Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân

ppt 12 trang huongle 4600
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_ung_dung_bai_4_phuong_trinh_vi_phan_cap_1_pha.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 1) - Nguyễn Quốc Lân

  1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (PHẦN 1) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006)
  2. NỘI DUNG 1 – TỔNG QUAN 2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐẠO HÀM (SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139)
  3. TỔNG QUAN Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện Phương trình vi phân! R Kirchhoff: L Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20C và vật giảm nhiệt độ từ 100C xuống 60C sau 20 phút. Sau bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật sẽ là 30C?
  4. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 n VD: Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: Dạng tổng quát cấp n:
  5. NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (a) Dạng hiện: y = f(x) Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 x khoảng I  R (c) Dạng tham số Nghiệm: VD: Nghiệm: nghiệm tổng quát Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân VD: xdx + ydy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD:
  6. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình Tổng quát: 3 dạng phương trình vi phân phân ly biến số Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế Nghiệm (nói chung dạng ẩn)
  7. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ VD: VD: VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20C và vật giảm nhiệt độ từ 100C xuống 60C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30C?
  8. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: Đổi biến: Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng x y, +  = n Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!
  9. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y VD: Xác định phương trình tuyến tính: Tuyến tính theo x = x(y)! Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0)
  10. NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT VD: Giải các PTVP thuần nhất: PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E0) có nghiệm tổng quát dạng: VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất N0 riêng yr = C(x)y0(x): biến thiên hằng số ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vào (*)
  11. TỔNG KẾT PTVP cấp 1 t/tính (E): 1/ PT thuần nhất: 2/ Biến thiên hằng số C = C(x) 3/ Nghiệm sau cùng: Tổng 2 nghiệm bước 1 & bước 2 Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó) Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp 1 tuyến tính:
  12. VÍ DỤ VD: Giải 1/ Phương trình thuần nhất: 2/ Biến thiên hằng số: 3/ Nghiệm sau cùng: VD: Giải các phương trình VD: Tính y(2) với hàm y thoả: