Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 2: Chuỗi lũy thừa - Nguyễn Quốc La

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 2: Chuỗi lũy thừa - Nguyễn Quốc La

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006)
2. NỘI DUNG 1– TỔNG QUAN CHUỖI HÀM 2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ 3– CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ 4– TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA 5– CHUỖI TAYLOR 6– KHAI TRIỂN HÀM THÀNH CHUỖI TAYLOR 7– CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC
3. TỔNG QUAN VỀ CHUỖI HÀM Dãy số {un}, n = 1, 2 , un R Chuỗi số un Dãy hàm {un(x)}, n = 1, 2 , x D Chuỗi hàm un(x) Miền hội tụ: Tập hợp giá trị x để chuỗi số un(x) hội tụ VD: 1 + x + x2 + = xn, x R VD: VD: CHUỖI Ø Miền hội tụ đơn giản, dễ tìm LUỸ Ø Có thể đạo hàm, tích phân chuỗi THỪA Ø Khai triển hàm f(x) thành chuỗi luỹ thừa
4. CHUỖI LUỸ THỪA n Chuỗi luỹ thừa n=0 an(x – a) , a0 , an R: hệ số n Trường hợp đặc biệt: a = 0  anx : tâm tại x = 0 VD: Nhận dạng chuỗi luỹ thừa, chỉ ra hệ số an của chuỗi
5. KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA n Abel: Chuỗi luỹ thừa  anx (1) hội tụ tại x = x0 Chuỗi (1) hội tụ (tuyệt đối) tại mọi x với | x | |x1| x1 x0 0 x0 x1 |x| > |x1|: phân kỳ |x| |x1|: phân kỳ n an(x – a) (1) hội tụ tại x = a + x0 (1) hội tụ (tuyệt đối) tại mọi x với | x –a | | x1 |
6. BÁN KÍNH HỘI TỤ Chuỗi luỹ thừa Luôn  số R (0 R ) – bán kính hội tụ: Ø (*) hội tụ tuyệt đối khi | x–a | R x a + R Ø 2 đầu khoảng hội tụ x = a R: chưa kết luận Khoảng hội tụ a – R a a + R Phân kỳ Bán kính h/tụ Phân kỳ
7. MIỀN HỘI TỤ n Chuỗi luỹ thừa tâm 0:  anx Khoảng hội tụ | x | < R VD: Chuỗi luỹ thừa 1 + x + x2 + + xn + = xn: R = ??? Miền hội tụ (MHT): Khoảng hội tụ | x – a | < R (chuỗi tâm 0: | x | < R) & Điểm biên khả nghi – khảo sát thêm: n n Tâm a: an(x–a) . MHTụ: Tâm 0: anx . MHTụ:
8. CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ Chuỗi hoặc Điểm biên: t/chuẩn so sánh, Lebnitz, điều kiện cần Ø Không dùng D’Alambert hoặc Côsi khi xét biên Ø 1 biên: Phân kỳ đk cần Biên kia: Phân kỳ (đk cần) Ø 1 biên: Hội tụ tuyệt đối Biên kia: Hội tụ tuyệt đối VD: Miền hội tụ các chuỗi luỹ thừa
9. CHUỖI KHUYẾT LUỸ THỪA  N0  n N0 : an = 0 Khuyết luỹ thừa Hướng giải quyết thực tế: Đổi biến Chuỗi chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn Đổi biến Chỉ luỹ thừa bậc lẻ: Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn n D’Alambert hay Côsi cho chuỗi trị tuyệt đối  |an(x–a) |
10. TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA n Hàm f(x) =  anx (1) với khoảng hội tụ (–R, R) (R > 0) Trên miền hội tụ: Hàm f(x) xác định và liên tục Trong khoảng hội tụ (–R, R): Có quyền đạo hàm, lấy tích phân trên đoạn [ , ]  (–R,R). Đồng thời, đạo hàm tổng = tổng đạo hàm, tích phân  =  tích phân VD: Tính tổng chuỗi
11. CHUỖI TAYLOR – CHUỖI MACLAURINT Hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp tại x = a Chuỗi Taylor: Hay gặp: a = 0 Chuỗi Maclaurint của hàm f(x): VD: Chuỗi Taylor quanh a = 1 của hàm Định nghĩa: DÀI! Khai triển Taylor (Toán 1) Chuỗi! VD: Viết chuỗi Maclaurint:
12. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURINT Sử dụng khai triển (đã biết) các hàm sơ cấp cơ bản trên miền hội tụ của chuỗi tương ứng Khai triển Mac – Laurint hàm cơ bản R MHT
13. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT Khai triển Mac – Laurint hàm cơ bản R MHT Đưa f(x) về tổng, hiệu, đạo hàm, tích phân các hàm cơ bản K/triển chuỗi Mac – Laurint
14. CHUỖI SỐ PHỨC Chuỗi số phức zn = (an + ibn) = an + ibn hội tụ Hai chuỗi số thực an và bn hội tụ VD: Chứng minh hội tụ và tính tổng chuỗi số phức sau: Chuỗi số phức zn hội tụ tuyệt đối Chuỗi số dương | zn| hội tụ. | z |: môđun số phức. z = a + bi VD: Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số phức
15. CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC n Chuỗi luỹ thừa phức (1) anz (an C) Luôn  bán kính hội tụ R (0 R ) với tính chất: | z | R (1) phân kỳ Xác định bán kính hội tụ: Tương tự chuỗi luỹ thừa thực Định nghĩa hàm cơ bản biến phức qua CLT: ez, cosz, sinz Công thức Euler: eix = cosx + isinx  x 