Bài giảng Vật rắn - Lê Quang Nguyên

Nội dung text: Bài giảng Vật rắn - Lê Quang Nguyên

1. Ni dung 1. Vn tc gĩc và gia tc gĩc 2. Momen đng và momen lc đi vi mt trc 3. Đnh lut 2 Newton cho chuyn đng quay Vt rn 4. Cơng và năng lưng trong chuyn đng quay 5. Chuyn đng lăn Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com 1a. V trí gĩc 1b. Vn tc gĩc θf • Khi vt rn quay quanh mt • Trong thi gian t vt rn θi trc c đnh mi cht đim quay đưc mt gĩc: θ đu chuyn đng trịn, vi tâm trên trc quay. θ = θ f −θi • Chn mt cht đim thuc vt θ > 0, ω > 0 • Vn tc gĩc trung bình ngưc chiu kim đng h rn, cĩ v trí cho bi các ta đưc đnh nghĩa như sau: đ cc r, θ. • θ cũng là v trí gĩc ca c vt r θ θ ω = rn, ch khơng phi ca riêng av t θ cht đim đang xét. θ < 0, ω < 0 cùng chiu kim đng h
2. 1b. Vn tc gĩc (tt) z 1c. Gia tc gĩc • Vn tc gĩc tc thi là mt ω • Gia tc gĩc trung bình: vectơ xác đnh bi: ω α av =
   
   uz t ω = ω uz ω= d θ dt • Gia tc gĩc tc thi là mt vectơ xác đnh bi: • vi uz là vectơ đơn v trên
   z
   dω
   dω trc quay z, hưng theo α = = α u α = chiu thun đi vi chiu dt z dt ngưc chiu kim đng h. • Mi cht đim trong vt rn • Mi cht đim trong vt rn quay đu cĩ cùng gia quay đu cĩ cùng vn tc tc gĩc. ω gĩc. 1d. Liên h gia vn tc gĩc và vn tc dài 1e. Liên h gia gia tc gĩc và gia tc dài • Ta cĩ: s = θr • Gia tc tip tuyn: s at u • Đo hàm theo thi gian cho ta: θ dv d(ωr) dω t a = = = r
   
   
   r t dt dt dt v = ωr v = ω × r a un an z at = αr • hay tng quát hơn na: ω
   
   
   v • Gia tc pháp tuyn: v = ω × R 2 r v2 (ωr) an = = • R là v trí ca cht đim đi R r r vi mt đim gc bt kỳ trên 2 trc quay. an = ω r
3. 2a. Ph lc tốn 2a. A useful formula (cont.) z • Xét hình chiu trên trc z • From vector calculus we get: z
   
   
   
   
   
   
   
   
   u ca vectơ R × A, (a ×b)⋅c = (b ×c)⋅a = (c × a)⋅b t A u • R là v trí ca cht đim đi z • Applying
   it here gives:
   r vi gc O trên trc quay,
   
   
   
   (R× A)⋅uz = (uz × R)⋅ A r R • cịn A là mt vectơ xác đnh R || • Resolve R in to r|| parallel and v trí đang xét. uz r perpendicular to zaxis, we u • Chúng ta cn tìm mt biu have: t
   0 thc thun tin cho đi
   
   =
   
   
   
   
   r uz × R = uz × r|| + uz × r = uz × r u lưng: z
   
   
   
   • Furthermore:
   
   
   
   (R× A)z = (R × A)⋅uz uz × r = rut 2a. Ph lc tốn (tt) 2b. Momen đng đi vi trc quay A t φ
   
   
   
   • Momen đng đi vi trc R× A = ur ⋅ A = rA z ( )z t t quay z là hình chiu ca r φ p u momen đng trên z. t • At là hình chiu ca A trên l phương pháp tuyn. • Vi cht đim v trí R và r cĩ đng lưng p: • hay: R
   
   
   
   u
   t φ
   
   z (R× A)z = ur t ⋅ A = rAcosϕ Lz = (R× p)⋅uz r cosϕ = ±l A l • Dùng cơng thc trong ph
   
   
   
   r (R× A)z = ur t ⋅ A = ±lA π–φ lc tốn va ri ta đưc: • l là chiu dài tay địn ca A. Lz = rpt = rmv
4. z 2b. Momen đng đi vi trc quay (tt) 2c. Momen lc đi vi trc quay F • Biu din qua vn tc gĩc ta cĩ: • Momen lc đi vi trc quay z là hình chiu ca L = rmv = rm(ωr) = mr 2ω z momen lc trên z. • Ly tng theo tt c các cht đim thuc vt rn: R • Vi mt cht đim: u
   
   
   z  2  τ = (R× F )⋅u Lz = ∑mir i ω z z  i  • Theo ph lc ta cĩ th vit: F • Momen quán tính ca vt rn đi vi trc z đưc đnh nghĩa là: τ z = ±lF 2 I = ∑mir i
   (+) khi lc cĩ xu hưng l i quay cht đim ngưc • Vy: Lz = Iω chiu kim đng h. 3a. Đnh lut 2 Newton cho chuyn đng quay 3b. Bài tp 3.1 • Khi vt rn quay quanh trc z: • Tìm momen quán tính ca mt vành trịn đng
   nht khi lưng M, bán kính R đi vi:
   dL dL z =τ tot =τ • (a) trc đi xng ca vành, dt dt tot, z • (b) trc song song vi trc đi xng, đi qua mt dω Tng momen ngoi đim trên vành trịn. I = ∑± liF i dt i lc đi vi trc quay • Momen quán tính I càng ln vt càng khĩ quay.
5. 3b. Tr li bài tp 3.1 3c. Bài tp 3.2 • Chia vành làm nhiu phn • Mt rịng rc cĩ dng như t nh khi lưng dm , ta cĩ: (b) (a) dm hình v. I = r 2dm = R2 dm = MR2 • Phn dây qun quanh hình a ∫ ∫ R tr bán kính R1, tác đng mt • Dùng đnh lý Steiner : lc T1 nm ngang lên nĩ. d 2 • Phn dây qun quanh hình Ib = I a + Md tr bán kính R2 tác đng mt lc T hưng thng đng • Suy ra: 2 Momen quán tính ca xung. 2 2 Ib = I a + MR = 2MR mt s vt thưng gp. 3c. Bài tp 3.2 (tt) 3c. Tr li bài tp 3.2 (a) Tìm biu thc ca momen lc tồn phn tác • Momen lc tồn phn tác đng lên rịng rc đi vi trc quay z. đng lên rịng rc đi vi trc quay z là: (b) Xét trưng hp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = 15,0 N và R = 0,50 m, 2 τ = −RT + RT – Tìm momen lc tồn phn đi vi trc quay, tot, z 11 22 – Rịng rc s quay theo chiu nào, bit rng lúc • Thay bng s ta cĩ: đu nĩ đng yên? τ tot, z =−×+1 5 0,5 × 15 = 2,5( N . m ) • τz > 0, rịng rc quay ngưc chiu kim đng h.
6. 3.d Bài tp 3.3 3.d Tr li bài tp 3.3 1 T2 • Hai vt khi lưng m1 và • Dùng đnh lut 2 T m đưc ni vi nhau Newton cho 1 2 y bng mt dây nh, dây • m1 trên y hưng xung: vt qua hai rịng rc m a = m g −T khơng ma sát (hình v). 1 1 1 1 y m g m g • m trên y hưng lên: 1 2 • Mi rịng rc cĩ momen 2 m2a2 = T2 − m2 g quán tính I và bán kính R. N T’ T’ N • rịng rc quanh trc z • Tìm gia tc ca mi vt R R và các sc căng dây. hưng ra ngồi: T Iα = R(T1 −T′) mg mg 2 T1 Iα = R(T′ −T2 ) 3.d Tr li bài tp 3.3 2 3.d Tr li bài tp 3.3 3 • Hai vt cĩ gia tc bng nhau: • Ly tng các pt (1) – (4) ta đưc: a = a ≡ a 1 2  I  • Dây khơng trưt nên vn tc ca mt đim trên m1 + m2 + 2 2 a = ()m1 − m2 g  R  vành rịng rc = vn tc vt: (m − m )g ωR = v ⇒ αR = a a = 1 2 I • Ta cĩ h phương trình sau: m + m + 2 1 2 R 2 m a = m g −T (1) 1 1 1 • Th gia tc a vào (1), (2) và (3) ta cĩ các sc m2a = T2 − m2 g (2) căng. 2 Ia / R = T1 −T′ (3) 2 (4) Ia / R = T′ −T2
7. 4a. Đng năng ca vt rn quay 4b. Cơng trong chuyn đng quay • Cơng sơ cp: • Đng năng ca mt cht đim vn tc v khong
   
   
   
   
   z dW = F ⋅vdt = F ⋅(ω × R)dt F cách r đi vi trc quay: ω 2 2 2 2 K = 1 mv = 1 m(ωr) = 1 mr ω • Ta cĩ: dr 2 2 2
   
   
   
   
   
   • Ly tng theo tt c các cht đim, ta cĩ đng F ⋅(ω × R)= (R× F )⋅ω năng ca vt rn quay: • Do đĩ: R
   
   1  2  2 dW =τ ⋅ωdt =τ zωdt =τ z dθ K = ∑mir i ω 2 i  • Suy ra cơng và cơng sut: θ f 1 2 K = Iω W = τ dθ P =τ ω 2 ∫ z z θi 4c. Bài tp 4.1 4c. Tr li bài tp 4.1 1 • Mt thanh đng nht chiu • Vì khơng cĩ ma sát nên dài L, khi lưng m cĩ th cơ năng thanh bo tồn: quay khơng ma sát quanh mt trc ngang đi qua mt E = (K +U g )= 0 đu thanh. Thanh đưc th K = K = 1 Iω 2 khơng vn tc đu khi f 2 đang nm ngang. Tìm: • Khi tâm là đim đt ca • (a) vn tc gĩc khi thanh tồn b trng lưng, do v trí thng đng, đĩ th năng trng trưng Th năng trng trưng • (b) vn tc khi tâm v ca thanh là: ca mt vt rn: Ug = mgy CM trí đĩ. U g = mgyCM
8. 4c. Tr li bài tp 4.1 2 4c. Tr li bài tp 4.1 3 y • Vi trc y hưng lên ta cĩ: • Gia vn tc dài ca mt cht đim ca vt rn và U g = mgyCM = −mgL / 2 vn tc gĩc cĩ h thc: v = ωr • Suy ra: v • r là khong cách t cht CM 1 2 1 E = 2 Iω − 2 mgL = 0 đim đn trc quay. • Vi khi tâm thì r = L/2: mgL Đnh lý Steiner: ω = 2 I = ICM + m(L 2/ ) I L 1 3g 2 1 = mL2 /12 + mL2 4/ vCM = ω = ⋅ L = 3gL 3g 2 2 L 2 ω = = mL2 /3 L 4d. Bài tp 4.2 4d. Tr li bài tp 4.2 • Hai vt khi lưng m1 và m2 • Vì khơng cĩ ma sát nên cơ năng đưc treo hai bên mt rịng bo tồn: rc khơng ma sát bng mt dây E = (K +U g )= 0 nh. • Đ bin thiên đng năng: • Rịng rc cĩ bán kính R và K = K = 1 m v2 + 1 m v2 + 1 Iω 2 momen quán tính I đi vi trc f 2 1 1 2 2 2 2 quay. Lúc đu h đưc th • Ta cũng cĩ: khơng vn tc. v1 = v2 ≡ v ωR = v • Tìm vn tc dài ca hai vt vào • Do đĩ: 1 2 2 lúc vt 2 xung đưc mt K = 2 (m1 + m2 + I / R )v khong h.
9. 4d. Tr li bài tp 4.2 (tt) 5a. Chuyn đng lăn ca vt rn • Khi mt xe đp chuyn đng, khi tâm ca mi • m1 đi lên mt khong h khi m2 đi xung cùng mt khong, vì vy đ bin thiên th năng ca h là: bánh xe cĩ chuyn đng tnh tin. U = m gh − m gh • Tuy nhiên, mt đim trên vành bánh xe li cĩ qu g 1 2 đo là mt cycloid . • Vy ta cĩ: • Chuyn đng ca bánh xe là chuyn đng lăn . 1 2 2 E = 2 (m1 + m2 + I / R )v + (m1 − m2 )gh = 0 2(m2 − m1 )gh v = 2 m1 + m2 + I / R 5b. Vn tc ca khi tâm 5c. Kt hp tnh tin và quay • Xét bánh xe lăn khơng • Lăn khơng trưt là s kt v trưt, hp ca chuyn đng tnh rot v • Khi mt đim trên vành đi tin ca khi tâm, đưc mt cung trịn cĩ • và chuyn đng quay quanh r chiu dài s = rθ, mt trc đi qua khi tâm. r v • thì khi tâm cũng tnh tin • Do đĩ mt cht đim thuc CM đưc cùng mt khong đĩ. s = rθ vt cĩ vn tc cho bi: • Do đĩ ta cĩ:
     v = v + v ds dθ CM rot = r vCM = rω
   dt dt    v = vCM +ω × r
10. 5c. Kt hp tnh tin và quay (tt) 5d. Đng năng ca chuyn đng lăn vrot = vCM • Mt cht đim trên vành cĩ v = 2 vCM • Đng năng ca chuyn đng lăn là tng vn tc quay là vrot = ωr. • đng năng tnh tin ca khi tâm, • v trí thp nht: vCM • và đng năng quay quanh trc đi qua khi tâm. v = vCM − vrot = 0 1 2 1 2 K = 2 MvCM + 2 Iω • v trí gia: vrot = – vCM 2 2 v = vCM + vrot = ωr 2 • trong đĩ M, I là khi lưng và momen quán tính v • v trí cao nht: vrot đi vi trc quay ca vt. v = vCM + vrot = 2ωr vCM • Minh ha. 5e. Bài tp 5.1 5e. Tr li bài tp 5.1 1 • Mt qu cu khi lưng • Khi vt lăn khơng trưt vn M và bán kính R lăn tc ca tip đim luơn băng xung mt mt phng khơng, nghiêng vi vn tc đu • vì vy ma sát là ma sát tĩnh, bng khơng. khơng thc hin cơng. • Tìm vn tc khi tâm qu • Cơ năng đưc bo tồn: cu cui mt phng E = (K +U )= 0 nghiêng. g • Đ bin thiên đng năng: 1 2 1 2 K = K f = 2 MvCM + 2 Iω
11. 5e. Tr li bài tp 5.1 2 5e. Tr li bài tp 5.1 3 • Do lăn khơng trưt nên: • Momen quán tính ca qu cu đi vi mt trc đi qua tâm là I = 2 MR 2/5. ω = vCM R • Suy ra: • Do đĩ: 2gh 10gh vCM = = 1 2 2 1+ 2 5 7 K = 2 (M + I R )vCM • Đ bin thiên th năng: • Nu vt là vành trịn cĩ cùng khi lưng và bán kính, momen quán tính s là I = MR 2: U g = MgyCM = −Mgh • Vy: 2gh vCM = = gh 1 2 2 1+1 E = 2 M (1+ I MR )vCM − Mgh = 0 • Vt vi t s I/MR 2 nh hơn s lăn xung nhanh 2gh v = hơn (Ví d 1, 2). CM 1+ I MR2 5f. Bài tp 5.2 5f. Tr li bài tp 5.2 1 • Trong bài tp 5.1, hãy tìm • Dùng đnh lut 2 Newton N biu thc ca gia tc khi cho tâm. • khi tâm trên trc x: fs MaCM = Mg sinθ − f s • qu cu quay quanh trc z mg x hưng ra ngồi: Iα = − fs R • Vì ω (< 0) gim dn khi Trc z hưng ra lăn xung nên α < 0. ngồi nên vt lăn xung cĩ ω < 0.
12. 5f. Tr li bài tp 5.2 2 • Vì lăn khơng trưt nên gia gia tc gĩc và gia tc khi tâm cĩ h thc: α = – aCM /R. • Ta cĩ h phương trình sau: MaCM = Mg sinθ − f s 2 (I / R )aCM = fs • Gii h ta đưc: g sinθ 5 a = = g sinθ CM 1+ I / MR2 7 • Vt vi t s I/MR 2 nh hơn s cĩ gia tc ln hơn.