Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 5: Phương pháp tính

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 5: Phương pháp tính

1. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG
2. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG Chương 1: Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạ Chương 2: Hàm số và Ma trận Chương 3: Đại số Boole Chương 4: Tính toán và Xác suất Chương 5: Phương pháp tính THI CUỐI MÔN
3. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: Chương 5:PHƯƠNG PHÁP TÍNH Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài học I. Số xấp xỉ và sai số II. Giải gần đúng các phương trình III. Đa thức nội suy IV. Phương pháp bình phương cực tiểu
4. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: MỤCMỤC TIÊUTIÊU BÀIBÀI HỌCHỌC Nắm rõ các khái niệm về số xấp xỉ và sai số Sử dụng thành thạo các phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của các phương trình Làm được các bài tập cơ bản tiến tới các bài toán nâng cao
5. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài Số xấp xỉ và sai số Định nghĩa số xấp xỉ Các định nghĩa sai số tuyệt đối Sai số tương đối
6. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: I- Số xấp xỉ và sai số 1. Số xấp xỉ Định nghĩa 1:a gọi là số xấp xỉ của số đúng A nếu a khác A không đáng kể. Ký hiệu: a ≈ A Nếu a A thì a gọi là xấp xỉ thừa của A Ví dụ: Vì 3.14<∏<3.15 nên 3.14 là xấp xỉ thiếu của ∏ và 3.15 là xấp xỉ thừa của ∏
7. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: I- Số xấp xỉ và sai số 2. Sai số tuyệt đối Định nghĩa 2: Hiệu Δ= |Δa|= |a - A| gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a Định nghĩa 3: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a Gọi Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a thì: Δ= |Δa|= |a - A| ≤ Δa Suy ra a - Δa ≤A ≤ a + Δa Quy ước: A=a± Δa
8. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: I- Số xấp xỉ và sai số Ví dụ: Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a=3.14 thay cho số ∏ 3. Sai số tương đối Định nghĩa 4: Sai số tương đối của số xấp xỉ a, ký hiệu là δ là δ = Δ/|A|=|A-a|/|A| Định nghĩa 5: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, ký hiệu là δa là số được xác định như sau: δa = Δa /|a|
9. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II- Giải gần đúng các phương trình Phương pháp dây cung Phương pháp tiếp tuyến(Niu-tơn) Phương pháp phối hợp
10. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II- Giải gần đúng các phương trình Trước khi dùng 3 phương pháp trên để giải pt f(x)=0 cần cô lập nghiệm, tức là tìm các đoạn [a,b] thỏa mãn: v f(a) và f(b) trái dấu (1) v f’(x) không đổi dấu trong (a,b) (2) v f’’(x) không đổi dấu trong (a,b) (3) Lưu ý: Nếu tìm được [a,b] sao cho f(a),f(b) traí dấu nhưng f’(x),f’’(x) có dấu thay đổi thì trong (a,b) ta sẽ thu hẹp khoảng đó lại thành khoảng (c,d) (a<c<d<b) sao cho • f(c),f(d) trái dấu • f’(x) không đổi dấu trong (c,d) • f’’(x) không đổi dấu trong (c,d)
11. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II- Giải gần đúng các phương trình 1.Phương pháp dây cung: Giả sử đã tìm được khoảng (a,b) thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0 nghĩa là f(a).f(b)<0 và Thì f’(x).f’’(x) giữ̃ nguyên một dấu Nội dung :Trong [a,b] thay đường cong y=f(x) bởi dây cung của nó nghĩa là xem nghiệm gần đúng của f(x)=0 trùng với hoành độ giao điểm của dây cung nối 2 điểm A(a,f(a)),B(b,f(b)) với trục Ox
12. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II- Giải gần đúng các phương trình
13. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II- Giải gần đúng các phương trình Phương trình dây cung AB: Trong đó có thế lấy là a(hoặc b) thì d sẽ là b(hoặc a) Vì dây cung cắt trục hoành tại điểm nên ta được:
14. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Để nhận được nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên đối với khoảng , ta thu được: Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được: Sự hội tụ của phương pháp: Dãy sẽ dần đến nghiệm đúng của phương trình f(x)=0 nếu chọn sao cho f’’(x) và khác dấu nhau, tức là
15. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Ví dụ: Tìm nghiệm đúng của phương trình f(x)=x3-6x+2=0 Tách nghiệm:bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x3- 6x+2 ta suy ra các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiệm của pt. f’(x)=3x2-6 f’’(x)=6x giữ nguyên dấu trong các khoảng trên Các điều kiện (1)-(3) thỏa mãn. Ta tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng [0,1]
16. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Trong (0,1) thì f’’(x)>0 nên chọn x0=1 vì f(1)<0 và d =0 Theo công thức (4) ta có: Để nhận nghiệm chính xác hơn,ta lặp lại quá trình trên với [0, 0.4] Vì f(0.4)=-0.336 và f(0)=2 nên x1=0.4 và d=0
17. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Trong các khoảng còn lại tìm tương tự
18. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Ø 2. Phương pháp tiếp tuyến: Giả sử đã tìm được khoảng [a,b] thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0 Nội dung :Trong [a,b] thay cung cong AB của đường cong y=f(x) bởi tiếp tuyến của nó tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng
19. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình
20. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Giả sử chon x0=a thì tại A(x0,f(x0)), phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại A là: Vì tiếp tuyến cắt Ox tại (x1,0) nên :
21. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Từ đó ta được: Để tìm nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên với (x1,f (x1)) ta được
22. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:
23. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Đối với đường cong dạng nào thì nên chọn x0 là a hay b? Hình 1: f’’ 0
24. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Hình 2: f’’>0,f’<0
25. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Hình 3: f’’>0,f’>0
26. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Hình 4: f’’<0,f’<0
27. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Nếu kẻ tiếp tuyến với đường cong tại mút bên trái (TH 2 và TH 1) hoặc tại mút bên phải (TH3 và TH4) thì giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành sẽ gần nghiệm hơn Nếu kẻ tiếp tuyến với đường cong tại các mút khác của cung thì giao điểm của tiếp tuyến và trục hoành có thể nằm ngoài khoảng nghiệm Tóm lại do f’’(x) không đổi dấu với mọi x thuộc (a,b) nên ta chọn x0 là a hay b sao cho thỏa mãn f’’(x).f(x0)>0
28. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Sự hội tụ của phương pháp: f’’(x).f(x0) >0 (5) Nếu chọn x0 thỏa thì ta thu được dãy x0,x1, hội tụ tới nghiệm đúng của phương trình Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= x3-6x+2=0 trong khoảng [0,1] Ta có: f’(x)=3x2-6, f’(0)=-6 f’’(x)=6x>0 với mọi x thuộc [0,1] Theo (5) ta chọn x0=0 vì f(0)=2>0 cùng dấu với f’’(x) Áp dụng công thức của phương pháp tiếp tuyến ta được:
29. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Áp dụng công thức một lần nữa, thay x0=x1 ta có:
30. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Vậy
31. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=5x3-20x+3=0 trong khoảng [0,1] Bài tập: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau: a. x3+3x+5=0 b. x4-3x+1=0 c. x3 + x - 5 = 0 d. x3 - x - 1 = 0
32. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình 3.Phương pháp phối hợp: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của pt f(x)=0 nghĩa là (a,b) thỏa mãn các điều kiện (1)-(3) Nội dung: Áp dụng phương pháp dây cung cho nghiệm gần ’ đúng x1 còn tiếp tuyến cho nghiệm gần đúng x1 ’ thì x1 và x1 sẽ nằm về hai phía của nghiệm.(hình 5). Vì vậy khoảng phân ly nghiệm sẽ thu hẹp nhanh hơn.
33. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Tiếp tục áp dụng đồng thời hai phương pháp cho ’ đoạn [x1 , x1] ’ Ta được [x2 , x2]. L.ai tiếp tục cho đến khi hiệu số giữa hai nghiệm gần đúng bên trái và bên phải có trị tuyệt đối bé hơn sai số cho phép thì dừng. Nghiệm gần đúng là trung bình cộng của chúng
34. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Hình 5:f’’ 0
35. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Ví du: Tìm nghiệm của pt f(x)= x3-6x+2=0 trong (0,1) với sai số đến 0.01 bằng phương pháp phối hợp Bằng phương pháp tiếp tuyến: (bên trái) Dây cung (bên phải):
36. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Chưa đạt sai số yêu cầu nên phải tiếp tục tính .(1/3,0.4) là khoảng chứa nghiệm mới Phương pháp tiếp tuyến: Do f’’(x)>0,f(1/3)=1/27>0 nên ’ chọn x1 =1/3.Khi đó Phương pháp dây cung: f(0.4)=-0.336<0 nên chọn x1=0.4, Khi đó d=1/3 và:
37. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Vì đạt sai số yêu cầu. Vậy nghiệm gần đúng của pt là:
38. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: II-Giải gần đúng các phương trình Ví du: Tìm một nghiệm của pt: x.ex-2=0 với đô chính xác đến 0.01 bằng phương phap` hỗn hợp
39. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy 1. Giới thiệu: Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y0, y1, , yn tại các điểm tương ứng x0, x1, , xn. Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các điểm còn lại. Ta phải xây dựng hàm ϕ (x) sao cho: ϕ (xi) = yi = f (xi) với i = 0,1, ,n ϕ (x) ≈ f (x) với mọi x thuộc [a, b] và x ≠ xi
40. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Bài toán xây dựng hàm ϕ (x) gọi là bài toán nội suy Hàm ϕ (x) gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b] Các điểm xi (i = 0,1, ,n) gọi là các mốc nội suy Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của f(x) nhưng nó quá phức tạp trong việc khảo sát, tính toán. Khi đó ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân tích và khảo sát hơn. Trong trường hợp đó ta chọn n+1 điểm bất kỳ làm mốc nội suy và tính giá trị tại các điểm đó, từ đó xây dựng được hàm nội suy (bằng công thức Lagrange, công thức Newton, ).
41. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Trường hợp tổng quát: hàm nội suy ϕ(x) không chỉ thoả mãn giá trị hàm tại mốc nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo hàm các cấp tại mốc đó. ϕ’(x0) = f’(x0); ϕ’(x1) = f’(x1); ϕ’’(x0) = f’’(x0); ϕ’’(x1) = f’’(x1); Nghĩa là ta tìm hàm nội suy của f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau:
42. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy 2.Tính giá trị của đa thức:sơ đồ Hoóc-ne Cho đa thức bậc n: Với hệ số thực ak (k = 0, 1, 2, , n), cần tính giá trị của đa thức tại x = c: Cách tính Pn(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau: ta viết lại dưới dạng :
43. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Vậy để tính Pn(c), chỉ cần tính lần lượt các số:
44. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Để tiện tính toán, người ta thường dùng sơ đồ sau, gọi là sơ đồ Hoócne:
45. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Ví dụ 1. Dùng sơ đồ Hoócne, tính giá trị của: 3 2 P3(x) = 3x + 2x – 5x +7 ; tại x = 3 Giải: ta có
46. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy 3.Đa thức nội suy Lagrange Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi( i =0,1, ,n ), khi đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n và được xác định theo công thức sau:
47. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy
48. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Vi du: Cho hàm f(x) thoả mãn: Tìm hàm nội suy của f(x), tính f(5) W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8 W’(1) = 1 (-1) (-3) = 3 W’(2) = 2 (1) (-2) = -4 W’(4) = 4 (3) (2) = 24
49. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy
50. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Ví dụ2:Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn W(x) = x (x - 2) (x - 4) W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = 8 W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4 W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = 8
51. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy
52. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy 4. Đa thức nội suy Newton: Sai phân: Cho hàm f(x) và h là hằng số, khi đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) Gọi là sai phân cấp 1 đối với bước h 2 ∆ f(x) = ∆[∆f(x)] gọi là sai phân cấp 2 ∆ k f(x ) = ∆[∆ k-1 f(x )] gọi là sai phân cấp k
53. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Cách lập bảng sai phân
54. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Công thức nội suy Newton: Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các mốc xi(i=0,2, ,n) cách đều một khoảng h. Khi đó hàm nội suy Newton là một đa thức bậc n được xác định như sau:
55. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Ví dụ: Xây dựng hàm nội suy Newton thoả mãn Lập bảng sai phân
56. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: III. Đa thức nội suy Hàm nội suy Newton
57. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu Phương pháp bình phương cực tiểu(BPCT) thường được dùng để lập công thức thực nghiệm. Giả sử cần tìm quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x,y. Ta tiến hành thí nghiệm,quan sát rồi đo đạcvà nhận được bảng các giá trị tương ứng sau: x x1 x2 xi xn y y1 y2 yi yn Từ bảng trên ta tìm hàm y=f(x). Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp hàm số có dạng: Y=ax+b
58. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu Trong đó a,b được xác định bằng phương pháp BPCT như sau: Vì các cặp (xi,yi) chỉ là các giá trị xấp xỉ của x,y nên húng không hoàn toàn nghiệm đúng phương trình y=ax+b, nghĩa là: Trong đó là các sai số
59. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu Phương pháp BPCT nhằm xác định a,b sao cho tổng bình phương của các sai số nói trên là bé nhất, tức là: là bé nhất. Như vậy, a,b phải thỏa mãn:
60. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu Hay: Giải hệ ta được:
61. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu Với Ví du: Cho bảng các giá trị sau: Tìm công thức thực nghiệm có dạng y=ax+b
62. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu
63. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: IV. Phương pháp bình phương cực tiểu
64. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website: Bài tập Bài 1: Dùng sơ đồ Hooc-ne, tính giá trị của: Tại x=-1.5 Bài 2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y=f(x) cho dưới dạng bảng sau: Bài 3:Dùng phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng của pt Biết khoảng phân ly nghiệm là (1.1;1.4)
65. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN