Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiền

130 trang huongle 6810

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiền", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tom_tat_giai_tich_b_pham_the_hien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiền

Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền MỤC LỤC Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết. 3 Chương 1 : Giới hạn 3 I. Nội dung cần nhớ 3 1) Giới hạn dãy số 3 2) Giới hạn hàm số .7 II. Bài tập áp dụng 19 Chương 2 : Phép tính vi phân hàm một biến 22 I. Nội dung cần nhớ . .22 1) Đạo hàm cấp 1 . 22 2) Vi phân cấp 1 . 28 3) Đạo hàm cấp cao . .29 4) Vi phân cấp cao. . 31 5) Ứng dụng . 31 II. Bài tập áp dụng . .42 Chương 3 : Hàm nhiều biến . 52 I. Nội dung cần nhớ . .52 1) Định nghĩa . 52 2) Giới hạn . 53 3) Đạo hàm riêng cấp 1 . .53 4) Vi phân toàn phần (Vi phân cấp 1) . 58 5) Đạo hàm riêng cấp cao . . .60 6) Vi phân cấp cao. . 60 7) Ví dụ áp dụng . 60 8) Cực trị (Hai biến) . 60 9) Cực trị (Ba biến) . .66 II. Bài tập áp dụng . . 69 Chương 4 : Phép tính tích phân hàm một biến 77 I. Nội dung cần nhớ . .77 1) Nguyên hàm và tích phân bất định. 77 2) Phương pháp tính tích phân . 77 3) Tích phân xác định . .80 4) Ứng dụng . 84 5) Liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định. 89 6) Tích phân suy rộng loại 1 90 7) Tích phân suy rộng loại 2 . 92 II. Bài tập áp dụng . .93 Chương 5 : Phương trình vi phân 102 I. Nội dung cần nhớ . 102 1 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1) Phương trình tách biến . 102 2) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . 103 3) Phương trình vi phân toàn phần. 109 4) Phương trình vi pân tuyến tính cấp 2 .110 5) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 khuyết y . 114 6) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số 115 II. Bài tập áp dụng . .122 Phần thứ hai : Một số đề luyện tập 127 2 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Giới hạn I. Nội dung cần nhớ : 1) Giới hạn của dãy số : a) Định nghĩa : + f : N R hay xn { f (n)} { f (1), f (2), f (3),, f (n)}, xn được gọi là dãy số tổng quát. n xn f (n) 1  1 1 1 1  Ví dụ :  , , ,, ,. n  1 2 3 n  + Số a được gọi là giới hạn của dãy số {xn}nếu  0,n0 N,n n0 : xn a  và ký hiệu là lim xn a . n Chú ý : n0 N . Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : n * lim 1. n n 2 n 2 2 2 2(1  )  0 , để 1     2 n 2 n . n 2 n 2 n 2 n 2  2(1  ) n n Vậy :  0,n0 N,n n0 : 1  hay lim 1.  n 2 n n 2 2(1  ) Chú ý : ký hiệu là lấy phần nguyên.  n2 * lim 0. n 2n3 3 n2 n2 n2 n2 1 1  0 , để 0      n . 2n3 3 2n3 3 2n3 3 2n3 2n 2 1 n2 n2  0,n N,n n : 0  lim 0 Vậy : 0 0 2 hay 3 . 2 2n 3 n 2n 3 2n 3 * lim 1. n 2n 1 2n 3 2 2 2 2 1 2  0 , để 1     2n 1 n 1 . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1  2  1 2 2n 3 2n 3 Vậy :  0,n0 1 N,n n0 : 1  hay lim 1. 2  2n 1 n 2n 1 + Dãy con : Cho {x }là dãy số, dãy số {n }  N,k N là dãy tăng. Khi đó {x }được gọi là dãy n k nk con của dãy {xn}. Ví dụ : 3 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2k 2k 1 n Dãy x2k ( 1) 1 khi k ; x2k 1 ( 1) 1 khi k là dãy con của dãy số xn ( 1) . Chú ý : Để chứng tỏ một giới hạn của một dãy số nào đó không tồn tại thì ta đưa ra hai dãy con. Nếu giới hạn của hai dãy con đó tiến về hai giá trị khác nhau khi n thì giới hạn đó không tồn tại. Ngược lại, Nếu giới hạn của hai dãy con đó tiến về cùng một giá trị a khi n thì giới hạn đó cũng nhận một giá tri a . Ví dụ : Chứng tỏ giới hạn sau không tồn tại. + lim( 1)n . n 2k 2k 1 Thật vậy : x2k ( 1) 1 khi k ; x2k 1 ( 1) 1 khi k . n n 1 + lim ( 1) . n 3 2k 2k 1 2k 1 2k 1 1 Thật vậy : x2k ( 1) 1 khi k ; x2k 1 ( 1) 1 khi k . 3 3 n2 2n + lim 2 cos . n 1 n 3 2n 1 n2 Ta có : cos chỉ nhận hai giá trị và 1; vì 1 khi n . 3 2 1 n2 b) Tính chất : * Một dãy {xn}hội tụ thì dãy đó bị chặn, tức là xn K,n. * Nếu {xn },{ yn } là hai dãy hội tụ thì : lim xn xn n lim xn yn lim xn lim yn ;lim xn .yn lim xn.lim yn ;lim , lim yn 0 . n n n n n n n n yn lim yn n * Điều kiện cần và đủ để dãy số {xn} hội tụ (tức là lim xn a là hữu hạn) là  0,n0 N , n n n0 ,p : xn p xn  . * Nếu các dãy số {xn},{yn},{zn}thỏa điều kiện xn yn zn và lim xn lim zn a thì lim yn a . n n n Ví dụ : Tính các giới hạn sau : n + lim cos n! . 2 n n 1 n n n Ta có : 1 cos n! 1 cos n! . n2 1 n2 1 n2 1 n n Mà lim lim 0 . n n2 1 n n2 1 n Do đó : lim cos n! 0. 2 n n 1 3n + lim . n n! 4 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền n 3 n 3n 3.3.3.3 3 3.3.3 3 32 3 Ta có : 0 . . . n! 1.2.3.4 n 1.2.3 4 3 4 n 3 Mà lim 0. n 4 3n Do đó : lim 0 . n n! 1 + lim . n n n! n n Ta có : n! . 3 1 1 1 (Thật vậy : Với n 1, ta có : 1! 1 . 3 3 2 2 4 Với n 2 , ta có : 2! 1.2 2 . 3 9 k k Giả sử nó đúng với n k , tức là : k ! . 3 k 1 k 1 Ta cần chứng minh nó đúng với n k 1, tức là : (k 1)! .) 3 1 1 3 0 . n n !n n n n 3 3 Mà lim 0 . n n 1 Do đó : lim 0 . n n n! c) Một số giới hạn cơ bản : 0 , khi q 1 n 0, khi 0 n 1 lim C C (C là hằng số); lim n ; lim q ; lim 1 e . n n n , khi 0 , khi q 1 n n Chú ý : + Tổng của cấp số cộng : n n S a a a  a (a a ) (2a (n 1)d),d a a a a  , d là công sai. n 1 2 3 n 2 1 n 2 1 2 1 3 2 n(n 1) Trường hợp đặc biệt : 1 2 3  n . 2 + Tổng của cấp số nhân : n 1 q a2 a3 a1 Sn a1 a2 a3  an a1 ,q 1,q , q là công bội. lim Sn , q 1. n 1 q a1 a2 1 q 5 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 xn 1 Trường hợp đặc biệt : 1 x x2  xn , x 1. 1 x Ví dụ : n n 1 n n 1 n n(n 1 n) + lim n n 1 n lim lim n n n 1 n n n 1 n n n 1 1 lim lim lim . n 1 n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 1 n n n n 5n 7n 5 n n 1 5 7 7n 7 0 1 1 + lim n 1 n 1 lim n 1 n 1 lim n . n 5 7 n 5 7 n 5 5.0 7 7 n 5. 7 7 7 n 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1  1 1 n n 2 + lim 2. 2.4 2.8 2 2 2 lim 2 2 4 8 2 lim 2 22 22 4 . n n n n( n 1)(2 n 1) 3 1 1 2 2 2 2 n 1 2 1 2 3  n n(n 1)(2n 1) n n + lim lim6 lim lim n n3 n n3 n 6 n3 n 6 n3 1 1 1 2 n n (1 0)(2 0) 2 1 lim . n 6 6 6 3 n 2 n 2 2 2 2 + lim 1 lim 1 e . n n n n 1 2 3 4  2n n 1 + lim lim lim 1. n n 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 1 n 3 n n n n n 3 1 n 2 n 2 1 1 1 1 + lim lim 1 1 lim 1 lim 1 e . n n 3 n n 3 n n 3 n n 3 e n n( 1) 1 1 (Vì lim lim lim 1) n n 3 n 3 n 3 1 0 n 1 1 n n 2n 1 n n2 3 2 n n n n 3 2 2 2n 1 n 2n 2 n 2n 2 2n 1 2n 1 2 + lim 2 lim 1 2 1 lim 1 2 lim 1 2 e . n n 3 n n 3 n n 3 n n 3 6 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2 1 1 2 n 2 2 2n n n 2 0 (Vì lim lim lim n 2 ) n 2 n 3 n 3 n 3 2 1 1 0 n 1 2 2 n n 2) Giới hạn của hàm số : a) Định nghĩa : Hàm số : f : D R , trong đó D  R ( D {x R sao cho y f (x) có nghia}) là tập xác định của hàm x y f (x) số, f (D)  R được gọi là miền giá trị của hàm số. Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm (x,y) thỏa mãn phương trình y f (x) . Ví dụ : + Hàm số y = x2 + 1 có miền xác định là D = R , miền giá trị là f(D) = 1; + . + Hàm số y = 4 x2 có miền xác định là D =  2; 2 , miền giá trị là f(D) = 0;2 . x2 3 x x2 2 + y 2 , D R . + y , D R \{Z}. + y , D ( , 1)  (1, ) . x 3 sin x x2 1 ex ln x x2 4x + y , D \{0}. + y , D (0, ) . + y , D R \{ 3, 1}. x x x2 4x 3 * Hàm ngược : Cho f : D R là đơn ánh (tức là x1, x2 D , giả sử x1 x1 f()() x1 f x2 ). Khi x y f (x) đó tồn tại hàm ngược : f 1 : f (D) D . y x f 1 ( y) Ví dụ : + y sin x (x R, y [ 1, 1]) x arcsin y hay y arcsin x x [ 1, 1], y , . 2 2 + y cos x (x R, y [ 1, 1]) x arccos y hay y arccos x x [ 1, 1], y 0,  . + y tan x x , , y ( , ) x arctan y hay y arctan x x ( , ), y , . 2 2 2 2 + y cot x (x (0, ), y ( , )) x arccoty hay y arccotx x ( , ), y (0, ) . * Hàm hợp : f : D1 D2 , g : D2 D3,h g f : D1 D3 . x y f (x) y z g( y) x w h(x) g[ f (x)] x 1 x2 1 Ví dụ : Cho f (x) x2 2(D R), g(x) (D R \{ 1}),(g f )(x) g[ f (x)] (D R) . 1 x 1 2 x2 3 3 * Hàm ẩn : Nếu F(x, y(x)) 0,x, y D thì ta nói phương trình xác định một hàm ẩn một biến y y(x) . Ví dụ : 2 2 2 2 + Phương trình x y 4 xác định hai hàm ẩn y1 4 x , y2 4 x , x [ 2, 2]. + y 1 xe y . * Tính chất : 7 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + Tính đơn điệu : x1, x2 D , giả sử x1 x2 . - Nếu f()() x1 f x2 thì hàm số đồng biến (tăng). - Nếu f()() x1 f x2 thì hàm số nghịch biến (giảm). Ví dụ : - Hàm số y f (x) x2 đồng biến trên khoảng x (0, ) , nghịch biến trên khoảng x ( ,0) . - Hàm số y f (x) x3 đồng biến với mọi x R . - Hàm số y f (x) ln x đồng biến trên khoảng x (0, ) . + Chẵn, lẻ : - Hàm số y f (x) có tính chất chẵn, lẻ khi miền xác định của nó có tính đối xứng. - Nếu f( x) = f(x) thì hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O). Nếu f( x) = f(x) thì hàm số là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy). Ví dụ : y y y x3 y y x2 1 4 y ln x 1 1 0 1 x 0 1 e x 1 2 1 0 1 2 x 1 - Hàm số y f (x) x2 là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy). - Hàm số y f() x x3 là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O). - Hàm số y f (x) ln x là hàm số không có tính chẵn lẻ. Vì miền xác định của nó không đối xứng. + Tuần hoàn – chu kỳ : f (x) là hàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số L 0 sao cho : f (x L) f (x),x D . Chu kỳ của một hàm tuần hoàn f (x) là số T min k, f (x k) f (x) . k 0 Ví dụ : 2π + Hàm số y = sin(mx + n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = . m 2 1 cos4x + Hàm y = sinx + cosx = sinx + cosx = 1 + là hàm tuần hoàn với chu kỳ là 2 2π π T = = . 4 2 b) Giới hạn : 8 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + lim f (x)  {xn}  U ( ) \{ }: xn f (xn ) , khi n . x + lim f (x) a  0, 0,x D : 0 x x0  f (x) a  . x x0 Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : + lim (3x 4) 2 . x 2   0 , để cho 3x 4 ( 2)  3(x 2)  3 x 2  x 2 . 3   0, ,x 2 : 0 x ( 2)  3x 4 ( 2)  . 3 Theo định nghĩa thì lim (3x 4) 2 . x 2 + lim x 2 . x 2 x 2 x 2  0 , chọn  . 2 , khi đó nếu x 2   . 2 thì x 2  . x 2 2 Theo định nghĩa thì lim x 2 . x 2 + lim x2 9 . x 3  0 , để cho x2 9  thì : 2 2 (x 3)2 6( x 3) x 32 6 x 3 x 3 3 9  x 3 3  9 x 3 3  9 0 x 3  9 3 (Vì  9 3, 0 nên  9 3 0 ). 2  0 , chọn   9 3 thì x sao cho 0 x 3  x 9  . Theo định nghĩa thì lim x2 9 . x 3 x x e e 2 + lim ln x . + lim ln x . + lim 0 . + lim . + lim(2ex cos 2x) 1. x 0 x x x x x x 0 1 1 + Chứng tỏ rằng lim .cos không tồn tại. x 0 x x 1 2 Ta lấy hai dãy {x1},{x2}, với x1 ; x2 . n n n 2n n (2n 1) Khi đó ta có : 1 2 (2n 1) (2n 1) (2n 1) f (xn ) 2n .cos(2n ) 2n ; f (xn ) .cos .cos n 0. 2 2 2 2 1 2 1 2 Như vậy, {xn} 0,{xn } 0, khi n nhưng f (xn ) , f (xn ) 0, khi n . c) Tính chất : * Nếu lim f (x) a, lim g(x) b thì : x x0 x x0 + lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) a b . x x0 x x0 x x0 + lim f (x).g(x) lim f (x). lim g(x) a.b . x x0 x x0 x x0 9 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền lim f (x) f (x) x x a + lim 0 , lim g(x) b 0 . x x0 g(x) lim g(x) b x x0 x x0 * Nếu lim f (x) y0 , lim g(y) L thì lim g[ f (x)] lim g(y) L . x x0 y y0 x x0 y y0 Chú ý : + e lnb eln(b ) b . + Công thức cộng lượng giác : cos(x y) cos x.cos y sin x.sin y (1) cos(x y) cos x.cos y sin x.sin y (2) . sin(x y) sin x.cos y sin y.cos x (3) sin(x y) sin x.cos y sin y.cos x (4) + Công thức tích thành tổng : Lấy (1) (2);(3) (4) , sau đó chia hai vế cho 2. A B x A x y 2 + Công thức tổng thành tích : Đặt  , rồi lấy (1) (2);(3) (4) . B x y A B  y 2 + Công thức nhân đôi : Cho x y . Từ đó suy ra công thức hạ bậc. sin tan + Cách nhớ các giá trị của các góc đặc biệt : 2 1 cot Độ : 00 300 450 600 900 1 Radian : 0 6 4 3 2 Bước 1 : Ta viết 5 số : 0 1 2 3 4 1 1 0  2 Bước 2 : Ta lấy căn bặc 2 : 0 1 2 3 4 0 cos 0 1 2 3 4 Bước 3 : Ta chia cho 2 : 2 2 2 2 2 3 Đó là đối với sin, còn đối với cos thì ta viết ngược lại. 1 2 Như vậy có hai câu hỏi cần đặt ra là : - Đối với việc đổi từ độ ra radian với góc đặc biệt lớn hơn 900 thì sao? Trả lời : Ta chỉ cần thực hiện phép toán cộng hoặc nhân trên các góc đặc biệt nhỏ hơn hoặc bằng 900 . Ví dụ : Nếu ta cần đổi góc 1200 ra radian thì ta làm như sau : Vì 1200 900 300 nên ta lấy 4 2 . 2 6 6 3 - Đối với giá trị của các góc đặc biệt lớn hơn 900 thì sao? Trả lời: Đối với giá trị của các góc đặc biệt lớn hơn900 thì ta lấy giá trị của các góc nhỏ hơn900 đối xứng qua góc 900 và chú ý tới dấu (sin nhật giá trị dương khi 00 1800 , nhật giá trị âm khi 1800 3600 , cos nhật giá trị dương khi 00 900 hoặc 2700 3600 , nhật giá trị âm khi 900 2700 ,) khi hàm nhận giá trị tương ứng. 10 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : Nếu ta muốn tính sin1350 thì lấy giá trị của góc 450 đối xứng qua góc 900 . Nếu ta muốn tính cos1200 thì lấy giá trị của góc 600 đối xứng qua góc 900 và đổi dấu (vì cos đối). iii) Một số giới hạn cơ bản : 0 sinx ln(1+ x) tgx arcsinx arctgx ex 1 * Dạng : lim lim lim lim lim lim 1. 0 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x Ví dụ : 2 2 2 e3x cos 2x e3x 1 1 cos 2x 3(e3x 1) 2sin2 x + lim lim lim lim 3 2 5 . x 0 x2 x 0 x2 x 0 3x2 x 0 x2 x xx 1 eln( x ) 1 + lim lim 1. x 1 xln xx 1 ln( x x ) ln(2ex 1) ln(1 2(ex 1)) 2(ex 1) + lim lim .lim 1.2.1 2 . x 0 x x 0 2(ex 1) x 0 x 2 x x x 2sin 2sin .sin 1 cosx2 2 2 1 + lim lim lim . x 0 x2 x 0 x2 x 0 x x 2 4 . 2 2 2 x2 x2 2 x2 2 2x 1 eln(2 ) 1 eln(2 ) 1 ln(2x ) eln(2 ) 1 ln(2x ) + lim lim lim 2 . lim 2 .lim 1.ln 2 ln 2 . x 0 x2 x 0 x2 x 0 x x2 x 0 x x 0 x2 ln(2 ) ln(2 ) 2 x 1 1 cos(x 1) 1 cos(x 1) 2sin e 1 e 1 1 cos(x 1) 1 cos(x 1) 2 + lim lim . lim lim x 1 2 x 1 1 cos(x 1) 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2sin2 x 1 1 lim 2 . x 1 x 1 2 2 4 2 2 2 2 2 e3x 1 (ex 1) 3(e3x 1) ex 1 3x2 x2 3x2 x2 e e e 1 (e 1) 2 2 2 3 1 1 + lim lim lim x lim 3x x . x 0 sin2 3x sin2 x x 0 sin 2 3x sin2 x x 0 sin2 3x sin2 x x 0 9sin 2 3x sin2 x 9 1 4 x2 9x2 x2 2 2 2 2 ln(2ex cos 2x) ln(1 2ex 1 cos 2x) ln(1 2ex 1 cos 2x) 2ex 1 cos 2x + lim lim lim . 2 2 x2 2 x 0 x x 0 x x 0 2e 1 cos 2x x 2 2 2 ln[1 2ex 1 cos 2x] 2ex 1 cos 2x 2(ex 1) 1 cos 2x lim .lim 1. lim lim 1.(2 2) 4 . x2 2 2 2 x 0 2e 1 cos 2x x 0 x x 0 x x 0 x cos 4x 3 cos 4x cos 4x 1 1 3 cos 4x cos 4x 1 3 cos 4x 1 + lim lim lim lim x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 cos 4x 1 cos 4x 1 3 cos 4x 1 3 cos2 4x 3 cos 4x 1 lim lim x 0 x2 cos 4x 1 x 0 x2 3 cos2 4 x 3 cos 4 x 1 11 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2sin2 (2x) 2sin2 (2x) lim lim x 0 x2 cos 4 x 1 x 0 x2 3 cos2 4 x 3 cos 4 x 1 8sin2 (2x) 8sin2 (2x) 8 8 4 lim lim . x 0 (2x )2 cos 4 x 1 x 0 (2x )2 3 cos2 4 x 3 cos 4 x 1 2 3 3 1 x 1 * Dạng 1 : lim 1 x x lim 1 e . x 0 x x Ví dụ : 2 x2 x2 1 1 e x2 2 2 2 2 2 2 2 lim 1 x2ex x lim 1 x2ex x2ex e lim 1 lim 1 e2 + . + 2 2 . x 0 x 0 x x x x 2 2(ex 1) sin2 x 1 1 x2 2 2 2 2 + lim 2ex 1 sin2 x x lim 1 2(ex 1) sin2 x 2(ex 1) sin2 x e3 x 0 x 0 2 2 2(ex 1) sin2 x 2(ex 1) sin 2 x (Vì lim lim lim 2 1 3). x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 sin2 (2x) 1 1 x2 sin2 (2x) 4sin2 (2x) 2 x2 2 sin2 (2x) 4 + lim 1 sin (2x) lim 1 sin (2x) e (Vì lim 2 lim 2 4). x 0 x 0 x 0 x x 0 (2x) 2 2ex 1 cos2x 1 1 x2 2 2 2 2 + lim 2ex cos 2x x lim 1 2ex 1 cos 2x 2ex 1 cos2x e4 . x 0 x 0 2 2 2 2ex 1 cos 2x 2ex 2 1 cos 2x 2(ex 1) 1 cos 2x (Vì lim lim lim lim 2 2 4 ) x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 1 2 1 x 1 x2 + 1 2 x x + 1 x x x 1 1 + lim 2 lim 1 2 e (vì lim 2 1). x 0 x + 1 x 0 x + 1 x 0 1 x 1 0 1 1 1 1 tan(2x) sin3 (2x) 1 tan(2x) sin3 (2x) sin(2x) tan(2x) sin3 (2x) + lim lim 1 1 lim 1 x 0 1 sin(2x) x 0 1 sin(2x) x 0 1 sin(2x) sin(2x) tan(2x) 1 . 1 sin(2x) 1 sin(2x) sin3 (2x) 1 sin(2x) tan(2x) sin(2x) tan(2x) 2 1 lim 1 e . x 0 1 sin(2x) e sin(2x) 1 sin(2x) sin(2x). 1 sin(2x) tan(2x) cos(2x) cos(2x) (Vì lim lim lim x 0 (1 sin(2x))sin3 (2x) x 0 (1 sin(2x))sin3 (2x) x 0 (1 sin(2x))sin3 (2x) 12 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 1 cos(2x) cos(2x) 1 lim lim x 0 (1 sin(2x))sin2 (2x)) x 0 (1 sin(2x))(1 cos2 (2x)).cos(2x) cos(2x ) 1 1 1 lim lim ) x 0 (1 sin(2x ))(1 cos(2 x )(1 cos(2 x )).cos(2 x )x 0 (1 sin(2 x))(1 cos(2 x )).cos(2 x ) 2 π π π π * lim arctgx = ; lim arctgx = ; lim arcsinx = ; limarcsinx = . x 2 x + 2 x 1 2 x 1 2 d) Định lý (kẹp) : Nếu f (x) g(x) h(x) và lim f (x) lim h(x) a thì lim g(x) a . x x0 x x0 x x0 Ví dụ : 2 1 + Tính lim (x + 1) sin . x 1 x + 1 1 1 Vì 1 sin 1 nên ( 1).(x 1)2 (x 1)2. sin 1.(x 1)2 . x + 1 x + 1 Mà lim (x + 1)2 lim (x + 1)2 = 0 . x 1 x 1 2 1 Do đó theo định lý kẹp, ta có lim (x + 1) sin 0 . x 1 x + 1 1 1 + Chứng tỏ rằng : lim 2 .cos 0 . x x x 1 1 1 1 1 Ta có : 1 cos 1 .cos . x x2 x2 x x2 1 1 1 1 Mà lim 2 lim 2 0 . Do đó lim 2 .cos 0 . x x x x x x x e) Vô cùng bé (VCB) : i) Định nghĩa : Nếu khi x mà f (x) 0 thì f (x) được gọi là VCB. Ví dụ : Khi x 0 thì các hàm sin x,tgx,ln(1 x),ex 1,1 cos x,arcsin x,arctgx, được gọi là các VCB. ii) So sánh : f (x) + Cho f (x) và g(x) là 2 VCB. Khi đó : Nếu lim 1 thì ta nói f (x) và g(x) là hai VCB x g(x) tương đương. Ký hiệu : f (x)  g(x) . + Khi f (x) và g(x) là tổng của các VCB thì khi so sánh ta lấy bậc thấp nhất của tử số ( f (x) ) so sánh với bậc thấp nhất của mẫu số ( g(x) ) so sánh với nhau. Ví dụ : ln(1 x7 3x5 6x2 2x) VCB x7 3x5 6x2 2x VCB 2x 2 + lim lim lim . x 0 ln(1 x8 2x6 3x) x 0 x8 2x6 3x x 0 3x 3 3e2x 2 cos 2x 3(e2x 1) 1 cos 2x VCB 3.2x 2x2 VCB 6x + lim lim lim lim 6 . x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x iii) Các VCB tương đương : 13 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền * Khi x 0 thì các hàm sau đây là các VCB tương đương : x2 x sin x,tgx,arcsin x,arctgx  x;ln(1 x)  x;(ex 1)  x;(1 cos x)  ; ( n 1 x 1)  . 2 n * Ví dụ : Tính các giới hạn sau : 2 2 sin(e1 x 1) VCB e1 x 1 VCB 1 x2 (1 x)(1 x) + lim lim lim lim lim[ (1 x)] 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 ln(1 + sin2 x)VCB sin2 xVCB x2 e1 cosx 1 VCB 1 cosx VCB 1 + lim lim lim 1. + lim lim lim 2 . x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 2 2 (x 1) 0 x 1 cos(x 1) VCB x 1 x x 1 0 eln(x ) 1 VCB ln(x x ) + lim lim 2 lim 0 . + lim lim lim 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x.lnx x 1 x.lnx x 1 ln(x x ) 2 x (2x) x x ln(2x ) ln(2 ) 2 2 cos 2x 2 1 1 cos 2x e 1 1 cos 2x VCB x ln 2 2x + lim lim lim lim 2 lim x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x x3 VCB x ln 2 lim ln 2 . x 0 x x2 0 ln(cosx) 0 ln(1 + (cosx 1)) VCB cosx 1 (1 cosx) VCB 1 + lim lim lim lim lim 2 . 2 2 2 2 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x 2 xln3 x 1 1 1 1 x VCB x x x x x ln(3 ) x 1 ln3 + lim 3 x lim 1 3 1 x lim 1 e 1 x lim 1 x ln 3 x xln3 x e 3 e . x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 1 1 VCB 2 x2 x2 2 x2 2 2 x + lim 1 + e cosx ln(1 + x ) lim 1 + (e 1) + (1 cosx) ln(1 + x ) lim 1 + x + x 0 x 0 x 0 2 3 2 2 3 3 3x2 1 2 2 lim 1 + x e . x 0 2 x2 (2x)2 0 + 1 + x.sinx cos2x 0 ( 1 + x.sinx 1) (1 cos2x) VCB 2 2 VCB + lim 2 lim 2 lim x 0 x2 sin2 (ex 1) x 0 x2 sin2 (ex 1) x 0 x2 sin2 (x2 ) 5x2 5x2 VCB VCB 5 lim 2 lim 2 . x 0 x2 (x2 )2 x 0 x2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 VCB arcsin(x ) VCB x x2 x x2 2 (2x) + lim 2e cos2x arcsin(e 1) lim 1 2(e 1) (1 cos2x) arcsin(e 1) lim 1 2x x 0 x 0 x 0 2 4 VCB 1 1 1 1 2 2 2 2 4 lim 1 4x x lim 1 4x 4x e . x 0 x 0 14 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 4 2ex cos 2x x ln(1 x ) 1 4 2ex cos 2x x ln(1 x ) + lim lim 1 1 x 0 3x2 1 x 0 3x2 1 ln 2 ln 2 2 2 2 2 x2 ln(1 x2 ) 4 2ex cos 2x 1 3x2 x ln(1 x ) 4 1 2(ex 1) 1 cos 2 x 1 3 x2 lim 1 lim 1 x 0 3x2 1 x 0 3x2 1 ln 2 2 x2 x2 2 (2x ) 2x2 ln 2 2x . 2 2 2 2 2 3x 1 3x 1 2x VCB 3x 2 2x2 2x ln 2 ln(2 1 ) 1 1 lim 1 4 lim 1 e e 2 . 2 2 x 0 3x 1 x 0 3 x 1 2 2x2 ln 2 ln 2 (Vì lim 2 . 2 lim 2 ln 2 ) x 0 3x 1 2x x 0 3x 1 Chú ý : không phải lúc nào ta cũng áp dụng vô cùng bé được. Trong trường hợp ta gặp bài toán mà giới hạn ở dạng hiệu của hai hàm vô cùng bé tương đương “gần” nhau thì không áp dụng vô cùng bé được vì nó sẽ bị triệt tiêu, ta phải sử dụng phương pháp khác (phương pháp qui tắc L’Hospital sẽ được đề cập đến ở chương 2). Ví dụ : 2 ex 1 x 2 e4x cosx 4x x arctgx x2 sin2x + lim . + lim . + lim . + lim . x 0 x.sin2 2x x 0 x2 x 0 x2 x 0 x.tgx f) Vô cùng lớn (VCL) : i) Định nghĩa : Nếu khi x mà f (x) thì f (x) được gọi là VCL. ii) So sánh : f() x + Cho f (x) và g(x) là 2 VCL. Khi đó : Nếu lim 1 thì ta nói f (x) và g(x) là hai VCL x g(x) tương đương. Ký hiệu : f (x)  g(x) . + Khi f (x) và g(x) là tổng của các VCL thì khi so sánh ta lấy bậc cao nhất của tử số ( f (x) ) so sánh với bậc cao nhất của mẫu số ( g(x) ) so sánh với nhau. Ví dụ : x2012 30x1973 4x1993 x2012 1 + lim lim lim 0 . x x2016 2 x1956 10 x1975 x x2016 x x4 x2 9 x2 + lim lim 1. x x2 3 x x2 1 1 Chú ý : Nếu f (x) là VCB thì là VCL. Ngược lại, Nếu f (x) là VCL thì là VCB. f (x) f (x) g) Sự liên tục của hàm số : i) Khái niệm : 15 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại x a nếu lim f (x) lim f (x) f (a) . x a x a + Hàm số f (x) được gọi là liên tục bên trái của a nếu lim f (x) f (a) . x a + Hàm số f (x) được gọi là liên tục bên phải của a nếu lim f (x) f (a) . x a + Nếu hàm số y f (x) liên tục tại x a và z g(y) liên tục tại y f (a) thì z g[ f (x)] cũng liên tục tại x a . + Hàm sơ cấp là những hàm được xây dựng từ những hàm cơ bản (hàm đa thức, mũ, loga, lũy thừa, ) bởi các phép toán +, , *, :, . Đối với hàm sơ cấp thì nó liên tục trên miền xác định của nó. ii) Ví dụ : 2 * Hàm số y f (x) 2ex cos 2x sin2 x là hàm sơ cấp. 2 sin2 x ln(2e2x cos 2x) * Hàm số y f (x) là hàm sơ cấp. x2 1 2 ln(3ex 1 cos 2 x ) , khi x 0 * Hàm số y f() x x2 x4 không là hàm sơ cấp. x 5cos 2x , khi x 0 Trong phần này ta sẽ xem xét sự liên tục của các hàm số không sơ cấp. * Xét sự liên tục của các hàm số sau : sin2 (2x) , khi x 0 + f(x) = x . a , khi x = 0 - Với x 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. sin2 (2x)VCB (2x)2 Ta có : lim lim lim (4x) = 0. x 0 x x 0 x x 0 f(0) = a - Vậy : Nếu a = 0 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0, suy ra hàm số f(x) liên tục trên R. Nếu a 0 thì hàm không liên tục tại x = 0. 2 e1 x 1 , khi x > 1 + f(x) = x 1 . a + sin(x 1), khi x 1 - Với x > 1, x < 1 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 1. Ta có : lim (a + sin(x 1)) = a = f(1) . x 1 2 e1 x 1 VCB 1 x2 (1 x)(x + 1) lim lim lim lim ( (x 1)) 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 - Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x = 1, suy ra hàm số liên tục trên R. - Nếu a 2 thì hàm số không liên tục tại x = 1. 16 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ln(cosx) , khi x 0 x2 2 cos2x ex + f(x) = 2 , khi x 0, x < 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. Ta có : 2 (2x) 2 x2 x2 x2 x cos2x e cos2x 1 e 1 (1 cos2x) (e 1) VCB 2 lim2 lim2 lim2 lim 2 2 x 0 x + 5x.tgxx 0 x + 5x.tgxx 0 x + 5x.tgxx 0 x + 5x 3x2 1 lim 2 . x 0 6x 2 x2 ln(cosx) ln(1 + cosx 1) VCB cosx 1 VCB 1 lim lim lim lim 2 . 2 2 2 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x 2 f(0) = a. 1 - Nếu a = thì hàm số liên tục tại x = 0, suy ra hàm số liên tục trên R. 2 1 - Nếu a thì hàm số không liên tục tại x = 0. 2 * Xác định a để hàm số sau liên tục trên R. ln(5 a2 ) 2 3ex 2cos 2x 2x2 5ln(1 2x2 ) , khi x 0 + f (x) x2 1 . 3 , khi x 0 - Với x 0 thì hàm số f (x) là sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f (x) liên tục trên R thì lim f (x) f (0) 3. x 0 Ta có : ln(5 a2 ) ln(5 a2 ) 2 2 3ex 2cos 2x 2x2 5ln(1 2x2 ) 3(ex 1) 2(1 cos 2x) x2 2x2 5ln(1 2x2 ) lim f (x) lim lim 1 x 0 x 0 2 x 0 2 x 1 x 1 ln(5 a2 ) ln(5 a2 ) 2 2 2 2x 10x 2 (2x) x 1 2( x2 1) 1 2 2 2 3x 2 x 2 2 1 ln (5 a )2 1 VCB 6x ln(5 a2 ) 6x 2 2 lim 1 2 lim 1 e 2 e 5 a 2 5 a 2 2 x 0 x 1 x 0 x 1 Vậy, nếu 5 a2 3 5 a2 9 a 2 thì hàm số f (x) liên tục trên R . 17 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 2 2x x2 ln(1 + x2 ) , khi x 0 + f(x) = . a , khi x = 0 - Với x 0 thì hàm số f (x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f (x) liên tục trên R thì lim f (x) f (0) a . x 0 1 1 1 2 1 2 x2 2 VCB Ta có : lim 2x + x2 ln(1 + x2 ) lim 1 + 2x 1 + x 2 ln(1 + x2 ) lim 1 + eln(2 ) 1 + x 2 ln(1 + x ) x 0 x 0 x 0 (ln2 + 1) VCB 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (ln2 + 1) lim 1 + x .ln2 + x x lim 1 + x (ln2 +1) x lim 1 + x (ln2 +1) x (ln 2 1) e 2e . x 0 x 0 x 0 - Vậy với a = 2e thì hàm số liên tục trên R. 2 ex cosx , khi x 0 + f(x) = x2 . a , khi x = 0 - Với x 0 thì hàm số f (x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f (x) liên tục trên R thì lim f (x) f (0) a . x 0 2 2 2 x 3x x2 x2 x e cosx e 1 1 cosx VCB 3 Ta có : lim lim lim 2 lim 2 . x 0 x2 x 0 x 2 x 0 x2 x 0 x2 2 3 - Vậy với a = thì hàm số liên tục trên R. 2 1 + f (x) lim . n 1 xn 1 , khi x 1 1 1 Ta có : f (x) lim n , khi x 1. n 1 x 2 0 , khi x 1 1 1 1 2, khi n 2 k Với x 1 thì giới hạn lim n không tồn tại vì lim n ,k 1,2,3 n 1 x n 1 x , khi n 2k 1 1 1 Hàm số f (x) lim n không liên tục. Vì lim f (x) 1 f (1) 0 lim f (x) . n 1 x x 1 2 x 1 x x2enx + f( x ) lim . n 1 enx x, khi x 0 x x2enx Ta có : f (x) lim 0, khi x 0 . n 1 enx 2 x , khi x 0 2 nx x x e 2 Hàm số f (x) lim nx liên tục. Vì lim x lim x f (0) 0 . n 1 e x 0 x 0 18 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền II. Bài tập áp dụng : 1) Chứng minh rằng : a) f : (0, ) R, x y f (x) ln(x 1) là đơn ánh. b) f : R [ 4, ), x y f (x) x2 4x là toàn ánh. 4x 3 c) f : R \{ 2} R \{2}, x y f (x) là song ánh. 2x 4 2) Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau : 1 a) y x2 4x 8 . b) y . c) y 4 x2 . d) y 3x 2 2 . x2 4 Đs : a) D R,G [4, ) , b) D R,G (0,1] , c) D [ 2, 2],G [0,2] , d) D R,G (2, ) . 3) Tìm hàm ngược (có chỉ ra miền xác định và miền giá trị) của các hàm số sau : x 1 2x 5 2x a) y 4 x2 ,0 x 2 . b) y . c) y . d) y . e) y e2x 3. x 1 x 2 x 1 x 1 5 2x x ln(x 3) Đs : a) y 4 x2 . b) y . c) y . d) y . e) y . 1 x x 2 2 x 2 2x 2x 4) Cho f (x) . Tìm f  f (x). Đs : f  f (x) . x2 2 6x2 4 1 x2 1 5) Tìm f (x) , với f x 4 . Đs : f (x) 2 . x x 1 x 2 6) Tính các giới hạn sau : 1 3 5  (2n 1) lim n n 1 n lim 3 n3 3n2 n2 2n lim a) . b) . c) 2 . n n n 2n 3n 4 e 1 e 2 e 3  e n 12 32 52  (2n 1)2 2 4 6  2n d) lim . e) lim . f) lim . n 2 1 2 2 2 3  2 n n n3 n n2 2 1 3 5 2n 1 13 33 53  (2n 1)3 13 23 33  n3 g) lim  n . h) lim 4 . i) lim 4 . n 2 4 8 2 n n 16 n 4n 3n 4 5 13 35 2n 3n 3 7 11 4n 1 j) lim  n . k) lim 2 2 2 2 2 2  2 2 . n 6 36 216 6 n 1 .5 5 .9 9 .13 (4n 3) (4n 1) ln 2 1 x2 x 2 1 tan 2x sin3 2x e cos(x 1) ln(2e cosx) l) lim . m) lim . n) lim 2 . x 0 1 sin 2x x 1 x 1 x 0 x x.arcsinx ln 2 2 2 2 2 3ex cos 2x x ln(1 3x ) 4 3ex 2cos x cos 2x 1 o) lim . p) lim . q) lim (x 2)sin . x 0 2 x 0 2 4 x 2 x 2 x ln(1 x ) x 2 1 2 2 2 ln(3 2cos 2x) ln(2 x ) r) lim ex sin2 x ln(1 + x ) . t) lim . u) lim . x 0 x 0 x2 x4 x 1 x2 1 ln 2 1 1 2 2x 3 x 2 2 2 v) lim 3e 2cos 2x 2x 4x . w) lim 3 2cos x sin2 (ex 1) . x) lim e sin 2x x ln(1 4x ) . x 0 x 0 x 0 Đs : a) 1 2 ; b) 3 2 ; c) 1 2 ; d) 1 (e 1) ; e) 4 3 ; f) 1; g) HD : lim xn xn 2 3 2 ; h) 2 ; i) 1 16 ; n 19 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền j) 3 2 ; k) 1 8; l) 2 ; m) 2 ; n) 5 4 ; o) 2 ; p) 3; q) 0; r) e2 ; t) 4 ; u) 1; v) 8 ; w) e ; x) e ; 7) Xét sự liên tục của các hàm số sau : 2 ex cos(ax) sin2 (x + 1) , khi x 0 , khi x 1 a) f(x) = x2 . b) f(x) = x + 1 . 2 , khi x = 0 a , khi x = 1 1 x + 3 , khi x 2 x x c) f(x) = e x , khi x 0 . d) f(x) = 1 cos[a(x + 2)] . , khi x > 2 a , khi x = 0 2 x + 2 2 2 ex 1 1 ln(ex sin2x) , khi x 1 , khi x 0 e) f(x) = x + 1 . f) f(x) = x2 + x.tgx . a , khi x = 1 a , khi x = 0 2 sin [3(x 1)] x2 5x + 6 2 , khi x 1 , khi x 3 g) f(x) = x 1 . h) f(x) = x 3 . a , khi x = 1 a , khi x = 3 2 sin2 (eax 1) ln(2 ex cos 2 x ) ln[5 4cos(ax)] , khi x 0 2 2 , khi x 0 i) f() x x2 x6 . j) f() x x ln(1 3x ) . 6a 4 , khi x 0 3a 4 , khi x 0 ln(1 a2 ) 2 2 2 ax 4 2ex cos 2x sin2 2x x ln(1 x ) ln[3e 2cos(2 x )] , khi x 0 3 , khi x 0 k) f (x) 3x2 1 . l) f (x) x 2x . 2 a 2 , khi x 0 3a 1 , khi x 0 ln 2 2 2 2 2ex cos 2 x x ln(1 4x ) sin 2x tan 2x , khi x 0 3 , khi x 0 m) f (x) 5x2 1 . n) f (x) x . a , khi x 0 3a 1 , khi x 0 2 2 x 1 ln(2 a ) 2 2 2 2 3ex 2cos 2x 3x ln(1 4x ) , khi x 0 ex e o) f (x) . p) f (x) , khi x 1. x 1 3a , khi x 0 a , khi x 1 ĐS : a) a = 2 ; b) a = 0 ; c) a = e2 ; d) a = 2 ; e) a = 2 ; f)a = 1; g) a = 9 ; h) a = 1;i) a 2 a 4 ; j) a 2 a 4 ; k) a 1 a 2; l) a 1 a 2; m) a 1; n) a 4 ; o) a 1 a 2; p) a 0 ; 8) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R. sin2 (3x) 1 , khi x 0 2x + x x , khi x 0 a) f(x) = x2 . b) f(x) = . a + 2 , khi x = 0 a , khi x = 0 20 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền (x 1)2 sin2 (ex 1 1) ln 2e cos(x 1) , khi x > 1 , khi x 1 c) f(x) = lnx . d) f(x) = x 1 2 . a + x 2 , khi x 1 a , khi x = 1 1 2 (ex 1 1).ln x x + 2 x , khi x > 1 , khi x 0 2 e) f(x) = 3x + 2 . f) f(x) = x 1 . a , khi x 0 a + 3x 2 , khi x 1 1 x2 2 x2 + 1 x2 ln(1 x2 ) (e 1).ln(1 x ) , khi x 0 , khi x 0 g) f(x) = 2 . h) f(x) = 4 2 2 . 3x + 1 x + arcsin (x ) a , khi x 0 a , khi x 0 x2 2 2 1 sin(e 1).ln(cos x) x sin , khi x 0 , khi x 0 i) f(x) = x . j) f(x) = x4 . a , khi x 0 a , khi x 0 2 2ex cosx cos2 x 1 x.sinx cos 2x , khi x 0 , khi x 0 k) f(x) = x2 . l) f(x) = x2 . a , khi x 0 a , khi x 0 sin2[a(x + 1)] 1 cos[2a(x 3)] , khi x 1 2 , khi x 3 m) f(x) = (x + 1)2 . n) f(x) = (x 3) . 1 , khi x 1 x + 5 , khi x < 3 2 x2 + 2x 8 sin [2(x 3)] , khi x 4 , khi x 3 o) f(x) = x 4 . p) f(x) = 3 x 3 . ax + 6 , khi x 4 a , khi x = 3 2 ln 2 2ax 2 2 3e 2 cos(2ax) x 2 x x2 ln3 ln(1 x2 ) 3 x e , khi x 0 2 2 , khi x 0 q) f (x) . r) f (x) x ln(1 x ) . x a , khi x 0 3e cos 2x , khi x 0 2 2 2 ex e x sin2 (ax) ln[e2x sin2 (ax)] , khi x 0 , khi x 0 t) f (x) x2 ln(1 x4 ) . u) f (x) x2 x4 . 3a , khi x 0 3a , khi x 0 2 ln(1 a2 ) x 2 3e cos(2ax) x 2 x2 ln 2 ln(1 2x2 ) ln 2 sin (2x) x2 2 2 , khi x 0 v) f() x x 2 ; w) f (x) . e x 2 4 , khi x 0 x x 6a 7 cos x , khi x 0 3a cos 2x , khi x 0 ĐS : a) a = 7; b) a = 2e ; c,f) a = 1; d,l) a 5 2 ; e,g) a 1 e ; h) a 1 2; i,p) a = 0 ; j,o) a = 1; k) a 9 4; m) a = 1; n) a = 2 ; q) a 2; r) a 1 a 4 ;t,u,w) a 1 a 2; v) a 2 a 4 ; 21 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Chương 2 : Phép tính vi phân hàm một biến I. Nội dung cần nhớ : 1) Đạo hàm cấp 1: a) Định nghĩa : Nếu các giới sau tồn tại thì ta có định nghĩa đạo hàm. f (x) f (a) f (x) f (a ) f (x) f (a ) + f (a) lim ; + f (a ) lim ; + f (a ) lim ; x a x a x a x a x a x a - Nếu f ()() a f a thì hàm số có (tồn tại) đạo hàm cấp 1 tại x a . - Nếu f ()() a f a thì hàm số không có (tồn tại) đạo hàm cấp 1 tại x a . y f (x) ii) Ý nghĩa đạo hàm : y + Ý nghĩa hình học : C f (a x) f (a) AB lim lim tan . T x 0 A  B x  CB Như vậy, f (a) là bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f (x) tại điểm A(a, f (a)) . A B + Ý nghĩa cơ học : Vận tốc tức thời của chuyển động s(t0 t) s(t0 ) s s(t) là vt s (t) lim . 0 a a x x t 0 t Ví dụ : + Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau : - y f (x) x2 1 tại x 1. f( x ) f (1) ( x2 1) 0 x2 1 ( x 1)( x 1) Ta có : f (1) lim lim lim lim lim(x 1) 2 . x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1 x 1 - y f (x) sin 2x tại x 2 . Ta có : 2x 4 2x 4 2x 4 2x 4 2sin .cos 2 cos f (x) f (2) sin2x sin4 2 2 VCB 2 2 f (2) lim lim lim lim x 2 x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 x 2 2 x 2 cos(x 2) lim lim[2cos(x 2)] 2cos 4 . x 2 x 2 x 2 2 - y f (x) e9 x tại x 3. 2 f (x) f (3) e9 x 1 VCB 9 x2 (x 3)(x 3) Ta có : f (3) lim lim lim lim lim[ (x 3)] 6 . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - y f (x) cos3x tại x 0 . f (x) f (0) cos3x cos0 cos3x 1 VCB (3x)2 3x Ta có : f (0) lim lim lim lim lim 0. x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 2x x 0 2 - y f (x) ln(5 4x2 ) tại x 1. Ta có : 22 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 5 4x2 5 4x2 ln ln 1 1 f (x) f ( 1) ln(5 4x2 ) ln 9 9 9 f ( 1) lim lim lim lim x 1 x ( 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 4x 4 4x2 4 ln 1 9 VCB 4(x2 1) 4(x 1)(x 1) 4(x 1) 8 lim lim 9 lim lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9(x 1) x 1 9(x 1) x 1 9 9 - y f (x) tan(4x2 ) tại x 1. Ta có : sin(4x2 4) f( x ) f ( 1) tan(4 x2 ) tan 4cos(4x2 ).cos 4 VCB 4 x2 4 f ( 1) lim lim lim lim x 1 x ( 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)cos(4x2 ).cos 4 4(x2 1) 4(x 1)(x 1) 4(x 1) 8 lim lim lim . x 1 (x 1)cos(4x2 ).cos 4 x 1 (x 1)cos(4x2 ).cos 4 x 1 cos(4x2 ).cos 4 cos2 4 - y f (x) x 1 3 tại x 1. 3 3 (x 1) , khi x 1 Ta có : y f (x) x 1 . 3 (x 1) , khi x 1 f (x) f ( 1) (x 1)3 0 (x 1)3 f ( 1 ) lim lim lim lim [ (x 1)2 ] 0 . x 1 x ( 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f ( 1) (x 1)3 0 (x 1)3 f ( 1 ) lim lim lim lim (x 1)2 0. x 1 x ( 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vì f ( 1 ) f ( 1 ) nên hàm số có đạo hàm cấp 1 tại x 1. Suy ra f ( 1) 0 . e1 cos2x cos2 x , khi x 0 + Cho hàm số f(x) = x . a , khi x 0 *) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R. - Với x 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x 0 ( lim f (x) f (0) ). x 0 - Xét tại x 0 Ta có : 2 2 2x 2x 2 1 cos2x 2 1 cos2x 2 2 x e cos x (e 1) (1 cos x) VCB (e 2 1) x VCB lim lim lim lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x lim(3x) 0 . x 0 Vậy với a = 0 thì hàm số liên tục trên R. ) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm cấp 1 tại x 0 hay không? f(x) f(0) Xét : lim . x 0 x 0 23 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ta có : e1 cos2x cos2 x 0 1 cos2x 2 1 cos2x 2 2 e cos x e 1 1 cos x VCB 1 cos 2x sin x VCB lim x lim lim lim x 0 x 0 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 2 (2x) 2 x 2 3x lim 2 lim 3 . x 0 x2 x 0 x2 Vậy hàm số có đạo hàm cấp 1 tại x 0 . 2 e x 1 cos2 (x 1) , khi x < 1 x 1 + Hàm số f(x) = có đạo hàm cấp 1 tại x 1 hay không?. ln2x , khi x 1 x 1 Ta có : 2 x 1 2 e cos (x 1) 2 0 x 1 2 VCB 2 f(x) f(1) x 1 e 1 1 cos (x 1) 2(x 1) - f '(1 ) lim lim lim 2 lim 2 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 x 1 ln2 x 0 2 2 f(x) f(1) ln (1 + x 1) VCB (x 1) x 1 - f '(1 ) = lim lim x 1 lim lim lim 0 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x + 1) x 1 x 1 (x + 1) x 1 x + 1 Vì f '(1 ) f '(1 ) nên hàm số không có đạo hàm cấp 1 tại x 1. 2 (ex cos x).ln(1 + x2 ) , khi x 0 + Cho hàm số f(x) = x3 + x.sin2 (ex 1) . a , khi x 0 *) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R. - Với x 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x 0 ( lim f (x) f (0) ). x 0 - Xét tại x 0 2 2 x 2 x2 2 x2 2 (x ).x 4 (e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x )VCB 3x Ta có : lim lim lim 2 lim 0 . x 0 x3 x.sin2 (ex 1) x 0 x3 + x.sin2 (ex 1) x 0 x3 + x3 x 0 4x3 Vậy , với a = 0 thì hàm số liên tục trên R. ) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm cấp 1 tại x 0 hay không? f(x) f(0) Xét : lim . x 0 x 0 2 2 x 2 x2 2 x2 2 (x ).x 4 (e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x )VCB 3x 3 Ta có : lim lim lim2 lim . x 0 x(x3 x.sin2 (ex 1)) x 0 x4 + x2.sin2 (ex 1) x 0 x4 + x4 x 0 4x4 4 Vậy, hàm số có đạo hàm cấp 1 tại x 0 . b) Các qui tắc đạo hàm : 24 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền u u v v u + (u v) u v ; + (u.v) u v v u ; + 2 ,v 0 . v v c) Đạo hàm hàm hợp : Nếu hàm y f (x) có đạo hàm tại x a và hàm z g(y) có đạo hàm tại y f (a) . Khi đó hàm hợp z (g f )(x) có đạo hàm tại x a và z (a) (g f ) (a) g ( f (a)). f (a) . Ví dụ : Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau : + y (3x2 2x 4)2 . Ta đặt u 3x2 2x 4 , khi đó y u2 . Suy ra y (x) y (u).u (x) 2u.(6x 2) 2(3x 2x 4)(6x 2) + y x3. f 3 x2 . 2 1 Ta có : yxfxfx 3 .3 2 3 2 .3 xxxfxfx2 .3 32 .3 2 3 2 . . . x3 . 3 3 x + Giả sử f (x), g(x) có đạo hàm với mọi x R . Tính đạo hàm của các hàm số sau : - y 3 f 2 (x) g 2 (x) 1 Ta đặt u f 2 (x) g 2 (x) . Khi đó y 3 u u 3 . 2 1 2 f (x). f (x) g(x).g (x) Suy ra y y (u).u (x) u 3 .(2 f (x). f (x) 2g(x).g (x)) . . 3 3 2 2 2 3 f (x) g (x) - y log f ( x) g(x),0 f (x) 1, g(x) 0 . Ta có : ln g(x) log g(x) . f (x) ln f (x) g (x) f (x) ln f (x) ln g(x) ln g(x) g(x) f (x) 1 g (x) f (x) y 2 y . ln f (x) ln f (x) ln f (x) g(x) f (x) - y f ( f (x)) . Ta đặt u f (x) . Khi đó y f (u) . Suy ra y f (u).u f ( f (x)). f (x) . d) Đạo hàm hàm ngược : Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm hữu hạn tại x a và f (a) 0 thì hàm số x g( y) có đạo hàm 1 tại y b và g (b) . f (a) Ví dụ: Tính đạo hàm của các số sau : 1 1 + y arcsin x x sin y x cos y 1 sin 2 y 1 x2 y (arcsin x) . y x 2 x y 1 x 2 2 2 (Từ cos y sin y 1 cos y 1 sin y . Vì y , nên cos y 0 ) 2 2 25 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 1 + y arccos x x cos y x sin y 1 cos2 y 1 x2 y (arccos x) . y x 2 x y 1 x (Từ cos2 y sin 2 y 1 sin y 1 cos2 y . Vì y 0, nên sin y 0 ) 1 1 1 2 2 + y arctan x x tan y xy 2 1 tan y 1 x yx (arctan x) 2 . cos y x y 1 x 1 1 1 2 2 + y arccotx x coty xy 2 (1 cot y) (1 x ) yx (arccotx) 2 . sin y x y 1 x e) Đạo hàm hàm ẩn : Giả sử F(x, y(x)) 0 . Khi đó để tính đạo hàm của hàm y f (x) ta đạo hàm F(x, y(x)) 0 theo x (coi vế trái là hàm hợp của x ), sau đó giải phương trình thu được theo y (x) . Ví dụ : + Tính đạo hàm của các hàm số sau : x - x2 y 2 1 (x2 y2 ) 1 2x 2y.y 0 y . y y ye y 2xy2 - yx2 xe y ln y (yx2 ) (xe y ln y) x2 y 2xy e y y e y x y . y x2 y xye y 1 + Chứng minh hàm ẩn y y(x) xác định bởi phương trình xy ln y 1 thỏa mãn phương trình : y2 (xy 1)y 0 . Lấy đạo hàm hai vế của phương trình xy ln y 1 này, ta được : y y 2 y xy 0 y2 xyy y 0 y . y xy 1 y2 Suy ra : y2 (xy 1). y2 y2 0 . xy 1 f) Đạo hàm của hàm số cho bởi phương trình tham số : Giả sử hàm số y phụ thuộc biến x thông qua một biến trung gian t : x (t), y  (t) , t ( ,  ) 1 yt và trên ( ,  ) hàm x (t) có hàm ngược t () x . Khi đó y x . xt Ví dụ : x 3cos2 t + Tính y (x) , với : ,t 0, . y 2sin t 2 xt 6sin t.cost yt 2cost 1 Ta có : y x . yt 2cost xt 6sin t.cost 3sin t x 3t 1 + Tính y (x) tại x 1, với : . 3 y t 3t 2 t 1 2 xt 3 .ln 3 y 3t 3 Ta có : y t . 2 x x 3t 1.ln 3 yt 3t 3 t 26 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 6 Khi x 1 1 3t 1 t 1. Vậy y (x) y (x) . x 1 t 1 ln 3 g) Bảng các đạo hàm cơ bản : u u(x) (u là một hàm theo x ), a,b,C là hằng số. (C) 0 (cosu) u .sin u u (arccosu) 1 u 2 (u ) .u .u 1 u (tgu) 2 (eu ) u .eu cos u u u (arccotgu) 2 (au ) u .au .ln a (cot gu) 1 u sin2 u u u a 2a.u ln u u ln u (arcsin u) 2 2 2 u a u a u 1 u log u a u 2 u u ln a (arctgu) ln u u b 2 2 (sin u) u .cosu 1 u u b Ví dụ : Tính y’, với : - y x2 e3x , y x2 e3x e3x x2 2 xe3x 3 x2 e3x . 2x 2 2 - yxx sin arctan xyxx , sin arctan x sin xxx cos 4 . 1 x 1 1 x ln x ln x ln x ln x . x x ln x x 2 ln x 2 x - y , y 2 . x x x x 2x x 2 - y sin2 (ex 1) . 2 2 2 2 2 2 2 y [sin2 (ex 1)] 2(ex 1) .cos(ex 1).sin(ex 1) 2.2x.ex .cos(ex 1).sin(ex 1) 2 2 2x.ex .sin[2(ex 1)] . Chú ý : Khi gặp bài toán yêu cầu tính đạo hàm của hàm có dạng y u(x)v(x) thì ta tiến hành như sau : Lấy ln hai vế ta được ln y ln[u(x)v(x) ] v(x).ln u(x) , tiếp theo ta lấy đạo hàm hai vế theo x ta được : y u ()() xv(x) u x v (x).ln u(x) .v(x) y u(x) v (x).ln u(x) .v(x) . y u(x) u(x) Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số sau : + y x x , x 0. y y xx ln y ln(x x ) x ln x (ln y) (xln x) ln x 1 y xx (ln x 1) . y xln x + y , x 1. (ln x)x xln x xln x y ln y ln ln xln x ln (ln x)x ln2 x x ln(ln x) (ln y) (ln2 x) (x ln(ln x)) x x (ln x) (ln x) 27 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền y 2 1 xln x 2 1 ln x ln(ln x) y ln x ln(ln x) . y x ln x (ln x)x x ln x x3.3 1 x + y . 5 x2 . (4 x)3 Ta có : x3.3 1 x ln y ln ln x3.3 1 x ln 5 x2 . (4 x)3 ln(x3 ) ln 3 1 x ln 5 x2 ln (4 x)3 5 2 3 x . (4 x) 1 2 3 3ln x ln(1 x) ln x ln(4 x) . 3 5 2 y 3 1 2 3 x3.3 1 x 3 1 2 3 y . y x 3(x 1) 5x 2(4 x) 5 x2 . (4 x)3 x 3(x 1) 5x 2(4 x) 2) Vi phân cấp 1: a) Định nghĩa : dy = f '(x)dx ; Ví dụ : Tính dy, với y = f(x) : x2 + y = f(x) = , x 1. (x + 1)2 ' x2 ( x2 )' (x + 1)2 ( x2 )[(x + 1)2 ]' 2x(x + 1)2 ( x2 )[2(x + 1)] 2x(x + 1) Ta có : f'(x) = 2 4 4 4 . (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1) 2x Vậy : dy = dx . (x + 1)3 + y = ln(x + x2 + 1) . 2x 1 + ' (x + x2 + 1)' x' + ( x2 + 1)' 2 1 Ta có : f'(x) = ln(x + x2 + 1) 2 x + 1 . x + x2 + 1 x + x2 + 1 x + x 2 + 1 x2 + 1 1 Vậy : dy = dx . x2 + 1 b) Công thức tính gần đúng : f(x) = f(a + x) f(a) + f'(a). x . Ví dụ : Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng biểu thức sau : + A = ln 2 + (0,98)3 + 3 (0,98)2 . Xét f(x) = ln 2 + x3 3 x2 ; Ta có : a = 1, x = 0,98 1 = 0,02 ; f(1) = ln(2 + 13 3 12 ) = 2.ln2 1,386 ; ' 3 2 1 2 + x3 3 x2 x 2 3 13 f '(x) = x f'(1) = . 2 + x3 3 x2 2 + x3 3 x2 24 28 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 13 Vậy : A = ln 2 + (0,98)3 + 3 (0,98)2 1,386 .( 0,02) 1,376 . 24 + Biết f(u) khả vi liên tục ở lân cận điểm 1, f(1) = 2, f '(1) = 1. Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng biểu thức A = 1,9998.f (1,9998)3 . Xét hàm số y = x.f( x3 ) ; a = 2, x = 1,9998 2 0,0002 ; y(1) = 1.f( 13 ) f(1) = 2 ; 3 3 3 7 y' = f( x3 ) x. x.f '( x3 ) y'(1) = f( 13 ) 1. 1.f '( 13 ) 2 ; 2 2 2 2 7 Vậy : A = 1,9998.f (1,9998)3 2 + .( 0,0002) 1,9993. 2 3) Đạo hàm cấp cao : a) Định nghĩa : f(x) f(a) + Nếu đạo hàm f '(a) lim có tồn tại đạo hàm thì ta có đạo hàm cấp 2 như sau : x a x a f '(x) f '(a) f (x) f (a) f(n 1) (x) f(n 1) (a) f ''(a) lim , f (x) = lim , f (n) (x) = lim . x a x a x a x a x a x a sin3x , khi x 0 Ví dụ : Cho hàm số f(x) = 2. x . a , khi x = 0 - Xác định a để hàm số liên tục trên R. - Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có tồn tại f ''(0) không? Giải : - Vì với x 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì lim f(x) = lim f(x) = f(0) . x 0 x 0 Ta có : * f(0) = a . sin3x sin3x VCB x3 x2 * lim lim = lim lim 0 . x 0 2. x x 0 2.x x 0 2x x 0 2 sin3x sin3x VCB x3 x2 * lim lim = lim lim 0. x 0 2. x x 0 2.x x 0 2x x 0 2 Vậy với a = 0 thì hàm số liên tục trên R. ' sin3x 3cosx.sin 2x.( 2x) ( 2).sin3x - Ta có : * f '(x) = 2 , khi x 0 . 2x 4x sin3x 0 3 VCB 3 f(x) f(0) 2x sin x x x * f '(0 ) = lim lim lim 2 = lim 2 lim 0 . x 0 x 0 x 0 x x 0 2x x 0 2x x 0 2 29 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền sin3x 0 3 3 f(x) f(0) sin x VCB x x * f '(0 ) = lim lim 2x lim = lim lim 0 . 2 2 x 0 x 0 x 0 x x 0 2x x 0 2x x 0 2 Vì f '(0 ) = f '(0 ) nên tồn tại f '(0) , suy ra f '(0) = 0 . 6x.sin2x.cosx 2sin3x 0 f '(x) f '(0) 2 * f ''(0 ) = lim lim 4x x 0 x 0 x 0 x 6x.sin2x.cosx 2sin3x VCB 6x3.cosx 2x3 3cosx + 1 lim3 = lim3 lim 1. x 0 4x x 0 4x x 0 2 6x.sin2x.cosx 2sin3x 0 f '(x) f '(0) 2 * f ''(0 ) = lim lim 4x x 0 x 0 x 0 x 6x.sin2 x.cosx 2sin3 xVCB 6x3 .cosx 2x3 3cosx 1 lim3 = lim3 lim 1. x 0 4xx 0 4xx 0 2 Vì f ''(0 ) f ''(0 ) nên không tồn tại f ''(0) . + Hay : y = f(x); y' = f '(x); y'' = (y')' = (f '(x))' = f ''(x); ; y(n) = (y(n 1) )' = (f(n 1) (x))' = f(n) (x) ; + (f g)(n) (x) = f (n) (x) g(n) (x); n (n) 0 (n) 1 (1) (n 1) k (k) (n k) k (k) (n k) + (f . g) (x) = Cnf(x).g (x) + Cnf (x).g (x) +  +Cnf (x).g (x) =  Cnf (x).g (x) , k = 0 n! với Ck = n k!(n k)! b) Ví dụ : Tính y(n) . Chú ý : sin x cos x; cos x sin x; sin x cos x; cos x sin x . 2 2 2 2 + y = sin2x . ' π π 2 π 2 2π y' = 2cos2x = 2sin(2x + ); y'' = 2sin(2x + ) 2 cos (2x + ) 2 sin (2x + ) ; 2 2 2 2 nπ ; y(n) = 2n sin (2x + ) . 2 + y = (x + 2)ex . y' = ex + (x + 2)ex (x + 3)ex ; y'' = ex + (x +3)ex (x + 4)ex ; ; y(n) (x + n + 2)ex . 1 + y = = (2x + 3) 1 . 2x + 3 y' = 2(2x + 3) 2 ; y'' = ( 2)2( 2)(2x + 3) 3 ; ; y(n) = ( 1)n .n!.2n (2x + 3) (n + 1) . + y = x2 e3x . Đặt f(x) = x2 ;g(x) = e3x . Ta có : f(x) = x2 ; f'(x) = 2x; f''(x) = 2; f (3) (x) =  = f (n) (x) = 0. g(x) = e3x ; g'(x) = 3e3x ; g''(x) = 32e3x ; =  = g(n) (x) = 3ne3x . 30 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền (n) (n) 2 3x 0 2 n 3x 1 n 1 3x 2 n 2 3x n 2 3x 2 Vậy : y = x e Cn x .3 .e + Cn 2x.3 .e + Cn 2.3 .e 3 .e (9x + 6.n.x + n(n 1)) . 4) Vi phân cấp cao : a) Định nghĩa : dy = f '(x)dx; d2 y = f ''(x)dx2 ; ; dn y = f(n) (x)dxn . b) Ví dụ : Tính dn y : nπ 1 + y = sin2x; dn y = sin(2x + )dxn . + y ln(2x 3),d n y ( 1)n 1.2n. dxn . 2 (2x 3)n 1 (n 4)! 4n + y (x 2)ex ,d n y (x 2 n)exdxn . + y ,d n y ( 1)n . dxn . (4x 5)5 4! (4x 5)n 5 5) Ứng dụng : a) Xấp xỉ hàm đa thức : Cho hàm số y f (x) khả vi đến cấp n 1 tại x a . Khi đó ta có : * Công thức Taylor : f '(a) f ''(a) f (n) (a) f (n+1) (c) f(x) = f(a) + (x a) + (x a)2 +  + (x a)n + (x a)n + 1, c (a, x) . 1! 2! n! (n + 1)! * Công thức Maclaurin : Khi a = 0 thì công Taylor được gọi là công thức Maclaurin. f '(0) f ''(0) f (n) (0) f (n+1) (c) f(x) = f(0) + x + x2 +  + xn + xn + 1, c (0, x) 1! 2! n! (n + 1)! * Công thức Maclaurin của một số hàm cơ bản : x x2 x3 xn ec n 1 ec + y = ex = 1 + +  + xn +1 =  xk + xn +1, c (0, x) . 1! 2! 3! n! (n + 1)! k = 0 k! (n + 1)! n 1 e3c Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số y = e3x =  (3x)k + (3x)n + 1,c (0, x) . k = 0 k! (n + 1)! x x3 x5 x7 x2m + 1 sin(c + (m +1 ).π) + y = sinx = +  + ( 1)m ( 1)m + 1 x2m + 2 , c (0, x) . 1! 3! 5! 7! (2m + 1)! (2m + 2)! Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số : 2x (2x)3 (2x)2m + 1 sin(2c + (m +1 ).π) y = sin2x = +  + ( 1)m ( 1)m + 1 (2x)2m + 2 , c (0, x) . 1! 3! (2m + 1)! (2m + 2)! π 2 2m cos(c + (2m +1 ). ) x x + y = cosx = 1  + ( 1)m ( 1)m + 1 2 x2m + 1, c (0, x) . 2! (2m)! (2m + 1)! Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số : π 2 2m cos(2c + (2m +1 ). ) (2x) (2x) y = cos2x = 1  + ( 1)m ( 1)m + 1 2 (2x)2m + 1, c (0, x) . 2! (2m)! (2m + 1)! n α n 1 α α(α 1)(α 2) (α k + 1) α(α 1)(α 2) (α n)(1 c) + y = 1 + x 1  xk + xn +1,c (0, x) . k = 1 k! (n + 1)! Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số : 1 1 1 1 y = (x 3) 1 (x 2) 1 f (x) f (x). x2 5x + 6 (x 2)(x 3) x 3 x 2 1 2 31 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền (n) (n) (n) n (n + 1) n (n + 1) n 1 1 y f1 (x) f2 (x) = ( 1) n!(x 3) ( 1) n!(x 2) ( 1) n! n + 1 n + 1 . (x 3) (x 2) Vậy : 1 n 1 1 1 1 y = ( 1)k xk ( 1)n + 1 xn + 1 , c (0, x) . x 2 5x + 6  k + 1 k + 1 n + 2 n + 2 k = 0 3 2 c 3 c 2 b) Quy tắc L’Hospital : 0 + Quy tắc L’Hospital 1 : 0 f'(x) f(x) Nếu x α mà f(x) 0, g(x) 0 và  lim = β thì lim = β . x α g'(x) x α g(x) Ví dụ : Tính các giới hạn sau : 0 2 ' 2 2 x 2 2 x2 ex e0 x e e 2xex + 2x3 ex - lim lim lim 4e . x 1 x 1 L' x 1 x 1 ' x 1 1 0 2x 2 1 + x + ln(1 + x )0 2 1 - lim lim 1 + x . x 0 L' x 0 1 x + arctgx 1 + 2 1 + x2 x + ln(1 + x2 ) VCB x + x2 x(1 + x) 1 + x 1 Hay lim lim lim lim . x 0 x + arctgx x 0 x + x x 0 2x x 0 2 2 0 x x 1 x e .sinx + e .cosx + e .sinx + tgx 0 2 - lim lim cos x 1. x 0 x + sinx L' x 0 1 + cosx ex .sinx + tgx VCB ex .x + x x(ex + 1) ex + 1 Hay lim lim lim lim 1. x 0 x + sinx x 0 x + x x 0 2x x 0 2 0 2 2 2 2 2 ex 1 x2 VBC ex 1 x2 0 2xex 2x 2x(ex 1) ex 1 1 - lim lim lim lim lim . x 0 sin4 3x x 0 (3x)4 L' x 0 34 4x3 x 0 34 4x3 x 0 34 2x2 162 (Ở ví dụ này ta chỉ áp dụng được VCB cho mẫu số chứ không áp dụng VCB được cho tử số, vì tử số có dạng là hiệu của hai hàm “gần” bằng nhau) + Quy tắc L’Hospital 2 : f'(x) f(x) Nếu x α mà f(x) , g(x) và  lim = β thì lim = β . x α g'(x) x α g(x) Ví dụ : Tính các giới hạn sau : 1 lnx 2 x 2 - lim lim x lim lim 0 . x + x L' x + 1 x + x x + x 2 x 32 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền x + 2x 1 + 2x .ln2 - lim lim lim (x + 2x ) . x + ln(x + 2x ) L' x + 1 + 2x .ln2 x + x + 2x ex ex ex e u 1 - lim lim 0 hay lim lim lim 0 . x x L x 1 x x u u u ueu ex ex - lim lim . x x L x 1 Chú ý : x sin x + Giới hạn lim không áp dụng được qui tắc L’Hospital. Vì lim cos x không tồn tại. x x sin x x sin x 1 x sin x 1 0 sin x 1 1 sin x Nhưng lim lim x 1 (Vì 0 mà lim 0 nên lim 0 ). x x sin x x x x sin x 1 1 0 x x x x x 0 + Khi gặp các dạng ; 0. ; 00 ; 0 , ta đưa về dạng hoặc . 0 + Khi gặp bài toán yêu cầu tính giới hạn có dạng lim u ( x )v(x) thì ta tiến hành như sau : x Đặt y u(x)v(x) , sau đó lấy ln hai vế ta được ln y ln[u(x)v(x) ] v(x).ln u(x) , tiếp theo ta lấy giới hạn hai vế ta được : lim(ln y) limv(x).ln u(x) ln lim y limv(x).ln u(x) A lim y lim[u(x)v( x) ] e A . x x x x x x f (x) f (a) + Khi xét lim thì ta cần chú ý : Nếu f (a) 0 thì ta áp dụng VCB bình thường, còn x a x a nếu f (a) 0 thì ta áp dụng qui tắc L’hospital. Ví dụ : - Dạng ( ) : 0 0 1 1 sinx x 0 cosx 1 0 sinx 0 lim lim lim lim 0 . x 0 x sinx x 0 x.sinx L' x 0 sinx + x.cosxL' x 0 cosx + cosx x.sinx 2 0.0 1 0. ln x 2 x2 - Dạng (0. ) : lim (x2 .ln x 2x2 ) lim x2 (ln x 2) lim limx lim 0 . x 0 x 0 x 0 1L' x 0 2 x 0 2 x2 x3 - Dạng (00 ) : lim xsinx . x 0 Đặt y = xsinx lny = sinx.lnx lim (lny) = lim (sinx.lnx) ln( lim y) = lim (sinx.lnx) x 0 x 0 x 0 x 0 1 lnx sinx sinx ln( lim y) = lim lim x lim . 0 lim xsinx 1. x 0 x 0 1L' x 0 cosx x 0 x cosx x 0 sinx sin2x 33 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 - Dạng () 0 : lim x + 3x x . x + 1 ln(x + 3x ) ln(x + 3x ) ln(x + 3x ) Đặt y = x + 3x x lny = lim (lny) = lim ln( lim y) = lim x x + x + x x + x + x x 1 + 3 ln3 ln(x + 3x ) x 1 + 3xln3 3xln2 3 3xln3 3 ln( lim y) = lim lim x + 3 lim lim lim ln3 x + x + x L' x + 1 x + x + 3x L' x + 1 + 3xln3 L' x + 3xln2 3 1 Vậy : lim x + 3x x 3 . x + e3ax cos3x , khi x 0 - Cho hàm số f (x) x x3 . 2 a , khi x 0 -) Xác định a để hàm số f (x) liên tục trên R . - ) Với các giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x 0 hay không? Giải : -) Với x 0 thì hàm số f (x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Để hàm số f (x) liên tục trên R thì lim f (x) f (0) a2 . x 0 Ta có : (3x)2 3ax 3ax 3ax e cos3x e 1 1 cos3x VCB VCB 3ax lim f (x) lim lim lim 2 lim 3a . x 0 x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x x3 x 0 x 2 2 a 0 Vậy, nếu a 3 a a 3 a 0 thì hàm số f (x) liên tục trên R . a 3 1 cos3x , khi x 0 -) Với a 0 thì f (x) x x3 . 0 , khi x 0 1 cos3x (3x)2 0 f (x) f (0) 3 1 cos3x VCB 9 Ta xét : lim lim x x lim lim 2 . x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x4 x 0 x2 2 9 Vậy với a 0 thì hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x 0 f (0) . 2 e9x cos3x , khi x 0 Với a 3 thì f (x) x x3 . 9 , khi x 0 Ta xét : 9x e cos3x 0 0 9 9x 3 9x 2 f (x) f (0) 3 e cos3x 9(x x ) 0 9e 3sin 3x 9(1 3x ) 0 lim lim x x lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x4 L' x 0 2x 4x3 L' 34 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 0 0 81e9x 9cos3x 54x 81 9 0 90 lim 45. L' x 0 2 12x2 2 0 2 Vậy với a 3 thì hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x 0 f (0) 45 . 2 3ea x 1 2cosx , x 0 - Cho hàm số f(x) = 3x . 3a 2 , x = 0 -) Xác định a để hàm số f (x) liên tục trên R . - ) Với các giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x 0 hay không? Giải : 2 3ea x 1 2cosx - ) Với x 0, f(x) = là hàm sơ cấp, với x = 0, f(x) = 3a 2 là hàm sơ cấp nên nó 3x liên tục trên miền xác định của nó. Để hàm số liên tục trên R thì lim f(x) = f(0) = 3a 2 . x 0 Ta có : 2 2 x a2x a2x 3a x + 2 2 3e 1 2cosx 3(e 1) + 2(1 cosx) VCB VCB 3a x lim f(x) = lim = lim lim 2 lim = a 2 x 0 x 0 3x x 0 3x x 0 3x x 0 3x 2 2 a = 1 Vậy, nếu a = 3a 2 a 3a + 2 = 0 . a = 2 2 3ea x 1 2cosx (3a 2) a2x f(x) f(0) 3e 1 2cosx (3a 2)3x - Xét lim = lim 3x = lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 3x2 0 0 2 2 0 3a 2ea x + 2sinx 3(3a 2) 0 3a 4ea x + 2cosx 3a 4 + 2 lim lim = . L' x 0 6x L' x 0 6 6 5 + Với a = 1 f '(0) = . 6 50 25 + Với a = 2 f '(0) = = . 6 3 (Chú ý : Ở giới hạn này ta không dùng được vô cùng bé) c) Khảo sát hàm số : *) Tập xác định : D = R\{x0}, x0 là điểm mà làm cho hàm số không xác định. Ví dụ : 1 - Hàm số y = có miền xác định là D = R . 1 + x2 1 - Hàm số y = có miền xác định là D = R\{ 1,1} . 1 x2 lnx - Hàm số y = có miền xác định là D = (0, + ) . x 35 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ex - Hàm số y = có miền xác định là D = R\{0}. x *) Tính y’ để tìm điểm cực trị. - Nếu y' > 0 thì hàm số luôn tăng (đồng biến) trên miền xác định của nó. - Nếu y' 0 x x1 TH 2 a 0 x x1 x 2 TH 2 a 0 x x1 x 2 x3 TH 2 a 0 thì hàm số luôn tăng (đồng biến) trên miền xác định của nó. x y' + y - Nếu y' < 0 thì hàm số luôn giảm (nghịch biến) trên miền xác định của nó. x y' y Ví dụ : 1 2x - y ; y 0 x 0. 1 x2 (1 x2 )2 1 3x2 - y ; y 0,x R \{ 1}. 1 x3 (1 x3 )2 36 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền x2 x 1 x2 2x 2 - y ; y 0,x R \{ 1}. x 1 (x 1)2 *) Tính y để tìm điểm uốn ( y'' = 0 có nghiệm), khoảng lồi ( y'' 0 ). *) Tiệm cận : - Tiệm cận đứng : Nếu lim f(x) = thì x = x0 là tiệm cận đứng, x0 là điểm mà làm cho hàm số x x0 không xác định. - Tiệm cận ngang : Nếu lim f(x) = b thì y = b là tiệm cận ngang (Hàm số có tiệm cận ngang khi x bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu, đó là đối với hàm hữu tỷ, còn với hàm bất kỳ thì tùy x vào hàm số cụ thể mà có kết luận. Ví dụ : hàm số y = có hai tiệm cận ngang y = 1 (bên x 2 1 lnx ex trái, bên phải), hàm số y = có tiệm cận ngang bên phải y = 0, hàm số y = có tiệm cận x x ngang bên trái y = 0.). f(x) - Tiệm cận xiên : Nếu lim = a và lim [f(x) ax] = b thì y = ax + b là tiệm cận xiên (Hàm số có x x x tiệm cận xiên khi bậc tử lớn hơn bậc của mẫu, đó là đối với hàm hữu tỷ, còn với hàm bất kỳ thì tùy vào hàm số cụ thể mà có kết luận.). *) Bảng biến thiên : x x0 y’ y’’ y *) Vẽ đồ thị: Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau : x2 - y = . (x + 1)2 + Tập xác định : D = R \ { 1} . 2x(x + 1)2 2(x + 1)( x2 ) 2x(x + 1) 2x2 2x + Tính y’ : y' = 0 x = 0, (x = 1) . (x + 1)4 (x + 1)4 (x + 1)4 ( 4x 2)(x + 1)4 4(x + 1)3 ( 2x2 2x) 2(x + 1)4 (2x 1) 1 + Tính y’’ : y'' = 0 x = , (x = 1) . (x + 1)8 (x + 1)8 2 + Tiệm cận : x2 * Tiệm cận đứng : Vì lim y = lim nên suy ra x = 1 là tiệm cận đứng. x 1 x 1 (x + 1)2 x2 * Tiệm cận ngang : Vì lim y = lim 1 nên suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. x x (x + 1)2 + Bảng biến thiên : 37 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền x 1 0 ½ y’ + 0 y’’ 0 + 1 0 y 1 9 1 + Đồ thị : y x 1 0 1 1 - y = . x 2 + 1 + Tập xác định : D = R . 2x + Tính y’ : y' = 0 x = 0 . (x2 + 1)2 2(x2 + 1)(1 3x2 ) 1 + Tính y’’ : y'' = 0 x = . (x2 + 1)4 3 1 + Tiệm cận : Vì lim y = lim 0 nên suy ra y = 0 là tiệm cận ngang. x x x2 + 1 + Bảng biến thiên : x 1/ 3 0 1/ 3 y’ + + 0 y’’ + 0 0 + 1 y 3/4 3/4 0 0 + Đồ thị : y 1 0 x 38 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2x2 6 - y = . (x + 1)2 + Tập xác định : D = R \ { 1} . + Tính y’ : 4x(x + 1)2 2(x + 1)( 2x2 + 6) 4(x + 1)(x + 3) 4x2 16x 12 y' = 0 x = 3, (x = 1) . (x + 1)4 (x + 1)4 (x + 1)4 + Tính y’’ : ( 8x 16)(x + 1)4 4(x + 1)3 ( 4x2 16x 12) 8(x + 1)4 (x 4) y'' = 0 x = 4, (x = 1) . (x + 1)8 (x + 1)8 + Tiệm cận : 2x2 6 * Tiệm cận đứng : Vì lim y = lim nên suy ra x = 1 là tiệm cận đứng. x 1 x 1 (x + 1)2 2x2 6 * Tiệm cận ngang : Vì lim y = lim 2 nên suy ra y = 2 là tiệm cận ngang. x x (x + 1)2 + Bảng biến thiên : x 4 3 1 y’ 0 + y’’ 0 + + + 2 y 26 / 9 3 2 + Đồ thị : y 4 3 2 1 0 x 1 y 2 2 26 9 3 x3 + 4 y = . - x2 * Tập xác định D = R\{0}. 3x2.x2 2x.(x3 +4) x4 8x x(x3 8) * y' = = = = 0 x(x3 8) = 0 x = 2 . x4 x4 x4 39 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền (4x3 8)x4 4x3 (x4 8x) 24x4 * y' ' = = >0,x D . x8 x8 * Tiệm cận : x3 +4 - lim y = lim = x = 0 là tiệm cận đứng. * Đồ thị : y x 0 x 0 x2 y x3 +4  lim = lim 3 =1 x x x x -  y x là tiệm cận xiên. 4 lim[y x]= lim =0 x x x2  * Bảng biến thiên : 3 x 0 2 y’ + 0 + y’’ + + + 0 2 x y 3 x - y = . x2 1 * Tập xác định D = R\{ 1}. (x2 1) 2x.x (1+x2 ) * y' = = 0 với 1 1 40 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 4 4 2 2 2 1 2 1 * y' ' = (x+1) 3 + (x 1) 3 = . + . = 0 x = 0 . 9 9 9 3 (x+1)4 9 3 (x 1)4 y' ' > 0 khi x > 0 và y' ' < 0 khi x < 0 . (x+1)2 (x 1)2 * Tiệm cận : lim y = lim 3 (x+1)2 3 (x 1)2 = lim = 0 . x x x 3 4 3 2 2 3 4 (x+1) + (x 1) (x 1) y = 0 là tiệm cận ngang. * Đồ thị : y * Bảng biến thiên : 3 4 x 1 0 1 y’ + + y’’ 0 + + 0 3 4 1 0 1 x y 0 3 4 0 3 4 x 2 - y = . x2 + 2 * Tập xác định D = R . x(x 2) x 2 +2 x2 +2 2x+2 2x+2 * y' = 2 = = 3 = 0 2x +2 = 0 x = 1. 2 2 2 x +2 (x +2) x +2 (x2 +2) 2 3 1 3 1 2 2 2 2 x 2 2(x +2) 2x(x +2) (2x +2) 2 2 2 2 2(x +2) (2x 3x 2) 2 * y' ' = = = 0 2x 3x 2 = 0 1 . (x2 +2)3 (x2 +2)3 x 2 * Tiệm cận : x 2 x 1 2 x - limy lim lim 1 y = 1 là tiệm ngang bên trái. x x x2 2 x x 1 2 x2 x 2 x 1 2 x - lim y lim lim 1 y = 1 là tiệm ngang bên phải. x x x2 2x x 1 2 x2 * Bảng biến thiên : * Đồ thị : y 1 x 2 1 2 y’ 0 + + 1 y’’ 0 + + 0 1 1 1 2 1 0 2 2 x 4 y 6 1 1 3 3 41 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền II. Bài tập áp dụng : 1) eAx cos 2 x , khi x 0 a) Cho hàm số f (x) x x3 . 2 A 6 , khi x 0 + Xác định A để hàm số f (x) liên tục trên R . + Với giá trị của A vừa tìm được ở trên, hàm có f (x) tồn tại f (0) hay không? 3e Ax 1 2cos(3x) , khi x 0 b) Cho hàm số f (x) x x3 . 2 A , khi x 0 + Xác định A để hàm số f (x) liên tục trên R . + Với giá trị của A vừa tìm được ở trên, hàm có f (x) tồn tại f (0) hay không? 1 cos[A(x 2)] 2 , khi x 2 c) Cho hàm số f() x (x 2) . 3A 4 , khi x 2 + Xác định A để hàm số f (x) liên tục trên R . + Với các giá trị của A vừa tìm được ở trên, hàm có f (x) tồn tại f (0) hay không? 1 cos[2A(x 1)] , khi x 1 d) Cho hàm số f (x) x3 3x 2 . 5 x , khi x 1 + Xác định A để hàm số f (x) liên tục trên R . + Với các giá trị A vừa tìm được ở trên, hàm số f (x) có tồn f (0) hay không? Đs : a) A 2 f (0) 4, A 3 f (0) 13 2. b) A 0 f (0) 9, A 3 f (0) 45 2 . c) A 2 f (0) 0, A 4 f (0) 0 . d) A 3 f (0) 0, A 3 f (0) 0 . 2) Các hàm số sau có tồn tại đạo hàm cấp 1 (tại giá trị x tương ứng) hay không? 2 e1 x 1 .ln 1 sin2 (x 1) sin2 (x 2) , khi x 1 , khi x 2 a) f (x) x 1 3 . b) f (x) 3 x 2 . 0 , khi x 2 0 , khi x 1 e1 x cos[2(x 1)] 1 cos[2(x 1)] , khi x 1 , khi x 1 c) f (x) x 1 . d) f (x) 2 x 1 . 1 , khi x 1 0 , khi x 1 2 3e2x 1 2cos x ln(2ex cos 2x) , khi x 0 , khi x 0 e) f (x) x 3x3 . f) f() x x x5 . 6 , khi x 0 0 , khi x 0 1 1 5 Đs : a) f (1) 1. b) f (2 ) , f (2 ) . c) f (1) . d) f ( 1 ) f ( 1 ) . e) f (0) 7 . f) f (0) 4 . 3 3 2 42 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 3) Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau : x2 1 arctan x a) y ln(arcsin 3x) . b) y arctan(ln x) . c) y (ln x) . d) y ln . 1 arccotx x 2 2 ln x lg (x 2) 2x 2 e) y (arctan x ) . f) y lg x . g) y arcsin 2 . h) y (x 1). 2 2 x . x 1 x x 2 2 i) y ln . j) y ln (ln x ) . k) y arctan x arccot x . l) y arcsin x arccos x . x2 2 x 2 2 (3x 2) m) y x2 f x2 3 x2 . n) y x3 f 1 x2 . o) y . p) y arctan ex .earctan x . 3 x 1 3 1 2 x Đs : a) y . b) y 2 . c) y (ln x) .(2xln x x) . 1 9x2 .arcsin 3x x(1 ln x ) arctan x arccotx 1 ln x ln x d) y 2 . e) y (arctan x ) . .ln(arctan x ) 2 . (1 x )(1 arctan x )(1 arccot x ) x(1 x )arctan x lg x (x2 2) 2x2 ln x lg x 4x f) y lg x . 2 2 . g) y . x (x 2).ln10.lg(x 2) x ln10 x (x2 1) 1 2x2 3x4 1x2 1 2 2x 2ln(ln x) h) y 2x 2 2 x . . i) y 2 . j) y . k) y 0 . l) y 0 . 4 2 x. 2 2 x (x 2)( x 2) x ln x 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 x 2 m) y 2x. f x x x 2x . f x x . n) y 3x . f 1 x x . . f 1 x . 33 x 1 x2 (x 2)2 (x 3) 2 1 3 ex 1 arctan x arctan x x o) y 3 . . p) y 2x .e 2 .e .arctan(e ) . (x 1) x 2 x 3 x 1 1 e 1 x 4) Tính y (x) , với y y(x) được xác định bởi phương trình sau : y 1 x2 a) y x2 xln y e y . b) y x ln 0 . c) x2 y 1 xey y . d) xy ln 0 . x y x x 1 x ln y .ln y ln 2 2 2xy y ln y y y 2xy e y xy y (1 x ) Đs : a) y . b) y . . c) y . d) y . y x ye y x x 1 x2 xe y (1 x2 )(1 xy) xln xln 1 y y 5) Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng giá trị của biểu thức sau : 2 1,9996 1 a) A ln 2 1,0024 4 1,0024 ; b) B (1,9996) .arctan ; c) C ; 2 4 (16,0016)5 d) D ln 4 (2,0016)2 (2,0016)3 ; e) E 3 16 (1,9984)3 ; f) F 2 2 1,9984 ; Đs : a) x 1,0024;a 1; x 0,0024; A 1,3863 . b) x 1,9996;a 2; x 0,0004; B 3,139144 . c) x 16,0016; a 16; x 0,0016; C 2 5 .0,999875. d) x 2,0016;a 2; x 0,0016; D 2,7736 . 43 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền e) x 1,9984;a 2; x 0,0016; E 2,0016 . f) x 1,9984;a 2; x 0,0016; F 1,9999 . 6) Tính df (1) , với : x 2 3 2 x 3x 2 3 3 2 a) f (x) 3 ; b) f (x) x .arctan ; c) f (x) ln ; d) f (x) ln 2 x x ; x 7 3 3x 2 3 3 12 13 Đs : a) df (1) dx . b) df (1) dx . c) df (1) dx . d) df (1) dx . 16 9 4 5 24 7) Chứng tỏ rằng : 4x3 a) Hàm số y x.ln(1 x2 ) thỏa mãn phương trình x2 y xy y . (x2 1) 2 2 b) Hàm số y x.arctan x thỏa mãn phương trình (x2 1)y y y 0, x 0. x x2 c) Hàm số y e2x e 2x thỏa mãn phương trình y 2y 8y 8e2x . d) Hàm số y (x 1)e x thỏa mãn phương trình y 2y y 0 . x e) Hàm ẩn y y(x) xác định bởi phương trình y 1 ye thỏa mãn hệ thức sau : 3 2 (2 y) y x(y ) 2(y ) 0 . f) Hàm ẩn y y(x) xác định bởi phương trình xy ln y 1 0 thỏa mãn hệ thức sau : y3.y (y )2 (2y2 y ) 0 . 8) Tìm (x) thông qua (x) . Giả sử hàm y (x) là hàm ngược của hàm sau : x lg x x x (ln x) x a) y xx ; b) y xx ; c) y x2 ; d) y , x 0 ; e) y , x 1; xln x (lg x)x 1 (x).ln (x) Đs : a) ()x . b) ()x . x(ln (x) 1) ( (x ).ln2 ( x ) ( x ).ln (x)) x .ln x (x) (x).ln (x) (x) (x) c) ( x) ( x) . d) 2 . x (x).2 .ln 2.ln (x) 2 x (x).ln (x).ln(ln (x)) (x) 2ln (x) (x).ln (x).ln10 (x) e) 2 . x lg (x).ln (x) ln10.lg (x) (x).lg (x).ln10 (x) sin3 (x 1) , khi x 1 9) Hàm số f (x) 2 x 1 có tồn tại f ( 1) hay không? 0 , khi x 1 Đs : f ( 1 ) 1 1 f ( 1 ) . 10) Hàm số f (x) x 1 3 có tồn tại f ( 1) hay không? Đs : f ( 1 ) 6 6 f ( 1 ) . 11) Tính f(n) () x , từ đó suy ra công thức Maclaurin của hàm f (x) tương ứng. 1 1 3x 2x x a) f (x) 3 ; b) f (x) ; c) f (x) xe ; d) f (x) (x 3)e ; e) f (x) 2 2 ; (2x 3) 5 3x 4 (2x 1) (2 x 1) 1 1 2x 3 f) f (x) ; g) f (x) ; h) f (x) xm x ; i) f (x) 3x 3 x ; j) f (x) ; 4 5x 4 3x 2 x2 6x 8 44 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Đs : (n) (n) 1 n (n 2)! n (n 3) a) f (x) 3 ( 1) 2 (2x 3) . (2x 3) 2! 1 n ( 1)k (k 2)! ( 1)n 1(n 3)! f (x) 2k (2.0 3) (k 3).xk 2n 1(2.c 3) (n 4).xn 1,c (0, x) 3  . (2x 3) k 0 2!k! 2!(n 1)! n (n) (5i 4) 5n 1 1  n b) f (n) (x) ( 1)n i 1 3n (3x 4) 5 . ( (5i 4) 1.6.11 (5n 4) ) 5 n  3x 4 5 i 1 k n 1 k n 1 ( 1) (5i 4) 5k 1 ( 1) (5i 4) 5n 6 1 n   f (x) i 1 3k (3.0 4) 5 .xk i 1 3n 1(3.c 4) 5 xn 1,c (0, x) . 5  k n 1 3x 4 k 0 5 .k! 5 .(n 1)! (n) (n) 3x n n n 1 n 1 3x c) f (x) xe ( 1) 3 x ( 1) n.3 e . n ( 1)k 3k.0 ( 1)k 1.k.3k 1 e 3.0 ( 1)n 13n 1.c ( 1)n (n 1)3n e 3c f (x) xe 3x  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! (n) (n) 2x n n n 1 n 1 2x d) f (x) (x 3)e ( 1) 2 x ( 1) (n 6)2 e . n ( 1)k 2k.0 ( 1)k 1(k 6)2k 1 e 2.0 ( 1)n 12n 1.c ( 1)n (n 7)2n e 2c f (x) (x 3)e 2x  xk xn 1,c (0, x) k 0 k! (n 1)! (n) (n) x 1n ( n 1)! n (n 2) (n 2) e) f (x) 2 2 ( 1) 2 (2x 1) (2x 1) . (2x 1) (2x 1) 8 1! n x 1 k (n 1)! k (k 2) (k 2) k f (x) 2 2  ( 1) 2 (2.0 1) (2.0 1) x (2x 1) (2x 1) k 0 8 1!k! 1 (n 2)! ( 1)n 1 2n 1 (2c 1) (n 3) (2c 1) (n 3) xn 1,c (0, x) . 8 1!(n 1)! n (n) (4i 3) 4n 1  (n) 1 n i 1 n 4 f) f( x ) ( 1)n 5 (3 x 4) . 4 5x 4 4 k n 1 k n 1 ( 1) (4i 3) 4k 1 ( 1) (4i 3) 4n 5 1 n   f (x) i 1 5k (5.0 4) 4 .xk i 1 5n 1(5.c 4) 4 .xn 1,c (0, x) . 4  k n 1 5x 4 k 0 4 .k! 4 .(n 1)! (n) 2n 1 (n) 1 n (2n 1)!! n 2 g) f (x) ( 1) n 3 (3x 2) . ( (2n 1)!! 1.3.5.7 (2n 1) ) 3x 2 2 k 2k 1 n 1 2n 3 1 n ( 1) (2k 1)!! ( 1) (2n 1)!! f (x) 3k (3.0 2) 2 .xk 3n 1(3.c 2) 2 .xn 1,c (0, x)  k n 1 . 3x 2 k 0 2 .k! 2 (n 1)! 1 (n) 1 (n) 1 n n 1 (n) m 1 h) f (x) x x x m  i 2 x m . i 1 m 45 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 1 n k 1 n 1 n 1 m 1 m n i 2 .0 i 2 .0  m  m f (x) xm x  i 1 xk i 1 xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! (n) i) f (n) (x) 3x 3 x 3x ln n 3 ( 1)n 3 x ln n 3. n 30 lnn 3 ( 1)n 3 0 lnn 3 3c lnn 1 3 ( 1)n 3 c lnn 1 3 f (x) 3x 3 x  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! (n) (n) 2x 3 n 11 (n 1) 7 (n 1) j) f (x) 2 ( 1) n! (x 4) (x 2) . x 6x 8 2 2 n 2x 3 k k! 11 (k 1) 7 (k 1) k f (x) 2 ( 1) (0 4) (0 2) x x 6x 8 k 0 k! 2 2 (n 1)! ( 1)n 1 (c 4) (n 2) ( c 2) (n 2) xn 1 , c (0, x ) . (n 1)! 12) Viết công thức Maclaurin của các hàm số sau : 2x 3 4x 1 x a) f (x) 2 ; b) f (x) 2 2 ; c) f (x) cos 2x ; d) f (x) ; x 5x 6 (4x 3) (4 x 1) 4x 3 6x 1 3x x e) f (x) sin 3x ; f) f (x) 2 2 ; g) f (x) (x 2)e ; h) f (x) ; (3x 2) (3 x 1) 3 5x 4 1 1 i) f (x) ; j) f (x) sin2 2x.cos3x ; k) f (x) ln(3x 2) ; l) y ; 5 5 (4x 3) 4x 5 2x 3 n ( 1)k k![9(0 3) (k 1) 7(0 2) (k 1) ] f (x) xk Đs : a) 2  x 5x 6 k 0 k! ( 1)n 1(n 1)![9(c 3) (n 2) 7(c 2) (n 2) ] xn 1,c (0, x) . (n 1)! 4x 1 n 1 ( 1)k (k 2)!4k [(4.0 3) (k 2) (4.0 1) (k 2) ] f (x) . xk b) 2 2  (4x 3) (4x 1) k 0 8 1!k! 1 ( 1)n 1(n 3)!4n 1[(4c 3) (n 3) (4c 1) (n 3) ] . xn 1,c (0, x) . 8 1!(n 1)! k k n 1 (n 1) n 2 cos 2.0 2 cos 2c 2 2 c) f (x) cos 2x  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! k 2k 1 n 1 2n 3 x n ( 1) (2k 1)!! ( 1) (2n 1)!! f (x) x 4k (4.0 3) 2 .xk x 4n 1(4.c 3) 2 .xn 1,c (0, x) d)  k n 1 . 4x 3 k 0 2 .k! 2 (n 1)! k k n 1 (n 1) n 3 sin 3.0 3 sin 3c 2 2 e) f (x) sin 3x  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! 6x 1 n 1 ( 1)k (k 2)!3k [(3.0 2) (k 2) (3.0 1) (k 2) ] f (x) . xk f) 2 2  (3x 2) (3x 1) k 0 3 1!k! 46 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 ( 1)n 1(n 3)!3n 1[(3c 2) (n 3) (3c 1) (n 3) ] . xn 1,c (0, x). 3 1!(n 1)! n 0 ( 1)k 1(k 6)3k 1 e 3.0 ( 1)n 13n 1.c ( 1)n (n 5)3n e 3c g) f (x) (x 2)e 3x  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! k n 1 k n 1 ( 1) (3i 2) 3k 1 ( 1) (3i 2) 3n 5 1 n   h) f (x) i 1 5k (5.0 4) 3 .xk i 1 5n 1(5.c 4) 3 .xn 1,c (0, x) . 3  k n 1 5x 4 k 0 3 .k! 3 .(n 1)! 1 n ( 1)k (k 4)! ( 1)n 1(n 5)! f (x) 4k (4.0 3) (k 5).xk 4n 1(4.c 3) (n 4).xn 1,c (0, x) i) 5  . (4x 3) k 0 4!k! 4!(n 1)! 3k k 7k k 1 k n cos 3.0 cos 7.0 cos 0 2 2 4 2 4 2 j) f (x) sin2 2x.cos3x  xk k 0 k! 3n 1 (n 1) 7n 1 (n 1) 1 (n 1) cos 3c cos 7c cos c 2 2 4 2 4 2 xn 1,c (0, x) . (n 1)! n ( 1)k 1(k 1)!3k (3.0 2) k ( 1)n n!3n 1(3.c 2) (n 1) k) f (x) ln(3x 2)  xk xn 1,c (0, x) . k 0 k! (n 1)! k n 1 k n 1 ( 1) (5i 4) 5k 1 ( 1) (5i 4) 5n 6 1 n   l) f (x) i 1 4k (4.0 5) 5 .xk i 1 4n 1(4.c 4) 5 .xn 1,c (0, x) . 5  k n 1 4x 5 k 0 5 .k! 5 .(n 1)! 13) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau : 2x3 1 x2 3 x 1 x2 2x 3 x2 2x a) y 2 ; b) y 2 ; c) y ; d) y = 2 ; e) y 2 ; x x 3 x2 2 x 2x x 2x 3 x 1 2 x x3 2 x x2 8 x2 3 f) y 2 ; g) y ; h) y 2 ; i) y 2 ; j) y 2 ; x 2x 3 x2 2 x 4 x 4 x 1 3 2x2 2x2 3 2x2 2x2 x2 9 k) y ; l) y ; m) y ; n) y ; o) y ; x2 3 x2 1 x2 3 (x 1)2 x2 3 x 2 x2 2 x3 x2 2x 3 x2 2x p) y 2 ; q) y 2 ; r) y 2 ; t) y 2 ; u) y 2 ; x 4x 5 x 2x x 1 x 2x 3 x 2x 4 Đs : a) Bảng biến thiên b) Bảng biến thiên x 1 0 x 1 0 1 y 0 y 0 y y 0 0 3 1 1 y y 1 2 1 2 1 Đồ thị Đồ thị 47 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền y y 1 1 0 x 1 0 1 x 1 2 2 1 3 c) Bảng biến thiên d) Bảng biến thiên x 2 1 1 2 x 2 1 0 y 0 y 0 y 0 0 y 1 1 1 1 y 3 1 3 y 6 2 4 3 Đồ thị Đồ thị y y 4 1 2 1 0 1 2 x 1 1 2 1 0 x e) Bảng biến thiên f) Bảng biến thiên x 1 1 3 x 3 1 1 y 0 y y y 0 1 4 0 y y 0 1 1 0 Đồ thị Đồ thị 48 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền y y 1 1 0 1 2 3 x 3 1 0 1 x g) Bảng biến thiên h) Bảng biến thiên x 2 1 1 2 x 4 2 0 2 4 y 0 y 0 0 0 y 0 0 y 0 3 6 y 4 1 0 6 1 1 6 Đồ thị Đồ thị y 6 y 1 4 2 0 2 4 x 2 1 0 1 2 2 x 1 6 i) Bảng biến thiên j) Bảng biến thiên x 2 0 2 x 1 0 1 y 0 y 0 y y 1 1 3 y y 2 1 1 49 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Đồ thị Đồ thị y y 1 2 1 0 1 x 1 3 2 0 2 x k) Bảng biến thiên l) Bảng biến thiên x 1 0 1 x 1 0 1 y 0 y 0 y 0 0 y 1 2 2 y 1 4 1 4 y 2 2 3 Đồ thị Đồ thị y y 1 1 4 3 1 0 1 x 2 2 1 0 1 x m) Bảng biến thiên n) Bảng biến thiên x 1 0 1 x 1 0 1 2 y 0 y 0 y 0 0 y 0 2 2 2 y 1 2 1 2 y 2 9 0 2 0 Đồ thị Đồ thị y y 2 2 1 0 1 x 1 0 1 2 x 50 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền o) Bảng biến thiên p) Bảng biến thiên x 1 0 1 x 2 3 3 2 1 2 3 y 0 y 0 0 y 0 0 y 0 0 0 3 0 1 2 y 5 2 5 2 y 3 4 0 3 4 1 1 1 2 0 Đồ thị y Đồ thị y 3 5 2 3,7 3 2 1 0,3 0 x 1 1 0 1 x q) Bảng biến thiên r) Bảng biến thiên x 0 1 2 x 3 1 0 1 3 y y 0 0 0 y 0 y 0 1 3 3 2 y 1 y 0 1 3 3 2 Đồ thị y Đồ thị y 1 1 0 1 x 0 1 2 x t) Bảng biến thiên u) Bảng biến thiên x 1 1 3 x 0 1 2 y 0 y 0 y y 0 0 1 2 1 1 y y 0 0 1 1 1 3 Đồ thị y Đồ thị y 1 1 1 0 1 x 0 1 2 x 51 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Chương 3 : Hàm nhiều biến I. Nội dung cần nhớ : n 2 1) Định nghĩa : f:,,(,,,) D R D  R x x1 x2  xn ; f : D R , D  R . x y f (x) ( x, y) z f ( x, y) Ví dụ : Tìm miền xác định của các hàm số sau : + z = ln(x2 y) có miền xác định là D = (x,y) R 2 : x < y x . + z = f(x,y) = x 2 + y2 1 + 4 x 2 y2 , D = (x,y) R 2 : 1 x 2 + y2 4 . + z x y có miền xác định là D {(x, y) R2 : 0 y x2}. x 1 x 1  + z arcsin có miền xác định là D (x, y) R2 : 1 1. y y  2) Giới hạn : a) Dãy điểm : + Mn (xn ,yn ) M0 (x0 ,y0 ), khi n . Ví dụ : n + 1 n2 1 - M ( , ) M ( , 1), khi n . n 2n + 1 n2 + 30 2 n 2 n 3 - M n 2 , M (0,1), khi n . n 1 n 2 + Nếu xn hoặc yn thì Mn (xn ,yn ) , khi n . Ví dụ : n 2n2 + 3 - M ( , ) , khi n . n n + 1 n + 2 n3 2 n 3 - M n 2 , , khi n . n 1 n 2 b) Hàm số : lim f(x,y) = L hay lim f(x,y) = L . (x,y) (x0 ,y0 ) x x0 y y0 Ví dụ : Tính các giới hạn sau : ln(1 + xy2 ) ln(1 + xy2 ) - lim = lim .y2 = 1.22 = 4 . x 0 x 0 2 y 2 x y 2 xy xy xy .y lim .y y 1 sinxy x 0 sinxy 2 - lim 1 + xy sinxy = lim 1 + xy xy = ey 2 = e . x 0 x 0 y 2 y 2 sin2 (exy 1) sin2 (exy 1) (exy 1)2 - lim lim . .x 1.1.2 2 . x 2 2 x 2 xy 2 2 y 0 xy y 0 (e 1) (xy) Nhận xét : Để chứng minh giới hạn không tồn tại thì ta đưa ra hai cặp dãy con bất kỳ. Nếu giới hạn hàm của hai cặp dãy con đó tiến về hai giá trị khác nhau thì giới hạn đó không tồn tại. 52 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại : x2 + y2 - lim . x 0 y 0 xy 2 2 1 1 + 1 1 n n f(xn ,yn ) = f , = = 2 2 1 1 n n 1 1 (xn ,yn ) = , (0,0) . n n n n nhưng 2 2 , khi n 1 2 1 2 (xn ,yn ) = , (0,0) + n n 1 2 n n 5 5 f(xn ,yn ) = f , = = n n 1 2 2 2 . n n x y - lim . x 0 y 0 x + y 3 2 3 2 n n 1 1 f(xn ,yn ) = f , = = 3 2 n n 3 2 5 5 (xn ,yn ) = , (0,0) n n n n nhưng , khi n . 1 2 1 2 (xn ,yn ) = , (0,0) n n 1 2 n n f(xn ,yn ) = f , = = 3 3 n n 1 2 n n c) Định lý (kẹp) : Giả sử f(x,y), g(x,y) và h(x,y) cùng xác định trên D và f(x,y) g(x,y) h(x,y), (x,y) D . Hơn nữa : lim f(x,y) = L và lim h(x,y) = L . Khi đó : lim g(x,y) = L . (x,y) (x0 ,y0 ) x x0 (x,y) (x0 ,y0 ) y y0 y2x Ví dụ : Tính lim . x 0 2 2 y 0 x + y y2x y2x 1 Ta có : 0 = y , (x,y) (0,0) . x2 + y2 2xy 2 (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : x + y 2 xy ). y2x Mà : lim y = 0 . Nên theo định lý giới hạn kẹp, ta có : lim = 0. (x,y) (0,0) x 0 2 2 y 0 x + y y2x Vậy : lim = 0. x 0 2 2 y 0 x + y 3) Đạo hàm riêng cấp 1 : 0 0 0 0 0 0 *) Cho f (x) f (x1, x2 , x3 , xi 1, xi ,, xn ) xác định trong lân cận của (x1 , x2 , x3 ,xi 1, xi ,, xn ) . Nếu tồn tại giới hạn sau thì ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 1 theo biến thứ i . 53 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền f x0 , x0 , x0 ,, x0 , x0 x ,, x0 f 0 0 0 0 0 0 1 2 3 i 1 i i n fx x1 , x2 , x3 ,, xi 1, xi ,, xn lim . i x 0 xi i xi *) Cho z = f(x, y) xác định trong lân cận của (x0 , y0 ) . Nếu tồn tại giới hạn sau thì ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 1. i) Đạo hàm riêng theo biến x thì y xem như là hằng số : f f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) z x fx (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) lim . x x 0 x ii) Đạo hàm riêng theo biến y thì x xem như là hằng số : f f(,)(,) x0 y y0 f x0 y0 z y f y (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) lim . x y 0 y Chú ý : Các quy tắc đạo hàm và các đạo hàm của các hàm cơ bản giống tương tự như hàm một biến. Ví dụ : Tính đạo hàm riêng cấp 1 các hàm số sau : z z xy z y z x +) z = yx , yx ln y , x.yx 1 . +) z = , , . x  y 1 + xy x (1 + xy)2  y (1 + xy)2 1 1 2 3 x 3 y 2 z z +) z = ln(1 + 3 x2 + y3 ), 3 , 2 . x 1 + 3 x2 + y3 y 1 + 3 x2 + y3 iii) Đạo hàm riêng hàm hợp : z z x z y z z x z y + Nếu z = f(x, y), x = x(u, v), y = (u, v) thì = . + . ; = . + . . u x u y u v x v y v Ví dụ : - z = x.siny, x = u2 + v2 , y = u.v . z = siny.2u + x.cosy.v = sin(u.v).2u + (u2 + v2 ).cos(u.v).v u Ta có : . z = siny.2v + x.cosy.u = sin(u.v).2v + (u2 + v2 ).cos(u.v).u v x - z = e y .ln(x2 + y2 ), x = u.cosv, y = v.sinu . x x x x z 1 y 2 2 y 2x x y 2 2 y 2y = e .ln(x + y ) + e 2 2 .cosv + 2 e .ln(x + y ) + e 2 2 .v.cosu u y x + y y x + y Ta có : . x x x x z 1 y 2 2 y 2x x y 2 2 y 2y = e .ln(x + y ) + e 2 2 .u.( sinv) + 2 e .ln(x + y ) + e 2 2 .sinu v y x + y y x + y u.cosv u.cosv z 1 v.sinu 2 2 2 2 v.sinu 2u.cosv = e .ln(u .cos v + v .sin u) + e 2 2 2 2 .cosv + u v.sinu u .cos v + v .sin u u.cosv u.cosv u.cosv v.sinu 2 2 2 2 v.sinu 2v.sinu + 2 2 e .ln(u .cos v + v .sin u) + e 2 2 2 2 .v.cosu . v .sin u u .cos v + v .sin u 54 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền u.cosv u.cosv z 1 v.sinu 2 2 2 2 v.sinu 2u.cosv = e .ln(u .cos v + v .sin u) + e 2 2 2 2 .u.( sinv) + v v.sinu u .cos v + v .sin u u.cosv u.cosv u.cosv v.sinu 2 2 2 2 v.sinu 2v.sinu + 2 2 e .ln(u .cos v + v .sin u) + e 2 2 2 2 .sinu . v .sin u u .cos v + v .sin u dz z z dy + Nếu z = f(x, y), y = y(x) thì = + . . dx x y dx Ví dụ : - z = x.ln x2 + y2 + 1 , y = sin2x . dz 2x2 xy Ta có : = ln x2 + y2 + 1 + + .2cos2x 2 2 dx x + y + 1 y2 + 1. x2 + y2 + 1 dz 2x2 x.sin2x = ln x2 + sin2 2x + 1 + + .2cos2x 2 2 dx x + sin 2x + 1 sin2 2x + 1. x2 + sin2 2x + 1 x - z = xy + ye y , y = xex . x x x 1 1 1 dz x x x 1 x = y + e y + x + e y e y .(x + 1)ex = xex + ee + x + ee e e .(x + 1)ex . x dx y e dz z dx  z dy + Nếu z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) thì = . + . . dt x dt y dt Ví dụ : x - z = x.arctg , x = a.cost, y = a.sint, a > 0 . y dz x xy x2 Ta có : = arctg + 2 2 .a( sint) + 2 2 .a.cost . dt y x + y x + y dz 1 2 = arctg cotgt + sin2t .a( sint) + cos t .a.cost . dt 2 - z x2 2y2 xy 1, x t, y 1 t 2 . dz Ta có : 2x y (4y x)2t 2t 1 t 2 (4 4t 2 t)2t 8t3 3t 2 10t 1. dt iv) Đạo hàm riêng hàm ẩn : + F(x,y,z(x,y)) = 0 với z = f(x,y) . Ta đạo hàm đẳng thức F(x,y,z(x,y)) = 0 theo x, y (coi vế trái là hàm hợp của x, y), sau đó giải phương trình thu được theo z'(x), z'(y) . ' ' Fx ' ' ' zx = ' Fx + Fz.zx = 0 Fz , F' 0 Ta có : ' ' ' ' z . Fy + Fz.zy = 0 ' Fy z = y ' Fz 55 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ' ' Ví dụ : Cho phương trình F(x, y,z) = xlny + xyz + z 3 = 0 . Tính zx , zy . x + xz x lny + yz y Ta có : F' = lny + yz, F' = + xz, F' = xy + 1, z' = , z' = , xy 1. x y y z x xy + 1 y xy + 1 F(x,y(x),z(x)) = 0 + với y = y(x), z = z(x) . G(x,y(x),z(x)) = 0 Ta đạo hàm đẳng thức F(x,y(x),z(x)) = 0 , G(x,y(x),z(x)) = 0 theo x (coi vế trái là hàm hợp của x), sau đó giải phương trình thu được theo z'(x), y'(x) . Fx Fz Gx Gz y x Fy Fz G G Fx Fy .yx Fz .zx 0 y z Fy Fz Ta có : , Fy .Gz G y .Fz 0 . G G Gx Gy .yx Gz .zx 0 Fy Fx y z G y Gx z x Fy Fz G G y z F = x.arctgy + xyz + z + y + 1 = 0 Ví dụ : Cho hệ phương trình . Tính y' , z' . 2 2 x x G = xy + z + ln(x + y + z ) 0 Ta có : x F' = arctgy + yz, F' = + xz + 1, F' = xy + 1. x y 1 + y2 z ' 1 ' y ' z Gx = y + , Gy = x + , Gz = 1 + . x + y2 + z2 y2 + z2 x + y2 + z2 y2 + z2 x + y2 + z2 z 1 (arctgy + yz) 1 + (xy + 1) y + 2 2 2 2 2 2 y + z x + y + z x + y + z y' = . x x z z + xz + 1 1 + (arctgy + yz) x + 2 1 + y y2 + z2 x + y2 + z2 y2 + z2 x + y2 + z2 x z y ( + xz) 1 + (arctgy + yz) x + 2 1 + y y2 + z2 x + y2 + z2 y2 + z2 x + y2 + z2 z' = . x x z z + xz + 1 1 + (arctgy + yz) x + 2 1 + y y2 + z2 x + y2 + z2 y2 + z2 x + y2 + z2 56 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền *) Cho u f (x, y, z) xác định trong lân cận của (x0 , y0 , z0 ) .Nếu tồn tại giới hạn sau thì ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 1. i) Đạo hàm riêng theo biến x thì y, z xem như là hằng số : f f (x0 x, y0 , z0 ) f (x0 , y0 , z0 ) u x fx (x0 , y0 , z0 ) (x0 , y0 , z0 ) lim . x x 0 x ii) Đạo hàm riêng theo biến y thì x, z xem như là hằng số : f f (x0 , y0 y, z0 ) f (x0 , y0 , z0 ) u y f y (x0 , y0 , z0 ) (x0 , y0 , z0 ) lim . y y 0 y iii) Đạo hàm riêng theo biến z thì x, y xem như là hằng số : f f (x0 , y0 , z0 z) f (x0 , y0 , z0 ) u z f z (x0 , y0 , z0 ) (x0 , y0 , z0 ) lim . z z 0 z Chú ý : Các quy tắc đạo hàm và các đạo hàm của các hàm cơ bản giống tương tự như hàm một biến. Ví dụ : Tính đạo hàm riêng cấp 1 các hàm số sau : 2 2 3 2 2 + u x xy y z z 1 ux 2x y,u y x 2yz,u z y 3z . y z 2 y 1 y z 2 + u x y xy y z 1 u x yx y,u y x ln x x 2yz,u z y ln y y . iv) Đạo hàm riêng hàm hợp : + Nếu G f (x, y, z), x x(u,v, w), y y(u,v, w), z z(u,v, w) thì : GGxGyGzGGxGyGzGGxGyGz    . . . , . . . , . . . . u x u y u z u v x v y v z v w x w y w z w Ví dụ : Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số G xy2 yez , với x u v2w, y uv w, z uvw . Ta có : G y2 (2xy ez )v yez .vw (uv w)2 (u v2w)(uv w) euvw v (uv w)euvwvw . u G y2 2vw (2xy ez )u yez .uw (uv w)2 2vw (u v2w)(uv w) euvw u (uv w)euvwuw. v G y2v2 2xy ez yez .uv (uv w)2 v2 (u v2w)(uv w) euvw (uv w)euvwuv . w dG G G dy G dz + Nếu G f (x, y, z), y y(x), z z(x) thì . dx x  y dx  z dx Ví dụ : Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số G xz yex , với y x2 3x 2, z sin 2x . G Ta có : z yex ex (2x 3) 2x cos 2x sin2x (x2 3x 2)ex ex (2x 3) 2x cos 2x . x dG G G dz dG G G dz + Nếu G f (x, y, z), z z(x, y) thì . , . . dx x z dx dy y z dy Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số : - G arctan x yex x2 z ,với z x2 y2 . dG1 1 dG Ta có : yex 2xz x2.2x yex 4x3 2xy2 , yex x2.2y . dx1 x2 1 x2 dy 57 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền - G x ln y x2 z yz 1, với z y ln x xe y . Ta có : dG 2 y y dG x 2 y x y 2 y ln y 2xy (x y) e , z (x y)(ln x xe ) y ln x xe (x y)(ln x xe ) dx x dy y y dG G dx  G dy  G dz + Nếu G f (x, y, z), x x(t), y y(t), z z(t) thì . dt x dt  y dt  z dt Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số G ln(1 x2 ) ze y , với x 1 t2 , y ln t , z arctan t . dG 2x t y 1 y 1 2t t Ta có : 2 . ze . e . 2 2 arctan t 2 . dt 1 x 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 4) Vi phân toàn phần (vi phân cấp 1) : a) Định nghĩa : Cho f (x) f (x1, x2 , x3 ,, xn ) . Ta có : f f f f df (x1, x2 , x3 ,, xn ) dx1 dx2 dx3  dxn . x1 x2 x3 xn z  z * Cho z f (x, y) . Ta có : dz = dx + dy . x y u  u  u * u f (x, y, z) . Ta có : du dx dy dz . x y z Ví dụ : Tính vi phân cấp 1 của các hàm số sau : xy + z = . 1 xy z y(1 + xy) y2x y z x(1 + xy) x2 y x Ta có : = , = . x (1 + xy)2 (1 + xy)2 y (1 + xy)2 (1 + xy)2 y x Vậy : dz = dx + dy . (1 + xy)2 (1 + xy)2 + z = sinxy . z  z Ta có : y.cosxy, x.cosxy . x y Vậy : dz = y.cosxydx + x.cosxydy . + z = ln[1 + 3 x y]. 1 1 1 1 z 3 3 2 z 2 y Ta có : x , . x 1 + 3 x + y y 1 + 3 x + y 1 1 1 1 3 3 2 2 y Vậy : dz = x dx + dy . 1 + 3 x + y 1 + 3 x + y b) Công thức tính gần đúng : * Cho z f (x, y) . Ta có : 58 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền f  f f(x, y) = f(a + x, b + y) f(a, b) + (a,b). x + (a,b). y . x y * Cho u f (x, y, z) . Ta có : u  u  u f (x, y, z) f (a x,b y,c z) f (a,b,c) (a,b,c) x (a,b,c) y (a,b,c) z . x y z Ví dụ : Dùng vi phân toàn phần tính gần đúng biểu thức A = ln[1 + 3 0,98 + 3,98] . Xét hàm số f(x, y) = ln[1 + 3 x + y], a = 1, x = 0,98 1 = 0,02; b = 4, y = 3,98 4 = 0,02. Ta có : f(1, 4) = 2ln2 = 1,386 f 1 f 1 f 1 f 1 (1, 4) , (1, 4) . x 33 x2 1 3 x y x 12 y 2 y 1 3 x y y 16 1 1 Vậy : A = ln[1 + 3 0,98 + 3,98] 1,386 + .( 0,02) + .( 0,02) = 1,386 0,003 = 1,383 . 12 16 5) Đạo hàm riêng cấp cao : * Cho f (x) f (x1, x2 , x3 ,, xn ) . Khi đó số đạo hàm cấp cao là : Với hàm 2 biến thì có 2k đạo hàm riêng cấp k . Với hàm 3 biến thì có 3k đạo hàm riêng cấp k . Với hàm n biến thì có nk đạo hàm riêng cấp k . + Đạo hàm riêng cấp 2 : z z 2z 2z 2z 2z - Cho z f (x, y) . Ta có : , , , , , . x y x2 xy yx y2 u u u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u - Cho u f (x, y, z) . Ta có : , , , , , , , , , , , . x y z x2 xy yx xz zx y2 yz zy z 2 2 z 2 z 2u 2u 2u 2u 2u 2u + Định lý (Schwartz) : , , , . xy yx xy yx xz zx yz zy + Ví dụ : tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau : - z = f(x, y) = x y . z z 2z 2z 2z Ta có : yx y 1, = x yln x , y(y 1)x y 2 , x y 1 yx y 1 ln x , x y ln2 x . x x xx xx yy x + y - z = f(x, y) = . 1 xy z 1 y2 z 1 x2 2z 2y(1 y2 ) 2z 2x(1 x2 ) 2z 2(x y) Ta có : = , = , = , = , = . x (1 + xy)2 x (1 + xy)2 2x (1 + xy)4 2x (1 + xy)4 xy (1 + xy)3 + Đạo hàm riêng cấp 3 : - Cho z f (x, y) . Ta có : z z 2 z 2 z 2 z 2 z 3z 3 z 3 z 3 z 3 z 3z 3 z 3 z , , , , , , , , , , , , , . x y x2 xy yx y2 x3 xxy xyx yxx xyy yxy yyx y3 u u u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u - Cho u f (x, y, z) . Ta có : , , , , , , , , , , , . x y z x2 xy yx xz zx y2 yz zy z2 59 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : Tính đạo hàm riêng cấp 3 của hàm số z x2 y 2xy3 y4 1. 3 2 2 3 2 2 2 Ta có : zx 2xy 2y , zy x 6xy 4y , z x x 2y, z x y 2x 6y , z y x 2x 6y , z y y 12xy 12y , z x xx 0, z x xy 2, z x yx 2, z y xx 2, z x yy 12y, z y xy 12y, z y yx 12y, z y yy 24y . 6) Vi phân cấp cao : * Cho z f (x, y) . 2z 2z 2z + Vi phân cấp 2 : d2z = dx2 + 2 dxdy + dy2 . 2x xy 2 y n n   + Vi phân cấp n : d f dx dy . f . x y * Cho u f (x, y, z) . 2 2    + Vi phân cấp 2 : d f dx dy . f . x y z n n    + Vi phân cấp n : d f dx dy . f . x y z Ví dụ : Tính vi phân cấp 2 của hàm số z = x + y xey . z z 2z 2z 2z Ta có : = 1 ey , = 1 xey , = 0, = ey , = xey . x y x2 xy y2 Vậy : d2z = 0dx2 2eydxdy xeydy2 = 2eydxdy xeydy2 . 7) Ví dụ áp dụng : Tìm hàm số z = f(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau : a) fx x 2y, fx (1, y) y 2, f (1, y) 3 . Vì f 2y nên suy ra f 2xy g(y) . Từ đó ta suy ra f (x, y) x2 y xg(y) h(y) . xx x Mặt khác : Do fx (1, y) y 2 và f (1, y) 3 nên ta suy ra g(y) 2 y, h( y) 1. Vậy hàm số cần tìm là z x2 y x(2 y) 1. x b) f y y 2e , f y (x,1) x 1, f (x,1) 0 . Vì f 2ex nên suy ra f 2yex g(x) . Từ đó ta suy ra f (x, y) y2ex yg(x) h(x) . yy y x x Mặt khác : Do f y (x,1) x 1 và f (x,1) 0 nên ta suy ra g(x) x 1 2e , h(x) e 1 x . Vậy hàm số cần tìm là z y2ex y(x 1 2ex ) ex 1 x . 2 c) f y y 2 x , f y (x,1) x, f (x,1) 0 . 1 Vì f 2 x2 nên suy ra f 2y x2 y g(x) . Từ đó ta suy ra f (x, y) y2 x2 y2 yg(x) h(x) . yy y 2 1 Mặt khác : Do f (x,1) x và f (x,1) 0 nên ta suy ra g(x) x x2 2, h(x) x2 1 x . y 2 1 1 Vậy hàm số cần tìm là z y2 x2 y2 y(x x2 2) x2 1 x . 2 2 8) Cực trị (hai biến) : 60 Lưu hành nội bộ cá nhân
Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền a) Cực trị tự do : Tìm cực trị của hàm số z = f(x, y) . Bước 1 : Tìm điểm nghi ngờ cực trị : z 0 x Giải hệ : M (x , y ) . z 0 0 0 0 y 2z 2z 2z Bước 2 : Tính A = , B = , C = , = B2 AC . 2x xy 2 y Bước 3 : Xét tại điểm M0 (x0 , y0 ) . Trường hợp 1 : Nếu > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm M0 (x0 , y0 ) . Trường hợp 2 : Nếu = 0 thì chưa kết luận được (Sử dụng phương pháp khác, thường là đưa ra hai cặp dãy điểm sau đó sử dụng định nghĩa). Trường hợp 3 : Nếu 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm M0 (x0 , y0 ) . zmin (M0 ) ? + Nếu A 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M0 (1, 1) . Vậy : zmin = 2 tại M0 (1, 1) . ii) z = x y + yex . + Tìm điểm nghi ngờ cực trị : z 0 x 1 + yex = 0 x = 0 M0 (0, 1) . z x y = 1 0 1 + e = 0 y 2 z 2 z 2 z + Tính : A yex , B ex ,C 0 A 1, B 1,C 0 . x2 xy y2 2 2 Vì B AC 1 ( 1).0 1 0 nên hàm số không đạt cực trị tại M 0 (0, 1) . iii) z = x4 2x2 + y2 + 2y + 1. 61 Lưu hành nội bộ cá nhân