Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier

1. Phần 1: Giải tích Fourier  Chương 0 : Ơn tập số phức  Chương 1 : Chuỗi Fourier  Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 1
2. Chương 1 Chuỗi Fourier  1.1 Hàm tuần hồn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hồn  1.3 Các cơng thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 2
3. 1.1 Hàm tuần hồn  Định nghĩa 1.1 hàm f(t) gọi là tuần hồn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)  T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )  Phân loại:  f(t) tuần hồn sin  f(t) tuần hồn khơng sin Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 3
4. Ví dụ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 4
5. 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hồn  Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn f(t) chu kỳ T là : +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 Với : n = 1,2 ω0 = 2π/T = tần số cơ bản a0, an , bn = các hệ số khai triển chuỗi Fourier . Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 5
6. Các hệ số khai triển Fourier  Giá trị các tích phân xác định TT 22 ωω= = ∀ ∫∫cos(m00 t ) sin( n t ) dt 0 m , n −−TT 22 T 2 ωω= ∀ ∫ cos(m00 t )sin( n t ) dt 0 m, n −T 2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ cos(m00 t )cos( n t ) dt T −T  mn= 2  2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ sin(m00 t )sin( n t ) dt T −T  mn= 2  2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 6
7. Các hệ số khai triển Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 TT 22 ωω= = ∀ ∫∫cos(m00 t ) sin( n t ) dt 0 m , n −−TT 22 T 2 2 = a0 ∫ f() t dt T −T 2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 7
8. Các hệ số khai triển Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 T 2 ωω= ∀ ∫ cos(m00 t )sin( n t ) dt 0 m, n −T 2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ cos(m00 t )cos( n t ) dt T −T  mn= 2  2 T 2 2 = ω an ∫ f( t )cos( n0 t ) dt T −T 2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 8
9. Các hệ số khai triển Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 T 2 ωω= ∀ ∫ cos(m00 t )sin( n t ) dt 0 m, n −T 2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ sin(m00 t )sin( n t ) dt T −T  mn= 2  2 T 2 2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T −T 2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 9
10. Điều kiện tồn tại f(t) f(t2-) f(a+) f(b-) t a t1 t2 b f(t1-) f(t2+) f(t1+) . Định nghĩa 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là cĩ một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I. Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 10
11. Điều kiện tồn tại . Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f tuần hồn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về : ● ft () nếu f liên tục tại t. 1 +− ●  ft () + ft () nếu f gián đoạn tại t. 2 kk Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 11
12. Ví dụ tìm chuỗi Fourier a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng M ATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 12
13. Ví dụ tìm chuỗi Fourier pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1; w0 = 2*pi/T; t = linspace(0,2*T,600); for n=1:N a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3)); end for i=1:length(t) f(i) = a0; for n=1:length(a) f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i)); end end plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)'); Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 13
14. Ví dụ tìm chuỗi Fourier . Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau 00−π ≤≤t aft) ()=  ;T= 2π sintt 0 ≤≤π b) ft ()= 4 − t2 −≤≤ 2 t 2 ; T = 4 1 sint 2+∞ cos 2nt =+− a) ft () ∑ 2 ππ2n=1 41n − . Kết quả 8 16+∞ (− 1) n+1 ntπ = + b)() ft 22∑ cos 32π n=1 n Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 14
15. 1.3 Các cơng thức khác để tính các hệ số Fourier Bước nhảy của một hàm: f(t) f(t2-) f(a+) f(b-) t a t1 t2 b f(t1-) f(t2+) f(t1+)  Định nghĩa : + - Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk ) – f(tk )  Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0  Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 15
16. Hai cơng thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.2: Nếu f là hàm tuần hồn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và cĩ m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m −11' ann= b − ∑ J ksin( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 ( n = 1, 2, ) ( bn’ = hệ sớ chuỗi Fourier của hàm f’) Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 16
17. Hai cơng thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.3: Nếu f là hàm tuần hồn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và cĩ m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m 11' bnn= a + ∑ J kcos( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 ( n = 1, 2, ) ( an’ = hệ sớ chuỗi Fourier của hàm f’) Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 17
18. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hồn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là f(t) −12 −<<t 1 1   01−<<t 0 ft()=   10<<t 1 -2 -1 0 1 2 t  01<<t 2 -1 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 18
19. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp f(t) f'(t) 1 -2 -1 0 1 2 t -2 -1 0 1 2 t -1  Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1  f’(t) = 0 ⇒ an’ =b n’=0 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 19
20. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1 m −11' ann= b − ∑ J ksin( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 m 11' bnn= a + ∑ J kcos( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 −2 1 nnnπππ( −− 2) ( 1) (0) n π(1) ab=' −( − 1) sin + (1) sin+ (1) sin +− ( 1) sin nnnnππ2 22 2 2 1 nnnπππ(−− 2) ( 1) (0) nπ (1) ba=' +( − 1) cos+ (1) cos+ (1) cos +− ( 1) cos nnnnππ2 22 2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 20
21. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp 2 nπ a= sin (nk= 2 + 1) n nπ 2 2 b= (nk= 2 + 1) n nπ Đối với a0 ta tính trực tiếp 1 −11 = −+ = a0 ∫∫( 1)dt (1) dt 0 2 −20 Chuỗi Fourier của f(t) là : 21+∞ nππ nt nt π ft() = ∑ sin cos+ sin π n=1 n 22 2 nk=21 + Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 21
22. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier 10 f(t) dùng cơng thức lặp ? 0 π 2π Giải  Xác định f’(t), tk và Jk: f(t) π f’(t) 10 tk t1 = 0 t2 = T T Jk 10 – 10 0 π 2π 0 π 2π t1 t2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 22
23. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng cơng thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier 10 f(t) dùng cơng thức lặp ? 0 π 2π Giải a 1 T  Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0 =∫ f() t dt = 5 2 T 0 =−−=1 π an nπ [10.sin(0) 10sin(n )] 0 1 20 = −=π (n:odd) bn nπ [10.cos(0) 10cos(n )] nπ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 23
24. Tốc độ tiến về 0 của các hệ số Fourier  Định lý 1.4: Hàm càng trơn thì tốc độ hội tụ càng nhanh 1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm tuần hồn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng nhanh như c/n, với c = hằng số khơng phụ thuộc n. 2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, khơng thể → 0 nhanh hơn c/n. 3. Nếu f, f’, , f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi k+2 thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/n . 4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, khơng thể → 0 nhanh hơn c/nk+2. Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 24
25. Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier  Định lý 1.5: Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet cĩ thể tìm bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của nĩ.  Định lý 1.6: Cho một hàm f tuần hồn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn tại thì nĩ cĩ thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi Fourier của hàm f. Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 25