Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Hệ phương trình vi phân cấp 1 - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Hệ phương trình vi phân cấp 1 - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)
2. NỘI DUNG 1 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 – PHƯƠNG PHÁP KHỬ 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG: PHƯƠNG PHÁP TRỊ RIÊNG (CHÉO HOÁ MA TRẬN)
3. KHÁI NIỆM (SGK, TRANG 165) Hệ m phtrình vi phân (cấp n) với m hàm ẩn: Minh hoạ m = 2 : dạng chuẩn hoá VD: Hệ cấp 1 VD: Hệ cấp 2 Vấn đề: Biến đổi hệ cấp 1 trên về 1 ptrình vi phân và giải?
4. PHƯƠNG PHÁP KHỬ (SGK, TRANG 166) Đưa hệ n phương trình vi phân cấp 1 về 1 phương trình vi phân cấp n: Đạo hàm lên, lần lượt khử (n – 1) ẩn khác VD: Giải Hệ 2 phương trình cấp 1 : Xem như tương đương 1 phương trình cấp 2 Nghiệm chứa đúng 2 hằng số C1, C2 Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính Cách viết dạng ma trận
5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SGK, TRANG 170) Hệ n hàm ẩn, n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính: Ma trận: : hệ pt ttính không thuần nhất
6. HỆ PTVP TTÍNH THUẦN NHẤT (SGK, TRANG 170) Hệ n hàm ẩn x1(t), x2(t) xn(t) & n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất (không có vế phải) Cấu trúc nghiệm hệ thuần nhất: Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất: Xtq.tn(t) = c1X1(t) + c2X2(t) + + cnXn(t), ck  với hệ nghiệm X1(t), X2(t) Xn(t) là hệ nghiệm cơ sở (tức n vectơ {X1(t), X2(t) Xn(t)} độc lập tuyến tính  t (a, b))
7. TTÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (SGK, TRANG 173) Hệ p/trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng VD: Giải T Vectơ v = [c1, c2] : vectơ riêng ma trận A ứng trị riêng ! Ma trận A (cấp 2): 2 giá trị riêng thực 1, 2 & 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính: v1, v2
8. NHẮC LẠI: TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG Trị riêng: det(A – I) = 0. Vectơ riêng v: (A – I)v = 0 VD: T VTR v1 = [ , ] ứng 1 = –1: Av1 = 1v1 (A – 1I)v1 = 0 T T Vectơ riêng v2 = [ , ] ứng với 2 = 4: v2 = [3, 2] 2 trị riêng thực, phân biệt 2 VTR ĐLTT Chéo hoá
9. KẾT QUẢ TỔNG QUÁT Định Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A – n giá trị riêng thực 1, 2 n (không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng v1, v2 vn độc lập tuyến tính Nghiệm tổng quát thuần nhất: VD: Giải hệ : 2 GTP thực, VTR ĐLTT Trị riêng, vectơ riêng:
10. TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CHÉO HOÁ MA TRẬN Ma trận A của hệ được chéo hoá bởi ma trận P: A = PDP-1 X’(t) = AX(t) = (PDP-1)X(t) P-1X’(t) = D.P-1X(t). Đổi biến ({v1, vn}: vectơ riêng) –1 Phải tính các vectơ riêng v1, vn; Không tính ma trận P
11. GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC (THAM KHẢO) Cặp giá trị riêng phức, liên hợp  = i tương ứng cặp vectơ riêng v = a ib (a, b: vectơ) 2 vectơ nghiệm cơ sở VD: Giải hệ
12. HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO) Ma trận A của X’ = AX + b(t) chéo hoá bởi ma trận P: A = PDP-1. Hệ ban đầu X’(t) = (PDP-1)X + b P-1X’(t) = D.P-1X(t) + P-1b. Đổi biến: Phải tính ma trận P –1 = [v1, vn] và P : để tính vectơ P–1b Tính tay: cồng kềnh! Đơn giản hơn nhiều: Phương pháp khử!
13. VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO) Giải hệ không thuần nhất Ma trận hệ: chéo hoá (2 VTR độc lập tuyến tính) với Trị riêng, vectơ riêng: : Chéo hoá ma trận Y = P–1X Hệ mới:
14. VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (TIẾP THEO) Giải hệ không thuần nhất Hệ mới: Quay về biến X: Y = P–1X