Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 2) - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 4: Phương trình vi phân cấp 1 (Phần 2) - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)
2. NỘI DUNG 1 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2. TRƯỜNG HỢP GIẢM CẤP 2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HÀM
3. GIẢM CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Phương trình vi phân cấp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0 BT Côsi: PT chuẩn hoá + ĐK đầu Giảm cấp cơ bản: Phương trình F(x, y’, y’’) = 0 Nguyên tắc: Đặt u(x) = đạo hàm cấp thấp nhất của ẩn y VD: Giải phương trình vi phân cấp 2: Đáp số: Nghiệm Nghiệm tổng quát PT vi phân cấp 2 chứa 2 hằng số C1, C2
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Hệ số hàm, k0 thuần nhất (vế phải): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ví dụ: Tuyến PT thuần nhất tương ứng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 tính Ví dụ: Tương ứng (1): (linear): y,y’,y’’ PT thuần nhất tương ứng: y’’ + py’ + qy = 0 – bậc 1 Ví dụ: Tương ứng (3): Hệ số hằng, k0 thuần nhất (có vế phải): y’’ + py’ + qy = f(x) Ví dụ:
5. GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH C2 THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG PTVPC2 thuần > 0: k1 k2 R nhất hệ số hằng y’’ + py’ + qy = 0 = 0: k1 = k2 R PTrình đặc trưng k2 + pk + q = 0 Phải tìm đủ 2 < 0: N0 phức nghiệm phương trình đặc trưng
6. SƠ ĐỒ GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP n PTVP t/tính thuần nhất L[y] = 0 PT đặc trưng (đại số) ẩn k n hàm cơ sở y1 yn Tìm đủ n ng. k1 kn 2 3x 2x y’’ – 5y’ + 6y = 0 k – 5k + 6 = 0: N0 2, 3 ytq = C1e + C2e 2 2x 2x y’’ – 4y’ + 4y = 0 k – 4k + 4 = 0: 2 (kép) ytq = C1e + C2xe 2 y’’ – 2y’ + 5y = 0 k – 2k + 5 = 0 k1,2 = 1 2i: =1,  = 2 x Nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.tn = e (C1cos2x + C2sin2x) y’’’ –y = 0 k3 – 1 = 0 1 Nghiệm k = 1 N0 CS ex, xex ?
7. NGHIỆM (HÀM) CƠ SỞ TƯƠNG ỨNG N0 PT ĐẶC TRƯNG k1 R: Nghiệm đơn n n-1 PTĐT k +p1k + pn = 0 k R: bội cấp r Tìm n nghiệm thực – phức. Nghiệm bội cấp i: phức r  r nghiệm liên hợp, đơn đơn trùng nhau i: bội cấp r 2r n0 đơn
8. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT VD: Giải ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 bằng cách chỉ ra 1 nghiệm riêng yr kết hợp với nghiệm tổng quát thuần nhất x 2x Nghiệm riêng yr = 1 ytq = C1e + C2e + 1 PTVP tuyến tính không thuần nhất cấp n (hệ số tuỳ ý): PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng: Nghiệm tổng quát (E) = Tổng quát (E0)+ Nghiệm riêng (E)
9. TÌM NGHIỆM RIÊNG VỚI VẾ PHẢI ĐẶC BIỆT x Vế phải: e [Pn(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn, Qm – đa thức 1/ Vế phải chứa đa thức yr chứa đa thức (hệ số chưa xác định) bậc cao nhất. Hằng số Đa thức bậc 0 x x 2/ Vế phải chứa e yr chứa e 3/ Vế phải chứa lượng giác yr chứa 2 hàm: sin x, cos x (dù vế phải chỉ có 1 loại hàm!) 4/ + i (vế phải)  nghiệm bội cấp r của phương trình r đặc trưng Nhân thêm x vào yr cần tìm. Không có hàm mũ = 0; Không có lượng giác  = 0 Tóm lại: Ba cùng – Cùng dạng, cùng bậc, trùng nghiệm
10. BA TRƯỜNG HỢP HAY GẶP x y’’+py’+qy=e [Pn(x)cosx+Qm (x)sinx], NĐT: nghiệm đặc trưng; H: đa thức bậc VP: đa thức VP: mũ Vế phải: Lượng giác Ng.riêng y : Ng. riêng y : r r Nghiệm riêng yr có dạng: (*) khi 0  (*) khi  Bậc R = Bậc H. (*) khi NĐT cấp r. NĐT cấp r i  NĐT bội cấp r
11. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT (SGK, trang 150) Nghiệm tổng quát ytq phương trình vi phân tuyến tính có vế phải: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) biểu diễn qua: Ø Nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 Ø Nghiệm riêng yr.1 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) Ø Nghiệm riêng yr.2 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) Công thức chồng chất: ytq = ytq.0 + yr.1 + yr.2 Ý nghĩa: Tách phương trình có vế phải dạng tổng phức tạp thành tổng các phương trình có vế phải đơn giản
12. VẾ PHẢI TỔNG QUÁT BIẾN THIÊN HẰNG SỐ Vế phải: y’’ + py’ + qy = f(x) Tìm yr từ ytq.tn: Biến thiên hằng số C1 = C1(x), C2 = C2(x) VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx PTVP tuyến tính k0 thuần nhất y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x). Tìm nghiệm riêng phương trình không thuần nhất: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x) Ng. riêng yr = C1(x)y1 + C2(x)y2
13. PTVP TUYẾN TÍNH C2 HỆ SỐ HÀM (THAM KHẢO) PTVPC2 thuần nhất: Tìm nghiệm đặc biệt y1: Đoán y’’ + p(x)y’+q(x)y = 0 dạng (x , đa thức) hoặc được gợi ý PTVPC2TT tổng N0 cơ sở thứ nhì: y2(x) = C(x)y1(x) quát hệ số hàm y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Nghiệm tq Ng. riêng pt k0 tn: y = C1y1 + Biến thiên hằng số C1 C2y2 + yr = C1(x), C2 = C2(x)
14. PHƯƠNG TRÌNH EULER - CÔSI n (n) n-1 (n-1) PT hệ số hàm: anx y + an-1x y + a0y = f(x) Dễ tìm nghiệm cơ sở thuần nhất hoặc đưa về hệ số hằng Dấu hiệu: Hệ số xk của đạo hàm cấp k  y(k) (0 k n) Thuần nhất ax2y’’ + bxy’ + cy = 0 2 nghiệm cơ sở y = xm 2 nghiệm thực phân biệt m1 m2 Nghiệm kép m  Phức: m1,2 = i
15. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0 n (n) m anx y + + a0y = 0 m R: đơn NCS y =x m R: bội r xm,xmlnx PTĐT theo m: g(m) = 0 n nghiệm (thực, phức) n nghiệm (hàm) cơ sở n (n) n-1 (n-1) PTrình Euler: anx y + an-1x y + a0y = f(x). Đổi biến x = et y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = VD: Giải phương trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)
16. BÀI TOÁN BIÊN Bài toán biên: Tìm y = y(x) thoả Phân biệt với bài toán Côsi cấp 2: VD: VD: 1 nghiệm vô nghiệm vô số nghiệm Bài toán biên cấp 2, nghiệm cơ sở sin, cos Vô số nghiệm