Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán 2 - MS: C01128 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 1 / 30
2. Nội dung 1 Định nghĩa phương trình vi phân 2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp PTVP cấp 1 dạng tách biến PTVP cấp 1 dạng tuyến tính 3 PTVP cấp 2 4 PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất Cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên 5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Cấu trúc nghiệm Cách tìm nghiệm riêng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 1 / 30
3. Định nghĩa PTVP Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y 0, y 00, y (n). Như vậy ptvp là phương trình có dạng F (x, y, y 0, y 00, , y (n)) = 0. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình. Nếu thay y bằng hàm số y(x) vào ptvp, ta được đồng nhất thức, thì ta nói y = y(x) là nghiệm của ptvp đó. Giải ptvp là tìm tất cả các nghiệm của nó. Đồ thị của một nghiệm y = y(x) gọi là đường cong tích phân. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 2 / 30
4. PTVP cấp 1 PTVP cấp 1 là phương trình có dạng: F (x, y, y 0) = 0. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y(x) của ptvp thỏa điều kiện đầu y(x0) = y0. Ví dụ 1. Giải ptvp y 0 = sin x và tìm nghiệm của bài toán Cauchy y 0 = sin x, y(0) = 1. Hàm số y = ϕ(x, C) gọi là nghiệm tổng quát của 2 ptvp trên miền D ⊂ R nếu với mọi (x0, y0) ∈ D tồn tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x, C0) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 3 / 30
5. Xét bài ptvp đã giải đối với đạo hàm y 0 = f (x, y). Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Nếu f (x, y) liên tục trên D ⊂ R2, thì với mọi 0 (x0, y0) ∈ D, bài toán y = f (x, y), y(x0) = y0 luôn có nghiệm y = y(x) xác định trong một lân cận của x0. ∂f Ngoài ra nếu hàm số liên tục trên D thì nghiệm đó là ∂y duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 4 / 30
6. PTVP dạng tách biến PTVP tách biến là ptvp có dạng: y 0 = f (x)g(y). Cách giải. Với điều kiện g(y) 6= 0, chia hai vế cho g(y), dy ta được = f (x)dx. Lấy tích phân 2 vế. g(y) Ví dụ 2. dy x 2 1. Giải ptvp = , y(0) = 2. dx y 2 6x 2 2. Giải ptvp y 0 = . 2y + cos y xdy  1 3. Giải ptvp = y + dx. 1 + x 2 y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 5 / 30
7. dy x 2 Nghiệm của = , y(0) = 2 dx y 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 6 / 30
8. 6x 2 Nghiệm của y 0 = 2y + cos y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 7 / 30
9. PTVP tuyến tính cấp 1 PTVP tuyến tính cấp 1 là ptvp: y 0 + p(x)y = q(x). R Cách giải. Nhân 2 vế cho e p(x)dx , pt trở thành:  R 0 R ye p(x)dx = q(x)e p(x)dx . Lấy nguyên hàm. Ví dụ 3. Giải ptvp dy 1. + 3x 2y = 6x 2 dx 2. x 2y 0 + xy = 1, x > 0, y(1) = 2 3 3. y 0 − 3x 2y = ex sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 8 / 30
10. dy Nghiệm của + 3x 2y = 6x 2 dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 9 / 30
11. Nghiệm của x 2y 0 + xy = 1, x > 0, y(1) = 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 10 / 30
12. Một số bài tập Giải các phương trình vi phân 1. xdy = (x 5ex + 4y)dx √ √ dy 2. x + y
    + ( y + x) = 0 dx dy 3. x 2 = y − xy dx 4. x 2y 0 = y 2 − xy + x 2, y(1) = 2  x 2 + 3y  y 0 = 5. x  y(2) = 8 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 11 / 30
13. y 6. y 0 − = x 2(x 2 − 1) x − 1  ydy  sin(2x)dx + = 0 7. x(y + 1)  π
    y 2 = 0 y 2 8. xy 0 = , y(1) = e y − x 9. (x 2 + 1)y 0 + y(y − 1) = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 12 / 30
14. PTVP cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 là PTVP có dạng F (x, y, y 0, y 00) = 0 hoặc y 00 = f (x, y, y 0). Ví dụ 1. Các phương trình sau đây là các PTVP cấp 2 x 3y 00 + 2xy 2 + ex y + 3x = 0 y 00 = 8ex y 0 + y Xét phương trình y 00 = f (x, y, y 0). Nếu f liên tục trên miền mở chứa điểm (x0, y0, y1) thì phương trình đã cho 0 tồn tại nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y (x0) = y1. ∂f ∂f Hơn nữa, nếu và đều liên tục thì nghiệm nói trên ∂y ∂y 0 là duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 13 / 30
15. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng d2y dy P(x) + Q(x) + R(x)y = G(x)(1) dx 2 dx với P(x) 6≡ 0. Nếu G(x) ≡ 0 thì (1) được nói là thuần nhất. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất là phương trình có dạng: d2y dy P(x) + Q(x) + R(x)y = 0 (2) dx 2 dx Nếu G(x) 6≡ 0 thì (1) được nói là không thuần nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 14 / 30
16. Cấu trúc nghiệm PTVPTTC2TN Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng số c1, c2, ta có y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) cũng là nghiệm của (2). Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0 kéo theo c1 = c2 = 0. Nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) trong đó, c1, c2 là các hằng số tùy ý. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 15 / 30
17. PTVPTTC2TN hệ số hằng Nếu P, Q, R là các hằng số thì (2) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng ay 00 + by 0 + cy = 0 (3) với a 6= 0. Ta sẽ tìm 2 nghiệm ĐLTT của (3) dưới dạng y(x) = erx . Ta có y 0(x) = rerx , y 00(x) = r 2erx . Thay vào (3) ar 2 + br + c
    erx = 0 Nhưng erx 6= 0, ∀x nên ar 2 + br + c = 0. Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 16 / 30
18. Nếu pt đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt r1, r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là r1x r2x y(x) = c1e + c2e Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất r0 thì nghiệm tổng quát của (3) là r0x r0x y(x) = c1e + c2xe Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (3) là αx y(x) = e (c1 cos βx + c2 sin βx) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 17 / 30
19. Ví dụ 5. Giải các PTVP sau 1. y 00 + y 0 − 6y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 18 / 30
20. 2.3 y 00 + y 0 − y = 0 3.4 y 00 + 12y 0 + 9y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 19 / 30
21. 4. y 00 − 6y 0 + 13y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 20 / 30
22. Bài toán giá trị đầu Bài toán giá trị đầu cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm 0 nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y (x0) = y1. Ví dụ 6. Giải PTVP 1. y 00 + y 0 − 6y = 0, y(0) = 1, y 0(0) = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 21 / 30
23. 2. y 00 + y = 0, y(0) = 2, y 0(0) = 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 22 / 30
24. Bài toán giá trị biên Bài toán giá trị biên cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y(x1) = y1. Ví dụ 7. Giải PTVP y 00 + 2y 0 + y = 0, y(0) = 1, y(1) = 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 23 / 30
25. PTVP TTC2 KTN hệ số hằng PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng ay 00 + by 0 + cy = G(x)( 5) với G(x) 6≡ 0. Gọi y = y0(x) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ay 00 + by 0 + cy = 0, thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng: y(x) = y0(x) + yr (x) trong đó yr (x) là một nghiệm riêng của (5). Như vậy nếu tìm được nghiệm riêng thì sẽ tìm được nghiệm tổng quát của (5). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 24 / 30
26. Tìm nghiệm riêng αx 1. Nếu G(x) = e Pn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc n thì một nghiệm riêng của (5) có dạng s αx yr (x) = x e Qn(x) Trong đó, Qn(x) là đa thức bậc n, có n + 1 hệ số cần xác định, và  0 nếu α không là nghiệm của pt đặc trưng  s = 1 nếu α là nghiệm đơn của pt đặc trưng  2 nếu α là nghiệm kép của pt đặc trưng Ví dụ 8. Giải PTVP 1. y 00 + 4y = e3x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 25 / 30
27. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 26 / 30
28. 2. y 00 − 3y 0 + 2y = 2ex − 2xex 3. y 00 + y 0 − 2y = x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 27 / 30
29. αx 2. Nếu G(x) = e [Pn(x) cos βx + Qm(x) sin βx], trong đó Pn(x) là đa thức bậc n, Qm(x) là đa thức bậc m thì một nghiệm riêng của (5) có dạng s αx yr (x) = x e [Rk (x) cos βx + Tk (x) sin βx] Trong đó k = max{n, m}, Rk (x), Tk (x) là các đa thức bậc k cần xác định và  0 nếu α + iβ không là nghiệm của pt đặc trưng s = 1 nếu α + iβ là nghiệm của pt đặc trưng Ví dụ 9. Giải PTVP 1. y 00 + y = 3 sin x, y(0) = y 0(π) = 1 2. y 00 − 5y 0 + 6y = 3 sin 2x − 2 cos 2x 3. y 00 + y 0 − 2y = e2x (5 cos x + 3 sin x) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 28 / 30
30. 3. Nếu G(x) = G1(x) + G2(x) với G1(x), G2(x) có 1 trong 2 dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) dạng yr (x) = yr1(x) + yr2(x) với yr1, yr2 là các nghiệm riêng của các phương trình 00 0 00 0 ay + by + cy = G1(x), ay + by + cy = G2(x) Ví dụ 10. Giải PTVP y 00 − 4y = xex + cos 2x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 29 / 30
31. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: PTVP Toán 2 - MS: C01128 30 / 30