Bài giảng Trị riêng, Vector riêng và dạng toàn phương

Nội dung text: Bài giảng Trị riêng, Vector riêng và dạng toàn phương

1. Chương 4 TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG & DẠNG TOÀN PHƯƠNG Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: 501002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
2. Nội dung 1 Chéo hóa ma trận Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận 2 Dạng toàn phương Dạng toàn phương Dạng chính tắc của dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
3. Đa thức đặc trưng Cho A ∈ Mn, ta gọi đa thức đặc trưng của A là đa thức: pA(x) = det(xIn − A) Ví dụ:  3 1 −1  1. Xét A =  2 2 −1  2 2 0 Tìm đa thức đặc trưng của A 2. Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A và P−1AP có cùng đa thức đặc trưng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 2 / 14
4. Trị riêng, vector riêng Cho A ∈ Mn Ký hiệu: [v] là tọa độ của v ∈ Rn trong cơ sở chính tắc Vector v ∈ Rn (v 6= 0) gọi là vector riêng của A nếu tồn tại λ ∈ R sao cho: A[v] = λ[v] Khi đó ta nói λ là một trị riêng của A. Và v là vector riêng ứng với trị riêng λ λ là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng pA(x) Ví dụ: Tìm các trị riêng của ma trận A trong ví dụ trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 3 / 14
5. Không gian con riêng Tập các vector v ∈ Rn thỏa: A[v] = λ[v] là một không gian vector con của Rn. Ký hiệu:E (λ) Nếu λ là trị riêng của A thì E(λ) được gọi là không gian con riêng ứng với trị riêng λ Ví dụ: 1. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng của A trong ví dụ trên 2. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng  2 −1 −1  của B =  −1 2 −1  −1 −1 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 4 / 14
6. Chéo hóa ma trận vuông Ma trận vuông A ∈ Mn gọi là chéo hóa được nếu tồn tại −1 ma trận khả nghịch P ∈ Mn sao cho P AP là ma trận đường chéo. P−1AP gọi là dạng chéo của ma trận A A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở của Rn gồm toàn các vector riêng của A Nếu λ là nghiệm bội m của pA(x) thì m ≥ n = dim E(λ) Gọi λ1, λ2, . . . , λk là tất cả các trị riêng khác nhau của A. Đặt ni = dim E(λi ), khi đó: A chéo hóa được khi và chỉ khi n1 + n2 + ··· + nk = n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 5 / 14
7. Thuật toán chéo hóa ma trận 1. Tìm đa thức đặc trưng, xác định các trị riêng λi → Nếu tổng bậc của các trị riêng nhỏ hơn n thì không chéo hóa được 2. Tìm các cơ sở Bi cho các không gian con riêng E(λi ) tương ứng → Nếu tổng số chiều các không gian con riêng nhỏ hơn n thì không chéo hóa được 3. Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk , và đặt P = P(B0 → B). → Thì: P−1AP là ma trận chéo, với các phần tử trên đường chéo là các trị riêng của A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 6 / 14
8. Ví dụ: Các ma trận sau có chéo được không? Nếu có, hãy chéo hóa nó. 1. Các ma trận trong ví dụ trên.  1 −1   2 1  2. , 1 3 2 3  4 2 −1  3.  −6 −4 3  −6 −6 5  −3 1 −1  4.  −7 5 −1  −6 6 −2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 7 / 14
9. Dạng toàn phương Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ Q : Rn → R có dạng: 2 Q (x1, x2, , xn) = a11x1 + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn 2 2 +a22x2 + 2a23x2x3 + + annxn     x1 a11 a12 ··· a1n  x2   a12 a22 ··· a2n  Đặt: X =  . , và A =    .   ············  xn a1n a2n ··· ann > Thì Q (x1, x2, , xn) = X AX Ta gọi A là ma trận của dạng toàn phươngQ Chú ý: A là ma trận đối xứng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 8 / 14
10. Ví dụ: Cho dạng toàn phương 2 2 2 Q (x1, x2, x3) = 3x1 + 4x2 + 5x3 + 4x1x2 − 4x2x3 Xác định ma trận của dạng toàn phương Q Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 9 / 14
11. Dạng chính tắc dạng toàn phương Cho dạng toàn phương Q(X ) = [X ]> A[X ] B0 B0 Nếu tồn tại cơ sở B của Rn sao cho: > Q(X ) = [X ] D[X ]B. Với D là ma trận chéo: B   a1 0 0  0 a2 0  D =     0 0 an 2 2 2 Thì Q (X ) = a1y1 + a2y2 + + anyn , với
    > [X ]B = y1 y2 yn . Và ta gọi dạng này là dạng chính tắc của dạng toàn phươngQ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 10 / 14
12. Đưa về dạng chính tắc Dùng ma trận trực giao Ma trận P gọi là ma trận trực giao nếu P−1 = P> Nếu A đối xứng thì luôn tồn tại ma trận trực giao P sao cho P−1AP là ma trận đường chéo Đặt X = PY thì Q(X ) = Y >(P−1AP)Y Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành chéo hóa A (như phần trên). Sau khi có cơ sở B gồm toàn các vector riêng của A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt) để biến B thành cơ sở trực chuẩn C. P = P(B0 → C) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 11 / 14
13. Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1. Q = 3x1 + 4x2 + 5x3 + 4x1x2 − 4x2x3 2. Q = 2x2x3 + 2x3x1 + 2x1x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 12 / 14
14. Dùng phương pháp Lagrange 1. Gom các số hạng chứa x1 lại với nhau: 2 a11x + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn 1   2 a12 a1n = a11 x1 + 2 x1x2 + + 2 x1xn a11 a11  2 a12 a1n = a11 x1 + x2 + + xn a11 a11  2 a12 a1n −a11 x2 + + xn a11 a11 a12 a1n 2. Đặt y1 = x1 + x2 + + xn, thì a11 a11 2 Q = a11y1 + Q1 với Q1 chỉ có n − 1 biến 3. Và tiếp tục . . . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 13 / 14
15. Chú ý: Nếu a11 = 0 thì ta xét x2 trước Nếu a11 = a22 = ··· = 0 thì ta xét một tích chéo nào đó.  x1 = y1 + y2 Chẳng hạn xét a12, đặt: x2 = y1 − y2 2 2 Thì: x1x2 = y1 − y2 Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 2 2 2 1. Q = 2x1 + x2 + 17x3 − 4x1x2 + 12x1x3 − 16x2x3 2. Q = x1x2 − 2x1x3 + 2x1x4 − x2x4 − 4x3x4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 14 / 14