›
›

Bài giảng Toán cao cấp C1 - Huỳnh Văn Hiếu

pdf 20 trang huongle 3870
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp C1 - Huỳnh Văn Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_c1_huynh_van_hieu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Huỳnh Văn Hiếu

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CễNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN – TỔ TOÁN BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP C1 HỆ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2014 - 2015
  2. 9/6/2014 Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phỳ Vinh – Giỏo trỡnh Toỏn cao cấp A1–C1 TOÁN CAO CẤP C1 – ĐH Cụng nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đỡnh Trớ – Toỏn cao cấp (Tập 2, 3) ĐẠI HỌC – NXB Giỏo dục. 3. Lờ Văn Hốt – Toỏn cao cấp C2 Giảng viờn: ThS. Huỳnh Văn Hiếu – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Lờ Quang Hoàng Nhõn – Toỏn cao cấp (Giải tớch) – ĐH Kinh tế - Tài chớnh TP. HCM – NXB Thống kờ. Tải bài giảng 5. Đỗ Cụng Khanh – Toỏn cao cấp (Tập 1, 3, 4) tailieuhvh.webnode.vn – NXBĐHQG TP.HCM. 6. Nguyễn Viết Đụng – Toỏn cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giỏo dục.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRèNH Đ1. Bổ tỳc về hàm số Đ2. Giới hạn của hàm số SỐ TIẾT : 30 Đ3. Đại lƣợng vụ cựng bộ – vụ cựng lớn Đ4. Hàm số liờn tục PHẦN I : ễN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN . CHƢƠNG 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Đ1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ CHƢƠNG 2 : PHẫP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1. Khỏi niệm cơ bản CHƢƠNG 3 : PHẫP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1.1. Định nghĩa hàm số PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM • Cho XY, khỏc rỗng. CHƢƠNG 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Ánh xạ f: X Y với x y f() x là một hàm số. CHƢƠNG 5 : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ Khi đú: CHƢƠNG 6 : PHƢƠNG TRèNH VI PHÂN – Miền xỏc định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. CHƢƠNG 7 : Lí THUYẾT CHUỖI – Miền giỏ trị (MGT) của f là: G y f() x x X .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Nhận xột – Nếu f()() x1 f x 2 x 1 x 2 thỡ f là đơn ỏnh. – Nếu f(X) = Y thỡ f là toàn ỏnh. – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Nếu f vừa đơn ỏnh vừa toàn ỏnh thỡ f là song ỏnh. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. VD 1. 1.1.2. Hàm số hợp x a) Hàm số f : thỏa y f( x ) 2 là đơn ỏnh. • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện GDgf. b) Hàm số f : [0; ) thỏa f() x x 2 là toàn ỏnh. Khi đú, hàm số h( x ) ( f g )( x ) f [ g ( x )] đƣợc gọi là c) Hsố f : (0; ) thỏa f( x ) ln x là song ỏnh. hàm số hợp của f và g. • Hàm số y f() x đƣợc gọi là hàm chẵn nếu: Chỳ ý (f g )( x ) ( g f )( x ). f( x ) f ( x ), x Df . • Hàm số đƣợc gọi là hàm lẻ nếu: VD 2. Hàm số y2( x2 1) 2 x 2 1 là hàm hợp của 2 2 f( x ) f ( x ), x Df . f( x ) 2 x x và g( x ) x 1. 1
  3. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngƣợc 1.2. Hàm số lƣợng giỏc ngƣợc • Hàm số g đƣợc gọi là hàm số ngƣợc của f, 1.2.1. Hàm số y = arcsin x ký hiệu gf1, nếu x g( y ), y G . • Hàm số yxsin cú hàm ngƣợc trờn ; là f 22 Nhận xột f 1 : [ 1; 1] ; – Đồ thị hàm số y f1() x 22 đối xứng với đồ thị của x yarcsin x . hàm số y f() x qua VD 4. arcsin 0 0; đƣờng thẳng yx. arcsin( 1) ; 2 VD 3. Cho fx( ) 2x thỡ 3 f1( x ) log x , mọi x > 0. arcsin . 2 23  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số yxcos cú hàm ngƣợc trờn [0; ] là • Hàm số yxtan cú hàm ngƣợc trờn ; là 1 22 f : [ 1; 1] [0; ] f 1 : ; 22 x yarccos x. x yarctan x . VD 5. arccos 0 ; 2 VD 6. arctan 0 0; arccos( 1) ; arctan( 1) ; 3 12 4 arccos ; arccos . 26 23 arctan 3 . Chỳ ý 3 arcsinx arccos x , x [ 1; 1]. Quy ước. arctan , arctan . 2 22  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x Đ2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • Hàm số yxcot cú hàm ngƣợc trờn (0; ) là 2.1. Cỏc định nghĩa Định nghĩa 1 f 1 : (0; ) • Cho hàm số f(x) xỏc định trờn (a; b). Ta núi f(x) cú giới hạn là L (hữu hạn) khi x x[ a ; b ], ký hiệu x y arccot x . 0 limf ( x ) L, nếu 0 cho trƣớc ta tỡm đƣợc 0 xx VD 7. arc cot0 ; 0 2 sao cho khi 0 xx thỡ f() x L . 3 0 arc cot( 1) ; Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dóy) 4 • Cho hàm số f(x) xỏc định trờn (a; b). Ta núi f(x) cú giới hạn là L (hữu hạn) khi x x[ a ; b ], ký hiệu arc cot 3 . 0 6 limf ( x ) L, nếu mọi dóy {xn} trong (a ; b )\ { x } mà xx 0 Quy ước. arccot( ) 0, arc cot( ) . 0 xx thỡ limf ( x ) L. n 0 n n 2
  4. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vụ cựng) • Tƣơng tự, ký hiệu limfx ( ) , nếu M 0 cú trị xx • Ta núi f(x) cú giới hạn là L (hữu hạn) khi x , 0 ký hiệu limf ( x ) L, nếu 0 cho trƣớc ta tỡm tuyệt đối lớn tựy ý cho trƣớc ta tỡm đƣợc 0 sao cho x khi 0 xx0 thỡ f() x M . đƣợc N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thỡ f() x L . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phớa) • Tƣơng tự, ký hiệu limf ( x ) L, nếu 0 cho • Nếu f(x) cú giới hạn là L (cú thể là vụ cựng) khi xx0 x với xx thỡ ta núi f(x) cú giới hạn phải tại x (hữu trƣớc ta tỡm đƣợc N < 0 cú trị tuyệt đối đủ lớn sao cho 0 0 khi x < N thỡ f() x L . hạn), ký hiệu limf ( x ) L hoặc limf ( x ) L. xx0 0 xx 0 Định nghĩa 4 (giới hạn vụ cựng) • Nếu f(x) cú giới hạn là L (cú thể là vụ cựng) khi xx0 • Ta núi f(x) cú giới hạn là khi xx, ký hiệu 0 với xx0 thỡ ta núi f(x) cú giới hạn trỏi tại x0 (hữu limfx ( ) , nếu M 0 lớn tựy ý cho trƣớc ta hạn), ký hiệu limf ( x ) L hoặc limf ( x ) L. xx 0 xx0 0 xx 0 tỡm đƣợc 0 sao cho khi 0 xx thỡ 0 Chỳ ý. limf ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x ) L . xx0 x x x x f() x M . 0 0  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 2.2. Tớnh chất Cỏc kết quả cần nhớ Cho limf ( x ) a và limg ( x ) b. Khi đú: 11 xx0 xx0 1) lim , lim . xx00xx 1) lim[C . f ( x )] C . a (C là hằng số). xx 0 a xnn a x1 a 2) lim[f ( x ) g ( x )] a b. 2) Xột L lim nn10, ta cú: mm1 xx0 x bmm x b10 x b 3) lim[f ( x ) g ( x )] ab; xx a 0 a) L n nếu nm; f() x a b 4) lim , b 0; n xx0 g() x b b) L 0 nếu nm; 5) Nếu f( x ) g ( x ), x ( x ; x ) thỡ ab. 00 c) L nếu nm. 6) Nếu f() x h () x g (), x x ( x ; x ) và 00 sinxx tan limf ( x ) lim g ( x ) L thỡ limh ( x ) L. 3) lim lim 1. x x00 x x xx0 xx00xx  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Định lý 1 VD 3. Tỡm giới hạn Lxlim 1 tan2 4x . Nếu limu ( x ) a 0, lim v ( x ) b thỡ: x 0 x x00 x x A. L ; B. L 1; C. Le4 ; D. Le. lim[u ( x )]v() x a b . xx0 2x 2x x 1 VD 1. Tỡm giới hạn L lim . x x 3 A. L 9; B. L 4; C. L 1; D. L 0. 2x 3x VD 2. Tỡm giới hạn L lim 1 . x 21x 2 3 2 A. L ; B. Le; C. Le; D. L 1. 3
  5. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Đ3. ĐẠI LƢỢNG Vễ CÙNG Bẫ – Vễ CÙNG LỚN b) Tớnh chất của VCB 3.1. Đại lƣợng vụ cựng bộ 1) Nếu (xx ), ( ) là cỏc VCB khi xx0 thỡ a) Định nghĩa ()()xx và (xx ). ( ) là VCB khi xx. 0 Hàm số ()x đƣợc gọi là đại lượng vụ cựng bộ (VCB) 2) Nếu ()x là VCB và ()x bị chận trong lõn cận x khi xx nếu lim (x ) 0 (x cú thể là vụ cựng). 0 0 xx 0 0 thỡ (xx ). ( ) là VCB khi xx0. 3 limf ( x ) a f ( x ) a ( x ) ()x VD 1. (xx ) tan sin 1 là VCB khi x 1 ; 3) , trong đú là xx0 1 VCB khi xx. ()x là VCB khi x . 0 ln2 x  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số c) So sỏnh cỏc VCB VD 2. • Định nghĩa • 1 cosx là VCB cựng cấp với x 2 khi x 0 vỡ: ()x Cho (xx ), ( ) là cỏc VCB khi xx, lim k . 2 x 0 xx ()x 2 sin 0 1 cosx 1 Khi đú: lim lim 2 . 22 – Nếu k 0, ta núi ()x là VCB cấp cao hơn ()x , xx00x x 2 4 ký hiệu (xx ) 0( ( )). 2 – Nếu k , ta núi ()x là VCB cấp thấp hơn ()x . 22 – Nếu 0 k , ta núi ()x và ()x là cỏc VCB • sin 3(xx 1) 9( 1) khi x 1. cựng cấp. – Đặc biệt, nếu k 1, ta núi ()x và ()x là cỏc VCB tương đương, ký hiệu ()()xx.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Tớnh chất của VCB tƣơng đƣơng khi x → x0 • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 1) ()x () x () x () x 0(()) x 0(()) x . Cho (xx ), ( ) là tổng cỏc VCB khỏc cấp khi xx0 ()x 2) Nếu (x ) ( x ), ( x ) ( x ) thỡ ()()xx. thỡ lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp xx0 ()x 3) Nếu 1(x ) 1 ( x ), 2 ( x ) 2 ( x ) thỡ nhất của tử và mẫu. ()()()()x x x x . 1 2 1 2 xx3 cos 1 VD 3. Tỡm giới hạn L lim . 4) Nếu (xx ) 0( ( )) thỡ ()()()x x x . x 0 xx42 x 3 (1 cosx) 1 cosx 1 Giải. L lim lim . x 0 x 4 x 2 x 0 x 2 2 4
  6. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Cỏc VCB tƣơng đƣơng cần nhớ khi x → 0 ln(1 2xx sin2 ) VD 4. Tớnh giới hạn L lim . 2 1) sinxx; 2) tanxx; x 0 sinxx .tan 3) arcsinxx; 4) arctanxx x 2 5) 1 cosx ; 6) exx 1 ; sinx 1 1 x22 3 tan x 2 VD 5. Tớnh L lim . x x 0 3 7) ln(1xx ) ; 8) n 11x . sinxx 2 n Chỳ ý Nếu ux() là VCB khi x 0 thỡ ta cú thể thay x bởi ux() trong 8 cụng thức trờn.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số x2 t t2 Chỳ ý VD 6. Cho hàm số y f() x thỏa: . y t243 t Quy tắc VCB tƣơng đƣơng khụng ỏp dụng được cho hiệu hoặc tổng của cỏc VCB nếu chỳng làm triệt tiờu tử Khi x 0, chọn đỏp ỏn đỳng? hoặc mẫu của phõn thức. x 2 x 2 A. fx() ; B. fx() ; ex e x2 ( e x 1) ( e x 1) 4 2 VD. lim lim xx00xx22 x 2 C. fx() ; D. f( x ) 3 x . xx() 2 lim 0 (Sai!). t 0 x 0 x 2 Giải. Khi x 0 thỡ ty2(loaùi vỡ 0) xx33 lim lim (Sai!). x 2 t0 x 2 t , y t2 f ( x ) A. xx00tanx x x x 4  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lƣợng vụ cựng lớn b) So sỏnh cỏc VCL a) Định nghĩa • Định nghĩa fx() Hàm số fx() đƣợc gọi là đại lượng vụ cựng lớn (VCL) Cho f( x ), g ( x ) là cỏc VCL khi xx, lim k . 0 xxgx() khi xx nếu limfx ( ) (x cú thể là vụ cựng). 0 0 0 Khi đú: xx0 cosx 1 – Nếu k 0, ta núi fx() là VCL cấp thấp hơn gx(). VD 7. là VCL khi x 0; 3 2xx sin – Nếu k , ta núi fx() là VCL cấp cao hơn gx(). xx3 1 là VCL khi x . – Nếu 0 k , ta núi fx() và gx() là cỏc VCL xx2 cos 4 3 cựng cấp. Nhận xột. Hàm số fx() là VCL khi xx thỡ 0 – Đặc biệt, nếu k 1, ta núi fx() và gx() là cỏc VCL 1 là VCB khi xx. tương đương. Ký hiệu f()() x g x . fx() 0 5
  7. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp 3 1 Cho fx() và gx() là tổng cỏc VCL khỏc cấp khi xx • là VCL khỏc cấp với khi x 0 vỡ: 0 3 3 fx() x 2xx thỡ lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất 3 xx 3 1 2x x x 0 gx() lim : 3 lim 3 lim . của tử và mẫu. x0x32 x 3 x x 0 x 3 x 0 x 3 • 2x33 x 1 2 x khi x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 9. Tớnh cỏc giới hạn: Đ4. HÀM SỐ LIấN TỤC xx3 cos 1 xx3221 4.1. Định nghĩa A lim ; B lim . 3 • Số xD đƣợc gọi là điểm cụ lập của fx() nếu x 32xx x 2xx72 sin 0 f 0 :x ( x0 ; x 0 )\ { x 0 } thỡ xDf . x 3 1 Giải. A lim . • Hàm số fx() liờn tục tại x 0 nếu limf ( x ) f ( x0 ). 3 xx x 3x 3 0 x 3 1 • Hàm số fx() liờn tục trờn tập X nếu liờn tục tại B lim lim 0. mọi điểm xX. xx2 x 7 2 x 0 Chỳ ý. Hàm fx() liờn tục trờn đoạn [;]ab thỡ cú đồ thị là một đường liền nột (khụng đứt khỳc) trờn đoạn đú. Quy ước. Hàm fx() liờn tục tại mọi điểm cụ lập của nú.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 4.2. Định lý 4.3. Hàm số liờn tục một phớa • Tổng, hiệu, tớch và thƣơng của cỏc hàm số liờn tục tại • Định nghĩa x là hàm số liờn tục tại x . 0 0 Hàm số fx() đƣợc gọi là liờn tục trỏi (phải) tại x nếu • Hàm số sơ cấp xỏc định ở đõu thỡ liờn tục ở đú. 0 limf ( x ) f ( x0 ) ( limf ( x ) f ( x0 )). • Hàm số liờn tục trờn một đoạn thỡ đạt giỏ trị lớn nhất và xx xx nhỏ nhất trờn đoạn đú. 0 0 • Định lý Hàm số fx() liờn tục tại x 0 nếu limf ( x ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x00 x x 6
  8. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 3 tan22xx sin ln(cosx ) ,0x ,0x VD 1. Cho hàm số fx() 2x . VD 2. Cho hàm số fx() arctan22xx 2 . ,0x 2 3,x 0 Giỏ trị của để hàm số liờn tục tại x 0 là: Giỏ trị của để hàm số liờn tục tại x 0 là: 1 3 17 17 3 3 A. 0; B. ; C. 1; D. . A. ; B. ; C. ; D. . 2 2 12 12 2 2  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 4.4. Phõn loại điểm giỏn đoạn Đ1. Đạo hàm Đ2. Vi phõn • Nếu hàm fx() khụng liờn tục y ()C Đ3. Cỏc định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị tại x thỡ x đƣợc gọi là Đ4. Quy tắc L’Hospital 0 0 điểm giỏn đoạn của . O x 0 x Đ1. ĐẠO HÀM • Nếu tồn tại cỏc giới hạn: 1.1. Cỏc định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm limf ( x ) f ( x0 ), limf ( x ) f ( x0 ) xx0 xx0 Cho hàm số y f() x xỏc định trong lõn cận (;)ab của x(;) a b . Giới hạn: nhƣng fx()0 , fx()0 và fx()0 khụng đồng thời bằng 0 y f()() x00 x f x nhau thỡ ta núi x 0 là điểm giỏn đoạn loại một. lim lim xx00xx Ngƣợc lại, x 0 là điểm giỏn đoạn loại hai. (nếu cú) đƣợc gọi là đạo hàm của y f() x tại x 0 . Ký hiệu là fx()0 hay yx()0 .  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số Nhận xột. Do x x x0 nờn: c) Đạo hàm vụ cựng f()() x f x y fx( ) lim0 . • Nếu tỉ số khi x 0 thỡ ta núi y f() x cú 0 xx x 0 xx0 đạo hàm vụ cựng tại x 0. b) Đạo hàm một phớa Cho hàm số y f() x xỏc định trong lõn cận phải • Tƣơng tự, ta cũng cú cỏc khỏi niệm đạo hàm vụ cựng một phớa. f()() x f x0 (;)xb0 của x0. Giới hạn lim (nếu cú) xx xx 3 0 0 VD 1. Cho f( x ) x f (0) , đƣợc gọi là đạo hàm bờn phải của tại x . 0 f( x ) x f (0 ) . Ký hiệu là fx(). Tƣơng tự, fx(). Chỳ ý 0 0 Nhận xột. Hàm số fx() cú đạo hàm tại x khi và chỉ khi 0 Nếu fx() liờn tục và cú đạo hàm vụ cựng tại x 0 thỡ tiếp tuyến tại của đồ thị y f() x song song với trục Oy. f( x0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ). 7
  9. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 1.2. Cỏc quy tắc tớnh đạo hàm Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tớch và thƣơng của hai hàm số: 1 ()u v u v ; ()uv u v uv ; 1) xx. 1; 2) x ; 2 x k kv u u v uv , k ; . v 2 v 2 v v 3) sinxx cos ; 4) cosxx sin ; 2) Đạo hàm của hàm số hợp f( x ) y [ u ( x )]: 1 1 f( x ) y ( u ). u ( x ) hay y( x ) y ( u ). u ( x ). 5) tanx 6) cotx ; cos2 x sin2 x 3) Đạo hàm hàm số ngƣợc của y y() x : 1 tan2 x ; 1 xy() . yx()  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trỡnh tham số 7) eexx; 8) axx a.ln a; Cho hàm số y f() x cú phƣơng trỡnh dạng tham số x x( t ), y y ( t ). Giả sử x x() t cú hàm số ngƣợc 1 1 9) ln x ; 10) log x ; và hàm số ngƣợc này cú đạo hàm thỡ: x a xa.ln y yt() t y(). xhay yx 1 1 x() t x 11) arcsinx = ; 12) arccosx = ; t 2 2 1 x 1 x xt212 yx() ,0t VD 2. Tớnh của hàm số cho bởi 3 . 1 1 yt4 13) arctanx ; 14) arccot x . 1 x 2 1 x 2 (4tt32 ) 12 Giải. Ta cú: y( x ) 3 t . (2t2 1) 4t  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số xet 1.4. Đạo hàm cấp cao y (1) VD 3. Tớnh x của hàm số cho bởi 2 . y t2 t • Giả sử fx() cú đạo hàm fx() và fx() cú đạo hàm thỡ (t2 2 t ) 2 t 2 f()() x f x là đạo hàm cấp hai của fx(). Giải. Ta cú: yx . ()eett • Tƣơng tự ta cú: t x1 e 1 t 0 yx (1) 2. f(nn )()() x f ( 1) x là đạo hàm cấp n của fx(). 8
  10. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 2 (6) 1 VD 4. Cho hàm số f( x ) sin x . Tớnh đạo hàm f (0). VD 6. Tớnh y()n của hàm số y . 2 A. f (6)(0) 32; B. f (6)(0) 32; xx34 (6) (6) C. f (0) 16; D. f (0) 0. n ()n ( 1)n ! 11 ()n n 1 Vậy y . VD 5. Tớnh fx() của hàm số f( x ) (1 x ) . 5 (xx 4)nn11 ( 1) Giải. Ta cú f( x ) ( n 1)(1 x )n f( x ) n ( n 1)(1 x )n 1 f( x ) ( n 1) n ( n 1)(1 x )n 2 Vậy f()nn( x ) ( 1) .( n 1)!(1 x ).  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số Đ2. VI PHÂN fx() 0 x 0 A f() x A. 2.1. Vi phõn cấp một x 0 df( x ) f ( x ). x hay df( x ) f ( x ). x . Hàm số y f() x đƣợc gọi là khả vi tại xD nếu 00 0 f • Chọn f()() x x df x x dx x . f()()() x0 f x 0 x f x 0 cú thể biểu diễn dƣới Vậy df()(). x f x dxhya dy y dx dạng: f( x0 ) A . x 0( x ) với A là hằng số và 0(x ) là VCB khi x 0. 23x Khi đú, đại lƣợng Ax. đƣợc gọi là vi phõn của hàm VD 1. Tớnh vi phõn cấp 1 của f() x x e tại x0 1. số y f() x tại x . Ký hiệu df() x hay dy() x . 0 0 0 Giải. Ta cú f( x ) (2 x 3 x2 ) e 3x f ( 1) e 3 Nhận xột fx() 0(x ) df( 1) e3 dx • f( x ) A . x 0( x ) 0 A Vậy . 0 xx  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số VD 2. Tớnh vi phõn cấp 1 của yxarctan(2 1). 2.2. Vi phõn cấp cao Giả sử y f() x cú đạo hàm đến cấp n thỡ: dn y d() d n1 y y ( n ) dx n VD 3. Tớnh vi phõn cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsinx ). đƣợc gọi là vi phõn cấp n của hàm y f() x . VD 4. Tớnh vi phõn cấp 2 của hàm số yxln(sin ). cosx 1 Giải. Ta cú yy. sin x sin2 x dx 2 Vậy dy2 . sin2 x 9
  11. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số VD 5. Tớnh vi phõn cấp n của hàm số ye2x . Đ3. CÁC ĐỊNH Lí CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giải. Ta cú y22 e2xx y 2 e 2 (n ) n 2 x n n2 x n 3.1. Cỏc định lý y 2 e d y2 e dx . 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số fx() xỏc định trong (;)ab và cú đạo hàm tại VD 6. Tớnh vi phõn cấp 3 của f( x ) tan x tại x0 . 4 x0 (;) a b . Nếu fx() đạt giỏ trị lớn nhất (hoặc bộ nhất) 33 f 16HD d f16 dx . tại x0 trong (;)ab thỡ fx(0 ) 0. 4 4 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số fx() liờn tục trong [;]ab và khả vi trong (;)ab. Nếu f()() a f b thỡ c(;) a b sao cho fc( ) 0.  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số Cho hai hàm số fx(), gx() liờn tục trong [;]ab, khả vi 3.2.1. Hàm số đơn điệu trong (;)ab và g( x ) 0, x ( a ; b ). a) Định nghĩa Khi đú, c(;) a b sao cho: Cho hàm số fx() liờn tục trong trong (;)ab. f()()() b f a f c Khi đú: . g()()() b g a g c • fx() đƣợc gọi là tăng ngặt trong (;)ab nếu f()() x f x 3.1.4. Định lý Lagrange 12 0, x12,(;) x a b và xx12. Cho hàm số fx() liờn tục trong [;]ab, khả vi trong (;)ab. xx12 Khi đú, c(;) a b sao cho: • fx() đƣợc gọi là giảm ngặt trong (;)ab nếu f()() b f a f()() x12 f x fc( ). 0, x12,(;) x a b và . ba xx12  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số • fx() đƣợc gọi là tăng hay giảm khụng ngặt trong (;)ab b) Định lý 1 Cho hàm số fx() khả vi trong trong (;)ab. Khi đú: f()() x f x f()() x f x nếu 120 hay 120, • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) thỡ fx() tăng ngặt trong (;)ab. xx xx 12 12 • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) thỡ fx() giảm ngặt trong (;)ab. x12,(;) x a b và xx12. • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) hay f( x ) 0, x ( a ; b ) thỡ fx() tăng khụng ngặt hay giảm khụng ngặt trong (;)ab. • fx() đƣợc gọi là đơn điệu trong (;)ab nếu tăng ngặt hay giảm ngặt trong . c) Định lý 2 • Nếu fx() tăng ngặt trong (;)ab thỡ fx( ) 0 trong (;)ab • đơn điệu trong và liờn tục trong (;]ab thỡ và khụng tồn tại (;)(;)ab sao cho fx( ) 0. đơn điệu trong (;]ab (trƣờng hợp khỏc tƣơng tự). • Nếu fx() giảm ngặt trong (;)ab thỡ fx( ) 0 trong (;)ab và khụng tồn tại (;)(;)ab sao cho fx( ) 0. 10
  12. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số 3.2.2. Cực trị 3.2.3. Giỏ trị lớn nhất – giỏ trị nhỏ nhất a) Định nghĩa a) Định nghĩa • Nếu fx() liờn tục trong (;)ab chứa x và f()() x f x , 0 0 Cho hàm số y f() x cú MXĐ D và XD. x(;)\{} a b x thỡ fx() đạt cực tiểu tại x . 0 0 • Số M đƣợc gọi là giỏ trị lớn nhất của fx() trờn X nếu: • Nếu fx() liờn tục trong (;)ab chứa x và f()() x f x , 0 0 x X:() f x M và f( x ) M , x X . x(;)\{} a b x thỡ fx() đạt cực đại tại x . 00 0 0 Ký hiệu là: Mmax f ( x ). b) Định lý xX Cho fx() cú đạo hàm đến cấp 2n trong (;)ab chứa x 0 • Số m đƣợc gọi là giỏ trị nhỏ nhất của fx() trờn X nếu: thỏa f( x ) f(2n 1) ( x ) 0 và fx(2n )( ) 0. 000 x00 X:() f x m và f( x ) m , x X . • Nếu fx(2n )( ) 0 thỡ fx() đạt cực tiểu tại x . Ký hiệu là: mmin f ( x ). 0 0 xX (2n ) • Nếu fx(0 ) 0 thỡ fx() đạt cực đại tại x0.  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số Chỳ ý b) Phƣơng phỏp tỡm max – min • Hàm số cú thể khụng đạt max hoặc min trờn XD. . Hàm số liờn tục trờn đoạn [a; b] • Nếu Mmax f ( x ) và mmin f ( x ) thỡ: Cho hàm số y f() x liờn tục trờn đoạn [;]ab. xX xX Để tỡm maxfx ( ) và minfx ( ), ta thực hiện cỏc bƣớc sau: m f(), x M x X . x[;] a b x[;] a b • Bƣớc 1. Giải phƣơng trỡnh fx( ) 0. Giả sử cú n nghiệm x1, , xn [ a ; b ] (loại cỏc nghiệm ngoài [;]ab). • Bƣớc 2. Tớnh f( a ), f ( x1 ), , f ( xn ), f ( b ). • Bƣớc 3. Giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất trong cỏc giỏ trị đó tớnh ở trờn là cỏc giỏ trị max, min tƣơng ứng cần tỡm.  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số VD 6. Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số Chỳ ý 3 f( x ) x42 x x 3 trờn đoạn [0; 2]. • Nếu đề bài chƣa cho đoạn [;]ab thỡ ta phải tỡm MXĐ 2 của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1. Giải. Ta cú: hàm số fx() liờn tục trờn đoạn [0; 2]. 1 • Cú thể đổi biến số t t() x và viết y f( x ) g ( t ( x )). f( x ) 4 x3 3 x 1 0 x x 1. Gọi T là miền giỏ trị của hàm tx() (ta thƣờng gọi là 2 1 điều kiện của t đối với x ) thỡ: Do x [0; 2] nờn ta loại. 2 maxf ( x ) max g ( t ), minf ( x ) min g ( t ). 3 x X t T x X t T Mặt khỏc: f(0) 3, f (1) , f (2) 11. 2 3 Vậy maxfx ( ) 11 tại x 2, minfx ( ) tại x 1. x [0;2] x [0;2] 2 11
  13. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số  Chƣơng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm một biến số Đ4. QUY TẮC L’HOSPITAL eexx2 VD 1. Tỡm giới hạn L lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) x 0 x 2 Cho hai hàm số fx(), gx() khả vi trong lõn cận của điểm xx22sin x0 và gx( ) 0 trong lõn cận của (cú thể gx(0 ) 0). VD 2. Tỡm giới hạn L lim . 22 Nếu limf ( x ) lim g ( x ) 0 (hoặc ) và x 0 xx.arctan x x x x 1 1 00 A. L 0; B. L ; C. L ; D. L . fx() fx() lim k thỡ lim k . 2 3 xx0 gx() xx0 gx() Chỳ ý . Chiều ngƣợc lại trong định lý là khụng đỳng. . Ta cú thể ỏp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tớnh chất 1) kfxdx.()(), k fxdxk 1.1. Định nghĩa • Hàm số Fx() đƣợc gọi là một nguyờn hàm của fx() trờn 2) f()() x dx f x C khoảng (;)ab nếu F( x ) f ( x ), x ( a ; b ). d 3) f()() x dx f x Ký hiệu f() x dx (đọc là tớch phõn). dx 4) [fx ( ) gxdx ( )] fxdx ( ) gxdx ( ) . Nhận xột • Nếu Fx() là nguyờn hàm của fx() thỡ F() x C cũng là nguyờn hàm của fx().  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dx1 x MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ 11) arctan C xa22aa 1) a. dx ax C , a dx x 1 12) arcsinCa , 0 x 22 a 2) x dx C, 1 ax 1 dx1 x a dx dx 13) ln C 3) ln xC; 4) 2 xC xa222a x a x x dx x 14) ln tan C ax 5) exx dx e C ; 6) ax dx C sinx 2 lna dx x 15) ln tan C 7) cosxdx sin x C ; 8) sinxdx cos x C cosx 2 4 dx dx dx 9) tanxC; 10) cotxC 16) ln x x2 a C cos2 x sin2 x xa2 12
  14. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dx dx VD 1. Tớnh I . VD 2. Tớnh I . 4 x 2 xx2 6 12x 12x A. ICln ; B. ICln ; Giải. Biến đổi: 42x 42x 1 1 1 1 1 . 12x 12x 2 C. ICln ; D. ICln . xx6 (x 2)( x 3) 5 x 3 x 2 22x 22x 1 1 1 dx12 x Vậy I dx Giải. ICAln . 5xx 3 2 22 x 2 42x 1 1x 3 lnx 3 ln x 2 C ln C . 5 5x 2  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dx 1.2. Phƣơng phỏp đổi biến VD 4. Tớnh I . a) Định lý xx(3 3) Nếu f()() x dx F x C với ()t khả vi thỡ: Đặt t x3233 dt x dx x2 dx f(())() t t dt F (()) t C . Giải. Biến đổi I . xx33( 3) dx VD 3. Tớnh I . 1tx 3 1 3 xx3 ln2 lnCC ln . 99t x 3 3 dx Giải. Đặt tln x dt x dt t lnx ICarcsin arcsinC . 3 t2 3 3  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số cotx VD 5. Tớnh I dx . c) Tớch phõn hàm lƣợng giỏc 2 sin4 x 3 I R(sin x ,cos x ) dx . Giải. Biến đổi: cosxdx sin3 x cos xdx Cỏch giải I . • Nếu R( sin x ,cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc sinxx (2 sin4 3) sin44xx (2 sin 3) của sin lẻ) thỡ ta đặt txcos . Đặt t2sin43 x 3 dt 8sin x cos xdx . • Nếu R(sin x , cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc 1dt 1 1 1 I dt của cosin lẻ) thỡ ta đặt txsin . 4t ( t 3) 12 t 3 t • Nếu R( sin x , cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc 1tx 3 1 2sin4 lnCC ln . của sin và cosin chẵn) thỡ ta đặt txtan hoặc hạ bậc. 12t 12 2sin4 x 3 13
  15. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1 • Nếu R(sin x ,cos x ) thỡ ta đặt: VDVD 163 . Tớnh Isin32 2 x cos x dx . asin x b cos x c Giải. Biến đổi I8 cos52 x (1 cos x )(sin x dx ). x21 t t2 ttan sin x , cos x . 2 22 11tt Đặt tcos x dt sin x dx . Vậy I8 t52 ( t 1) dt 44 t8 t 6 Ccos 8 x cos 6 x C . 33  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số x 1.3. Phƣơng phỏp tớch phõn từng phần VD 81 7: . Tớnh I dx . a) Cụng thức 2x uxvxdx()()()()()() uxvx uxvxdx Giải. Biến đổi I x.2 x dx . udv uv vdu. hay ux 2 x Đặt du dx, v dv2 x dx ln 2 VDVD 176 :. Tớnh I xln x dx . x.2x 1 x.2xx 2 uxln dx x 2 I2 x dx C . Giải. Đặt du, v ln 2 ln 2 ln 2 2 dv xdx x 2 ln 2 Chỳ ý 11 11 • Đối với nhiều tớch phõn khú ta phải đổi biến trƣớc khi I x2 ln x xdx x22ln x x C . 22 24 lấy từng phần.  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 3 sin x 3 VD 91 8: . Tớnh Icos x e dx . VDVD10 19 :. Tớnh Icos x dx . 2 sin x Giải. Biến đổi I(1 sin x ) e cos x dx . 3 32 Giải. Đặt t x x t dx3 t dt Đặt tsin x I (1 t2 ) et dt . I3 t22 cos t dt 3 t d (sin t ) 2 ut1 du2 tdt Đặt 2 dv et dt vet 3t sin t 6 td (cos t ) 2 I et(1 t22 ) 2 te t dt e t (1 t ) 2 t ( de t ) 3t sin t 6 t cos t 6sin t C 3 2 3 3 3 et(1 t2 ) 2 te t 2 e t dt 3x 6 sin x 6 x cos x C . etx( t 1)2 C e sin (sin x 1) 2 C . 14
  16. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số b) Cỏc dạng tớch phõn từng phần thƣờng gặp Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số fx() xỏc định trờn [;]ab. • Đối với dạng tớch phõn P() x ex dx , Px() là đa thức, Ta chia đoạn [;]ab thành n đoạn nhỏ bởi cỏc điểm chia thỡ ta đặt: x0 a x 1 xnn 1 x b. u P( x ), dv ex dx . Lấy điểm k[;]xx k1 k tựy ý (kn1, ). n Lập tổng tớch phõn: f(k )( x k x k 1 ). • Đối với dạng tớch phõn P( x )ln x dx , k 1 Px() là đa thức, thỡ ta đặt: Giới hạn hữu hạn (nếu cú) I lim đƣợc gọi max(xx ) 0 k kk1 uln x , dv P ( x ) dx . là tớch phõn xỏc định của fx() trờn đoạn [;]ab. b Ký hiệu là I f(). x dx a  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Tớnh chất b bb 5) f( x ) 0, x [ a ; b ] f ( x ) dx 0 1) k.()(), f x dx k f x dx k a bb aa b b b 6) fx() gx (), x [;] ab fxdx () gxdx () 2) [fx ( ) gxdx ( )] fxdx ( ) gxdx ( ) aa a a a bb a b a 7) a b f()() x dx f x dx 3) fxdx( ) 0; fxdx ( ) fxdx ( ) aa a a b b c b 8) m f(),[;] x M x a b 4) fxdx()()(),[;] fxdx fxdxc ab b a a c m()()() b a f x dx M b a a  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1 dx 9) Nếu fx() liờn tục trờn đoạn [;]ab thỡ VD 1. Tớch phõn bị chặn (hữu hạn) vỡ 22 b 0 xxcos c[ ab ; ] : fxdx ( ) fcba ( )( ). 1 hàm số fx() liờn tục trờn đoạn [0; 1]. a xx22cos b 1 1 VD 2. Giỏ trị trung bỡnh của hàm số fx() trờn [1;e ] Khi đú, đại lƣợng f()() c f x dx đƣợc gọi là x ba e a 11dx giỏ trị trung bỡnh của fx() trờn đoạn [a; b]. là . e111 x e 15
  17. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2.2. Cụng thức Newton – Leibnitz x 2 3 VD2VD 4:. Cho (x ) t ln tdt , x 0. Tỡm ()x . a) Tớch phõn với cận trờn thay đổi (tham khảo) 1 Cho hàm fx() khả tớch trờn [;]ab, với mỗi x[;] a b thỡ Giải. Đặt t u2 dt2 udu, x t1 u 1, t x2 u x . hàm số ()()x f t dt liờn tục tại mọi x0 [;] a b 2 a xx và ()()x f x . (x ) t3 ln tdt 2 u 7 ln u 2 du 11 x t2 VD 3. Xột (x ) e dt , x 0. (x ) 2 x72 ln x . 0 2 2 Ta cú: f() t et và ()()x f x ex .  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Nhận xột b) Cụng thức Newton – Leibnitz 1) Cú hai phƣơng phỏp tớnh tớch phõn nhƣ Đ1. Nếu fx() liờn tục trờn [;]ab và Fx() là một nguyờn hàm x 2) Hàm số fx() liờn tục và lẻ trờn [;] thỡ: tựy ý của thỡ ()()x f t dt và F( x ) ( x )+ C a f( x ) dx 0. là nguyờn hàm của trờn . Vậy ta cú: 3) Hàm số fx() liờn tục và chẵn trờn [;] thỡ: b b f( x ) dx F ( x ) F ( b ) F ( a ). f( x ) dx 2 f ( x ) dx . a a 0  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 3 b dx VD 35 .: Tớnh I . 4) Để tớnh f() x dx , ta dựng bảng xột dấu của fx() để 2 1 xx25 a tỏch fx() thành tổng của cỏc hàm trờn mỗi đoạn nhỏ. e (xx2 1)ln VD4VD 6:. Tớnh I dx . x Đặc biệt 1 bb 3 f()() x dx f x dx nếu f( x ) 0, x ( a ; b ). 3 aa VD5VD 8.: Tớnh I x4 x dx . 3 16
  18. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 1. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi 3.1. Tớnh diện tớch S của hỡnh phẳng cỏc đƣờng yx2 và yx4. a) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phƣơng trỡnh tổng quỏt 1 2 A. S ; B. S 15 15 4 8 C. S ; D. S . 15 15 S Giải. Hoành độ giao điểm: x24 x x1, x 0 01 b d 2 4 2 4 4 S f()() x f x dx S g()() y g y dy S()(). x x dx x x dx C 21 21 15 a c 10  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Cỏch khỏc VD 2. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi 2 Hoành độ giao điểm x24 x x1, x 0 cỏc đƣờng xy và yx2. 11 Giải. Biến đổi: S x2 x 4 dx2 x 2 x 4 dx x y22 x y 10 . 1 y x22 x y 4 2 (x24 x ) dx C . 15 0 Tung độ giao điểm: y2 y2 y 1, y 2 2 2 1 1 27 S( y 2) y2 dy y 2 2 y y 3 . 2 3 6 1 1  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 3. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi b) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phƣơng trỡnh tham số x 2x cỏc đƣờng ye 1, ye 3 và x 0. Hỡnh phẳng giới hạn bởi đƣờng cong cú phƣơng trỡnh 1 ln 4 1 1 ln 2 1 A. ln 4 ; B. ; C. ; D. ln 2 x x( t ), y y ( t ) với t [;] thỡ: 2 2 2 2 Giải. Hoành độ giao điểm: eexx132 S y( t ). x ( t ) dt . e2x e x2 0 e x 2 x ln 2. xy22 ln 2 ln 2 VD 4. Tớnh diện tớch hỡnh elip S :1. 1 22 S( e22x e x 2) dx e x e x 2 x ab 2 0 0 Giải. Phƣơng trỡnh tham số của elip là: 11 x acos t ln 4 ln 4 A. ,t [0; 2 ]. 22 y bsin t 17
  19. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 22 3.2. Tớnh độ dài l của đƣờng cong S bsin ta .( sin tdtab ) sin2 tdt a) Đƣờng cong cú phƣơng trỡnh tổng quỏt 00 2 1 cos2t Cho cung AB cú phƣơng trỡnh y f( x ), x [ a ; b ] thỡ: ab dt ab. 2 b 0 l1 [ f ( x )]2 dx . AB a x 2 VD 5. Tớnh độ dài cung parabol y từ gốc tọa độ 2 1 O(0; 0) đến điểm M 1; . 2  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Ta cú: b) Đƣờng cong cú phƣơng trỡnh tham số 11 l1 ( y )22 dx 1 x dx Cho cung AB cú phƣơng trỡnh tham số 00 x x() t ,[;]t thỡ: 1 y y() t 1 x1 x22 ln x 1 x 2 0 l[ x ( t )]22 [ y ( t )] dt . AB 21 ln 1 2 . 22  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 6. Tớnh độ dài cung C cú phƣơng trỡnh: 3.3. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay xt2 1 a) Vật thể quay quanh Ox ,t 0; 1 . 2 Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi yln t t 1 y f( x ), y 0, xa, xb quay quanh Ox là: b Giải. Ta cú: 2 1 V[ f ( x )] dx . l[ x ( t )]22 [ y ( t )] dt a 0 VD 7. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi 22 yln x , y 0, x1, x e quay xung quanh Ox. 1 t 1 e dt 1. e 22 Giải. Vln x dx ( x ln x x ) . 0 tt11 1 1 18
  20. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số xy22 VD 8. Tớnh V do (E ) : 1 quay quanh Ox. b) Vật thể quay quanh Oy ab22 Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Giải. Ta cú: x g() y , x 0, yc và yd quay quanh Oy là: 2 2 2 x y2 b 2 2 d 1 y a x . 2 a2 b 2 a 2 V[ g ( y )] dy . c a b2 4 Vậy V a2 x 2 dx ab 2. 2 3 VD 9. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi a a y2 x x2 , y 0 quay xung quanh Oy.  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số  Chƣơng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2 Chỳ ý Giải. Parabol y2 x x đƣợc viết lại: Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y2 x x22 ( x 1) 1 y y f() x , y 0, xa và xb quay xung quanh Oy cũn đƣợc tớnh theo cụng thức: x1 1 y , x 1 . b x1 1 y , x 1 V2 xf ( x ) dx (*). a 1 22 VD 10. Dựng cụng thức (*) để giải lại VD 9. Vậy V1 1 y 1 1 y dy 2 2 0 34 2 28xx 1 1 Giải. V2 x (2 x x ) dx 2 . 883 3 4 3 4 1y dy (1 y ) . 0 0 33 0 0 19