Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian Vector

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian Vector

1. Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR Rn Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
2. Nội dung 1 Một số khái niệm cơ bản Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector 3 Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
3. Không gian vector, kg vector con Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v, w ∈ V ; ∀h, k ∈ R 1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v) + w = u + (v + w) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v) = hu + hv 8.1 .u = u n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 2 / 18
4. Ví dụ: Tập các ma trận Mm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân: I (x1, , xn) + (y1, , yn) = (x1 + y1, , xn + yn) I k (x1, , xn) = (kx1, , kxn) lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V Ký hiệu: W ≤ V n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 3 / 18
5. Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không? 1. V = R2, W = {(x, 0): x ∈ R} 2. V = R2, W = {(x, 1): x ∈ R} 3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b): a, b ∈ R} 4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈ Mm×n) n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 4 / 18
6. Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là kgvt và S = {u1, u2, , un} ⊂ V Với mỗi bộ k1, k2, , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1u1 + k2u2 + ··· + knun là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1, u2, , un Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W Ký hiệu: W = hSi = hu1, u2, , uni n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 5 / 18
7. 4 Ví dụ: Xét W = hu1, u2, u3i ≤ R , với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W không? 2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d) ∈ W n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 6 / 18
8. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho V là kgvt, S = {u1, u2, , un} S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1, k2, , kn ∈ R, ta có: k1u1 + k2u2 + ··· + knun = 0 kéo theo k1 = k2 = ··· kn = 0 Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không? 1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4) n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 7 / 18
9. Cơ sở và số chiều Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính. n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dim V = n Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đó n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 8 / 18
10. Ví dụ: n 1. Không gian R = {(x1, , xn): x1, , xn ∈ R} có số chiều là n; có một cơ sở là B = {e , e , , e },  0 1 2 n  e1 = (1, 0, , 0)  e = (0, 1, , 0) với: 2   en = (0, 0, , 1) Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn 2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không? n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 9 / 18
11. Chú ý Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi: S sinh ra V , nghĩa là: hSi = V , và S độc lập tuyến tính Nếu S là cơ sở của V thì: dim V = số phần tử của S n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 10 / 18
12. Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của hSi Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, , un} ⊂ V . Khi đó, số chiều của hSi gọi là hạng của S, ký hiệu: rank S Nếu S 0 thu được bằng cách: I Đổi chỗ 2 phần tử của S I Nhân một vector của S với số khác 0 I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một vector khác trong S Thì hSi = hS 0i Để tìm cơ sở, số chiều của hSi, ta làm như sau: I Sắp các vector của S thành hàng I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S) n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 11 / 18
13. Ví dụ: 4 1. Trong R , xét S = {u1, u2, u3, u4}, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, −1, 9, 2), u4 = (−1, −7, −3, −3). Tìm cơ sở và số chiều cho hSi 4 2. Trong R , xét B = {v1, v2, v3, v4}, với v1 = (2, −1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1, −1), v3 = (−2, −2, −8, 3), v4 = (2, −7, 5, 1). Tìm cơ sở và số chiều cho hBi Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: rank(S) = số vector của S n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 12 / 18
14. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:   x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 0 1. 2x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0  2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0   x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0  2x + x − x + 2x − 3x = 0 2. 1 2 3 4 5 3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0   2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 13 / 18
15. Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng 1 trong 2 cách sau: 1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số 2. Dùng phương pháp Gauss Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian W = {(a, b, c, d, e): hệ dưới đây có nghiệm}   x1 + x2 + 2x4 = a   2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b x1 + 3x2 + 5x4 = c  3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d   2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = e n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 14 / 18
16. Tọa độ Cho B = {e1, e2, , en} là một cơ sở được sắp của kgvt V . n Khi đó, ∀u ∈ V , ∃!(k1, k2, , kn) ∈ R sao cho: u = k1e1 + k2e2 + ··· + knen   k1 k2 Tọa độ của u trong B là: [u]B =  .   .  kn n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 15 / 18
17. Ví dụ: 1. Tìm tọa độ của u = (x1, x2, , xn) trong cơ sở chính tắc của Rn 2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 = 3 (−1, −1, −3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R . Tìm tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B 3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1, −1, 1, 1), v2 = (2, −2, 3, 0), v3 = (3, −3, 4, 3)} là một cơ sở của W = hSi ≤ R4. b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1, −2, 3) ∈ W . Tìm [v]S  −1  c) Biết [w]S =  1 . Xác định w. 0 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 16 / 18
18. Ma trận chuyển cơ sở 0 0 0 0 Cho B, và B = {e1, e2, , en} là các cơ sở của kgvt V . Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0 được định nghĩa là: 0 0 0 0 P(B → B ) = ([e1]B [e2]B ··· [en]B) Các tính chất: P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B0)P(B0 → C) P(B → B0) = [P(B0 → B)]−1 0 [v]B = P(B → B )[v]B0 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 17 / 18
19. 3 Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2, −3)}. 1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3. 2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0), P(B → C), P(C → B) 3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B  −2  4. Cho [v]C =  −1 . Tìm [v]B 3 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector R Toán C2 - MS: C01010 18 / 18