Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 3: Chuỗi Fourier - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 3: Chuỗi Fourier - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 3: CHUỖI FOURIER • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006)
2. NỘI DUNG 1 – CHUỖI FOURIER – HỆ SỐ FOURIER 2 – KHAI TRIỂN FOURIER 3 – KHAI TRIỂN FOURIER THEO HÀM COS – SIN (THÁC TRIỂN CHẴN & LẺ) 4 – KHAI TRIỂN FOURIER TRÊN ĐOẠN BẤT KỲ
3. Ý TƯỞNG FOURIER Phân tích hàm (tuần hoàn) bất kỳ  dao động cơ bản
4. HỆ SỐ FOURIER – CHUỖI FOURIER {an}, {bn}: Hệ hàm lượng giác {sinnx, cosmx} “trực Tính chất: giao” theo nghĩa tích vô hướng: u  v (u,v)= 0 Hệ số Fourier của hàm f(x) trên [– , ] Chuỗi Fourier
5. VÍ DỤ: CHUỖI FOURIER CỦA HÀM XUNG VD: Hàm xung: Chuỗi Fourier:
6. MINH HOẠ CHUỖI FOURIER
7. CHUỖI FOURIER Hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 (hoặc xác định [– , ]) Chuỗi Fourier của f(x): Hệ số: f(–x) = f(x) Ghi nhớ: f(–x) = –f(x) Ghi nhớ:
8. VÍ DỤ 2 : Hàm chẵn bn = 0 & Hệ số an:
9. VÍ DỤ 3 : Hàm lẻ an = 0 & Hệ số bn:
10. HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER – KHAI TRIỂN FOURIER Dirichlet: f liên tục/ [– , ], trừ vài điểm gián đoạn loại 1 Chuỗi Fourier của f hội tụ trên [– , ] với tổng bằng: Ø f(x) nếu f liên tục tại x Ø [ f(x ) + f(x+) ]/2 nếu f gián đoạn (loại 1) tại x (– , ) Ø [ f( )+f( +) ]/2 tại 2 điểm biên x = Hệ thức Parseval (SGK, trang 110): f đơn điệu từng khúc trên [– , ] Hệ số Fourier của f trên [– , ] thoả:
11. KHAI TRIỂN FOURIER TRÊN [0, ] f(x) xác định [0, ] (không phải [– , ]!): Chuỗi Fourier? Câu hỏi: Hệ số vẫn Thác triển (“kéo dài”) f lên [ , ] C/thức đã biếtØ Thác triển chẵn Chuỗi Fourier chỉ chứa cos Ø Thác triển lẻ Chuỗi Fourier chỉ chứa sin VD: Khai triển hàm f(x) = x trên (0, ) theo: a/ cos b/ sin
12. CHUỖI FOURIER HÀM CHU KỲ BẤT KỲ Chuỗi Fourier hàm chu kỳ bất kỳ 2l Hàm xác định trên [–l, l]. Đổi biến về đoạn [– , ] Hệ số Fourier VD: Chuỗi Fourier hàm f(x) = x trên [–3,3], tuần hoàn T = 6 ØKhai triển Fourier hàm trên [0, l] : Thác triển + Đổi biến