Bài giảng Toán ứng dung - ĐHBK - Bài 4: Phương tình vi phân cấp 1 - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dung - ĐHBK - Bài 4: Phương tình vi phân cấp 1 - Nguyễn Quốc Lân

1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK TOAÙN 4 – HK2 0607 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 1 (SINH VIEÂN) • TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (05/2007)
2. NOÄI DUNG 1 – KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN PHAÂN LY BIEÁN SOÁ 3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TOAØN PHAÀN 4 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 1 TUYEÁN TÍNH 5 – PT BERNULLI TÖÏ ÑOÏC: PT VI PHAÂN KHOÂNG GIAÛI ÑÖÔÏC VÔÙI ÑAÏO HAØM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139)
3. 1. KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN Phöông trình vi phaân (thöôøng): haøm aån y = y(x), bieán x & caùc ñaïo haøm (hoaëc vi phaân) y(k), k = 0, 1 n VD: ' y+ 3x =y 0' '+ 4 y+ ' y 3( ) x= x ( ex + y)dx − (x − y)dy = 0 Caáp 1 Caáp 2 Caáp 1 Phöông trình vi phaân caáp n: chöùa ñaïo haøm cao nhaát caáp n Daïng toång quaùt PT vi phaân caáp 1: F,(x y(x ,) y '(x)) = 0 (n) Daïng toång quaùtF caáp x n:, y( x ,() ' y )( , x ' '( y) K , x ,( ))= y 0 x
4. NGHIEÄM PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN (a) Daïng hieän: y = f(x) Nghieäm PTVP: Haøm soá = y(x), y (b) Daïng aån: H(x, y) = 0 x⎧ = x( ) t x ∈ khoaûng I ⊂ R (c) Daïng tham soá ⎨ y= y() t ⎩ 2x dy Nghieäm rieâng:y= e VD: −y = e2x dx Nghieäm:y= Cex+ 2 x e nghieäm toång quaùt Nghieäm PTVP caáp n THOÂNG THÖÔØNG chöùa n haèng soá: y = ϕ(),,,.xCC1 K n Ñoà thò øng cong tích phaânäm: ñöônghie VD: ydx + xdy = 0: 2 daïng nghieäm hieän, aån VD:y '= 1 − y2
5. 2. PHÖÔNG TRÌNH PHAÂN LY BIEÁN SOÁ Nhaän daïng: Bieán x vaø y phaân ly (separable) → Coù theå aùch rôøi moãi veát 1 bieán! VD:xdy− y2 = dx0 VD: Kieåm tra daïng phaân ly cuûa caùc ptrìnha /' y= x y b x/ y2 ()+ 1dx+ 2 ( y−1) x= 0 dyc/xdy + ( 4y + x)dx = 0 3 daïng (hay yfxygaëp)' ⎡ (= ), ' gyyfxgy= ( )= ,( ' ) ( ) f x⎢ () dx+ () g y =0 dy ng trình vi phöô⎢ phaân phaân ly fbieán x soá g⎣⎢ 1() y 1() dx+ 2 () f x () 2 g= 0 y dy ùp: Phaân ly ng phax & dxPhöô moät veá, y & dy moät veá. Tích phaân 2 veá ⇒ ån)hung daïng aNghieäm (noùi c
6. 2. GIAÛI PT VI PHAÂN PHAÂN LY BIEÁN SOÁ 2y VD:a/ ' y= sin3 x b/' y= y e c/' y= x aVD:/ 2 x()+ cos x dx+ 4 5 y= dy 0 b y/ xy( 2+ dx 2) + ( 2 x− 2) yx= 0 c dy y/ '− xy2 = 2 xy VD (SGK, 23/tr190): Vaän toác nguoäi ñi cuûa vaät tyû eäl thuaän vôùi hieäu nhieät ñoä uûa vaät vaøc nhieät ñoä khoâng khí. Bieát nhieät ñoä khoâng khí aøl 20°C vaø vaät giaûm nhieät ñoä töø 001°C xuoáng 60 °C sau 20 phuùt. Hoûi sau bao laâu keå töø thôøi ñieåm ñaàu, nhieät ñoä cuûa vaät seõ laø 30°C?
7. 2. ÑOÅI BIEÁN ÑÖA VEÀ PHAÂN LY Chöùa toång: y’ = f(ax + by + c) → Ñoåi bieán: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – (2x + 3y + 1)2 ⎛ y ⎞ y Tyû oá:s y'= f⎜ ⎟ → Ñoåi =bieán: u ⇒y ux = ⇒ y'' u = x u + ⎝ x ⎠ x Ñaëc bieät: P(x, y), Q(x, y) – toång xαyβ, α + β = n ⇒ Phöông trình ñaúng caáp Pdx + Qdy = 0: Daïng y’ = f(y/x)! y y2 + 2 xy VD:a/= ' y 1 + b/' y= x xy VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chuù yù P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!
8. 3. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TOAØN PHAÀN ∂P ∂Q PT vi phaân Pdx + Qdy = 0: toaøn phaàn ⇔ = ∀x, y ∂y ∂x Thöù töï: Ñaïo haøm cheùo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy ∂Q ∂P = ()* ∂x ∂y áp 1:Ph/trình vi phaân ca Thoaû K (*) Ñ⇒∃u(x,y): du = P(),x ydx+ ( Qx ,y)dy = 0 Pdx + Qdy ⇒ Nghieäm u = C Tìm u: 1/ T/phaân (1) theou ⇒x = Pdx( + C) (3) y u'⎧ x = P ( , x ) y( ) 1 ∫ ⎨ u')= Q , ( x y () 2 ⎩ y 2/ Ñ/haøm (3) theo y, phoái hôïp (2) ⇒ C(y)
9. 3. THÖØA SOÁ TÍCH PHAÂN VD: Giaûi (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 Pdx + Qdy = 0: khoâng thoaû ñ/kieän vi phaân toaøn phaàn ⇒ Tìm μ(x, y) ñeå (μPdx+μQdy) vi phaân tphaàn ⇔∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂y ⎛ ∂P ∂Q ⎞ soáVD: Tìm thöøa tích ⎜ − ⎟ ∂y ∂x f() x dx phaân & Giaûi ptrình vphaân ⎝ =⎠f() x ⇒μ() x∫ = e Q (x2 + y2 +x)dx + xydy = 0 ⎛ ∂P ∂Q ⎞ ⎜ − ⎟ Giaûi ptrình vi phaân VD: ∂y ∂x g− () y dy ⎝ =⎠g() y ⇒μ() y =∫ e y(1 + xy)dx – dy = 0 x P ang 194: Ch/minh (tìm) SGK, trμ = μ(x2 + y2): daïng cho tröôùc!
10. 4. PT VI PHAÂN CAÁP 1 TUYEÁN TÍNH y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyeán tính (baäc 1) theo y 2 VD: Xaùc ñònh phöông trình tuyeán tính: a/'− y y = x3 x b y/'+ ex 2 y = 3c x y/'3 + xyd= x e / ydx 2 + ( y2 −2) x= 0 dy Khoâng tuyeán tính: Chöùa y2, (y’)3 Tuyeán tính theo x = x(y)! Nhaän daïng: y’ = f(x, y): Veá phaûi chæ höùa y baäc 1 (ôûc öût soá) y’ = a(x)y + b(x) (E): khoâng thuaàn nhaát (coù veá phaûi) ⇒ PT thuaàn nhaát (khoâng veá phaûi) töông öùng: y’ = a(x)y (E0)
11. 4. NGHIEÄM TOÅNG QUAÙT THUAÀN NHAÁT y VD: Giaûi caùc PTVP thuaàn nhaát:a/' y= b/ ' y= ⋅ y tgx x PT caáp 1 tuyeán tính thuaàn nhaát: y’ + a(x)y = 0 (E0) coù nghieäm toång quaùt daïng:y= Cy0 ( ),: x haèng C soá VD: Töø nghieäm toång quaùt caùc PT thuaàn nhaát treân, tìm 1 nghieäm rieâng (nghieäm ñaëc bieät) cuûa PT khoâng thuaàn nhaát y ex a/= ' y + 3x3 b/ y= ' y ⋅ tg x+ x cos x N0 rieâng yr = C(x)y0(x): bieán thieân haèng soá ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vaøo (*) ⇒ C'()x y0 (x) = b(x)
12. 4. TOÅNG KEÁT PTVP caáp 1 t/tính (E): y'= a)(x y + b )(x hoaëc y'+ p(x)y = q(x) 1/ PT thuaàn nhaát: y'= a(xy) hoaëc ' y+ py(x) = 0⇒ y= Cy0 (x) 2/ Bieán thieân haèng soá C = C(x)⇒C y' = b x ⇒ C x = 0 ( ) ( ) ∫K 3/ Nghieäm sau cuøng:y = C(x)y0 (x) (chöùa haèng soá C: t/phaân) a() x dx b(x) Coângy thöùc: a= x' y + b() x ⇔ y∫ = Ce+ ⋅ ydx x () 0 ()∫ y0 () x y0 (x) Ng/haøm khoâng C Nghieäm toång quaùt PT tuyeán tính = Nghieäm toång quaùt PT thuaàn nhaát (deã)+ Nghieäm rieâng PT khoâng thuaàn nhaát (khoù)
13. 4. VÍ DUÏ 2 VD: Giaûix+()1 y ' − 2 y =( x)4 + 1⇒y' − y=() x +1 3 x +1 2 1/ Phöông trình thuaàn nhaát: y'− y=0 ⇒ y Cy = () x x +1 0 3 2/ Bieán thieân Chaèng soá: C= x( ) C⇒ '( = x) 0 y( +1) x ⇒( ) C x 1 3/ Nghieäm sau cuøng:y= C() + x1 2 +()1 x4 + 2 1 sinx VD: Giaûi caùc phöông trình a/'+ y y = x x b y/'( x+2 y) = y y VD: Tính y(2) vôùi haøm y thoaû:'+y 3 =x , y() 1 = 1 x
14. 5. PHÖÔNG TRÌNH BERNOULLI (PHI TUYEÁN) y’ = p(x)y + q(x)yα , α≠0, 1: veá phaûi chöùa thöøa soá yα y' p(x)y Chia cho y=α: q + x() y ⇔ y' − ⋅α p() = x1−α y () + q x yα yα Ñoåi bieán: u(x) = y1 – α . Ñaïo haøm ⇒ −α −α u' P/trình Bernoulli u' x( ) = ( 1−α ) y⋅ ⇒' y y ⋅ y' = 1−α α y p=' x() y + ( q) xThay y vaøo phöông trình ñaàu: u' p= x()tuyeán u + () q: x tính theo u 1−α Giaûi PT TTính u'= ( 1−α )p(xu)(+ 1−α ) q(⇒x) u(x) ⇒y(x)
15. 5. VÍ DUÏ 4 ng trình vi phaânaûi phöôGi y−' y = x y x 'y 4 1/ α = ½. Chia 2 veá cho ⇒y −y ⋅ x = y x 2/ Ñoåi bieán ñöa veà PT vi phaân caáp 1 ttính:u= y y' 4u =u' Pt ⇒2 caápu ' − 1x : = tuyeán tính theo u 2 y x 2u x 3/ Giaûi phöông trình: u−' = x 2 2u du 2dx át:àn nhaPtrình− thua u =' ⇔0 =u ⇒ Cx2 = x u x x Ngh. k0 thuaàn nhaát: C = C(x) ⇒C⋅'() x =2 x C ⇒() x 2 Nghieäm toång quaùt: u = C(x).x2 ⇒ y(x) = u2(x)
16. TOÅNG KEÁT PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 1 Phaân ly: f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0 ⇒ 1 veá: x, 1 veá: y ⎛ y ⎞ y ⇒y'= f⎜ =y⎟ fu = ax;' () + by + x ⇒ u ax = + by + c ⎝ x ⎠ x Caáp 1 tuyeán tính: y’ = a(x)y + b(x) PTVPC1: 1/ Thuaàn nhaát 2/ Bieán thieân C = C(x) y’ = f(x, y) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)yα ⇒ Chia yα ∂P ∂Q àn P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ÑK:øn phaaân toVi pha = ∂y ∂x u⎧ 'x = P Nghieäm u(x, y) = C vôùi u: ⎨ Thöøa soá tphaân μ = μ(x) u⎩ 'y = Q