Bài giảng Ứng dụng hình học của tích phân xác định

Nội dung text: Bài giảng Ứng dụng hình học của tích phân xác định

1. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2. Bài toán diện tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) y= f() x a D a b b S()() D= f x dx a
3. Bài toán diện tích D: a x b, y nằm giữa f1(x) và f2(x) y= f2 () x a b y= f1() x b S()()() D=− f21 x f x dx a
4. Bài toán diện tích d D: c y d, nằm giữa 0 và f(y) x= f() y d S()() D= f y dy c c
5. Bài toán diện tích D: c y d, nằm giữa f1(y) và f2(y) d d S()()() D=− f21 y f y dy c x= f1() y x= f2 () y c
6. Lưu ý Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân. •Tính hoành độ giao điểm tích phân tính theo biến x(ngược lại là tính theo y)
7. Lưu ý về tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía trên Ox của D SDSD( )= 2 (1 )
8. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y= x( x − 2), y = 0 Hoành độ giao điểm: 0, 2 2 S( D )= x ( x − 2) − 0 dx 0 2 16 =x(2 − x ) dx = 0 15
9. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y= x2, y = 0, x + y = 2
10. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y= x2, y = 0, x + y = 2 1 2 SD()= x2 dx +−(2x ) dx 0 1 Hoặc 1 S( D )= (2 − y ) − ydy 0 5 = 6
11. Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường: y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 Tung độ giao điểm: y = 24 24 16−−yy22 48 S() D=− dx − 24 8 24 24 16−−yy22 48 =− dy − 24 8 24
12. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) Quay D xung quanh Ox
13. Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.
14. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) y= f() x a D a b b 2 Vx = f() x dx a
15. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) Miền D phải nằm về 1 phía y= f() x a của trục Oy D a b b Vy = 2 xf ( x ) dx a
16. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa f1(x) và f2(x) Miền D phải y= f2 () x nằm về 1 phía của trục Ox y= f1() x a b b 22 Vx =− f21()() x f x dx a
17. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa f1(x) và f2(x) Miền D phải y= f2 () x nằm về 1 phía của trục Oy y= f1() x a b b Vy =−2 x( f21 ( x ) f ( x )) dx a
18. Bài toán thể tích d D: c y d, nằm giữa 0 và f(y) x= f() y c
19. Bài toán thể tích D: c y d, nằm giữa f1(y) và f2(y) d x= f1() y x= f2 () y c
20. Lưu ý về tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía trên Ox của D VDVDxx()()= 1 VDVDyy( )= 2 (1 )
21. Ví dụ D : x 0, y 2 – x2, y x. Tính thể tích khi D quay quanh Ox, oy. 1 2 2 2 Vx = (2 − x ) − x dx 0 1 2 Vy =2 x (2 − x ) − x dx 0
22. Ví dụ Tính thể tích khi D quay quanh Ox D: y= xe−x , y = 0, x = 2 2 −x 2 Vx = xe dx 0 ( )
23. Ví dụ Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy D: y= 1 − x2 , y = 0 − 1 x 1 yx=−1 2 1 2 2 Vx =− 1 x dx −1( ) 1 -1 1 =−21 x2 dx 0 ( ) 1 2 Vy =−21 x x dx 0
24. Ví dụ Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy D:2 x22+ y y 2 Pt đường tròn giới hạn C: x= 2 y − y 2 1 hay yx=11 − 2
25. Bài toán diện tích, thể tích với đường cong tham số D giới hạn bởi trục hoành, 2 đường thẳng x=a, x=b và đường cong tham số x== x( t ), y y ( t ), Nếu x(),()tt12== a x b t2 S()()() D= y t x t dt t1 tt 222 Vx == y()(), t x t dt Vy 2x ().()() t y t x t dt tt11
26. Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 33 x=cos t , y = sin t ,0 t và trục hoành tx [0, ] [ − 1,1] 1 0 S() D= ydx =−sin32t 3cos t ( sin t ) dt −1 3 =−62 (sin46t sin t ) dt = 0 16
27. Ví dụ 33 D: x=cos t , y = sin t ,0 x và trục hoành Tính thể tích tạo ra khi D quay quanh Ox, Oy Nhận xét: D đối xứng qua Oy (thay x bởi - x ) tx [0, / 2] [0,1] 1 2 Vx = 2. y dx 0 0 = 2 y2 ( t ) x ( t ) dt 2
28. 0 V=−2 sin62 t 3cos t ( sin t ) dt x 2 =−6 2 (sin79t sin t ) dt 0 1 Vy = 2. x y dx 0 0 =−2 cos3t sin 3 t 3cos 2 t ( sin t ) dt 2
29. Độ dài đường cong phẳng Diện tích mặt tròn xoay Cho đường cong C: y= f(x), a x b b 2 Độ dài đường cong C: L=+1 f ( x ) dx a Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích : b 2 Sx =+2 f ( x ) 1 f ( x ) dx a
30. Ví dụ 1 Cho đường cong C: y= x( x − 12),0 x 12 6 Tính độ dài đường cong và diện tích mặt tạo ra khi C quay quanh Ox 1 x − 12 1 3xx−− 12 4 yx =+== 6 2 x 6 24xx (x − 4)2 11+y 2 = + 16x
31. (x − 4)2 x22+8 x + 16 ( x + 4) 11+y 2 = + == 16x 16xx 16 12 12 x + 4 L=1 + y 2 dx = dx 004 x 12 2 Sx =+21 y y dx 0 12 xx+ 4 =−(x 12) dx 0 6 4 x
32. Ví dụ Cho đường cong C: y=ln x , 1 x 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi C quay quanh Oy. y=ln x , 1 x 2 x = ey ,0 y ln2 1 2 Sy =+2 f ( y ) 1 f ( y ) dy 0 ln 2 =+21 eyy e2 dy 0
33. ln 2 S=+21 eyy e2 dy y 0 2 =+21 x2 dx 1 21 =5 − + ln(2 + 5) − ln(1 + 2) 22( )
34. Bài toán độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay với đường cong tham số Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t L=+2  x ()() t22 y t dt t1 t2 22 Sx =+ y()()() t x t  y t dt t1