Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 1: Chuỗi số - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 1: Chuỗi số - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK TỐN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI 1: CHUỖI SỐ TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (2/2006)
2. NỘI DUNG 1- CHUỖI NHƯ TỔNG VÔ HẠN. CHUỖI CẤP SỐ NHÂN 2- ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CHUỖI HỘI TỤ. T/C PHÂN KỲ 3- CHUỖI SỐ DƯƠNG. TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1 – 2 4- CHUỖI ĐIỀU HOÀ (RIEMAN) 5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI 6- CHUỖI DẤU BẤT KỲ. T/CHUẨN HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI 7- CHUỖI ĐAN DẤU. TIÊU CHUẨN LEBNITZ
3. CHUỖI SỐ NHƯ TỔNG VÔ HẠN Cho dãy {un}, n 1. Tổng các số hạng liên tiếp của dãy Biểu thức có dạng: chuỗi số. un: số hạng tổng quát (số hạng thứ n) Thực tế: Giá trị của tổng chuỗi số (vô hạn số hạng) VD: Cần bao nhiêu thời gian và phép tính để tính VD: Sử dụng tổng S = 1 – 1 + 1 – 1 + chứng tỏ
4. ĐỊNH NGHĨA TỔNG CHUỖI. CHUỖI HỘI TỤ (PHÂN KỲ) Xét chuỗi un = u1 + u2 + + un + . Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi u1 + u2 + + un: tổng riêng thứ n. Ký hiệu: Nếu  giới hạn hữu hạn: chuỗi hội tụ & tổng chuỗi là S: Nếu giới hạn không tồn tại hoặc = un phân kỳ (đương nhiên un không có giá trị!) VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu tồn tại) của:
5. CHUỖI CẤP SỐ NHÂN Chuỗi cấp số nhân: Ghi nhớ: Chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi VD: Tính VD: Tính VD: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 – 1 + 1 – 1 + =  (–1)n–1 Kết luận: Tính tổng chuỗi  Tính tổng riêng Sn &
6. TÍNH CHẤT & PHÉP TOÁN TRÊN CHUỖI HỘI TỤ Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi bỏ đi một số hữu hạn các số hạng đầu (hoặc bất kỳ) của chuỗi: Các chuỗi un & vn hội tụ Các chuỗi sau cũng hội tụ và Phần dư: Khi chuỗi un hội tụ
7. ĐIỀU KIỆN CẦN CHUỖI HỘI TỤ – T/C PHÂN KỲ Đkiện cần: Chuỗi un hội tụ VD: Kiểm tra lại điều kiện cần với các chuỗi hội tụ đã xét Sai lầm: Chuỗi un hội tụ! VD: Tiêu chuẩn Chuỗi phân kỳ PHÂN KỲ VD: Khảo sát các chuỗi a/ 1 – 1 + 1 – = (–1)n
8. CHUỖI DƯƠNG Chuỗi dương un, un > 0  n N0 Dãy tổng riêng {Sn}:  dương hội tụ khi và chỉ khi bị chặn: Dấu hiệu so sánh 1: un, vn với 0 < un vn,  n N0 vn (chuỗi lớn) htụ un (nhỏ) htụ: un (nhỏ) ph.kỳ vn (lớn) ph.kỳ: VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
9. CHUỖI ĐIỀU HOÀ (CHUỖI RIEMAN) “Đoán” tính hội tụ của chuỗi: Chuỗi điều hoà (Rieman) Tính tổng riêng. Lập bảng giá trị {n Sn} Tính chất hội tụ: Chuỗi Rieman hội tụ > 1 So sánh với chuỗi Rieman
10. DẤU HIỆU SO SÁNH 2 Chuỗi dương un, vn (từ chỉ số N0). Nếu tồn tại giới hạn :2 chuỗi cùng bản chất hội tụ k=0 un vn: Aùp dụng so sánh 1 VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu dễ tính!) của: Nguyên tắc: Dùng tương đương, so sánh un với chuỗi 1/n (tương tự tích phân suy rộng!). Một số trường hợp có thể áp dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với un