›
›

Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 2: Tích phân bội ba-Định nghĩa và cách tính

ppt 48 trang huongle 2090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 2: Tích phân bội ba-Định nghĩa và cách tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_ung_dung_bai_2_tich_phan_boi_ba_dinh_nghia_va.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 2: Tích phân bội ba-Định nghĩa và cách tính

  1. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Lập tổng tích phân Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω
  2. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Vậy: Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :
  3. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω 1. 2. 3. 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 5.
  4. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng
  5. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω
  6. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Ví dụ 1 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên
  7. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0
  8. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Ví dụ 2 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong D Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 -1 1
  9. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính y+z=1 Vì vậy: z=0 y=x2
  10. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : x+y=1
  11. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Định￿nghĩa￿và￿cách￿tính x+y=z y=0 x+y=1 x=0
  12. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), z chúng được gọi là tọa độ M(x,y,z) trụ của điểm M. Công z thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là r y x φ N(r,φ)
  13. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
  14. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Ví dụ 4: Tính tích phân Trong đó Ω là miền giới hạn bởi Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 (loại) Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn , tương ứng ta có
  15. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Vì x2+y2≤1 nên Vậy: Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : và ta có
  16. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Miền D
  17. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Ví dụ 5: Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z=0 và z= √2 -x-y √2 để có cận đối với dz -x-y Ta vẽ thêm đường thẳng =0 √2 -x-y =0 trong mp z=0 để so sánh Rõ ràng, trong hình tròn ta có √2 -x-y ≥0
  18. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Vậy : Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt
  19. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ x+y+z=√2 Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 Miền D x2+y2=1
  20. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được
  21. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực.
  22. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π
  23. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿cầu Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt: M φ là góc giữa Ox và tia ON θ θ là góc giữa Oz và tia OM ρ ρ là độ dài đoạn OM φ N Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M
  24. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿cầu Khi đó, ta dễ dàng tính được Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau
  25. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿cầu Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu: Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu. Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz
  26. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình
  27. §2.￿Tích￿phân￿bội￿ba￿–￿Đổi￿biến￿sang￿tọa￿độ￿cầu Vậy : x2+y2+z2=1 z 1 ≤ρ≤ 0 0≤θ ≤π/2 Mặt cắt dọc
  28. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trên miền Ω giới hạn bởi Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : thì định thức Jacobi và
  29. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1 Vậy :
  30. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z Mặt cắt 0≤ ≤θ≤π /2 πρ ≤1
  31. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1 Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên 0≤φ ≤2π Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z π Suy ra 0≤θ≤ /4, 0 ≤ρ≤√2
  32. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu z Mặt cắt 0≤θ≤π/20≤θ≤π/2 Miền D
  33. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Vậy Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0 Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường
  34. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu I9=0
  35. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 10 : Đổi tích phân sau về tọa độ Descartes Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 1 -1 1 Suy ra D: x2+y2≤1
  36. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 và cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân để đổi về tọa độ Oxyz : Vậy:
  37. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích phân sau sang tọa độ cầu và tính Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy a -a 0 -a
  38. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích phân theo dz là cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a -a z Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào a -a
  39. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0, x2+y2=z2 (z≥0) của hàm 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng tương 1 ứng là mặt trụ trong không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ 1
  40. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu
  41. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1
  42. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω được tính bởi Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi Hai mặt trụ song song với trục Oz là y = √x, y = 2√x tựa lên 2 đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = 0 để được miền đóng D là hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy. D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x
  43. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với 0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức 0 ≤ z ≤ 6 – x Vậy: 2√6 D √6 O 6
  44. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu bình thường Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn D: D π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn
  45. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học nên 0 ≤ θ ≤ π D1 Trong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1 ≤ ρ ≤ 2 Vậy:
  46. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học D D1
  47. §2.￿Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn bởi Ta tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước Ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình
  48. §2.￿Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 1 θ 2cos ρ≤ 0≤ 0 ≤ θ ≤π/4 1