Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier

1. Chương 1 Chuỗi Fourier  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
2. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn ft()= f ( − t )  Các hệ số khai triển Fourier T 4 2 = a0 ∫ f() t dt T 0 T 4 2 = ω an ∫ f( t )cos( n0 t ) dt T 0 bn = 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
3. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier côsin  Định lý 1.7: Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: +∞ a0 ft() = + ∑ an cos( nω0 t ) 2 n=1 TT 4422 = = ω a00∫∫ f() t dt ; an f()cos( t n t ) dt TT00 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
4. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ ft()=−− f ( t )  Các hệ số khai triển Fourier a0 = 0 an = 0 T 4 2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
5. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier Sin  Định lý 1.8: Nếu f là hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: +∞ ft( )= ∑ bn sin( nω0 t ) n=1 T 4 2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
6. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng T  Hàm tuần hoàn đối xứng nửa sóng ft()=−± f t 2  Các hệ số khai triển Fourier a0 = 0 0 (nk= 2)  T = 2 an  4 ω = +  ∫ f( t ) cos ( n0 t ) dt ( n 2 k 1) T 0 0 (nk= 2)  T = 2 bn  4 ω = +  ∫ f( t ) sin( n0 t ) dt ( n 2 k 1) T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
7. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Định lý : Nếu f là hàm tuần hoàn nửa sóng, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: +∞ ft( )= ∑ ( ann cos( ntωω00 )+ b sin( nt )) n=1 (nk= 2 + 1) T T 4 2 4 2 = ω = ω an ∫ f( t )cos( n0 t ) dt bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T 0 T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
8. Dời trục tọa độ f(t) g(t) τ t h t f() t=±+ h gt ( ±τ ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
9. Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + π ( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải  Ta biểu diễn f(t) theo g(t): f(t) = π + g(t)  g(t) là tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuỗi Fourier: T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
10. Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng ππ 42π tcos(nω t) sin(nω t) 2 b=ω t)dt tsin(n =−+=−00cos(nπ) n02nππω(nω∫ )n 2 0 0000 ∞  Chuỗi Fourier của g(t): g( t )= ∑ bn sin( nt ) n=1 ∞ −cos(nπ )  Chuỗi Fourier của f(t): f( t )=π + 2∑ sin(nt ) n=1 n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
11. 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]  Xét hàm f(t) chỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]  Ta c ần tìm khai triển Fourier của f(t) T ϕ()tt−2 << 0  Mở rộng hàm f(t) thành hàm  T Ft()= f () t o ≤≤ t 2 F(t) tuần hoàn  Ft()+∀ T t  Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng hội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]  Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn  Chọn ϕ(t) ?  Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
12. 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]  Định lý 1.9: Nếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành : Chuỗi Fourier côsin +∞ a0 ft() = + ∑ an cos( nω0 t ) 2 n=1 Hoặc thành chuỗi Fourier sin Khai triển bán kỳ +∞ ft( )= ∑ bn sin( nω0 t ) n=1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
13. Ví dụ khai triển bán kỳ f(t)  Cho hàm f(t) định nghĩa bởi f(t)= t+2 ( 0 < t < 2) 4  Xác định chuỗi Fourier sin biểu 2 diễn cho f(t) Giải F(t) 2 t  Thiết lập hàm lẻ F(t) 4  Xác định hệ số bn 2 4 bn=(1 − 2 cosπ ) n nπ -2 -2 2 4 t -4  Chuỗi Fourier sin của f(t) 12 ππππ2 4 1 fttttt( )=−+−+ππ sin( 2222) sin( 2) π sin( 3) π sin( 4) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
14. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Chuỗi Fourier dạng sóng hài +∞  Dạng sóng hài cosin ft() =++ C00∑ Cnncos( nωα t ) n=1 +∞  Dạng sóng hài sin ft() =++ C00∑ Cnnsin( nωβ t ) n=1 a C= 0 ; C= ab22 + 0 2 n nn  Các hệ số khai triển bann αβnn=−=arctg ; arctg abnn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
15. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier +∞ • ω  Chuỗi Fourier dạng mũ phức jn0 t ft()= ∑ Den n=−∞ T • 2 1 − ω = jn0 t  Các hệ số khai triển phức Dn ∫ f() t e dt T T − 2 • a0  DC0 =0 = Quan hệ với các hệ 2 số của khai triển • annn− jb C lượng giác và khai Dn = = ∠αn triển hài 22 •∗ ajbCnnn+ DD−n = = ∠−α = 22nn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
16. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Phổ biên độ của hàm f(t) +∞ • jnω0 t ft()= ∑ Den  Hàm f(t) có khai triển phức n=−∞ • DDn= nn ∠α  Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T  Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T  Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Dn|). Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ. Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
17. Ví dụ phổ biên độ f(t) A  Khai triển lượng giác +∞ 4A -T/2 0 T/2 T t ft( )= ∑ sin(nω0 t ) n=1 nπ -A (nk= 2 + 1) +∞ 2A ω  Và khai triển phức ft()=∑ − j ejn0 t Dn n=−∞ nπ 2A/π (nk= 2 + 1)  Phổ biên độ 2A/3π 2A/5π 2A/7π -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 ω ω0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17