Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 6 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 33
2. Nội dung 1 Hàm nhiều biến 2 Giới hạn và liên tục 3 Đạo hàm riêng - Gradient 4 Vi phân 5 Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 33
3. Hàm hai biến Định nghĩa Một hàm hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp có thứ tự các số thực (x, y) trong tập D ⊂ R2 với duy nhất một số thực được ký hiệu là f (x, y). Tập D gọi là tập xác định của f . Còn miền giá trị V của f được định nghĩa là tập tất cả các giá trị có thể có của f khi (x, y) chạy khắp D: V = {f (x, y)|(x, y) ∈ D} Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 33
4. Ví dụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 33
5. Đồ thị Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x, y, z) trong R3 sao cho z = f (x, y) và (x, y) ∈ D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 33
6. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 33
7. Hàm nhiều biến Một hàm ba biếnf là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ ba (x, y, z) trong miền D ⊂ R3 với duy nhất một số thực, ký hiệu là f (x, y, z) Ví dụ: f (x, y, z) = ln(z − y) + xy sin z Một hàm n biến là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ n số thực (x1, x2, , xn) với duy nhất một số thực, ký hiệu là f (x1, x2, , xn) Thỉnh thoảng ta ký hiệu x = (x1, x2, , xn) và ký hiệu f (x) thay cho f (x1, x2, , xn) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 33
8. Giới hạn hàm hai biến Điểm (a, b) gọi là điểm tụ của D nếu mọi đĩa tròn tâm (a, b) đều có chung với D ít nhất là một điểm khác (a, b) Định nghĩa Cho f là hàm hai biến với tập xác định D, và (a, b) là điểm tụ của D. Ta nói giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (a, b) là L nếu với mọi ε > 0 đều có tương ứng một số δ > 0 sao cho: Nếu (x, y) ∈ D và 0 < p(x − a)2 + (y − b)2 < δ thì |f (x, y) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x, y) = L hoặc lim f (x, y) = L x→a (x,y)→(a,b) y→b Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 33
9. Chú ý: |f (x, y) − L| là khoảng cách từ số f (x, y) tới số L p(x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ điểm (x, y) tới điểm (a, b) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 33
10. Dãy điểm (xn, yn) gọi là hội tụ về (a, b) nếu xn → a và yn → b. Lúc đó ký hiệu: (xn, yn) → (a, b) Định lý lim f (x, y) = L khi và chỉ khi với mọi dãy (xn, yn) (x,y)→(a,b) hội tụ về (a, b) ta luôn có f (xn, yn) → L Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 33
11. Ví dụ xy Xét hàm f (x, y) = x 2 + y 2 Trên đường y = 0 thì f (x, 0) = 0. Trên đường x = y thì f (x, x) = 1/2. Hàm số không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 10 / 33
12. Sự liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Hàm hai biến f được nói là liên tục tại điểm (a, b) nếu lim f (x, y) = f (a, b) (x,y)→(a,b) f được nói là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi (a, b) thuộc D Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số  3x 2y  , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2  0, (x, y) = (0, 0) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 11 / 33
13. Giới hạn và liên tục của hàm ba biến Định nghĩa Hàm ba biến f được nói là có giới hạn bằng L khi (x, y, z) tiến về (a, b, c) nếu: Với mọi số ε > 0 cho trước, tồn tại tương ứng một δ > 0 sao cho: Nếu (x, y, z) thuộc tập xác định của f và 0 < p(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < δ thì |f (x, y, z) − L| < ε Lúc đó ta ký hiệu lim f (x, y, z) = L (x,y,z)→(a,b,c) Hàm ba biến f được nói là liên tục tại điểm (a, b, c) nếu: lim f (x, y, z) = f (a, b, c) (x,y,z)→(a,b,c) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 12 / 33
14. Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến Ký hiệu: x = (x1, x2, , xn), a = (a1, a2, , an) và p 2 2 2 |x − a| = (x1 − a1) + (x2 − a2) + ··· + (xn − an) Định nghĩa Nếu hàm f xác định trên tập D ⊂ Rn thì giới hạn của f khi x tiến về a bằng L, có nghĩa là: Với mọi ε > 0 có tương ứng số δ > 0 sao cho: Nếu x ∈ D và 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Hàm f được nói là liên tục tại a nếu: lim f (x) = f (a) x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 13 / 33
15. Đạo hàm riêng - Gradient Định nghĩa Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau: f (x + ∆x, y) − f (x, y) fx (x, y) = lim ∆x→0 ∆x f (x, y + ∆y) − f (x, y) fy (x, y) = lim ∆y→0 ∆y Nếu cả hai đạo hàm riêng đều tồn tại thì gradient của f là hàm vector ∇f (hoặc gradf ) được định nghĩa: gradf (x, y) = ∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) = fx i + fy j Với i = (1, 0) và j = (0, 1) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 14 / 33
16. Chú ý: Đạo hàm riêng của z = f (x, y) có thể ký hiệu: ∂f ∂ ∂z f (x, y) = f = = f (x, y) = = D f x x ∂x ∂x ∂x x ∂f ∂ ∂z f (x, y) = f = = f (x, y) = = D f y y ∂y ∂y ∂y y Để tìm fx , xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo x Để tìm fy , xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo y Ví dụ: 3 2 5 1. f (x, y) = x − sin(x + y ) + xy . Tìm fx , fy , fx (π, 0), fy (π, 0) và ∇f (π, 0). x y 2. f (x, y) = x sin + . Tìm ∇f (π, 1). 1 + y 2 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 15 / 33
17. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 16 / 33
18. Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến hơn được định nghĩa tương tự. Ví dụ nếu f là hàm theo ba biến x, y, z, thì đạo hàm riêng theo biến x được định nghĩa là: f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) fx (x, y, z) = lim ∆x→0 ∆x Tương tự cho các đạo hàm riêng theo y và z. Để tính các đạo hàm riêng này, ta làm như sau. Để tính: fx , ta coi y, z như hằng số và lấy đạo hàm theo x fy , ta coi x, z như hằng số và lấy đạo hàm theo y fz , ta coi x, y như hằng số và lấy đạo hàm theo z Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 17 / 33
19. Với hàm n biến, ta có n đạo riêng. Đạo hàm riêng theo biến thứ i của hàm u = f (x1, x2, , xn) định nghĩa là: ∂f f (x , , x + ∆x , , x ) − f (x , , x , , x ) = lim 1 i i n 1 i n ∂xi ∆xi →0 ∆xi Đạo hàm riêng theo biến thứ i cũng được ký hiệu là: ∂u ∂f = = fxi = Dxi f ∂xi ∂xi Nếu tất cả các đạo hàm riêng đều tồn tại thì vector gradient được định nghĩa là: ∇f = (fx1 , fx2 , ··· , fxn ) Trong trường hợp 3 biến thì: ∇f = (fx , fy , fz ) Ví dụ: Cho f (x, y, z) = ex sin y ln(x 2 + z) Tìm tất cả các đạo hàm riêng của f và ∇f (1, 0, 0). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 18 / 33
20. Đạo hàm riêng cấp cao Với hàm hai biến f , các đạo hàm riêng fx và fy đều là những hàm hai biến. Do đó ta hoàn toàn có thể xét các đạo hàm riêng của các hàm số này: Với fx ta có các đạo hàm riêng (fx )x và (fx )y Với fy ta có các đạo hàm riêng (fy )x và (fy )y Các đạo hàm riêng này được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f . Chúng được ký hiệu theo nhiều cách ∂ ∂f  ∂2f ∂ ∂f  ∂2f (f ) = f = = ;(f ) = f = = x x xx ∂x ∂x ∂x 2 x y xy ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f  ∂2f ∂ ∂f  ∂2f (f ) = f = = ;(f ) = f = = y x yx ∂x ∂y ∂x∂y y y yy ∂y ∂y ∂y 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 19 / 33
21. Các đạo hàm riêng cấp hai này cũng là các hàm hai biến do đó cũng có thể xét các đạo hàm riêng của chúng. Các đạo hàm riêng đó gọi là đạo hàm riêng cấp ba của f . Cứ như vậy ta được các đạo hàm riêng cấp cao hơn. Các đạo hàm riêng cấp cao cũng được ký hiệu tương tự Đối với hàm ba biến, ta có 3 đạo hàm riêng cấp một, và do đó có 9 đạo hàm riêng cấp hai, 27 đạo hàm riêng cấp ba, . . . Ví dụ 1. Tìm tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: a) f (x, y) = x 3 + x 2y 3 − 2y 2 b) g(x, y) = x y 2 2. Cho f (x, y, z) = sin(x + 3yz). Tìm fxyzz Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 20 / 33
22. Trong ví dụ trên ta thấy fxy = fyx . Trong trường hợp tổng quát thì điều này chưa chắc đúng. Nhưng ta có định lý sau Định lý Giả sử f là hàm số xác định trên một đĩa tròn D chứa điểm (a, b). Nếu các hàm số fxy và fyx đều liên tục trên D thì khi đó: fxy (a, b) = fyx (a, b) Như vậy nếu các đạo hàm riêng đều liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm là không quan trọng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 21 / 33
23. Mặt phẳng tiếp xúc Mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y) tại điểm (a, b, f (a, b)) là: z − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = 2x 2 + y 2 tại điểm (1, 1, 3) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 22 / 33
24. Tính khả vi Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x, y) gọi là khả vi tại (a, b) nếu ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) có thể viết dưới dạng p 2 2 ∆z = fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε (∆x) + (∆y) Trong đó ε → 0 khi (∆x, ∆y) → (0, 0) Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau: Định lý Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại quanh điểm (a, b) và liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 23 / 33
25. Nếu f khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b) Khi f khả vi tại (a, b) thì ta có thể xấp xỉ giá trị của nó xung quanh điểm (a, b) bằng một hàm tuyến tính. Xấp xỉ tuyến tính của f tại (a, b) là hàm: L(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) Ví dụ: Cho f (x, y) = xexy . Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại điểm (1, 0). Tính xấp xỉ f (0.95, 0.1) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 24 / 33
26. Vi phân Vi phân (hay vi phân toàn phần) của z = f (x, y) là: ∂f ∂f dz = df = f (x, y)dx + f (x, y)dy = dx + dy x y ∂x ∂y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 25 / 33
27. Vi phân hàm nhiều biến Vi phân hàm nhiều biến hơn được định nghĩa tương tự Với hàm ba biến, xấp xỉ tuyến tính tại (a, b, c) của f là: L(x, y, z) = f (a, b, c) + fx (a, b, c)(x − a) +fy (a, b, c)(y − b) + fz (a, b, c)(z − c) Vi phân hàm ba biến được định nghĩa là: ∂f ∂f ∂f dw = df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Ví dụ: Xét f (x, y, z) = ex sin(2x + 3y + z). Tìm df (0, 1, −3) và xấp xỉ tuyến tính của f tại (0, 1, −3). Tính xấp xỉ f (−0.01, 0.98, −3.01) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 26 / 33
28. Đạo hàm hàm hợp - Quy tắc 1 Định lý Giả sử z = f (x, y) là hàm hai biến khả vi, đồng thời x = g(t), y = h(t) cũng là các hàm khả vi theo t. Khi đó z cũng khả vi theo t và dz ∂f dx ∂f dy = + dt ∂x dt ∂y dt Ví dụ Cho z = x 2y + 3xy 4, với x = sin 2t và y = cos t. Tìm dz tại t = 0 dt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 27 / 33
29. Đạo hàm hàm hợp - Quy tắc 2 Định lý Giả sử z = f (x, y) là hàm hai biến khả vi, và các hàm x = g(s, t), y = h(s, t) cũng là các hàm khả vi. Khi đó ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ; = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Ví dụ ∂z ∂z Cho z = ex sin y, và x = st2, y = s2t. Tìm và ∂s ∂t Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 28 / 33
30. Đạo hàm hàm hợp - Tổng quát Định lý Giả sử u là hàm khả theo n biến x1, x2, , xn, và mỗi biến xj cũng là các hàm khả vi theo m biến t1, t2, , tm. Khi đó u là hàm khả vi theo t1, t2, , tm và ∂u ∂u ∂x ∂u ∂x ∂u ∂x = 1 + 2 + ··· + n ∂tj ∂x1 ∂tj ∂x2 ∂tj ∂xn ∂tj với mọi j = 1, 2, , m Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 29 / 33
31. Ví dụ Cho u = x 4y + y 2z3 và x = rset, y = rs2e−t, ∂u z = r 2s sin t. Tìm tại r = 2, s = 1, t = 0 ∂s Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 30 / 33
32. Đạo hàm hàm ẩn 1 Định lý hàm ẩn 1 Nếu F là hàm xác định trên đĩa tròn chứa (a, b), F (a, b) = 0, Fy (a, b) 6= 0 và giả sử các Fx ,Fy đều liên tục trên đĩa tròn đó. Thì phương trình F (x, y) = 0 xác định y là hàm khả vi theo x ở gần (a, b) và đạo hàm của nó được tính như sau: dy F = − x dx Fy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 31 / 33
33. Đạo hàm hàm ẩn 2 Định lý hàm ẩn 2 Nếu F là hàm xác định trên quả cầu chứa (a, b, c), F (a, b, c) = 0, Fz (a, b, c) 6= 0 và nếu Fx ,Fy ,Fz liên tục trên quả cầu đó. Thì F (x, y, z) = 0 xác định hàm ẩn khả vi z theo x, y ở gần điểm (a, b, c) và các đạo hàm riêng được xác định như sau: ∂z F ∂z F = − x ; = − y ∂x Fz ∂y Fz Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 32 / 33
34. Ví dụ 1. Tìm y 0 và y 00, biết x 3 + y 3 = 6xy 2. Tìm vi phân hàm ẩn z = f (x, y) xác định bởi phương trình: x 3 + y 3 + z3 + 6xyz = 1 3. Tính y 0(x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi: x y + y = y x + x 4. Tính y 0(x) và y 0(0), biết: y 2 sin(xy) + 3x = y + 1 5. Tìm vi phân hàm ẩn z = f (x, y) xác định bởi   phương trình: ln px 2 + y 2 + ez = xyz. Tính  1 dz 0, 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 6: Vi phân hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 33 / 33