›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

pdf 79 trang huongle 12730
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_4_tich_phan_va_ung_dung_huynh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 4 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Phương pháp số. 7. Tích phân suy rộng. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 2
  3. 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU • Tính diện tích hình phẳng nằm trên trục , dưới đường và giữa , . = = 1 − = 0 = 1 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 3
  4. • Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 4
  5. • Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 5
  6. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 6
  7. • Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 7
  8. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 8
  9. • Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của tại điểm giữa các khoảng chia. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 9
  10. • Khoảng xác định của hàm số có thể được chia thành khoảng, con có độ dài bằng nhau − Δ = • Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con. • Tổng như vậy có dạng + + + ⋯ + • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác của diện tích cần tìm. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 10
  11. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 11
  12. Tính khoảng cách di chuyển • Nếu một vật di chuyển với vận tốc thì trong khoảng thời gian từ đến vật đó đi được bao xa ? = = • Nếu biết một nguyên hàm của là thì vị trí của vật đó ở thời điểm là . = + • Quãng đường đi được là . − = − • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không? 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 12
  13. • Chia khoảng thành n khoảng thời gian đều nhau có độ dài, . Δ – Trên khoảng thời gian thứ , chọn tùy ý. 1 – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn tùy ý. – – Trên khoảng thời gian thứ , chọn tùy ý. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 13
  14. • Xấp xỉ quãng đường đi được như sau – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ bằng . Δ – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ bằng . Δ – – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ xấp xỉ bằng . Δ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 14
  15. 2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma = + + + ⋯ + + • Ví dụ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 = 1 + 2 + ⋯ + 100 = 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 15
  16. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 16
  17. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 17
  18. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 18
  19. Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục , đường cong và hai đường thẳng đứng , = . = 1 − = 0 = 1 Chia khoảng thành khoảng con có độ dài bằng nhau 0,1. Δ = 1/ a) Viết lại tổng dưới bằng ký hiệu sigma và tính →lim b) Viết lại tổng trên bằng ký hiệu sigma và tính →lim Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số bằng . = 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 19
  20. Tổng Riemann • Tổng quát, xét hàm số xác định trên khoảng . , • Chia thành khoảng (không nhất thiết có độ dài bằng, nhau) bằng cách chọn điểm nằm trong khoảng − 1 thỏa , , , , < < < ⋯ < < • Để tiện lợi, đặt và . = = • Tập hợp gọi là một phân hoạch = ,(partition) , , , của khoảng . , • Đặt (nếu cách khoảng chia đều nhauΔ thì = − với mọi ). Δ = − / 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 20
  21. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 21
  22. • Trên khoảng con thứ chọn số tùy ý. • Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của trên , = Δ • Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và được chọn tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì − − = + 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 22
  23. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 23
  24. Định nghĩa tích phân • Chuẩn (norm) của phân hoạch , ký hiệu , được định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con = max Δ • Nếu với mọi phân hoạch để cho đủ nhỏ , tổng Riemann đủ gần giá trị nào đó (bất chấp cách chọn trong mỗi khoảng con) thì ta nói là tích phân xác định của trên khoảng . , • Nói cách khác, nếu tổng Riemann tiến về giá trị nào đó khi thì ta nói tích phân xác định của trên là →. 0 , 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 24
  25. Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói là tích phân xác định của trên nếu, là giới hạn , của tổng Riemann khi theo nghĩa = ∑ Δ → 0 Với mọi , tồn tại sao cho với mọi phân hoạch của > 0 thỏa > 0 và với mọi sự lựa chọn , ta có < ∈ , − = Δ − < 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 25
  26. • Tích phân xác định của trên được ký hiệu là , 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 26
  27. • Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định và hàm là khả tích trên . Khi = , đó ta có thể viết lim → Δ = = • Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên = = = ⋯ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 27
  28. Tính khả tích của hàm liên tục • Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số 1, nếu hữu tỉ là không khả tích. = 0, nếu vô tỉ • Hàm số được gọi là có bước nhảy (jump discontinuity) tại nếu giới hạn trái và phải khi tiến về đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau . Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục Nếu hàm số liên tục trên hoặc nếu chỉ có hữu , hạn bước nhảy trên thì tồn tại và , khả tích trên . , 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 28
  29. Một số tính chất 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 29
  30. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 30
  31. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 31
  32. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 32
  33. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 33
  34. Ví dụ 2. 1. Tính tích phân , với > 0 2. Tính tích phân , với > 3. Tính tích phân , với > 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 34
  35. 3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN • Nếu khả tích trên thì với đặt , ∈ , = 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 35
  36. + ℎ − ≈ ℎ + ℎ − = lim = → ℎ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 36
  37. Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu liên tục trên thì liên tục , = trên , khả vi trên và , , = = = Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính biết 1. = 1 + 2. = cos 1 + 3. = 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 37
  38. Công thức Newton-Leibnitz Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu liên tục trên và là một nguyên hàm của trên thì , , = − ≡ Ví dụ 4. Tính các tích phân. 3 4 1. sin 2. − 2 3. 4. 1 + 1 + 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 38
  39. 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích phân bất định Nếu là hàm số khả vi mà giá trị thuộc khoảng và nếu = liên tục trên thì = Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định. 1. 2. + 2 3. 2 + 1 4. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng + 1 39
  40. Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Nếu liên tục trên và liên tục trên miền giá trị của thì , = = Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định. / cos 1. 3 + 1 2. / sin / / 4 3. tan 4. 24/08/2015 / Tích phân và ứng dụng 1 + ln 40
  41. Tích phân của hàm đối xứng (symmetric function) • Cho hàm số xác định trên khoảng đối xứng . −, • được nói là chẵn nếu . − = , ∀ ∈ −, • được nói là lẻ nếu . − = − , ∀ ∈ −, Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng Cho liên tục trên khoảng đối xứng . −, a) Nếu chẵn (even) thì . = 2 b) Nếu lẻ (odd) thì . = 0 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 41
  42. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 42
  43. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 43
  44. Tích phân từng phần – integration by parts Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định = − hoặc viết gọn . = − Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định. 1. cos 2 2. ln 3. arctan 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 44
  45. Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định = − hoặc viết gọn . = | − Ví dụ 8. Tính các tích phân. 1. 2. arcsin 3. 4. sin 3 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 45
  46. 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN • Một thiết diện (cross-section) của khối là một miền phẳng tạo thành từ việc cắt bằng một mặt phẳng. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 46
  47. Tính thể tích • Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao Thể tích = diện tích đáy × chiều cao 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 47
  48. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 48
  49. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 49
  50. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 50
  51. • Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt mặt thứ nhất theo một góc tại tâm của khối trụ. Tính thể tích cái nêm này. 45 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 51
  52. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 52
  53. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 53
  54. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 54
  55. Tính độ dài đường cong • Đường cong gọi là trơn (smooth) nếu là hàm số khả vi và = đạo hàm của nó liên tục. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 55
  56. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 56
  57. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 57
  58. • Tính độ dài của đồ thị hàm số 1 = + , ∈ 1,4 12 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 58
  59. Tính công của lực • Một vật chịu tác động của một lực (force) có độ lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di chuyển một khoảng thì công (work) của lực được định nghĩa là . = • Nếu lực (không phải là hằng số) , tác động làm vật di chuyển = từ đến thì công của lực là bao nhiêu? = = • Chia khoảng thành khoảng con . Lấy , thì công được xấp xỉ bằng, ∈ , Work ≈ Δ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 59
  60. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 60
  61. • Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với với là hằng số. = • Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự nhiên xuống còn , biết 1 0.75 = 16 / 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 61
  62. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 62
  63. 6. PHƯƠNG PHÁP SỐ • Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation) 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 63
  64. Quy tắc hình thang 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 64
  65. Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule • Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường parabola. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 65
  66. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 66
  67. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 67
  68. 7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I). Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I Nếu liên tục trên thì , ∞ = lim → Nếu liên tục trên thì −∞, = lim → 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 68
  69. • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn , ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu cả hai cận bằng vô cùng , ta cũng có tích phân suy rộng loại I = + với liên tục trên và là hằng số tùy ý. −∞, ∞ • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ , ngược lại gọi là phân kỳ. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 69
  70. Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng. 1. / 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 70
  71. 1 2. 2 − 3 1 3. + 1 1 4. 1 + 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 71
  72. 5. 1 6. 3 + 5 ln 7. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 72
  73. 2 + 1 8. 9. 1 + Ví dụ 10 . Với giá trị nào của thì tích phân sau hội tụ? 1 = 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 73
  74. Tích phân suy rộng loại II • Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là suy rộng loại II (improper integral of Type II). Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II Nếu liên tục trên và gián đoạn tại thì , = lim → Nếu liên tục trên và gián đoạn tại thì , = lim → 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 74
  75. • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn , ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu liên tục trên và gián đoạn tại thì ta cũng, có tích ∪ ,phân suy rộng loại II ∈ , = + • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ , ngược lại gọi là phân kỳ. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 75
  76. Ví dụ 11. Tính các tích phân suy rộng. 1. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 76
  77. 1 2. 1 − 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 77
  78. 3. / − 1 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 78
  79. / 4. cos 5. ln Ví dụ 12 . Với giá trị nào của thì tích phân sau hội tụ? 1 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 79