›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Trần Bảo Ngọc

pdf 42 trang huongle 3790
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Trần Bảo Ngọc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_tran_bao_ngoc.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Trần Bảo Ngọc

  1. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1 ThS. Trần Bảo Ngọc Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Trường Đại học Nông Lâm TP HCM Học kỳ 1, Năm học 2013-2014 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  2. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Giới thiệu : Quy định môn học Cách tính điểm kết thúc môn học Điểm giữa kỳ : 30% điểm kết thúc môn học. Điểm cuối kỳ : 70% điểm kết thúc môn học. Sinh viên vắng từ 30% số tiết học sẽ nhận điểm 0 giữa kỳ và trừ 3 điểm vào điểm kết thúc môn học. Sinh viên sử dụng giáo trình photocopy sẽ nhận điểm 0 giữa kỳ. Cấu trúc đề thi Thời gian và cấu trúc đề thi giữa kỳ sẽ dặn dò trên lớp và trên website. 12 cầu Trắc nghiệm × 0,5 điểm = 6,0 điểm. 2 câu Tự luận × 2,0 điểm = 4,0 điểm. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  3. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Giới thiệu : Quy định môn học Giáo trình, bài giảng và tài liệu tham khảo GT. Toán cao cấp A1, Ngô Thiện - Đặng Thành Danh. BG. Toán cao cấp A1, Trần Bảo Ngọc. Các tài liệu tham khảo thêm sẽ được post lên website. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  4. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Giới thiệu : Nội dung chính của môn học Chương 1. Hàm số, Giới hạn và Liên tục. Chương 2. Đạo hàm và vi phân. Chương 3. Tích phân bất định, Tích phân xác định và Ứng dụng của tích phân xác định. Chương 4. Chuỗi số. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  5. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Chương 1. Hàm số, Giới hạn và Liên tục "Trên bước đường thành công, không có dấu chân của kẻ lười biếng." Ngạn ngữ phương Đông. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  6. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.1. Các hàm số thực quan trọng Các hàm số sơ cấp ở bậc THPT Hàm lũy thừa √ 5 −2 1 2 3 Ví dụ : x , x := , x 3 := x2, x2 Hàm mũ và logarit Ví dụ : 1 5x , 2−x := , 32x = (3x )2 = 9x , 3x = ex ln 3, 2x Hàm lượng giác Ví dụ : sin x, cos x, tan x, cot x. Hàm lũy thừa, mũ, logarit và lượng giác được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản. Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  7. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.1. Các hàm số thực quan trọng Đường tròn lượng giác và các trục lượng giác Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  8. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.1. Các hàm số thực quan trọng Bổ sung các hàm số lượng giác ngược  −1 ≤ x ≤ 1  π π 1 y = arcsin x ⇐⇒ − ≤ y ≤ 2 2  x = sin y   −1 ≤ x ≤ 1 2 y = arccos x ⇐⇒ 0 ≤ y ≤ π  x = cos y  x ∈ R  π π 3 y = arctan x ⇐⇒ − < y < 2 2  x = tan y  ∈  x R 4 y = arccot x ⇐⇒ 0 < y < π  x = cot y Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  9. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.2. Giới hạn hàm số Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình (đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh : Các quá trình (được xét trong môn Toán B1) Ba quá trình thường gặp : x → a, x → −∞, x → ∞. Ứng với 3 quá trình đó, ta thường xét các giới hạn ở dạng : lim f (x), lim f (x), lim f (x). x→a x→−∞ x→∞ Các dạng vô định thường gặp 0 ∞ , , ∞ − ∞, 0.∞, 00 và 1∞. 0 ∞ Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  10. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.3. Các định lý và hệ quả Định lý 1 sin x 1 lim = 1. x→0 x ln (1 + x) 2 lim = 1. x→0 x ex − 1 3 lim = 1. x→0 x Định lý 2 lim [u(x)]v(x) ( có dạng 1∞) = elim[u(x)−1].v(x). Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  11. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.3. Các định lý và hệ quả Hệ quả của định lý 1 tan ax 1 lim = a x→0 x 1 − cos ax a2 2 lim = . x→0 x2 2 Hệ quả của định lý 2 1 1 1 1 lim (1 + x) x = e và lim (1 − x) x = . x→0 x→0 e 1 x 1 x 1 2 lim (1 + ) = e và lim (1 − ) = . x→∞ x x→∞ x e Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  12. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB) a) Định nghĩa Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếu lim α(x) = 0 trong quá trình đó. Ví dụ 1 : x, sin x, arcsin x, tan x, arctan x, xα (α > 0) là các VCB xét trong quá trình x → 0. 1 Ví dụ 2 : , (α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá xα trình x → +∞. b) Tính chất lim α(x) = L ⇐⇒ {α(x) − L} là một VCB. Nếu α(x) là một VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là một VCB. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  13. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB) c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình α(x) Nếu lim = 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x). β(x) α(x) Nếu lim = k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp. β(x) Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB tương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x). Chú ý Nếu α(x) là một VCB bậc cao hơn β(x) thì α(x) + β(x) ∼ β(x). Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  14. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB) d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u. u2 1 − cos u . ∼ 2 ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u. 0 e) Dạng vô định và VCB tương đương 0 Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì α(x) α(x) lim = lim . β(x) β(x) Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  15. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.4. Sự liên tục của hàm số Nhắc lại Nếu lim f (x) = lim f (x) = L thì x→a− x→a+ lim f (x) tồn tại và lim f (x) = L. x→a x→a a) Định nghĩa Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu ( i) f (a) xác định và ii) lim f (x) = f (a). x→a Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  16. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 1.4. Sự liên tục của hàm số b) Điểm gián đoạn Giá trị x = a được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các dấu hiệu sau xảy ra f (a) không xác định. lim f (x) không tồn tại. x→a lim f (x) 6= f (a). x→a Chú ý Ta phân loại điểm gián đoạn thành 2 loại (tham khảo giáo trình). Các khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng cũng như các tính chất cơ bản của hàm liên tục có thể xem trong giáo trình (tr. 32-34). Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  17. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Chương 2. Đạo hàm và vi phân "Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà không học tập thì phí mất cả cuộc đời." Ngạn ngữ phương Đông. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  18. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.1. Đạo hàm Các định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể xem trong giáo trình (đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh : Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược 1 −1 (arcsin x)0 = √ , (arccos x)0 = √ 1 − x2 1 − x2 1 −1 (arctan x)0 = , (arccot x)0 = 1 + x2 1 + x2 0 Đạo hàm cấp cao y(n) = y(n−1) n (n) P k (n) (n−k) Đạo hàm cấp cao của một tích : (f .g) = Cn f g . k=0 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  19. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.1. Đạo hàm Đạo hàm cấp cao hàm lượng giác  nπ  (sin x)(n) = sin x + 2  nπ  (cos x)(n) = cos x + 2 Đạo hàm cấp cao hàm lũy thừa và mũ (xex )(n) = (n + x)ex .  1 (n) (−a)nn! = . ax + b (ax + b)n+1  a (n−1)  1 (n−1) [ln (ax + b)](n) = = a . ax + b ax + b Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  20. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.2. Vi phân và ứng dụng Cho hàm số y = f (x) xác định tại x0. Gọi ∆x là số gia theo hoành độ tại x0. Đặt ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0). Định nghĩa Nếu ∆f = A.∆x + α(∆x) với A là hằng số, α(∆x) là một VCB bậc cao hơn ∆x xét trong quá trình ∆x → 0 thì ta nói : Hàm số y = f (x) khả vi tại x0. Biểu thức A.∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x0. Ký hiệu df (x0) = A.∆x. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  21. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.2. Vi phân và ứng dụng Định lý cơ bản về vi phân Cho hàm số y = f (x) khả vi tại x0. Khi đó hàm số y = f (x) khả vi tại x0, hơn nữa : 0 df (x0) = f (x0).∆x. dx = ∆x. Hệ quả - Ứng dụng vi phân tính gần đúng f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + df (x0). Vi phân cấp cao n (n) n d f (x0) = f (x0).dx . Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  22. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định Qui tắc L’Hospital Nếu f (x), g(x) là hai hàm số khả vi trên một lân cận của x0 và f 0(x) lim 0 tồn tại thì x→x0 g (x) f (x)  0 ∞ f 0(x) lim có dạng hoặc = lim 0 x→x0 g(x) 0 ∞ x→x0 g (x) Chú ý f 0(x) Nếu lim 0 không tồn tại thì ta không thể khẳng định x→x0 g (x) f (x) lim x→x0 g(x) tồn tại hay không tồn tại. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  23. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định Khử các dạn vô định ∞ − ∞, 0.∞, 00 0 ∞ Đưa các dạng vô định này về dạng vô định hoặc (được sử 0 ∞ dụng quy tắc L’Hospital) như sau : 0 ∞ − ∞ : Quy đồng đưa về dạng . 0 0 0 ∞ ∞ 0.∞ : Viết thành (dạng ) hoặc (dạng ) 1 0 1 ∞ ( ∞ ) ( 0 ) 00 : Sử dụng công thức ab = eb.lna đưa về dạng 0.∞. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  24. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Chương 3. Tích phân bất định, Tích phân xác định và Ứng dụng của tích phân xác định. "Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát. Nhưng không hỏi sẽ dốt nát cả đời." Ngạn ngữ phương Tây. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  25. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.1. Tích phân bất định (không cận) Một số tích phân đặc biệt Z 1 1 x − a 1 dx = ln + C. x2 − a2 2a x + a Z 1 1 x 2 dx = arctan + C. x2 + a2 a a Z 1 x 3 √ dx = arcsin + C a2 − x2 a Z p a2 x 1 p a2 − x2dx = arcsin + x a2 − x2 + C. 2 a 2 Z 1 p 4 √ dx = ln x + x2 + b + C x2 + b Z p b p x p x2 + bdx = ln x + x2 + b + x2 + b + C 2 2 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  26. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định Z 3.2.a) Tích phân từng phần f (x)g(x)dx Dạng 1. f (x) là đa thức, g(x) ∈ {eax ; sin ax; cos ax} =⇒ đặt u = f (x). Dạng 2. f (x) là đa thức hoặc hằng số g(x) ∈ {ln ax; arcsin ax; arccos ax; arctan ax} =⇒ đặt u = g(x). Dạng 3. f (x) = eax , g(x) ∈ {sin ax, cos bx} =⇒ đặt u = f (x). Chú ý : dạng 3 phải tích phân từng phần 2 lần, rồi chuyển vế tính tích phân. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  27. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định Z P(x) 3.2.b) Tích phân hàm hữu tỉ dx với bậcP(x) < bậcQ(x) Q(x) Dạng 1. Q(x) bậc 1 =⇒ ADCT Z 1 1 dx = ln |ax + b| + C. ax + b a Dạng 2. Q(x) bậc 2 Q(x) có nghiệm =⇒ Khai triển phân thức và ADCT Z 1 1 −1 dx = . + C. (ax + b)2 a ax + b Q(x) vô nghiệm =⇒ Q(x) = (mx + n)2 + a2 và đặt (mx + n) = a tan t. Dạng 3. Q(x) bậc cao =⇒ Khai triển phân thức. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  28. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 3.2.c) Tích phân hàm lượng giác Z Dạng 1. R(sin x, cos x)dx với R là phân thức x =⇒ đặt t = tan 2 Một số trường hợp có thể làm ngắn gọn hơn bởi R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) =⇒ đặt t = cos x R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) =⇒ đặt t = sin x R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) =⇒ đặt t = tan x Z Dạng 2. sinm x. cosn xdx Nếu m lẻ hoặc n lẻ =⇒ đặt t = cos x hoặc t = sin x Nếu m, n cùng chẵn =⇒ dùng CT nhân đôi, hạ bậc Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  29. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 3.2.d) Tích phân hàm căn thức " r r # Z ax + b ax + b Dạng 1. R x, n , s dx cx + d cx + d ax + b =⇒ đặt tk = với k là BCNN của n và s. cx + d Z  p  b Dạng 2. R x, ax2 + bx + c dx =⇒ đặt u = x + đưa 2a về tích phân chứa một trong các dạng căn √ α2 − u2 −→ đặt u = α sin t √ α2 + u2 −→ đặt u = α tan t √ α u2 − α2 −→ đặt u = cos t Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  30. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.4. Tích phân suy rộng Loại 1 : Tích phân suy rộng với cận ±∞ Ta ký hiệu (và gọi là TPSR) Z +∞ Z b f (x)dx bởi giới hạn lim f (x)dx a b→+∞ a Z b Z b f (x)dx := lim f (x)dx −∞ a→−∞ a Z +∞ Z c Z +∞ f (x)dx := f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ c TPSR được gọi là hội tụ nếu các giới hạn tương ứng hữu hạn. Ví dụ : Xét sự hội của các tích phân suy rộng Z +∞ 1 Z +∞ 1 Z 0 Z +∞ 1 , , x , . 2 dx α dx e dx 2 dx 0 1 + x 1 x −∞ −∞ 1 + x Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  31. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 3.4. Tích phân suy rộng Loại 2 : Tích phân suy rộng với cận hữu hạn Z b Z c Nếu lim f (x) = ∞ thì f (x)dx := lim f (x)dx. x→b− a c→b− a TPSR được gọi là hội tụ nếu giới hạn tương ứng hữu hạn. Ví dụ : Xét sự hội của các tích phân suy rộng Z 1 1 Z 1 1 Z −1 1 √ , , . dx dx 2 dx 0 1 − x2 0 x 1 x Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  32. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Chương 4. Chuỗi số "Đừng xấu hổ khi không biết, chỉ xấu hổ khi không học." Khuyết danh. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  33. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.1. Định nghĩa chuỗi số và tính chất 4.1.a) Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số {un}, khi đó tổng vô hạn ∞ P un = u1 + u2 + + un + n=1 được gọi là một chuỗi số. Khi đó Sn = u1 + u2 + + un được gọi là tổng riêng phần của chuỗi đã cho. ∞ P Nếu lim Sn tồn tại thì chuỗi un được gọi hội tụ. Ngược lại n→+∞ n=1 gọi là phân kỳ. Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∞ ∞ ∞ ∞ X X 1 X  1 X 1 qn, , ln 1 + , √ √ n(n + 1) n n + n + 1 n=1 n=1 n=1 n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  34. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.1. Định nghĩa chuỗi số và tính chất 4.1.b) Tính chất của chuỗi số TC 1 lim Sn hội tụ =⇒ lim un = 0. n→+∞ n→+∞ ∞ ∞ ∞ P P P TC 2 • un, vn cùng hội tụ =⇒ (un + vn) hội tụ n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ P P P • un hội tụ, vn phân kỳ =⇒ (un + vn) phân kỳ n=1 n=1 n=1 ∞ P • (un + vn) hội tụ =⇒ không có kết luận. n=1 TC 3 Nếu0 < un ≤ vn với n ≥ n0 thì ∞ ∞ P P • vn hội tụ =⇒ un hội tụ n=1 n=1 ∞ ∞ P P • un phân kỳ =⇒ vn phân kỳ n=1 n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  35. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 4.2.a) Tiêu chuẩn so sánh ∞ ∞ P P un Cho hai chuỗi (1) un và (2) vn. Giả sử lim = L. n=1 n=1 n→+∞ vn L = 0 : (2) hội tụ =⇒ (1) hội tụ. L = +∞ : (1) hội tụ =⇒ (2) hội tụ. 0 < L < +∞ : (1) và (2) có cùng tính chất hội tụ, phân kỳ. Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∞ ∞ ∞ X  1  X n + 1 X p  sin , , n2 + 1 − n . 2n + 3 n.2n n=1 n=1 n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  36. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương √ un+1 n Giả sử ta có (D) lim = L hoặc ta có (C) lim un = L. n→+∞ un n→+∞ 4.2.b) Tiêu chuẩn D’Alembert và Tiêu chuẩn Cauchy L 1 =⇒ chuỗi phân kỳ. L = 1 =⇒ không có kết luận. Nếu có n0 nào đó mà √ un+1 n ≥ 1 hoặc un ≥ 1 với n ≥ n0 thì chuỗi phân kỳ. un Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∞ ∞ ∞ X en X nn X enn! , , , nn n! nn n=1 n=1 n=1 ∞ n2 ∞ 2n−1 X  1 X 3n + 1 2n 1 − , . n 2n + 5 n=1 n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  37. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 4.2.c) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số liên tục, không âm y = f (x) và nghịch biến trên khoảng (1, +∞). Khi đó ∞ X Z +∞ f (n) và f (x)dx n=1 1 có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ. Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∞ ∞ X 1 X 1 , √ . nα n=1 n=1 n ln n Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  38. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.3. Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu 4.3.a) Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ P P Nếu |un| hội tụ thì un hội tụ. n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ P P P Nếu |un| phân kỳ và un hội tụ thì un được gọi là n=1 n=1 n=1 bán hội tụ. Chú ý : Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy ∞ P cho chuỗi số dương |un| cho kết quả hội tụ hoặc phân n=1 ∞ P kỳ thì chuỗi un tương ứng cũng hội tụ hoặc phân kỳ. n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  39. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.3. Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu 4.3.b) Tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu) ∞ X n+1 Nếu dãy số un giảm và lim un = 0 thì chuỗi (−1) un n→+∞ n=1 hội tụ về S. Hơn nữa 0 < S < u1. Ví dụ : Các chuỗi sau hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ hay phân kỳ ? ∞ ∞ ∞ ∞ X 1  1  X (−e)n X (−1)n+1 X (−1)n+1n arcsin , , , . n2 n2 n4 + 1 n n2 + n + 1 n=1 n=1 n=1 n=1 Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  40. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.4. Chuỗi hàm 4.4.a) Miền hội tụ của chuỗi hàm ∞ X Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của x sao cho chuỗi un(x) n=1 hội tụ được gọi là miền hội tụ của nó. Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau : ∞ ∞ ∞ X 1 X X xn , xn, . nx 1 − xn n=1 n=1 n=1 4.4.b) Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ X n Giá trị R sao cho chuỗi lũy thừa anx hội tụ trên (−R, R) và n=1 phân kỳ trên (−∞, −R) ∪ (R, +∞) đgl bán kính hội tụ của nó. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  41. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số 4.4. Chuỗi hàm 4.4.c) Định lý (tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa) √ un+1 n Nếu (D) lim = L hoặc (C) lim un = L thì bán kính n→+∞ un n→+∞ 1 hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = . L Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau : ∞ ∞ ∞ X xn+1 X (x + 2)2n X (2n + 1)xn , , , n n23n n! n=1 n=1 n=1 ∞ 2n+1 ∞ X 2n  n  X (−1)nxn , . xn 4n − 1 n2n ln n n=1 n=1 P Chú ý Nếu chuỗi un(x) có bán kính hội tụ là R thì chuỗi P 0 R x P ( un(x)) và chuỗi 0 un(t)dx có bán kính hội tụ là R. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
  42. Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP B1 "Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờ làm việc. Một giờ này làm lòng ta nhẹ và túi ta nặng." Benjamin Franklin. HẾT. Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1