Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 7: Phương trình đạo hàm riêng - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Bài 7: Phương trình đạo hàm riêng - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)
2. NỘI DUNG 1 – TỔNG QUAN 2 – PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC (TRUYỀN NHIỆT)
3. TỔNG QUAN (SGK, TRANG 248) P/trình đạo hàm riêng: hàm ẩn nhiều biến, đạo hàm riêng VD: Phương trình Laplace (cấp 2, tuyến tính) PTĐHR & ĐK biên, ĐK đầu Tồn tại & Duy nhất nghiệm Elliptic (tĩnh – static): Parabolic (truyền nhiệt): Hyperbolic (truyền sóng):
4. TỔNG QUAN Tìm nghiệm bài toán biên sau đây: Bước 1: Tách biến: Bước 2: Thay vào ptrình và phân ly biến số 2 vế phải cùng bằng hằng số Tìm C: ĐK biên
5. TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN Phương trình đạo hàm riêng dạng đơn giản, ẩn u = u(t, x) Bước 1: Tách biến: u(t, x) = T(t).X(x) Thay vào (*) Bước 2: Biến đổi (*) [ X(x) ] = [ T(t) ]: Cùng = k = const! [ X(x) ] = k: Pt vi phân thường theo x. Giải X Bước 3: (*) [ T(t) ] = k: Pt vi phân thường theo t. Giải T Bước 4: Nghiệm cơ sở ucs = T(t). X(x). Nếu PT thuần nhất Điều kiện đầu (biên) Giá trị C
6. BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT: PT PARABOLIC Thanh kim loại chiều dài l, nhiệt độ 2 đầu cố định (luôn bằng 0) và biết phân bố nhiệt độ của thanh khi t = 0. Hỏi nhiệt độ của thanh tại điểm bất kỳ ở thời điểm t nào đó? PTrình (thuần nhất): Thanh kim loại (1 chiều) Nhiệt độ tại điểm x, thời điểm t: u(x, t)
7. VÍ DỤ (SGK, trang 253) Giải phương trình parabolic (bài toán truyền nhiệt) sau Nghiệm dạng tách biến: u(x, t) = X(x).T(t) N0 sau cùng: Đ.k đầu (t = 0): KQ:
8. TỔNG KẾT PT PARABOLIC (BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT) PT PARABOLIC 1 chiều & ĐKB thuần nhất & ĐK đầu PTrình (thuần nhất): 1/ Tách biến u(x, t) = X(x).T(t) BT biên (PTVP thường) 2/ GT riêng n Nghiệm cơ sở: 3/ Nghiệm sau cùng: 4/ Tính hệ số bn: