằng qui nạp, suy ra ( (−1)k cos x, n = 2k (cos x)(n) = . (−1)k+1 sin x, n = 2k + 1. Do đó ( (−1)k, n = 2k (cos x)(n) = . x=0 0, n = 2k + 1. Vậy khai triển Maclaurin của hàm cos x là 1 0 1 0 1 0 cos x = 1 − 0.x − .x2 + x3 + x4 − x5 − x6 + x7 + 2! 3! 4! 5! 6! 7! x2 x4 x6 x8 x10 cos x = 1 − + − + − + 2! 4! 6! 8! 10! 1 1 2 c. Ta có y = ln(1 + x), y0 = , y00 = − , y000 = , y(4) = 1 + x (1 + x)2 (1 + x)3 2.3 2.3.4 − , y(5) = . Bằng qui nạp, suy ra (1 + x)4 (1 + x)5 (n − 1)! y(n) = (−1)n−1 . (1 + x)n Trang 47
Toán cao cấp C1 Do đó (n) n−1 yx=0 = (−1) .(n − 1)! Vậy khai triển Maclaurin của hàm y = ln(1 + x) là x2 x3 x4 x5 x6 ln(1 + x) = x − + − + − + 2 3 4 5 6 1 d. Với y = , từ kết quả câu (c.), ta có 1 + x n! y(n) = (−1)n. . (1 + x)n+1 Do đó (n) n yx=0 = (−1) .n! 1 Vậy khai triển Maclaurin của hàm y = là 1 + x 1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + 1 + x x2 x3 x4 e. Từ khai triển Maclaurin của hàm ex = 1 + x + + + + , ta có khai 2! 3! 4! Trang 48
Toán cao cấp C1 triển của hàm x2.ex là x4 x5 x6 x2.ex = x2 + x3 + + + + 2! 3! 4! f. Ta có (n) 1 2n+1 √ = (−1)n.1.3.5 (2n − 1).2n.(1 + 4x)− 2 1 + 4x 2.(2n − 1)! 2n+1 = (−1)n. (1 + 4x)− 2 . (n − 1)! Do đó 1 (n) 2.(2n − 1)! √ = (−1)n. . 1 + 4x x=0 (n − 1)! 1 Vậy khai triển Maclaurin của hàm số y = √ là 1 + 4x 1 X 2.(2n − 1)! xn √ = 1 + (−1)n. . . (n − 1)! n! 1 + 4x n Ví dụ 5.8. Dùng khai triển Taylor để tìm giới hạn của các hàm số sau Trang 49
Toán cao cấp C1 √ x − sin x 1 − 1 + x2 cos x 1. lim 3 . 4. lim . x→0 x x→0 x4 1 1 x − sin x 5. lim − . 2. lim . x→0 2 2 x→0 x(1 − cos x) sin x x 1 2 sin x − tan x 1 − cos x − sin x 3. lim . 6. lim 2 . x→0 x3 x→0 x4 Giải. 1. Áp dụng khai triển Maclaurin cho hàm sin x đến bậc 3, ta có x3 3 x − x − x x − sin x 3! 1 lim = lim = lim 3! = . x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 6 2. Áp dụng khai triển Maclaurin cho các hàm số x3 sin x = x − , 3! x2 cos x = 1 − , 2! Trang 50
Toán cao cấp C1 ta có x3 x − x − x − sin x 3! 1 lim = lim = . x→0 x(1 − cos x) x→0 x2 3 x 1 − 1 − 2! 3. Để tìm khai triển Maclaurin của hàm tan x, ta đưa vào khái niệm hàm sec x, như sau: 1 sec x = , ∀x ∈ . cos x R Đạo hàm của hàm sec x được xác định bởi công thức (sec x)0 = sec x. tan x. Khi đó 1 (tan x)0 = = sec2 x, cos2 x (tan x)00 = (sec2 x)0 = 2 sec2 x. tan x, (tan x)000 = 4 sec2 x tan2 x + 2 sec4 x, (tan x)(4) = 8 sec2 x tan2 x + 16 sec4 x tan x Trang 51
Toán cao cấp C1 Vậy khai triển Maclaurin của hàm tan x đến bậc 3 là x3 tan x = x + . 3 x3 x3 x − − x + sin x − tan x 3! 3 1 lim = lim = − . x→0 x3 x→0 x3 2 4. Từ √ x 1 + x20= √ , 1 + x2 √ 200 1 1 + x = √ 3, 1 + x2 √ 2000 3x 1 + x = −√ 5, 1 + x2 √ 2 2(4) 3 15x 1 + x = −√ 5 + √ 7. 1 + x2 1 + x2 √ suy ra khai triển Maclaurin của hàm 1 + x2 đến bậc 4 là √ x2 x4 1 + x2 = 1 + − . 2 8 Trang 52
Toán cao cấp C1 Khi đó x2 x4 x2 x4 √ 1 − 1 + − . 1 − + 1 − 1 + x2 cos x 2 8 2! 4! 1 lim = lim = . x→0 x4 x→0 x4 3 1 1 1 5. lim − = . x→0 sin2 x x2 3 6. Áp dụng khai triển Maclaurin cho các hàm số x3 sin x = x − , 3! x2 x4 cos x = 1 − + , 2! 4! ta có x2 x4 1 x32 1 2 1 − 1 − + − x − 1 − cos x − sin x 2! 4! 2 3! 1 lim 2 = lim = . x→0 x4 x→0 x4 8 5.5 Vi phân Định nghĩa 5.5. Cho hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nếu số Trang 53
Toán cao cấp C1 gia của hàm số ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0), được biểu diễn dưới dạng ∆y = K.∆x + O(∆x), (5.12) trong đó O(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x và K là hằng số, thì ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm x0. Vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 được kí hiệu df(x0) hoặc dy(x0) và xác định như công thức sau: df(x0) = K.∆x. (5.13) Ví dụ 5.9. Tìm vi phân của các hàm số sau tại điểm x0 ∈ R. 1. f(x) = x2. x − 1 2. f(x) = . x + 1 Giải. 1. Ta có 2 2 2 ∆f(x) = f(x0 + ∆x) − f(x0) = (x0 + ∆x) − x0 = 2x0∆x + ∆ x. Trang 54
Toán cao cấp C1 2 Vì ∆ x là vô cùng bé cấp cao hơn ∆x và 2x0 là hằng số nên vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 là df(x0) = 2x0∆x. 2. Ta có ∆f(x) = f(x0 + ∆x) − f(x0) x + ∆x − 1 x − 1 = 0 − 0 x0 + ∆x + 1 x0 + 1 2∆x 2∆2x = 2 − 2 . (x0 + 1) (x0 + 1) (∆x + x0 + 1) 2 2∆2x Vì 2 là hằng số và 2 là VCB cấp cao hơn ∆x nên (x0 + 1) (x0 + 1) (∆x + x0 + 1) 2 df(x0) = 2.∆x. (x0 + 1) Nhận xét 5.1. Xét vi phân hàm số f(x) = x, ta có dx = ∆x. Vì vậy kí hiệu ∆x có thể thay bằng dx. Trang 55
Toán cao cấp C1 Định lý 5.11 (Mối liên hệ giữa vi phân và đạo hàm). Hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó 0 df(x0) = f (x0)dx. (5.14) √ Ví dụ 5.10. Tìm vi phân của hàm số sau f(x) = 1 + ln x. Giải. Áp dụng công thức tính vi phân của hàm f(x) ta có √ 1 df(x) = ( 1 + ln x)0.dx = √ .dx 2x 1 + ln x Định lý 5.12 (Các qui tắc tính vi phân). Cho u, v là các hàm số khả vi và c là hằng số. Khi đó a) dc = 0. d) d(u − v) = du − dv. b) d(c.u) = c.du. e) d(u.v) = vdu + udv. u vdu − udv f) d = . c) d(u + v) = du + dv. v v2 5.6 Vi phân cấp cao Trang 56
Toán cao cấp C1 Định nghĩa 5.6. Cho hàm số f(x) khả vi trên khoảng (a, b) chứa x0 và hàm df(x) khả vi tại điểm x0 thì ta nói f(x) khả vi cấp hai tại x0 và vi phân của df(x) tại điểm 2 x0 gọi là vi phân cấp hai của hàm f(x) tại điểm x0. Kí hiệu là d f(x0). Bằng qui nạp, ta có vi phân cấp n của hàm f(x) tại điểm x0 được xác định bởi công thức n n−1 d f(x0) = d d f (x0). (5.15) Ví dụ 5.11. Tìm vi phân cấp hai của các hàm số 1. f(x) = x3. 2. f(x) = x2. ln x. Giải. 1. Ta có df(x) = 3x2.dx, nên d2f(x) = d(df(x) = (3x2)0.dx2 = 6x.dx2. 2. Tương tự như câu 1., ta có d2f(x) = (x2. ln x)00.dx2 = (3 + 2 ln x).dx2. Trang 57
Toán cao cấp C1 Định lý 5.13 (Công thức Leibnitz). Cho u, v là các hàm số khả vi đến cấp n. Khi đó n n X k k n−k 0 0 d (u.v) = Cnd ud v, với d u = u, d v = v. (5.16) k=0 Ví dụ 5.12. Tìm vi phân cấp 3 của hàm số f(x) = (x3 + 2x − 5).ex. Đáp số. d3f(x) = e2(x3 + 9x2 + 26x + 7).dx3. 5.7 Ứng dụng của vi phân và đạo hàm 1. Tính đạo hàm của hàm ẩn a. Dạng F (x, y) = 0 Cho hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình F (x, y) = 0. Khi đó đạo hàm của y theo biến x xác định bởi công thức dF (x, y) y0 = − dx . (5.17) x dF (x, y) dy Trang 58
Toán cao cấp C1 Ví dụ 5.13. Tính đạo hàm của hàm ẩn y = f(x) cho bởi phương trình ln y + sin x = x2. Giải. Ta có F (x, y) = ln y + sin x − x2. Áp dụng công thức (5.17), ta có cos x − 2x y0 = − = (2x − cos x)y. x 1 y b. Dạng tham số Cho hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình tham số ( x = f(t); y = g(t). Khi đó đạo hàm của y theo biến x xác định bởi công thức g0(t) y0 = . (5.18) x f 0(t) 0 0 0 dy yt.dt g (t) Chứng minh. Ta có yx = = 0 = 0 . dx xt.dt f (t) Trang 59
Toán cao cấp C1 Ví dụ 5.14. Tính đạo hàm của hàm ẩn y = f(x) cho bởi phương trình y = t2 − 2t + sin t, x = ln t, với t > 0. Giải. Áp dụng công thức (5.18), ta có 2t − 2 + cos t y0 = = t(2t − 2 + cos t). x 1 t 2. Đạo hàm cấp cao của hàm ẩn a. Dạng F (x, y) = 0 Ví dụ 5.15. Tính đạo hàm cấp hai của hàm ẩn y(x) được cho bởi phương trình y2 + y = x2. Giải. Áp dụng công thức (5.17), ta có 2x y0 = . x 2y + 1 Trang 60
Toán cao cấp C1 00 0 Để tính đạo hàm yx ta tiếp tục tính đạo hàm của yx theo biến x. Khi đó 0 0 0 0 00 2x (2x) (2y + 1) − 2x.(2y + 1) 2(2y + 1) − 2x.2yx yx = = 2 = 2 , 2y + 1 x (2y + 1) (2y + 1) 8x2 2(2y + 1) − 2y + 1 2 2x y00 = = (thay y0 = ). x (2y + 1)2 (2y + 1)3 x 2y + 1 b. Dạng tham số Cho hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình tham số ( x = x(t); y = y(t). Khi đó đạo hàm cấp hai của y theo biến x xác định bởi công thức 0 0 yx 00 t yx = 0 , (5.19) xt 0 0 0 0 với xt là đạo hàm của x theo biến t và yx là đạo hàm của yx theo biến t. t Trang 61
Toán cao cấp C1 0 0 d(yx) 0 2 yx 00 d y d dy dt t Chứng minh. Ta có yx = 2 = = = 0 . dx dx dx dx xt dt Ví dụ 5.16. Tính đạo hàm cấp hai của hàm ẩn y(x) được cho ở dạng tham số ( x = t3 + 3t2; y = t4 − 8t2 Giải. Ta có (t4 − 8t2)0 4t3 − 16t 4t − 2 y0 = = = . x (t3 + 3t2)0 3t2 + 6t 3 Khi đó 0 0 4 yx 00 t 3 4 yx = 0 = 2 = . xt 3t + 6t 9t(t + 2) 3. Cực trị hàm một biến a. Điều kiện cần Trang 62
Toán cao cấp C1 Định lý 5.14 (Định lý Fermat). Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). 0 Nếu f đạt cực trị tại x0 ∈ (a, b) và f (x0) tồn tại thì 0 f (x0) = 0. b. Điều kiện đủ Định lý 5.15. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) chứa x0. 0 00 • f(x) đạt cực tiểu tại x0 ⇔ f (x0) = 0 và f (x0) > 0. 0 00 • f(x) đạt cực đại tại x0 ⇔ f (x0) = 0 và f (x0) < 0. Ví dụ 5.17. A store can sell 20 bicycles per week at a price of $400. The manager estimates that for each $10 price reduction he can sell two more bicycles per week. The bicycles cost the store $200 each. 1. If x stands for the number of $10 price reductions, express the price p and the quantity q as functions of x. 2. Find the price of the bicycles and the quantity that maximize profit. Also find the maximum profit. Trang 63
Toán cao cấp C1 Ví dụ 5.18. A furniture showroom expects to sell 250 sofas a year. Each sofa costs the store $300, and there is a fixed charge of $500 per order. If it costs $100 to store a sofa for a year, how large should each order be and how often should orders be placed to minimize inventory costs? 5.8 Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế 1. Điểm hòa vốn Định nghĩa 5.7. Giả sử C(x) là hàm chi phí và R(x) là hàm doanh thu. x0 được gọi là điểm hòa vốn nếu C(x0) = R(x0). (5.20) 2. Marginal và Marginal average Định nghĩa 5.8. Đạo hàm của hàm chi phí C(x) được gọi là chi phí biên, kí hiệu là MC(x). MC(x) = C0(x). (5.21) Định nghĩa 5.9. Đạo hàm của hàm doanh thu R(x) được gọi là doanh thu biên, kí Trang 64
Toán cao cấp C1 hiệu là MR(x). MR(x) = R0(x). (5.22) Định nghĩa 5.10. Đạo hàm của hàm lợi nhuận P (x), với P (x) = R(x) − C(x), được gọi là lợi nhuận biên, kí hiệu là MP (x). MP (x) = P 0(x). (5.23) Ví dụ 5.19. Một công ty sản xuất điện thoại di động cho biết chi phí sản xuất x sản phẩm là một hàm số √ C(x) = 400 x + 500. 1. Hãy xác định hàm chi phí biên MC(x). 2. Hãy xác định chi phí biên ứng với x = 100 sản phẩm và nêu ý nghĩa kinh tế của giá trị vừa tìm được. Định nghĩa 5.11. Chi phí trung bình AC(x) được xác định bởi công thức C(x) AC(x) = . (5.24) x Trang 65
Toán cao cấp C1 Chi phí biên trung bình MAC(x) được xác định bởi công thức C(x)0 MAC(x) = . (5.25) x Định nghĩa 5.12. Doanh thu trung bình AR(x) được xác định bởi công thức R(x) AR(x) = . (5.26) x Doanh thu biên trung bình MAR(x) được xác định bởi công thức R(x)0 MAR(x) = . (5.27) x Định nghĩa 5.13. Lợi nhuận trung bình AP (x) được xác định bởi công thức P (x) AP (x) = . (5.28) x Lợi nhuận biên trung bình MAP (x) được xác định bởi công thức P (x)0 MAP (x) = . (5.29) x Trang 66
Toán cao cấp C1 3. Utility function và Marginal Generally, the more you have something, the less valuable each additional unit becomes. For example, a dollar is less valuable to a millionaire than to a beggar. Economists define a person’s "Utility function" U(x) for a product as the "perceived value" of having x units of that product. Định nghĩa 5.14. Đạo hàm của hàm lợi ích U(x) được gọi là lợi ích biên, kí hiệu là MU(x). MU(x) = U 0(x). (5.30) 4. Độ co giãn - Elasticity a. Khái niệm về độ co giãn Farmers are aware of the paradox that an abundant harvest usually brings lower total revenue than a poor harvest. The reason is simply that the larger quantities in an abundant harvest result in lower prices, which in turn cause increased demand, but the demand does not increase enough to compen- sate for the lower prices. Revenue is price times quantity, R = p.q, and when one of these quantities Trang 67
Toán cao cấp C1 rises, the other falls. The question is whether the rise in one is enough to compensate for the fall in the other. The concept of elasticity of demand was invented to analyze such problems. (Economists use the word demand instead of quantity.) Định nghĩa 5.15. Elasticity, denoted by D, is the percentage change in demand divided by the percentage change in price. %∆q = . (5.31) D %∆p Nhận xét 5.2. Nếu xem q là hàm số theo biến p thì độ co giãn được tính theo công thức 0 qp = p. . (5.32) D q Định nghĩa 5.16. The demand function x = D(p) (5.33) gives the quantity x of an item that will be demanded by consumers at price p. Trang 68
Toán cao cấp C1 Định lý 5.16. For a demand function D(p), the elasticity of demand is p.D0(p) = − . (5.34) D D(p) Nhận xét 5.3. Độ co giãn của hàm nhu cầu D trong công thức (5.34) ngược dấu so với độ co giãn được tính bởi công thức (5.32). b. Ứng dụng độ co giãn để gia tăng lợi nhuận Tính chất 5.1. To increase revenue: • Raise prices p if demand is inelastic (D 1). Tính chất 5.2. At maximum revenue, elasticity of demand must equal 1. c. Verification of the Relationship Between Elasticity and Revenue Ta biết rằng doanh thu R(p) được xác định bởi công thức R(p) = p.D(p). Khi đó p.D0(p) R0(p) =D(p) + p.D0(p) = D(p) 1 + = D(p) [1 − ] . D(p) D Trang 69
Toán cao cấp C1 If demand is elastic, then R0(p) 0. In this case, to increase revenue, one should raise prices. BÀI TẬP Bài tập 5.1. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1. y = log2 x + 3 log3 x. 5. y = x arcsin x. r1 + 2x 2. y = ln . 6. y = ex arccos x. 1 − 2x x √ 3. y = arcsin . 7. y = ln(1 + x + x2 + 2x + 3). 2 √ 1 √ 2x − 1 4. y = arctan . 8. y = x arctan 2x + 1 − . x 2 Bài tập 5.2. Tìm vi phân của các hàm số sau 1. y = ln(sin x). 3. y = tan(sin x). 2 2. y = arccos(e−x). 4. y = ex . cot x. Trang 70
Toán cao cấp C1 Bài tập 5.3. Tìm giới hạn của các hàm số sau x2 − 1 5. lim x [ln(1 + x) − ln x]. 1. lim . x→+∞ x→0 2x2 − x − 1 √ √ 1 − 5x x + 13 − 2 x + 1 6. lim . 2. lim . x→0 1 − ex x→3 x2 − 9 3x sin 3x − sin x ln(1 + e ) 7. lim . 3. lim . x→0 ln(1 + x) x→+∞ ln(3 + e2x) tan x − sin x x2 − 1 4. lim . 8. lim . x→0 x3 x→1 x ln x Bài tập 5.4. Tìm giới hạn của các hàm số sau 1 1 1 1 1. lim − . 2. lim − . x→0 x arctan x x2 x→0 x arcsin x Bài tập 5.5. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1 + x2 r ex 1. y = √ . 2. y = ln 3 . 3 x4. sin7 x 1 + cos x Trang 71
Toán cao cấp C1 Bài tập 5.6. Tính đạo hàm của các hàm số sau (được cho dưới dạng tham số) ( ( x = t3; x = 1 + et; 1. 2. y = t2 y = t + e−t. Bài tập 5.7. Tính đạo hàm của hàm ẩn y được cho bởi phương trình √ y p 1. x + xy + y = 2. 2. arctan = ln x2 + y2. x Bài tập 5.8. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số (được cho dưới dạng tham số) ( ( x = et cos t; x = t − sin t; 1. . 2. . y = t + et sin t. y = 1 − cos t. Bài tập 5.9. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số được cho bởi phương trình 1. x + y = ex−y. 2. y = x + arctan y. Bài tập 5.10. Tìm vi phân cấp 2 của các hàm số Trang 72
Toán cao cấp C1 p 1. y = x ln x. 2. y = ln2 x − 4. Bài tập 5.11 (Marginal Average cost). It is often useful to calculate not just the total cost of producing x units of some product, but also the average cost per unit, denoted AC(x), which is found by dividing the total cost C(x) by the number of units x. C(x) AC(x) = . (5.35) x The derivative of the average cost function is called the marginal average cost, MAC(x). d C(x) MAC(x) = . (5.36) dx x Marginal average revenue, MAR(x), and marginal average profit, MAP (x), are R(x) defined similarly as the derivatives of average revenue per unit, , and average x Trang 73
Toán cao cấp C1 P (x) profit per unit, . x d R(x) MAR(x) = , (5.37) dx x d P (x) MAP (x) = . (5.38) dx x • It costs a book publisher $12 to produce each book, and fixed costs are $1,500. Therefore, the company’s cost function is C(x) = 12x + 1, 500. – Find the average cost function. – Find the marginal average cost function. – Find the marginal average cost at x = 100 and interpret your answer. • A toy company can produce plastic trucks at a cost of $8 each, while fixed costs are $1200 per day. Therefore, the company’s cost function is C(x) = 8x + 1200. – Find the average cost function AC(x). Trang 74
Toán cao cấp C1 – Find the marginal average cost function MAC(x). – Find the marginal average cost at x = 200 and interpret your answer. • A company’s profit function is P (x) = 12x−1800 dollars where x is the number sold. – Find the average profit function. – Find the marginal average function. – Find the marginal average at x = 300 and interpret your answer. Bài tập 5.12. The national debt of a South America country t years from now is 4 predicted to be D(t) = 65 + 9t3 billion dollars. Find the derivative D0(x), and the second derivative D00(x) of D(x). Interpret your answers. Bài tập 5.13 (Compound interest). If $500 is deposited in an account earning interest at r percent annually, after 3 years its value will be V (r) = 500(1 + 0.01r)3 dollars. Find V 0(8) and interpret your answer. Bài tập 5.14. Prove that the marginal cost function intersects the average cost func- tion at the point where the average cost is minimized. Trang 75
Toán cao cấp C1 Bài tập 5.15. It costs the American Automobile Company $8000 to produce each automobile, and fixed costs (rent and other expenses that do not depend on the amount of production) are $20,000 per week. The company’s price function is p(x) = 22, 000 − 70x, where p is the price at which exactly x cars will be sold. • How many cars should be produced each week to maximize profit. • For what price should they sold? • What is the company’s maximum profit? Bài tập 5.16. City Cycles Incorporated finds that it costs $70 to manufacture each bicycle, and fixed costs are $100 per day. The price function is p(x) = 270 − 10x, where p is the price (in dollars) at which exactly x bicycles will be sold. Find the quantity City Cycles should produce and the price it should charge to maximize profit. Also find the maximum profit. Bài tập 5.17. An electrical utility asks the Federal Regulatory Commission for Trang 76
Toán cao cấp C1 permission to raise rates to increase revenues. The utility’s demand function is 120 D(p) = , 10 + p where p is the price (in cents) of a kilowatt-hour of electricity. IF the utility cur- rently charges 6 cents per kilowatt-hour, should the commission grant the request? Bài tập 5.18. If consumer demand for a commodity is D(p) = 200e−0,0013p, where p is the selling price in dollar, find the price that maximizes consumer expenditure, E(p) = p.D(p). Bài tập 5.19. A South American country exports coffee and estimates the demand function to be D(p) = 63 − 2p2. If the country wants to raise revenues to improve its balance of payments, should it raise or lower the price from the present level of $3 per pound? Trang 77
Toán cao cấp C1 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN §1. Hàm nhiều biến 1.1 Hàm nhiều biến trong kinh tế Ví dụ 1.1 (Hàm sản xuất Cobb-Douglas). Q = A.Lα.Kβ, (1.1) trong đó • Q: total production; • A: total factor productivity; • L: labor input; • α, β: output elasticities. • K: capital input; Nếu • α + β = 1 thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo qui mô (constant returns to scale-CRTS). Trang 78
Toán cao cấp C1 • α + β 1 thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng dần theo qui mô (increasing returns to scale-IRTS). 1.2 Khái niệm hàm nhiều biến Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp D ⊂ Rn. Hàm số f : D → R được gọi là hàm nhiều biến. Tập D được gọi là tập giá trị. Ví dụ 1.2. f(x, y) = x2 + 4xy − 2y3. Ví dụ 1.3. A manufacturing company produces two products, bicycles and roller skates. Its fix costs of production are $1200 per week. Its variable costs of production are $40 for each bicycle produced and $15 for each pair of roller skates. Its total weekly costs in producing x bicycles and y pairs of roller skates are therefore C(x, y) = 1200 + 40x + 15y. Ví dụ 1.4. Đồ thị hàm nhiều biến Trang 79
Toán cao cấp C1 1. f(x, y) = 5x2 + 5y2. 2. f(x, y) = x2 − y2. Trang 80
Toán cao cấp C1 1.3 Giới hạn của hàm hai biến Định nghĩa 1.2. Cho hàm f : D ⊂ R2 → R. Ta nói hàm số f(x, y) có giới hạn là L, khi M(x, y) → M0(x0, y0) nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, 0 < d(M, M0) < δ ⇒ |f(x, y) − L| < , (1.2) với d(M, M0) là khoảng cách giữa hai điểm M, M0. Kí hiệu lim f(x, y) = L. (x,y)→(x0,y0) Ví dụ 1.5. Tìm các giới hạn x2 + y2 1. lim . (x,y)→(1,0) x2 − y2 xy 2. lim . (x,y)→(0,1) x2 + y2 1.4 Tính liên tục của hàm hai biến 2 Định nghĩa 1.3. Cho hàm f : D ⊂ R → R và (x0, y0) ∈ D. Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) nếu giới hạn lim f(x, y) tồn tại và (x,y)→(x0,y0) lim f(x, y) = f(x0, y0). (x,y)→(x0,y0) Trang 81
Toán cao cấp C1 §2. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.1 Đạo hàm riêng 2 Định nghĩa 2.1. Cho hàm f : D ⊂ R → R và (x0, y0) ∈ D. • Đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x, y) là giới hạn (nếu có) 0 ∂f f(x, y0) − f(x0, y0) fx(x0, y0) = (x0, y0) = lim . (2.1) ∂x x→x0 x − x0 • Đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x, y) là giới hạn (nếu có) 0 ∂f f(x0, y) − f(x0, y0) fy(x0, y0) = (x0, y0) = lim . (2.2) ∂y y→y0 y − y0 Ví dụ 2.1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau a) f(x, y) = x2y3. 2x 2 y p 2 b) f(x, y) = . c) z = x .e + 2x − 3y. x2 + y2 1 3 Ví dụ 2.2. Cho hàm Cobb-Douglas Y = 20.K 4 .L4 . Hãy tính các đạo hàm riêng của Y. Trang 82
Toán cao cấp C1 2.2 Đạo hàm riêng cấp cao 2 Cho hàm f : D ⊂ R → R và (x0, y0) ∈ D. Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x, y) tại điểm (x0, y0) được xác định và kí hiệu như sau: 2 0 ∂ f • f 0 (x , y ) = f 00 (x , y ) = (x , y ). x 0 0 x xx 0 0 ∂x2 0 0 2 0 ∂ f • f 0 (x , y ) = f 00 (x , y ) = (x , y ). x 0 0 y xy 0 0 ∂x∂y 0 0 2 0 ∂ f • f 0(x , y ) = f 00 (x , y ) = (x , y ). y 0 0 y yy 0 0 ∂y2 0 0 2 0 ∂ f • f 0(x , y ) = f 00 (x , y ) = (x , y ). y 0 0 x yx 0 0 ∂y∂x 0 0 Ví dụ 2.3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau 2 y 3 2 x a) f(x, y) = x e + x y . b) f(x, y) = . px2 + y2 00 00 Định lý 2.1. Nếu hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trên miền Trang 83
Toán cao cấp C1 D ⊂ R2 thì các đạo hàm riêng này bằng nhau, 00 00 fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). 2.3 Vi phân hàm hai biến 2 Định nghĩa 2.2. Cho hàm f : D ⊂ R → R và (x0, y0) ∈ D. Nếu số gia của hàm số f(x, y) tại điểm (x0, y0) được biểu diễn dưới dạng ∆f(x0, y0) = A.∆x + B.∆y + α.∆x + β.∆y, (2.3) với • A, B chỉ phụ thuộc vào (x0, y0); • α → 0, β → khi (∆x, ∆y) → (0, 0), thì ta nói hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) và biểu thức tuyến tính A.∆x + B.∆y, được gọi là vi phân toàn phần của f(x, y) tại điểm (x0, y0). Kí hiệu là df(x0, y0). Ví dụ 2.4. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) = x2 + y. Trang 84
Toán cao cấp C1 Giải. Ta có số gia của hàm số ∆f(x0, y0) = f(x, y) − f(x0, y0) 2 2 = x + y − x0 − y0 2 2 = (x − x0) + (y − y0) = (x − x0)(x + x0) + (y − y0) = ∆x(∆x + 2x0) + ∆y (do ∆x = x − x0, ∆y = y − y0) 2 = 2x0.∆x + 1.∆y + ∆ x. Vậy df(x0, y0) = 2x0.∆x + 1.∆y. 0 0 Định lý 2.2. Nếu hàm f khả vi tại điểm (x0, y0) thì nó có các đạo hàm riêng fx, fy tại điểm (x0, y0) và vi phân toàn phần của f tại (x0, y0) xác định bởi công thức 0 0 df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy. (2.4) Ví dụ 2.5. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số 1. f(x, y) = x3y − y2 sin x. 2. z = x3 + y3 − xy. Trang 85
Toán cao cấp C1 x p 3. z = . 4. z = x2 + y2. x2 + y2 Đáp số. 1. df = (3x2y − y2 cos x)dx + (x3 − 2y sin x)dy. 2. dz = (3x2 − y)dx + (3y2 − x)dy. y2 − x2 2xy 3. dz = dx − dy. (x2 + y2)2 (x2 + y2)2 x y 4. dz = dx + dy. px2 + y2 px2 + y2 Ghi chú 2.1. Nếu hàm f chỉ có đạo hàm riêng tại điểm (x0, y0) thì không chắc hàm f khả vi tại điểm (x0, y0).  xy  , (x, y) =6 (0, 0); Ví dụ 2.6. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 có các đạo hàm riêng tại  0, (x, y) = (0, 0). điểm (0, 0) tuy nhiên nó không khả vi tại điểm (0, 0). 2.4 Ứng dụng vi phân hàm hai biến 2.4.1 Đạo hàm của hàm hợp Trang 86
Toán cao cấp C1 a. Hàm hợp của hàm một biến và hàm hai biến Cho hàm z = f(u, v) với u = u(x), v = v(x) là các hàm theo biến x. Khi đó hàm z = f(u(x), v(x)) là hàm hợp của hàm một biến và hàm hai biến. Định lý 2.3. Nếu hàm z = f(u, v) khả vi theo biến u, v và các hàm u(x), v(x) khả vi theo biến x thì hàm hợp z = f(u(x), v(x)) khả vi theo biến x và dz ∂f du ∂f dv = . + . . (2.5) dx ∂u dx ∂v dx dz Ví dụ 2.7. Tính đạo hàm biết z = u2 − uv + 2v2, u = e−x, v = sin x. dx 0 −x Đáp số. zx = (2u − v)(−e) + (4v − u) cos x. dz Ví dụ 2.8. Tính đạo hàm biết z = ln(x2 + y2) và y = sin2 x. dx 2x 2y sin 2x Đáp số. z0 = + . x x2 + y2 x2 + y2 b. Hàm hợp của các hàm hai biến Cho hàm z = f(u, v) với u = u(x, y), v = (v(x, y) là các hàm theo hai biến x, y. Khi đó z = f(u(x, y), v(x, y)) là hàm hợp theo hai biến x, y. Trang 87
Toán cao cấp C1 Định lý 2.4. Nếu hàm z = f(u, v) khả vi theo biến u, v và các hàm u(x, y), v(x, y) có các đạo hàm riêng. Khi đó hàm z có các đạo hàm riêng tính theo công thức dz ∂f du ∂f dv = . + . . (2.6) dx ∂u dx ∂v dx dz ∂f du ∂f dv = . + . . (2.7) dy ∂u dy ∂v dy u Ví dụ 2.9. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = u.v + ; với u = x2y3 và v = v e4x. ln y. Đáp số. 1 u z0 = v + 2xy3 + 4 u − e4x ln y. x v v2 1 u e4x z0 = v + 3x2y2 + u − . y v v2 y 2.4.2 Đạo hàm của hàm ẩn Cho hàm ẩn z(x, y) xác định bởi phương trình F (x, y, z) = 0. Khi đó đạo hàm riêng của hàm ẩn z được xác định bởi công thức: Trang 88
Toán cao cấp C1 ∂F ∂F ∂z ∂y ∂z ∂x = − . = − . (2.8) ∂F (2.9) ∂x ∂F ∂y ∂z ∂z 0 0 Ví dụ 2.10. Tính đạo hàm zx, zy của hàm ẩn z được cho bởi phương trình xy + y2 + xz2 = z3. y + z2 x + 2y Đáp số. z0 = , z0 = . x 3z2 − 2xz y 3z2 − 2xz Ví dụ 2.11. Tính đạo hàm y0 biết rằng y là hàm ẩn xác định bởi phương trình y3 − 3xy2 + 3x2y − x(x + 1)2 = 0. 3y2 − 6xy + 3x2 + 4x + 1 Đáp số. y0 = . 3x2 − 6xy + 3y2 Ví dụ 2.12. Tính y0 biết rằng xy − ex + ey = 0. ex − y Đáp số. y0 = . ey + x Ví dụ 2.13. Tính các đạo hàm riêng zxx, zyy của hàm ẩn z xác định bởi Trang 89
Toán cao cấp C1 1. 2x − y3 + 2 sin z = 0. 2. 6xy3 + ln z = 0. Giải. 1. Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn được cho bởi một phương trình, ta có 1 z0 = − , x cos z 3y2 z0 = . y 2 cos z Khi đó 0 0 00 1 zx. sin z sin z zxx = − = − 2 = 3 , cos z x cos z cos z 2 0 2 4 00 3y 12y. cos z + 9y . sin z zyy = = 3 . 2 cos z x 4 cos z 2. Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn được cho bởi một phương trình, ta có 0 3 zx = −6y z, 0 2 zy = −18xy z. Trang 90
Toán cao cấp C1 Khi đó 00 6 zxx = 36y z, 00 3 zyy = 36xyz(9xy − 1). 2.5 Vi phân cấp cao Giả sử hàm hai biến f(x, y) có vi phân cấp một là ∂f ∂f df = dx + dy. ∂x ∂y Vi phân của df (nếu có) được gọi là vi phân cấp hai của hàm hai biến f(x, y), kí hiệu là d2f, và được xác định bởi công thức ∂2f ∂2f ∂2f d2f = dx2 + 2 dxdy + dy2. (2.10) ∂x2 ∂x∂y ∂y2 Công thức (2.10) có thể viết gọn lại một cách hình thức như sau ∂ ∂ 2 d2f = dx + dy f(x, y). (2.11) ∂x ∂y Tương tự, vi phân cấp 3 cũng được viết dưới dạng ∂ ∂ 3 d3f = dx + dy f(x, y). (2.12) ∂x ∂y Trang 91
Toán cao cấp C1 Ví dụ 2.14. Tìm vi phân cấp 2 của các hàm số sau 1. f(x, y) = x2 + 3xy2. 2. f(x, y) = ex(x + 2y2). Giải. 1. Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x, y) là fxx = 2, fxy = 6y, fyy = 6x. Do đó vi phân cấp 2 của hàm hai biến f(x, y) là d2f(x, y) = 2.dx2 + 12y.dxdy + 6x.dy2. 2. Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x, y) là x 2 x x fxx = e (x + 2y + 2), fxy = 4y.e , fyy = 4.e . Do đó vi phân cấp 2 của hàm f(x, y) là d2f(x, y) = e2(x + 2y2 + 2).dx2 + 8y.ex.dxdy + 4.ex.dy2. 2.6 Công thức khai triển Taylor Nếu hàm số f(x, y) khả vi đến cấp 3 tại lân cận điểm (x0, y0) thì công thức khai triển Taylor cấp hai của f(x, y) trong lân cận của (x0, y0) là Trang 92
Toán cao cấp C1 0 0 f(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) 1 + f 00 (x , y )(x − x )2 + 2f 00 (x , y )(x − x )(y − y ) + f 00 (x , y )(y − y )2 + R , 2! xx 0 0 0 xy 0 0 0 0 yy 0 0 0 3 với R3 là kí hiệu phần dư Peano. Công thức trên có thể viết gọn lại như sau 1 f(x, y) = f(x , y ) + df(x , y ) + d2f(x , y ) + R . (2.13) 0 0 0 0 2! 0 0 3 Ví dụ 2.15. Tìm khai triển Taylor của hàm số f(x, y) = 2x3 − x. sin y tại điểm (x0, y0) = (0, 0). Giải. Ta có 2 df(x0, y0) = (6x0 − sin y0).dx − x0. cos y0.dy 2 2 2 d f(x0, y0) = 12x0.dx − 2 cos y0.dxdy + x0. sin y0.dy . Do đó khai triển Taylor cấp hai của hàm f(x, y) = 2x3 − x sin y tại điểm (x0, y0) = (0, 0) là 1 f(x, y) = (−2xy) = −xy. 2 Trang 93
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 2.1. Tính giá trị của hàm nhiều biến 2xy 1. Cho f(x, y) = . Tính f(2, 1), f(−1, 3), f(x, 2x2). x2 + 2y2 π 2. Cho f(x, y, z) = x2. ln y. sin z. Tính f(−1, e2, ), f(x + y, x, x − y). 4 Bài tập 2.2. Tìm miền xác định của các hàm số √ 1. f(x, y) = x2. ln(4 − x2 − 4y2). 2. f(x, y) = x. ln(x + y). Bài tập 2.3. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số p3 √ p xy 1. z = 4x y2 − y x. 3. z = ln(x + x2 + y2). 5. z = e . tan(x − 2y). y 2 2 4. z = arctan . x 2. z = y. ln(x − y ). 1 + x2 6. z = ey . tan(x + y). Bài tập 2.4. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số y xy 2 2 p 1. z = cos(x + e ). 2. z = e sin(xy ). 3. z = ln(x + 2y ). 4. z = ln x2 + y2. Trang 94
Toán cao cấp C1 Bài tập 2.5. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số 2 2 y 1. z = x y − y x. 2. z = x − 3 sin y. 3. z = ln(x + y). 4. z = ln(tan ). x Bài tập 2.6. Tìm vi phân cấp 2 của các hàm số 3 1. z = (x2 + y2)2 . 2. z = tan(x + y). Bài tập 2.7. Tính đạo hàm của hàm ẩn z(x, y) được cho bởi phương trình 1. xy + yz = xz. 3. z3 + 2x2z = 2xy. x z 4. = ln + 1. 2. xy2 − sin(x + y) + z = 0. z y Bài tập 2.8. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn z(x, y) được cho bởi phương trình x z p 2 2 z 1. = ln . 3. ln x + y = arctan . z y x y 2. z − x = arctan . z − x 4. x cos y + y cos z = 1. Trang 95
Toán cao cấp C1 §3. Cực trị của hàm nhiều biến 3.1 Cực trị tự do 2 Định nghĩa 3.1. Cho hàm f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R và (x0, y0) ∈ D. • f(x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) nếu f(x0, y0) ≤ f(x, y), ∀(x, y) ∈ V (x0, y0)\{(x0, y0)}, với V (x0, y0) là lân cận của điểm (x0, y0). • (x0, y0) được gọi là điểm cực tiểu. • f(x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) nếu f(x0, y0) ≥ f(x, y), ∀(x, y) ∈ V (x0, y0)\{(x0, y0)}, với V (x0, y0) là lân cận của điểm (x0, y0). • (x0, y0) được gọi là điểm cực đại. • Điểm cực đại và cực tiểu (x0, y0) gọi chung là điểm cực trị. Đối với hàm nhiều hơn 2 biến, khái niệm cực trị cũng được định nghĩa tương tự. Trang 96
Toán cao cấp C1 Định lý 3.1 (Điều kiện cần cực trị). Nếu hàm f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0, y0) và f(x, y) có các đạo hàm riêng fx, fy tại điểm (x0, y0) thì 0 0 fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. (3.1) Các điểm (x, y) thỏa mãn hệ phương trình (3.1), được gọi là điểm dừng của hàm f(x, y). Ví dụ 3.1. Tìm các điểm dừng của các hàm số sau 1. z = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y. 2. z = xy(1 − x − y). Giải. 1. Xét hệ phương trình ( 0 zx = 4x + 2y + 2 = 0 0 zy = 2y + 2x + 2 = 0 Nghiệm (0, −1) là tọa độ điểm dừng của hàm z. 2. Xét hệ phương trình ( 0 zx = y(1 − 2x − y) = 0 0 zy = x(1 − x − 2y) = 0 Trang 97
Toán cao cấp C1 1 1 Các nghiệm (0, 0), (0, 1), (1, 0), , là tọa độ các điểm dừng của hàm z. 3 3 Định lý 3.2 (Điều kiện đủ cực trị). Cho hàm f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R2 và (x0, y0) ∈ D. Giả sử f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục trên lân cận của (x0, y0) và 0 0 fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. 00 00 00 2 Đặt A = fxx(x0, y0),B = fxy(x0, y0),C = fyy(x0, y0) và ∆ = B − AC. Nếu (i) ∆ 0: hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0). (ii) ∆ 0: hàm số không đạt cực trị tại điểm (x0, y0). (iv) ∆ = 0: không kết luận. Ví dụ 3.2. Tìm cực trị của các hàm số 1. z = f(x, y) = x2 + y2 + 4x − 2y + 8. 2. z = f(x, y) = x3 + y3 − 3xy. Trang 98
Toán cao cấp C1 Giải. 1. Để tìm cực trị của hàm z, trước tiên chúng ta tìm các điểm dừng của nó. Hệ phương trình ( 0 zx = 2x + 4 = 0 0 zy = 2y − 2 = 0 có nghiệm là (−2, 1), do đó z có 1 điểm dừng. 00 00 00 Tiếp theo chúng ta tính giá trị của các đại lượng A = zxx,B = zxy,C = zyy tại điểm dừng (−2, 1). Ta có A = 2,B = 0,C = 2. Suy ra ∆ = B2 − AC = −4. Vì ∆ = −4 0 nên hàm số z đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1). 2. Xét hệ phương trình sau để tìm các điểm dừng ( 0 2 zx = 3x − 3y = 0 0 2 zy = 3y − 3x = 0 Hệ phương trình trên có 2 nghiệm là (0, 0) và (1, 1) do đó z có 2 điểm dừng Trang 99
Toán cao cấp C1 là M0(0, 0) và M1(1, 1). 00 00 00 Giá trị của các đại lượng A = zxx,B = zxy,C = zyy tại điểm dừng M0 là A = 0,B = −3,C = 0. Suy ra ∆ = 9. Vì ∆ = 9 > 0 nên hàm số z không đạt cực trị tại điểm M0. 00 00 00 Tương tự như trên, giá trị của các đại lượng A = zxx,B = zxy,C = zyy tại điểm dừng M1 là A = 6,B = −3,C = 6. Do đó ∆ = 9 − 36 = −27. Vì ∆ = −27 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm (1, 1). Ví dụ 3.3. Một công ty sản xuất linh kiện máy tính ước lượng hàm chi phí của họ như sau: C(x, y) = 2000 + 50x + 80y + x2 + y2, trong đó x là số lượng RAM và y là số lượng CPU được sản xuất bởi công ty. Biết rằng mỗi thanh RAM được bán với giá $100 và mỗi CPU được bán với giá $300. Trang 100
Toán cao cấp C1 Hãy lập kế hoạch sản xuất để công ty đạt lợi nhuận cực đại. Giải. Từ giả thiết đề bài, doanh thu của công ty được xác định bởi công thức R(x, y) = 100x + 300y. Khi đó hàm lợi nhuận của công ty này là P (x, y) = R(x, y) − C(x, y) = −2000 + 50x + 220y − x2 − y2. 0 0 Ta có Px = 50−2x, Py = 220−2y, do đó tọa độ điểm dừng của hàm số P(x,y) là (x, y) = (25, 110). 00 00 00 Ta lại có Pxx = −2,Pxy = 0,Pyy = −2 nên ∆ = −4. Vì ∆ < 0 và A = −2 < 0 nên hàm số P (x, y) đạt cực đại tại điểm (x, y) = (25, 110). 3.2 Cực trị có điều kiện 1. Các khái niệm 2 Định nghĩa 3.2. Cho hàm f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R và (x0, y0) ∈ D. Trang 101
Toán cao cấp C1 Bài toán tìm cực trị của hàm f(x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0, được gọi là cực trị có điều kiện. Ví dụ 3.4. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2 + 2xy − y2 + 5 với điều kiện 2x + y = 3. 2. Phương pháp tìm cực trị có điều kiện a. Phương pháp thế Ví dụ 3.5. Tìm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện 2x + y − 5 = 0. Giải. Từ điều kiện 2x + y − 5 = 0 ta có y = 5 − 2x. Thay kết quả vào hàm z ta được bài toán tìm cực trị của hàm số z = −2x2 + 5x. Đây là bài toán tìm cực trị của hàm một biến và do đó ta dễ dàng tìm được 25 5 5 kết quả max z = − , khi x = và y = . 8 4 2 b. Phương pháp nhân tử Lagrange - Lagrange multipliers Method Trang 102
Toán cao cấp C1 Xét bài toán tìm cực trị hàm số f(x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. (3.2) Định lý 3.3 (Điều kiện cần). Nếu (x0, y0) là cực trị có điều kiện của bài toán (3.2) và các hàm f(x, y), ϕ(x, y) có đạo hàm riêng cấp một tại (x0, y0) thì tồn tại số thực λ (gọi là nhân tử Lagrange) sao cho  f 0 (x , y ) + λϕ0 (x , y ) = 0,  x 0 0 x 0 0 0 0 fy(x0, y0) + λϕy(x0, y0) = 0, (3.3)   ϕ(x0, y0) = 0 Điểm (x0, y0) trong hệ phương trình (3.3) được gọi là điểm dừng của bài toán (3.2). Nếu đặt L(x, y, λ) = f(x, y) + λ.ϕ(x, y) (gọi là hàm nhân tử Lagrange), (3.4) Trang 103
Toán cao cấp C1 thì hệ phương trình (3.3) được viết lại như sau  L0 (x , y , λ) = 0,  x 0 0 0 Ly(x0, y0, λ) = 0, (3.5)  0 Lλ(x0, y0, λ) = 0 Ví dụ 3.6. Tìm các điểm dừng của hàm z = x + y với điều kiện xy = 1. Giải. Xét hàm nhân tử Lagrange L(x, y, z) = x + y + λ.(xy − 1). Ta có Lx = 1 + λ.y, Ly = 1 + λ.x, Lλ = xy − 1. Lập hệ phương trình  1 + λ.y = 0  1 + λ.x = 0  xy − 1 = 0 Nghiệm (x, y, λ) của hệ phương trình trên là (1, 1, −1) và (−1, −1, 1). Vậy bài toán có 2 điểm dừng là M1(1, 1) và M2(−1, −1). Định lý 3.4 (Điều kiện đủ). Xét bài toán (3.2). Giả sử (x0, y0, λ) thỏa mãn hệ phương trình (3.5) và f(x, y), ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong Trang 104
Toán cao cấp C1 một lân cận của điểm (x0, y0). Đặt  0 0  0 ϕx(x0, y0) ϕy(x0, y0) H =  0 00 00  ,  ϕx(x0, y0) Lxx(x0, y0) Lxy(x0, y0)  gọi là ma trận Hessian bao. 0 00 00 ϕy(x0, y0) Lyx(x0, y0) Lyy(x0, y0) (3.6) Khi đó (i) Nếu |H| 0 thì hàm f đạt cực đại tại (x0, y0). Ví dụ 3.7. Tìm cực trị của các hàm số sau 1. z = x2 + y2 với điều kiện x2 + y2 − 3x − 4y = 0. 2. z = x2 + 2y2 − x với điều kiện x2 + y2 = 1. x2 y2 3. z = xy với điều kiện + = 1. 8 2 3.3 Cực trị hàm ba biến 3 Cho hàm f(x, y, z) xác định trên miền D ⊂ R và (x0, y0, z0) ∈ D. Ma trận Trang 105
Toán cao cấp C1 Hessian của f(x, y, z) tại điểm (x0, y0, z0) được xác định bởi công thức  ∂2f ∂2f ∂2f   ∂x2 ∂x∂y ∂x∂z   2 2 2   ∂ f ∂ f ∂ f  H(x0, y0, z0) =   . (3.7)  ∂y∂x ∂y2 ∂y∂z   2 2 2   ∂ f ∂ f ∂ f  ∂z∂x ∂z∂y ∂z2 Đặt ∂2f H (x , y , z ) = 1 0 0 0 ∂x2 ∂2f ∂2f ∂x2 ∂x∂y H2(x0, y0, z0) = 2 2 ∂ f ∂ f ∂y∂x ∂y2 H3(x0, y0, z0) = |H(x0, y0, z0)| Khi đó cực trị của hàm ba biến được xác định nhờ định lý sau; Định lý 3.5. Giả sử f(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục Trang 106
Toán cao cấp C1 trên lân cận của (x0, y0, z0) và 0 0 0 fx(x0, y0, z0) = fy(x0, y0, z0) = fz(x0, y0, z0) = 0. (i) Nếu H1,H2,H3 > 0 thì f đạt cực tiểu tại điểm M0. (ii) Nếu H1 0,H3 < 0 thì f đạt cực đại tại điểm M0. H2 H3 (iii) Nếu và trái dấu thì f không đạt cực trị tại điểm M0. H1 H2 y z 1 Ví dụ 3.8. Tìm cực trị của hàm số f(x, y, z) = x + + + . x y z Trang 107
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 3.1. Tìm cực trị của các hàm số 1. z = xy(1 − x − y). 4. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2. 2. z = x. sin y. 5. z = (x − y)2 + (x + y)3. 2 2 3. z = x4 + y4 − 4xy + 1. 6. z = x. ln x + y . Bài tập 3.2. Tìm cực trị của các hàm số 1. z = xy, với điều kiện x + y = 1. 3. z = x2 + y, với điều kiện x2 + y2 = 1. 2. z = xy, với điều kiện x2 + y2 = 1. 4. z = x+2y, với điều kiện x2 +y2 = 5. Bài tập 3.3. Tìm cực trị của hàm 3 biến 1. f = x2 + y2 + 2z2, với điều kiện x − y + z = 1. 2. f = x3 + y2 − z3, với điều kiện x + y − z = 1. Trang 108
Toán cao cấp C1 §4. Ứng dụng hàm nhiều biến trong kinh tế 4.1 Một số hàm kinh tế và ứng dụng 1. Hàm thỏa dụng (hàm lợi ích) Độ thỏa dụng biểu thị mức độ hài lòng hay thỏa mãn của người tiêu dùng đối với một nhóm hàng hóa hoặc dịch vụ (X1,X2, , Xn). Hàm số miêu tả độ thỏa dụng của người tiêu dùng gọi là hàm thỏa dụng (hay còn gọi là hàm lợi ích−utility function), kí hiệu là U(X1,X2, , Xn). Độ thỏa dụng của người tiêu dùng thường thể hiện bằng đường bàng quang (indifference curve), tức là đường đồng mức của hàm thỏa dụng. Ví dụ 4.1. Giả sử một cá nhân với thu nhập hàng tháng là X$; dùng Y$ để tiêu dùng và tiết kiệm S$. Khi đó mối liên hệ giữa các đại lượng trên có thể mô tả bởi quan hệ hàm số sau: Y + S = X, (4.1) trong đó X được xem là hàm số theo biến số Y và S. Đường đồng mức của hàm hai biến X(Y, S) sẽ có dạng Trang 109
Toán cao cấp C1 Đồ thị trên chứng tỏ, cùng một mức thu nhập, nếu người tiêu dùng muốn tăng tiêu dùng Y thì phải giảm mức tiết kiệm S và ngược lại. Như vậy, độ thỏa dụng tổng hợp của người tiêu dùng không thay đổi. Đạo hàm riêng của hàm X theo biến Y và S được gọi là thỏa dụng biên. Trong ví dụ này, 0 XY = 1 0 XS = 1. Kết quả trên có ý nghĩa như sau: khi tiết kiệm (hoặc tiêu dùng) cố định thì mỗi 1$ tiêu dùng (hoặc tiết kiệm) tăng thêm sẽ làm độ thỏa dụng tăng thêm 1$. Trang 110
Toán cao cấp C1 2. Hàm thuần nhất và bài toán đánh giá hiệu quả của qui mô kinh tế Định nghĩa 4.1. Hàm nhiều biến f(X1,X2, , Xn) được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu thỏa mãn k f(tX1, tX2, , tXn) = t f(X1,X2, , Xn), ∀t > 0. (4.2) Định lý 4.1. Hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = A.Lα.Kβ là hàm thuần nhất bậc α + β. • α + β 1: khi tăng qui mô n lần thì tổng sản phẩm tăng nα+β lần (hiệu quả tăng). Trang 111
Toán cao cấp C1 4.2 Các bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng 1. Bài toán tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng và hàm cầu Marshall Giả sử người tiêu dùng có 2 lựa chọn hàng hóa là X1 và X2. Thực tế chỉ ra rằng những người này luôn muốn có càng nhiều hàng hóa X1,X2 càng tốt. Song họ bị ràng buộc bởi lượng ngân sách cố định K. Vì vậy, "người tiêu dùng đó cần tìm phương án tiêu dùng thích hợp để độ thỏa dụng là tối đa trong điều kiện ngân sách bị ràng buộc." Nếu đặt hàm thỏa dụng là U = U(X1,X2) và ràng buộc ngân sách là P1X1 + P2X2 = K, (4.3) với P1,P2 là giá của hàng hóa X1,X2. Khi đó bài toán tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng chính là bài toán tìm cực đại có điều kiện: max U(X1,X2) với P1X1 + P2X2 = K, X1 > 0,X2 > 0. (4.4) Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta có điều kiện cần cực trị là U 0 U 0 X1 X2 = và P1X1 + P2X2 = K. (4.5) P1 P2 Trang 112
Toán cao cấp C1 Sử dụng ma trận Hessian bao, điều kiện đủ cực trị của bài toán (4.4) là 2U 0 .U 0 .L00 − U 02 .L00 − U 02 .L00 > 0, X1 X2 X1X2 X1 X2X2 X2 X1X1 (4.6) L00 ,L00 ,L00 với X1X2 X1X1 X2X2 là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm Lagrange. L(X1,X2, λ) = U(X1,X2) + λ(P1X1 + P2X2 − K). Một cách khác để tìm cực đại của bài toán (4.4) là sử dụng tiếp cận hình học. Biểu diễn ràng buộc ngân sách và đường bàng quang trên cùng một hệ trục tọa độ, ta có hình vẽ sau Trang 113
Toán cao cấp C1 Khi đó, điều kiện cần cực trị của bài toán (4.4) được phát biểu như sau: "người tiêu dùng sẽ tối đa hóa độ thỏa dụng của mình tại điểm tiếp xúc của đường bàng quan và đường ràng buộc ngân sách". Với giả thiết hàm thỏa dụng U(X1,X2) thỏa mãn điều kiện đủ (4.6), hàm cầu Marshall (hàm xác định nhu cầu của người tiêu dùng để tối đa hóa độ thỏa dụng), được xác định như sau: X1 = X1(P1,P2,K); (4.7) X2 = X2(P1,P2,K), (4.8) trong đó X1, X2 là nghiệm của hệ (4.5). Ví dụ 4.2. Giả sử hàm thỏa dụng đối với hai loại hàng hóa X1,X2 là U(X1,X2) = X1X2 + 2X1. Hãy xác định lượng hàng tiêu dùng để tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng biết ràng buộc ngân sách là X1 + X2 = 2 Trang 114
Toán cao cấp C1 Nhận xét 4.4. Trong ứng dụng, các điều kiện (4.5) thường được viết dưới dạng P1 ∆X1 = − và P1X1 + P2X2 = K. (4.9) P2 ∆X2 2. Bài toán tối thiểu hóa chi phí của người tiêu dùng và hàm cầu Hick Ta tiếp tục giả sử người tiêu dùng có 2 lựa chọn hàng hóa là X1 và X2. Trong bài toán tối đa hóa lợi ích, người tiêu dùng sử dụng toàn bộ thu nhập của bản thân (ngân sách K) để tối đa hóa lợi ích. Mục này chúng ta lại xét một xu hướng khác của họ đó là "tìm cách tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng nhưng vẫn muốn đảm bảo một mức độ thỏa dụng nhất định". Nếu đặt hàm mục tiêu (chi phí) là C(X1,X2) = P1X1 + P2X2, và điều kiện (là mức thỏa dụng) U(X1,X2) = U0, thì bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng được viết lại như sau min C(X1,X2) = P1X1 + P2X2 với U(X1,X2) = U0,X1 > 0,X2 > 0. (4.10) Trang 115
Toán cao cấp C1 Dùng phương pháp nhân tử Lagrange, với hàm nhân tử Lagrange L = P1X1 + P2X2 + µ U0 − U(x, y) , ta có điều kiện cần cực trị cho bài toán (4.10) là  1 U 0 U 0  = X1 = X2 , µ P1 P2 (4.11)  U(X1,X2) = U0. Tiếp tục sử dụng ma trận Hessian bao, ta suy ra điều kiện đủ để hàm chi phí đạt cực tiểu là −µ(2U 0 .U 0 .L00 − U 02 .L00 − U 02 .L00 ) 0. Vì vậy điều kiện đủ cực trị của bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng trùng với điều kiện đủ cực trị của bài toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng. Nghĩa là 2U 0 .U 0 .L00 − U 02 .L00 − U 02 .L00 > 0. X1 X2 X1X2 X1 X2X2 X2 X1X1 Trang 116
Toán cao cấp C1 Với giả thiết hàm thỏa dụng U(X1,X2) thỏa mãn điều kiện đủ (4.12), hàm cầu Hick (hàm xác định nhu cầu của người tiêu dùng để tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng), được xác định như sau: X1 = Xb1(P1,P2,U0); (4.13) X2 = Xb2(P1,P2,U0), (4.14) trong đó Xb1, Xb2 là nghiệm của hệ (4.11). Ví dụ 4.3. Giả sử hàm thỏa dụng của một người có dạng U = X1X2 + 2X1. Hãy xác định lượng hàng tiêu dùng X1,X2 để chi phí tiêu dùng C(X1,X2) = 2X1 + 3X2, là tối thiểu với điều kiện U(X1,X2) = 5. 3. Phương trình Slutky Chúng ta vẫn giả sử người tiêu dùng có 2 lựa chọn hàng hóa là X1,X2 với Trang 117
Toán cao cấp C1 mức giá P1,P2 và mức thu nhập K. Khi đó hàm cầu Marshall X1 = X1(P1,P2,K) và X2 = X2(P1,P2,K), là hàm nhiều biến theo biến số P1,P2 và K. Thay kết quả trên vào hàm thỏa dụng, ta có U(X1, X2) = U(P1,P2,K), cũng là hàm nhiều biến theo biến số P1,P2 và K. Tiếp tục xây dựng hàm cầu Hick với mức thỏa dụng cố định U, ta có Xb1 = Xb1(P1,P2, U) và Xb2 = Xb2(P1,P2, U), cũng là các hàm nhiều biến. ∂Xb1 ∂Xb1 Tính các đạo hàm riêng , ta được các phương trình ∂P1 ∂K ∂Xb1 ∂Xb1 ∂Xb1 ∂U = + . , (4.15) ∂P1 ∂P1 ∂U ∂P1 ∂Xb1 ∂Xb1 ∂U = . . (4.16) ∂K ∂U ∂K Trang 118
Toán cao cấp C1 Với mức thỏa dụng tối ưu U, ta luôn có ∂U ∂U X1 = Xb2, = −λ.X1 và = λ. ∂P1 ∂K Vì vậy các phương trình (4.15), (4.16) được viết lại như sau ∂X1 ∂Xb1 ∂X1 = + − .X1 . (4.17) ∂P1 ∂P1 ∂K Phương trình (4.17) được gọi là phương trình Slutsky (đối với X1). Ý nghĩa. Phương trình Slutsky chỉ ra rằng sự ảnh hưởng của giá P1 lên nhu cầu X1 được tách thành 2 hiệu ứng sau: ∂Xb1 • hiệu ứng thay thế (nghĩa là khi giá P1 tăng thì người tiêu dùng sẽ ∂P1 sử dụng X2 để duy trì mức độ thỏa dụng U). ∂X1 • hiệu ứng thu nhập − .X (nghĩa là khi giá P tăng thì thu nhập thực ∂K 1 1 tế sẽ giảm). Trang 119
Toán cao cấp C1 Bằng cách tương tự, chúng ta cũng xây dựng được phương trình Slutsky ∂X2 ∂Xb2 ∂X2 = + − .X2 , (4.18) ∂P2 ∂P2 ∂K với ý nghĩa hoàn toàn giống như phân tích ở trên. BÀI TẬP Bài tập 4.1. Cho biết hàm thỏa dụng U(X1,X2) = (X1 + 3)X2, trong đó X1,X2 là lượng hàng hóa. Hãy chọn phương án tiêu dùng để tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá mỗi hàng hóa tương ứng là P1 = 5$,P2 = 20$ và ràng buộc ngân sách là 185$. Bài tập 4.2. Cho hàm thỏa dụng 0,6 0,25 U = X1 X2 . Với điều kiện giá hàng hóa là P1 = 8$,P2 = 5$ và thu nhập có thể tiêu dùng là 680$, hãy xác định lượng cầu X1,X2 để tối đa hóa lợi ích người tiêu dùng. Trang 120
Toán cao cấp C1 Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN §1. Tích phân bất định 1.1 Nguyên hàm Định nghĩa 1.1. Hàm F được gọi là nguyên hàm của hàm f trên khoảng (a, b) nếu F khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b) và F 0(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). 2x3 Ví dụ 1.1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x2 + 1 là F (x) = + x, với x ∈ . 3 R Ghi chú 1.1. Nguyên hàm của một hàm số không duy nhất. Các nguyên hàm của cùng một hàm số sai khác nhau một hằng số C. 1.2 Tích phân bất định Định nghĩa 1.2. Tích phân bất định của hàm số f(x) là họ tất cả các nguyên hàm F (x) + C của hàm số f(x), kí hiệu là Z f(x).dx = F (x) + C, với C là hằng số tùy ý. Trang 121
Toán cao cấp C1 Định lý 1.1. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó có nguyên hàm trên đoạn [a, b]. 1.3 Các tính chất và bảng nguyên hàm Định lý 1.2. Giả sử f(x), g(x) có tích phân bất định và k là một hằng số. Khi đó • R kf(x).dx = k R f(x).dx. • R f(x) + g(x)dx = R f(x).dx + R g(x).dx. 0 • R f(x).dx = f(x). BẢNG NGUYÊN HÀM • R k.dx = kx + C. dx • R = ln |x| + C. x n+1 x • R ex.dx = ex + C • R xn.dx = + C. . n + 1 ax • R ax.dx = + C. xα+1 ln a • R xα.dx = + C (α =6 −1). R α + 1 • sin x.dx = − cos x + C. Trang 122
Toán cao cấp C1 • R cos x.dx = sin x + C. dx • R = arctan x + C. dx 1 + x2 • R = tan x + C. cos2 x R dx 1 1 + x dx • = ln + C. • R = − cot x + C. 1 − x2 2 1 − x sin2 x dx dx √ • R √ = arcsin x + C. • R √ = ln |x + 1 + x2| + C. 1 − x2 1 + x2 Ví dụ 1.2. Tính các tích phân dx dx 1. R √ . 5. R . x sin x cos x 2 x R 5 2. R .dx. 6. sin x.dx. 1 + x2 dx R cos x 3. R . 7. sin x.e .dx. 1 + cos x dx R arcsin x 4. R . 8. √ .dx. 1 − cos x 1 − x2 Trang 123
Toán cao cấp C1 1.4 Hai phương pháp tính tích phân bất định 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1.3. Nếu hàm số f có nguyên hàm là F và hàm u = g(x) là hàm khả vi thì Z Z 0 f(u)ux.dx = f(u).du = F (u) + C. (1.1) Ví dụ 1.3. Tính các tích phân 1. R sin x. cos4 x.dx. dx dx 4. R . 7. R . 4 + x2 1 + sin x R x5 2. cos(sin x). cos x.dx. R .dx R dx 5. 3 . 8. √ √ . 1 + x x(1 + 3 x) dx R dx 3. R . 6. √ . R √ 4 − x2 4 + x2 9. 4 − x2.dx. 2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý 1.4. Nếu u, v là các hàm khả vi liên tục thì Z Z udv = uv − vdu. (1.2) Trang 124
Toán cao cấp C1 Ví dụ 1.4. Tích các tích phân R 2x R 3 2 1. x.e .dx. 3. x . ln x.dx. 5. R x. ln x.dx. 2. R x2. sin 3x.dx. 4. R sin x.ex.dx. 6. R x2. arctan x.dx. 1.5 Tích phân một số dạng cơ bản P (x) 1. Dạng phân thức hữu tỉ R .dx ax + b P (x) k Biến đổi phân thức = Q(x) + . ax + b ax + b x3 + 3x Ví dụ 1.5. Tính R .dx. 2x + 1 P (x) 2. Dạng phân thức hữu tỉ R .dx x2 + px + q P (x) ax + b Biến đổi phân thức = Q(x) + . x2 + px + q x2 + px + q 2x2 − 3x + 2 Ví dụ 1.6. Tính R .dx. x2 + x + 1 Trang 125
Toán cao cấp C1 √ 3. Dạng căn thức n ax + b √ Đổi biến số t = n ax + b. dx Ví dụ 1.7. Tính R . 1 + p3 (x − 1)2 √ 4. Dạng căn thức a2 − x2 h π πi Đổi biến x = a. sin t, với t ∈ − , . 2 2 √ Ví dụ 1.8. Tính R x2 4 − x2.dx. 5. Dạng lượng giác R sinm x. cosn x.dx • Nếu m lẻ, đặt t = cos x. • Nếu n lẻ, đặt t = sin x. • Nếu m, n chẵn, đặt t = tan x. dx 6. Dạng lượng giác R sinm x. cosn x Đổi biến t = tan x nếu m + n chẵn. Trang 126
Toán cao cấp C1 7. Dạng lượng giác R R(sin x, cos x).dx x Đổi biến t = tan . 2 Ví dụ 1.9. Tính các tích phân 1. R sin4 x. cos3 x.dx. dx 3. R . sin x. cos3 x R dx R 2 4 4. . 2. sin x. cos x.dx. 1 + sin x + cos x §2. Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1. Giả sử hàm số y = f(x) xác định và giới nội trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành các đoạn con xác định bởi các đầu mút a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Trên mỗi khoảng con [xi, xi+1], lấy tùy ý một điểm ξi. Đặt ∆xi = xi+1 − xi, n X Sn = f(ξi)∆xi. i=0 Trang 127
Toán cao cấp C1 lim S [a, b] Nếu n→∞ n hữu hạn và không phụ thuộc vào cách chia đoạn và cách max ∆xi→0 1≤i≤n chọn ξi ∈ [xi, xi+1] thì nó được gọi là tích phân của f(x) trên đoạn [a, b], kí hiệu b Z f(x).dx = lim S . n→∞ n (2.1) max ∆xi→0 a 1≤i≤n • a: cận dưới; b: cận trên. • f(x): hàm dưới dấu tích phân. Nếu hàm f có tích phân trên đoạn [a, b] thì f được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]. Trang 128
Toán cao cấp C1 b Nhận xét 2.1. Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì R f(x).dx chính là diện tích hình a thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm f(x), trục hoành Ox và đường thẳng x = a, x = b. 2.2 Các tính chất Định lý 2.1. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] thì f khả tích trên đoạn [a, b]. Định lý 2.2. Nếu f(x), g(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì a 1. R f(x)dx = 0. a b a 2. R f(x)dx = − R f(x)dx. a b b b 3. R kf(x)dx = k R f(x)dx. a a b b b 4. R f(x) + g(x)dx = R f(x)dx + R g(x)dx. a a a Trang 129
Toán cao cấp C1 b c b 5. R f(x)dx = R f(x)dx + R f(x)dx, với mọi c ∈ (a, b). a a c b 6. Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì R f(x)dx ≥ 0. a b b 7. Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì R f(x)dx ≥ R g(x)dx. a a x 8. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và F (x) = R f(t)dt thì a x Z 0 F 0(x) = f(t)dt = f(x), ∀x ∈ [a, b]. (2.2) a 2.3 Công thức Newton-Leibnitz Định lý 2.3. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có nguyên hàm là F (x) thì b Z b f(x)dx = F (x) = F (b) − F (a). (2.3) a a Trang 130
Toán cao cấp C1 Ví dụ 2.1. Tính các tích phân √ e2 3 ln xdx 3 1. R . R dx x 2. 2 . 1 0 x + 1 2.4 Hai phương pháp tính tích phân xác định 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 2.4. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm số u(x) khả vi liên tục trên đoạn [a, b] với u(a) = α, u(b) = β. Khi đó b β Z Z 0 f(u(x)).ux.dx = f(u).du. (2.4) a α Ví dụ 2.2. Tính các tích phân π 2 π 2 dx 2 dx R 2 2. R . R 1. sin x cos xdx. p3 2 3. . 0 1 1 + (x − 2) 0 2 + cos x 2. Phương pháp tích phân từng phần Trang 131
Toán cao cấp C1 Định lý 2.5. Giả sử u, v là các hàm số khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó b b Z Z b u.dv = u.v|a − v.du. (2.5) a a Ví dụ 2.3. Tính các tích phân π 2 2 e R 3 1. a) R x cos xdx. 2. b) x ln xdx. 0 1 BÀI TẬP Bài tập 2.1. Tính các tích phân √ 1 x R π dx 1. R .dx. 5. 2 . 0 1 + x 0 3 + 2. cos x √ R 4 3 √ 2. x x2 + 9.dx. R ln 2 x 0 6. 0 e − 1.dx. π x R 2 x. sin .dx x 3. 0 . 1 x.e 2 7. R .dx. R 1 0 (x + 1)2 4. 0 x. ln(1 + x).dx. Trang 132
Toán cao cấp C1 §3. Tích phân suy rộng 3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng [a, +∞) và khả tích trên đoạn [a, b] với mọi b > a. Nếu tồn tại giới hạn b Z lim f(x).dx, b→+∞ a thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x). Kí hiệu +∞ Z I = f(x).dx a +∞ • Nếu R f(x).dx tồn tại thì nó được gọi là hội tụ. a +∞ • Nếu R f(x).dx không tồn tại thì nó được gọi là phân kì. a Trang 133
Toán cao cấp C1 Tương tự, ta cũng có các tích phân sau: b b Z Z f(x).dx = lim f(x).dx; a→−∞ −∞ a +∞ c +∞ Z Z Z f(x).dx = f(x).dx + f(x).dx, c ∈ R. −∞ −∞ c Định lý 3.1 (Công thức Newton-Leibnitz mở rộng). Giả sử hàm số f(x) có nguyên hàm là F (x) trên khoảng [a, +∞). Khi đó +∞ b Z Z f(x)dx = lim f(x)dx = lim F (b) − F (a). (3.1) b→+∞ b→+∞ a a Trường hợp tích phân có cận là −∞, công thức tính cũng tương tự như trên. Ví dụ 3.1. Xét sự hội tụ của các tích phân sau +∞ 0 +∞ +∞ R dx R x R dx R dx a) 2. b) 4.dx. c) . d) 2. 1 (x + 1) −∞ 1 + x e x ln x 0 1 + x Trang 134
Toán cao cấp C1 3.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn Định nghĩa 3.2. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng [a, b) và khả tích trên đoạn [a, ] với mọi < b. Nếu tồn tại giới hạn Z lim f(x).dx, →b− a thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x). Kí hiệu b Z I = f(x).dx a b • Nếu R f(x).dx tồn tại thì nó được gọi là hội tụ. a b • Nếu R f(x).dx không tồn tại thì nó được gọi là phân kì. a Trang 135
Toán cao cấp C1 Tương tự, trường hợp f(x) xác định trên (a, b] và (a, b) ta cũng có: b b Z Z f(x).dx = lim f(x).dx; →a+ a b c b Z Z Z f(x).dx = f(x).dx + f(x).dx, c ∈ (a, b). a a c Định lý 3.2 (Công thức Newton-Leibnitz mở rộng). Giả sử hàm số f(x) có nguyên hàm là F (x) trên khoảng [a, b). Khi đó b Z Z f(x)dx = lim f(x)dx = lim F () − F (a). (3.2) →b− →b− a a Trường hợp f(x) xác định trên khoảng (a, b], công thức cũng tương tự như trên. Ví dụ 3.2. Xét sự hội tụ của các tích phân sau 1 2 5 1 e dx x dx 2 R dx a) R √ . b) R √ dx. R dx d) . 2 2 c) . x ln x 0 1 − x 0 4 − x px(1 − x) 1 0 Trang 136
Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 3.1. Xét tính hội tụ của các tích phân sau +∞ 0 +∞ 2 dx dx R x.e−x .dx R R 1. . 3. 2 2. 5. 2 . 0 −∞ (x + 1) −∞ x + 4x + 9 +∞ dx +∞ +∞ dx 2. R √ . 4. R x. sin x.dx. 6. R √ . 2 2 0 x. x − 1 0 1 x x + x + 1 Bài tập 3.2. Xét tính hội tụ của các tích phân sau 4 dx 1 2 xdx 1. R . 3. R x ln x.dx. 5. R . p3 2 2 2 (4 − x) 0 −2 x − 1 2 dx 4 xdx 2 x3dx 2. R . 4. R √ . 6. R √ . 2 4 2 2 1 x − 4x + 3 2 x − 4 0 4 − x Trang 137
Toán cao cấp C1 §4. Tích phân bội 4.2 Tích phân bội trên miền hình chữ nhật Định nghĩa 4.1. Cho hàm f(x, y) xác định và khả tích trên miền hình chữ nhật D = {a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}. (4.1) Khi đó tích phân 2-lớp của hàm f(x, y) trên miền D được xác định như sau ZZ Z b Z d ! Z d Z b ! f(x, y).dxdy = f(x, y).dy .dx = f(x, y).dx .dy (4.2) a c c a D Ví dụ 4.1. Tính các tích phân sau 1. RR (x2 + 2y).dxdy với D = {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}. D √ 2. RR 2x + y.dxdy với D = {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}. D 4.3 Tích phân bội trên miền hình thang cong Định nghĩa 4.2. Cho hàm f(x, y) xác định và khả tích trên miền hình thang cong D = {a ≤ x ≤ b; ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}. (4.3) Trang 138
Toán cao cấp C1 Khi đó tích phân 2-lớp của hàm f(x, y) trên miền D được xác định như sau   ϕ2(x) ZZ Z b Z f(x, y).dxdy =  f(x, y).dy .dx (4.4) a   D ϕ1(x) Ví dụ 4.2. Tính các tích phân sau 1. RR (x2 − y).dxdy với D = {0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 2x}. D 2. RR (x2 + y2).dxdy với D là miền được giới hạn bởi 2 đường cong D y = 2x, y = x2. 3. RR xy.dxdy với D là miền được giới hạn bởi 2 đường cong D y = x + 1, y2 = 2x + 5. BÀI TẬP Bài tập 4.1. Tìm cận của các tích phân RR f(x, y).dxdy trên miền D giới hạn bởi D các đường sau Trang 139
Toán cao cấp C1 1. x = 0, y = 0, x + y = 2. 3. y ≥ x2, y ≤ 4 − x2. √ 2. x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0. 4. y = x2, y = x. Bài tập 4.2. Tính các tích phân 2-lớp 1 2x 2 R R 2 y 1. dx (x − y + 1).dy. 3. R dy R (x + 2y).dx. 0 x 0 0 4 y 3 5 5−x R R y R R √ 2. dy 2 2.dx. 4. dx 4 + x + y.dy. −2 0 x + y 0 0 Bài tập 4.3. Tính các tích phân sau trên miền được chỉ ra 1. RR (x + y2).dxdy, với D giới hạn bởi 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1. D 2. RR xy.dxdy, với D giới hạn bởi y = 0, y = x, x = 1. D 3. RR xy.dxdy, với D giới hạn bởi x = y2, y = x2. D RR x 4. 2 2.dxdy, với D giới hạn bởi y = x, x = 2, x = 2y. D x + y Trang 140
Toán cao cấp C1 §5. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế 5.1 Tính thặng dư của người tiêu dùng Định nghĩa 5.1. For a demand function d(x) and the demand level A, the mar- ket price B is the demand function evaluated at x = A, so that B = d(A). The consumers’ surplus is the area between the demand curve and the market price. A Z CS = d(x) − B.dx (5.1) 0 Ví dụ 5.1. If the demand function for electricity is d(x) = 1100−10x dollars (where x is in millions of kilowatt-hours, find the consumers’ surplus at the demand level x = 80 5.2 Tính thặng dư của nhà sản xuất Định nghĩa 5.2. For a supply function s(x) and demand level A, the market price is B = s(A) The producersỖ surplus is the area between the market price and the Trang 141
Toán cao cấp C1 supply curve. Z A PS = B − s(x).dx (5.2) 0 Ví dụ 5.2. For the supply function s(x) = 0.09x2 dollars and the demand level x = 200, find the producers’ surplus. Trang 142
Toán cao cấp C1 Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1. Phương trình vi phân cấp một 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 4.1. Cho y(x) là hàm số theo biến số x. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng y0 = f(x, y), (4.1) • Nghiệm: là hàm khả vi ϕ(x) thỏa mãn (4.1). • Nghiệm tổng quát: là hàm khả vi ϕ(x, C) thỏa mãn các tính chất 1. ϕ(x, C) thỏa mãn (4.1) với mọi giá trị C. 2. với mỗi giá trị ban đầu y(x0) = y0, chỉ tồn tại duy nhất một giá trị C0 sao cho hàm ϕ(x, C0) là nghiệm và ϕ(x0,C0) = y0. • Nghiệm riêng: là nghiệm suy ra từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C một giá trị cụ thể. Trang 143
Toán cao cấp C1 Ví dụ 4.1. Phương trình vi phân y0 − y = 0 có nghiệm tổng quát là y = C.ex và một nghiệm riêng là y = 2.ex. 1.2 Phương trình tách biến Định nghĩa 4.2. Phương trình tách biến là phương trình có dạng f(x).dx + g(y).dy = 0. (4.2) Cách giải. Biến đổi (4.2) về dạng g(y)dy = −f(x)dx , và lấy tích phân 2 vế. Ví dụ 4.2. Giải các phương trình vi phân sau p x 0 x 1. y2 + 1.dx = xy.dy. 3. (1 + e )y.y = e , y(0) = 1. 2. (x2 − 1).y0 + 2xy2 = 0, y(0) = 1. 4. y0 = 2x + y. 1.3 Phương trình đẳng cấp Định nghĩa 4.3. Phương trình đẳng cấp là phương trình có dạng y y0 = f . (4.3) x Trang 144
Toán cao cấp C1 y dy du Cách giải. Đổi biến u = ⇒ y = ux ⇒ = u + x . x dx dx Thay vào (4.3), ta có du u + x = f(u). dx là phương trình tách biến. Ví dụ 4.3. Giải các phương trình vi phân sau 1. 2x2.dy = (x2 + y2).dx. 3. (x + y − 2).dx + (x − y + 4).dy = 0. y 1 2. xy0 = y 1 + ln , y(1) = √ . x e 4. (x + y + 1).dx + (2x + 2y − 1).dy. 1.4 Phương trình tuyến tính Định nghĩa 4.4. Phương trình tuyến tính là phương trình có dạng y0 + p(x)y = q(x), (4.4) trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục. • Nếu q(x) = 0 thì (4.4) gọi là phương trình thuần nhất. Trang 145
Toán cao cấp C1 • Nếu q(x) =6 0 thì (4.4) gọi là phương trình không thuần nhất. Cách giải. 1. Giải phương trình thuần nhất y0 + p(x)y = 0. Công thức nghiệm: R y = C.e− p(x)dx, (4.5) với C là hằng số. 2. Xem C hàm số theo biến số x. Tính đạo hàm 2 vế của (4.5) R R y0 = C0(x)e− p(x)dx − C(x)p(x)e− p(x)dx. (4.6) Thay vào (4.4), suy ra R C0(x) = q(x)e p(x)dx. (4.7) Nghiệm tổng quát của (4.4) là R Z R y = e− p(x)dx q(x)e p(x)dxdx + C , (4.8) trong đó C là một hằng số tùy ý. Trang 146
Toán cao cấp C1 Ví dụ 4.4. Giải các phương trình sau 1. y0 + 3y = ex. 2. x(x − 1)y0 + y = x2(2x − 1), y(2) = 4. 1.5 Phương trình Bernoulli Định nghĩa 4.5. Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng y0 + p(x)y = q(x)yα, với α =6 0, α =6 1. (4.9) • Nếu q(x) = 0 thì (4.9) gọi là phương trình thuần nhất. • Nếu q(x) =6 0 thì (4.9) gọi là phương trình không thuần nhất. Cách giải. 1. Nếu y =6 0 thì chia 2 vế của (4.9) cho yα. 2. Đổi biến z = y1−α. Suy ra z0 = (1 − α)y−αy0. Thay vào (4.9), ta có z0 + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x), (4.10) là phương trình tuyến tính. Trang 147
Toán cao cấp C1 Ví dụ 4.5. Giải các phương trình sau 1. y0 − 2xy = 3x3y2. 2. xy0 + y = y2 ln x. BÀI TẬP Bài tập 4.1. Giải các phương trình sau 1. (1 + y2).dx = x.dy. 3. yy0 + x = 1. 2. y0 = y. 4. 1 + (1 + y0)ey = 0. Bài tập 4.2. Giải các phương trình sau x 1. (x − y).dx + x.dy = 0. 3. xy0 = y ln . y 2. xy0 = y(ln y − ln x). 4. (4x − 3y).dx + (2y − 3x).dy = 0. Bài tập 4.3. Giải các phương trình sau 1. y0 − y = ex. 3. y0 + x2y = x2. 2. y0 + 2y = e−x. 4. x2 + xy0 = y, y(1) = 0. Trang 148
Toán cao cấp C1 Bài tập 4.4. Giải các phương trình sau 1. y0 + 2xy = 2xy2. 3. (x3 + ey)y0 = 3x2. 2 2. 3xy2y0 − 2y3 = x3. 4. y0 + 2xy = y2ex . Trang 149
Toán cao cấp C1 §2. Phương trình vi phân cấp hai 2.1 Các khái niệm Định nghĩa 2.1. Cho y(x) là hàm số theo biến số x. Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng y00 = f(x, y, y0), (2.1) • Nghiệm: là hàm khả vi cấp 2 ϕ(x) thỏa mãn (2.1). • Nghiệm tổng quát: là hàm khả vi cấp 2 ϕ(x, C1,C2) thỏa mãn các tính chất 1. ϕ(x, C1,C2) thỏa mãn (2.1) với mọi giá trị C1,C2. 2. với mỗi giá trị ban đầu 0 0 y(x0) = y0, y (x0) = y0, luôn tồn tại các số C1,C2 sao cho hàm ϕ(x, C1,C2) là nghiệm và 0 0 ϕ(x0,C1,C2) = y0, ϕ (x0,C1,C2) = y0. • Nghiệm riêng: là nghiệm suy ra từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C1,C2 các giá trị cụ thể. Trang 150
Toán cao cấp C1 Ví dụ 2.1. Phương trình vi phân y00 = x.ex có nghiệm tổng quát là y = (x−2)ex + x C1x + C2 và một nghiệm riêng là y = (x − 2)e + x. 2.2 Phương trình giảm cấp Ví dụ 2.2. Giải các phương trình 1. Dạng y(n) = f(x) y000 = x + cos x. 2. Dạng khuyết đạo hàm đến bậc k xy000 − y00 = 0. 3. Dạng không chứa biến độc lập y00 = 1 + y02. Giải. 1. Ta có Z Z Z x4 C x2 y = (x + cos x) .dx .dx .dx = − sin x + 1 + C x + C . 24 2 2 3 Trang 151
Toán cao cấp C1 2. Đặt z = y00. Suy ra z0 = y000. Thay vào phương trình ban đầu, ta được phương trình xz0 − z = 0. Phương trình này có nghiệm tổng quát là z = C1x Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là C x3 y = 1 + C x + C . 6 2 3 3. Đặt z = y0. Suy ra z0 = y00. Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình z0 = 1 + z2. Phương trình này có nghiệm tổng quát là z = tan(x + C1) Trang 152
Toán cao cấp C1 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là y = − ln C2| cos(x + C1)|. 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Định nghĩa 2.2. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là phương trình có dạng y00 + py0 + qy = 0, (2.2) trong đó p, q là các hằng số thực. Tính chất 2.3. Tính chất nghiệm y1(x) 1. Nếu y1, y2 là các nghiệm riêng của (2.2) và =6 const (nghĩa là y1, y2 độc y2(x) lập tuyến tính) thì y = C1y1 + C2y2 là nghiệm tổng quát của (2.2). 2. Nếu y = u(x) + i.v(x), là nghiệm của (2.2) thì u(x), v(x) cũng là nghiệm của (2.2). Trang 153
Toán cao cấp C1 Cách giải 1. Tìm nghiệm λ1, λ2 của phương trình đặc trưng λ2 + p.λ + q = 0. (2.3) 2. Công thức nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Nghiệm của phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát λ x λ x λ1 =6 λ2 y = C1e 1 + C2e 2 λx λ1 = λ2 = λ y = e (C1 + C2x) αx λ1,2 = α ± iβ y = e (C1 cos βx + C2 sin βx) Ví dụ 2.3. Giải các phương trình vi phân sau 1. y00 + y0 − 2y = 0. 2. y00 − 4y0 + 4y = 0. 3. y00 + 2y0 + 5y = 0. Đáp số. x −2x 1. y = C1e + C2e . 2x 2. y = e (C1 + C2x). −x 3. y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x). Trang 154
Toán cao cấp C1 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng Định nghĩa 2.3. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng là phương trình có dạng y00 + py0 + qy = f(x), (2.4) trong đó p, q là các hằng số thực và f(x) là hàm số liên tục trên khoảng (a, b). Định lý 2.1. Giả sử ye1 là một nghiệm riêng của phương trình (2.4) và ye2 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y00 + py0 + qy = 0. Khi đó nghiệm tổng quát ye của phương trình (2.4) là ye = ye1 + ye2. (2.5) Định lý 2.2. Nếu y1, y2 là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất y00 + py0 + qy = 0, Trang 155
Toán cao cấp C1 thì một nghiệm riêng của (2.4) sẽ có dạng ye1 = C1(x)y1 + C2(x)y2, (2.6) với C1(x),C2(x) là các hàm số thỏa mãn hệ phương trình ( 0 0 C1(x)y1 + C2(x)y2 = 0; 0 0 0 0 (2.7) C1(x)y1 + C2(x)y2 = f(x). Ví dụ 2.4. Tìm một nghiệm riêng của phương trình y00 − 3y0 + 2y = x2. Giải. Xét phương trình thuần nhất y00 − 3y0 + 2y = 0. Phương trình này có phương trình đặc trưng là λ2 − 3λ + 2 = 0. Vì nghiệm của phương trình đặc trưng là λ1 = 1, λ2 = 2, nên nghiệm tổng quát của phương trình trên có dạng x 2x y = C1e + C2e . Trang 156
Toán cao cấp C1 Theo phương pháp biến thiên hằng số, nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất sẽ có dạng x 2x ye1 = C1(x).e + C2(x).e . Để tìm C1(x),C2(x), ta giải hệ phương trình ( 0 x 0 2x C1(x)e + C2(x)e = 0; 0 x 0 2x 2 C1(x)e + 2C2(x)e = x . Nghiệm của hệ là 0 −x 2 C1(x) = −e x 0 −2x 2 C2(x) = e x . Lấy tích phân của các hàm số trên, ta có −x 2 C1(x) = e x + 2x + 2 x2 x 1 C (x) = e−2x − − − . 2 2 2 4 Trang 157
Toán cao cấp C1 Vậy nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là x2 3x 7 y = + + . e1 2 2 4 x2 3x 7 Do đó nghiệm tổng quát y = + + + C ex + C e2x. e 2 2 4 1 2 Cách giải phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất 1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ye2 = C1y1 + C2y2. (2.8) 2. Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ye1. 3. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là ye = ye1 + ye2. Ví dụ 2.5. Giải các phương trình sau 1. y00 + y0 − 2y = x2. 2. y00 − 4y0 + 3y = x.ex Trang 158
Toán cao cấp C1 Công thức nghiệm riêng trong một số trường hợp đặc biệt αx 1. f(x) = e Pn(x) Nếu α là nghiệm bội r của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng r αx ye1 = x .e .Qn(x). (2.9) αx 2. f(x) = e . Pn(x) cos β + Qm(x) sin β Nếu α+iβ là nghiệm bội r của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng r αx ye1 = x e Q1(x) cos β + Q2(x) sin β , (2.10) trong đó Q1,Q2 là các đa thức có bậc là max{m, n} Ví dụ 2.6. Giải các phương trình sau 1. y00 − 2y0 + y = x + 1. 4. y00 − y = sin x. 2. y00 − 7y0 + 6y = x.ex. 5. y00 + y = sin 2x. 3. y00 + 9y = x2.e3x. 6. y000 − y = 3.e2x cos x. BÀI TẬP Trang 159
Toán cao cấp C1 Bài tập 2.1. Giải các phương trình vi phân sau 1. y000 = 60x2. 3. xy00 = y0. 2. y00(x − 3) − y0 = 0. 4. y00 + y0 + 2 = 0. Bài tập 2.2. Giải các phương trình vi phân sau 1. y00 − 5y0 + 4 = 0. 3. y00 + 8y0 + 25y = 0. 2. y00 − 6y0 + 9y = 0. 4. y00 − 2y0 + 2y = 0. Bài tập 2.3. Giải các phương trình Cauchy sau 1. y00 + 4y0 + 5y = 0, y(0) = −3, y0(0) = 0. 2. y00 − 4y0 + 3y = 0, y(0) = 6, y0(0) = 10. Bài tập 2.4. Giải các phương trình vi phân sau 1. y00 + 2y0 + y = ex. 3. y00 − 2y = x.ex. 2. y00 − 3y0 + 2y = ex. 4. y00 − 4y = 8x3. Trang 160
Toán cao cấp C1 5. y00 − 5y0 + 6y = 13 sin 3x. 6. y00 − y = x cos x. Trang 161
Toán cao cấp C1 Chương 5 LÝ THUYẾT CHUỖI §1. Chuỗi số Định nghĩa 1.1. Cho dãy số {an}. Biểu thức a1 + a2 + + an + được gọi là chuỗi số. ∞ P Kí hiệu: an. n=1 • a1, a2, được gọi là số hạng của chuỗi. • an là số hạng tổng quát của chuỗi. • Tổng Sn = a1 + a2 + + an, (1.1) được gọi là tổng riêng của chuỗi. ∞ P • Nếu giới hạn lim Sn tồn tại thì ta nói chuỗi an hội tụ. n→∞ n=1 ∞ P • Nếu giới hạn lim Sn không tồn tại thì ta nói chuỗi an phân kì. n→∞ n=1 Trang 162
Toán cao cấp C1 ∞ P 1 Ví dụ 1.1. Chuỗi số n có n=1 2 1 1 1 1 1 lim + + + + = lim 1 − = 1. 2 22 23 2n 2n Do đó chuỗi số này hội tụ. §2. Chuỗi số dương 2.1 Các khái niệm ∞ P Định nghĩa 2.1. Chuỗi an được gọi là chuỗi số dương nếu an ≥ 0, ∀n ∈ N. n=1 Định lý 2.1. Chuỗi số dương hội tụ nếu dãy tổng riêng {Sn} bị chặn trên và phân kì nếu dãy tổng riêng không bị chặn trên. Ví dụ 2.1. Xét tính hội tụ của các chuỗi số sau ∞ ∞ P 1 P 1 1. . 2. 2. n=1 n n=1 n Trang 163
Toán cao cấp C1 Giải. 1 1 1 1 1. Ta có + + > n. = . Do đó dãy tổng riêng n + 1 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 S k+1 = 1+ + + + + + + + + + > (k+1). . 2 2 3 4 5 8 2k + 1 2.2k 2 +∞ P 1 Vì lim S2k+1 = +∞ nên chuỗi phân kì. k→∞ n=0 n 2. Ta có dãy tổng riêng 1 1 1 1 1 1 1 1 S = 1 + + + + < 1 + + + + + = 2 − . n 22 32 n2 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n n ∞ P 1 Vì dãy {Sn} bị chặn trên nên chuỗi 2 hội tụ. n=1 n 2.2 Định lý so sánh ∞ ∞ P P Định lý 2.2. Cho hai chuỗi số dương an và bn thõa mãn tính chất n=1 n=1 an ≤ bn, ∀n ∈ N. ∞ ∞ P P • Nếu chuỗi bn hội tụ thì chuỗi an hội tụ. n=1 n=1 Trang 164
Toán cao cấp C1 ∞ ∞ P P • Nếu chuỗi an phân kì thì chuỗi bn phân kì. n=1 n=1 ∞ P 1 Ví dụ 2.2. Xét sự hội tụ của chuỗi số n. n=1 n.2 ∞ ∞ 1 1 P 1 P 1 Giải. Ta có n ≤ n, ∀n ∈ N và chuỗi n hội tụ nên chuỗi n hội n.2 2 n=1 2 n=1 n.2 tụ. 2.3 Tiêu chuẩn hội tụ ∞ P Định lý 2.3 (Tiêu chuẩn D’Alambert). Cho chuỗi số dương an. Đặt n=1 a d = lim n+1. an ∞ P i) Nếu d 1 thì chuỗi an phân kì. n=1 Trang 165
Toán cao cấp C1 ∞ P Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho chuỗi số dương an. Đặt n=1 √ n c = lim an. ∞ P i) Nếu c 1 thì chuỗi an phân kì. n=1 Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau ∞ P 1 1. n. n=1 (ln n) ∞ n P x 2. 2 , với x > 0. n=1 n Giải. r 1 1 1. Ta có c = lim n = lim = 0 nên theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi n→∞ (ln n)n n→∞ ln n ∞ P 1 n hội tụ. n=1 (ln n) Trang 166
Toán cao cấp C1 2 n+1 n an+1 n x x 2. Ta có d = lim = lim x. = x, với an+1 = 2, an = 2 . n→∞ an n→∞ n + 1 (n + 1) n Áp dụng tiêu chuẩn D’Alambert, ta có ∞ n P x • 0 1: chuỗi 2 phân kì. n=1 n ∞ n ∞ P x P 1 • x = 1: chuỗi 2 trở thành 2, là chuỗi hội tụ. n=1 n n=1 n §3. Chuỗi đan dấu ∞ P n+1 Định nghĩa 3.1. Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng (−1) an với an > 0. n=1 Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Leibnitz). Nếu {an} giảm ngặt và lim an = 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. ∞ (−1)n+1 Ví dụ 3.1. Xét sự hội tụ của chuỗi P . n=1 n Trang 167
Toán cao cấp C1 ∞ n ∞ n P (−1) P (−1) Ghi chú 3.2. Chuỗi hội tụ. Tuy nhiên chuỗi phân kì. Những n=1 n n=1 n chuỗi có tính chất này gọi là chuỗi bán hội tụ. Nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối cũng hội tụ thì ta gọi là chuỗi hội tụ tuyệt đối. §4. Chuỗi lũy thừa 4.1 Các khái niệm Định nghĩa 4.1. Chuỗi lũy thừa là chuỗi số có dạng ∞ X n anx , n=1 trong đó {an} là một dãy số và x là biến số. ∞ P n Định nghĩa 4.2. Cho chuỗi lũy thừa anx . n=1 ∞ P n • Số R > 0 để chuỗi anx hội tụ tuyệt đối khi |x| R n=1 được gọi là bán kính hội tụ. • Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ. Trang 168
Toán cao cấp C1 4.2 Xác định bán kính hội tụ Định lý 4.1 (Định lý Cauchy-Hadamard). Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ P n anx được xác định bằng công thức n=1  1  , nếu 0 < p < +∞ R = p (4.1)  +∞, nếu p = 0 pn trong đó p = lim |an|. ∞ P n Định lý 4.2 (Định lý D’Alamber). Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa anx n=1 được xác định bằng công thức  1  , nếu 0 < p < +∞ R = p (4.2)  +∞, nếu p = 0 an+1 trong đó p = lim . an Ví dụ 4.1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi số sau Trang 169