Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_toan_ung_dung_bai_4_phuong_trinh_vi_phan_cap_1_pha.ppt
Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân
- BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (PHẦN 1) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006)
- NỘI DUNG 1 – TỔNG QUAN 2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐẠO HÀM (SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139)
- TỔNG QUAN Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện Phương trình vi phân! R Kirchhoff: L Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20C và vật giảm nhiệt độ từ 100C xuống 60C sau 20 phút. Sau bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật sẽ là 30C?
- KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 n VD: Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: Dạng tổng quát cấp n:
- NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (a) Dạng hiện: y = f(x) Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 x khoảng I R (c) Dạng tham số Nghiệm: VD: Nghiệm: nghiệm tổng quát Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân VD: xdx + ydy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD:
- PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình Tổng quát: 3 dạng phương trình vi phân phân ly biến số Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế Nghiệm (nói chung dạng ẩn)
- GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ VD: VD: VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20C và vật giảm nhiệt độ từ 100C xuống 60C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30C?
- ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: Đổi biến: Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng x y, + = n Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!
- PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y VD: Xác định phương trình tuyến tính: Tuyến tính theo x = x(y)! Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0)
- NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT VD: Giải các PTVP thuần nhất: PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E0) có nghiệm tổng quát dạng: VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất N0 riêng yr = C(x)y0(x): biến thiên hằng số ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vào (*)
- TỔNG KẾT PTVP cấp 1 t/tính (E): 1/ PT thuần nhất: 2/ Biến thiên hằng số C = C(x) 3/ Nghiệm sau cùng: Tổng 2 nghiệm bước 1 & bước 2 Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó) Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp 1 tuyến tính:
- VÍ DỤ VD: Giải 1/ Phương trình thuần nhất: 2/ Biến thiên hằng số: 3/ Nghiệm sau cùng: VD: Giải các phương trình VD: Tính y(2) với hàm y thoả: