›
›

Bài giảng Vi phân hàm một biến - Huỳnh Văn Kha

pdf 65 trang huongle 7320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vi phân hàm một biến - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_vi_phan_ham_mot_bien_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Vi phân hàm một biến - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 1 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán C1 - MS: C01009 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 64
  2. Nội dung 1 Giới hạn dãy số Định nghĩa giới hạn – Một số tính chất Số e – Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định 3 Hàm số liên tục 4 Đạo hàm – Vi phân – Tính gần đúng 5 Ứng dụng của đạo hàm Định lý giá trị trung bình Quy tắc L’Hospital – Công thức Taylor, Mac Laurin Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 64
  3. Dãy số Tập hợp các con số được đánh số từ 1 (hoặc 0) đến ∞ gọi là một dãy số: x1, x2, , xn, (hoặc x0, x1, , xn, ) Ví dụ: Dãy các tăng số nguyên dương: 1, 2, 3, Dãy các giảm các số nguyên âm chẵn: −2, −4, −6, n  1n Dãy xác định bởi: x = , x = 1 + n n + 1 n n Dãy số là ánh xạ x : N → R, với x(n) ≡ xn Ký hiệu: {xn}n≥1 (hoặc đơn giản {xn}) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 2 / 64
  4. Giới hạn dãy số Giới hạn là khái niệm cơ bản của giải tích. Mỗi khái niệm của giải tích đều là một giới hạn theo một nghĩa nào đó. Giới hạn của dãy số có thể hiểu là “phần tử cuối cùng ” của dãy số. Nói cách khác {xn} gọi là có giới hạn bằng a nếu xn đủ gần a khi n đủ lớn. Ký hiệu: lim xn = a hoặc đơn giản lim xn = a. n→∞ Ví dụ: Tính giá trị dãy số sau tại n = 5, 101, 500, 103, 108 để dự đoán về giới hạn của nó. 2n + 1 x = . n n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 3 / 64
  5. Giới hạn dãy số (tt) ln n lim = a) 0 b) 1 c) −1 d) ∞ n √ lim n 2n + 3n + 4n = a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 Dãy số xn được gọi là có giới hạn bằng a nếu: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : |xn − a| n0 Dãy số xn được gọi là có giới hạn bằng +∞ nếu: ∀M ∈ R, ∃n0 ∈ N : xn > M, ∀n > n0 Tương tự cho lim xn = −∞. Nếu lim xn = a ∈ R thì ta nói nó hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 4 / 64
  6. Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim xn và lim yn đều tồn tại thì: lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn lim(xnyn) = (lim xn)(lim yn) x lim x lim n = n (với y 6= 0, lim y 6= 0) y lim y n n √n √ n lim xn = lim xn (với xn ≥ 0, lim xn ≥ 0) Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu xn ≤ yn ≤ zn mà lim xn = lim zn = a thì lim yn = a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 5 / 64
  7. Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {xn} gọi là dãy tăng nếu: xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N. Dãy {xn} gọi là dãy giảm nếu: xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N. Nếu {xn} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {xn} đơn điệu. Ví dụ: xét tính đơn điệu của các dãy số sau. n + 1 √ x = n2, x = , x = (−1)n n + 1 n n n n {xn} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, xn ≤ M, ∀n ∈ N. {xn} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, xn ≥ N, ∀n ∈ N. Nếu {xn} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ: Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 6 / 64
  8. Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ.  1n Xét dãy: x = 1 + . Người ta chứng minh được nó n n là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ.  1n Ta định nghĩa e = lim 1 + n→+∞ n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 7 / 64
  9. Các giới hạn cơ bản 1 1. Nếu a > 0 thì lim = 0, lim na = +∞. n→∞ na n→∞ 2. Nếu |a| 1 thì lim an = +∞. n→∞ nα 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim = 0. n→∞ an √ 4. Nếu a > 0 thì lim n a = 1 n√→∞ Đồng thời lim n n = 1. n→∞  x n 5. Giới hạn liên quan số e: lim 1 + = ex n→+∞ n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 8 / 64
  10. Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ: Tính các giới hạn các dãy số sau. 4n2 + 1 1. lim n→∞ 3n2 + 2 a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) +∞  √ √  2. lim p2n + 3 n − 2n + 1 n→∞ √ √ a) 3 b) 3/2 c) 3 2 d) 3/(2 2) √ n n 3. lim √ √ n→∞ n n2 + n n + 1 a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) +∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 9 / 64
  11. 3 · 5n − 2n 4. lim n→∞ 4n + 2 · 5n a) 3/4 b) -1/2 c) +∞ d) 3/2 n23n + n 5. lim n→∞ n32n + n2 + 1 a) +∞ b) 0 c) 3/2 d) 1 n − 12n 6. lim n→∞ n + 1 √ a) 1 b) e−2 c) e−4 d) e− 2 √ n sin n 7. lim n→∞ n2 + n − 1 a) 1 b) 0 c) +∞ d) Không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 10 / 64
  12. Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Ví dụ: xét hàm số f (x) = x 2 − x + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 11 / 64
  13. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 12 / 64
  14. Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. x − 1 Ví dụ: Xét lim x→1 x 2 − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 13 / 64
  15. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 14 / 64
  16. Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai trong một số trường hợp. Ví dụ: Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 15 / 64
  17. Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác. π Ví dụ: Dự đoán giá trị lim sin bằng cách tính giá trị x→0 x 1 1 tại x = , x = , x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001 2 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 16 / 64
  18. Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến về a là bằng L nếu: Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho: nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía: Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x < a. Ký hiệu giới hạn trái: lim f (x). x→a− Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 17 / 64
  19. Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a − δ a. Ký hiệu giới hạn phải: lim f (x). x→a+ Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε Định lý: lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L x→a x→a+ x→a− Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 18 / 64
  20. Ví dụ 1: Xác định các giá trị sau: |x| |x| |x| Ví dụ 2: Tính (a) lim (b) lim (c) lim x→0+ x x→0− x x→0 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 19 / 64
  21. Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng lim f (x) = ∞ nếu: ∀M ∈ , ∃δ > 0 : x→a R 0 M. lim f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ , ∃δ > 0 : x→a R 0 0, ∃M ∈ : x→∞ R x > M ⇒ |f (x) − L| 0, ∃N ∈ : x→−∞ R x < N ⇒ |f (x) − L| < ε. Tương tự cho các giới hạn: lim f (x) = ±∞ và lim f (x) = ±∞ x→±∞ x→a± Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 20 / 64
  22. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 21 / 64
  23. Tính chất giới hạn hàm số lim f (x) = L x→a ⇔ ∀{xn} nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn) = L. Cho c là hằng số. Nếu lim f (x) ∈ và lim g(x) ∈ thì: x→a R x→a R 1. lim[f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) x→a x→a x→a 2. lim[c f (x)] = c lim f (x) x→a x→a 3. lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) x→a x→a x→a f (x) lim f (x) 4. lim = x→a với lim g(x) 6= 0 x→a g(x) lim g(x) x→a x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 22 / 64
  24. Với n là số nguyên dương, ta có: h in 5. lim [f (x)]n = lim f (x) x→a x→a 6. lim c = c và lim x = a x→a x→a 7. lim x n = an x→a √ √ 8. lim n x = n a (a > 0 nếu n chẵn) x→a pn q 9. lim f (x) = n lim f (x) (lim f (x) > 0 nếu n x→a x→a x→a chẵn) Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm trong miền xác định của nó thì: lim f (x) = f (a) x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 23 / 64
  25. Ví dụ: Tính các giới hạn 1. lim (x 2 − x − 2) (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6 x→−2 √ x 2 + x − 1 2. lim (a) 17 (b) 16 (c) 15 (d) 15 x→4 x 2 − 1 15 15 17 16 • Nếu f (x) = g(x), ∀x 6= a thì lim f (x) = lim g(x). x→a x→a 2 x − 1 1 1 3. lim (a) 2 (b) 2 (c) 3 (d) 3 x→1 √x − 1 t2 + 9 − 3 4. lim (a) 1 (b) 1 (c) 6 (d) −6 t→0 t2 6  x + π, nếu x 6= 1 5. Cho g(x) = . Tính lim g(x). 2, nếu x = 1 x→1 (a) π (b) π + 1 (c) 2 (d) π + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 24 / 64
  26. • Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau thì ta tính lim f (x) và lim f (x). x→a+ x→a− Ví dụ: √  1 + x, nếu x > −1 6. Cho f (x) = 1, nếu x 0 7. Cho g(x) = x r 1  x 2 + , nếu x ≤ 0  4 1 1 lim g(x) = (a) (b) (c) 1 (d) Không tồn tại. x→0 2 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 25 / 64
  27. Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp. Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại trừ tại a) và lim f (x) = lim h(x) = L x→a x→a thì khi đó: lim g(x) = L x→a Chú ý: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. x→a x→a Ví dụ: π 8. lim x sin x→0 x (a) 0 (b) 1 (c) π (d) Không tồn tại √ sin π 9. lim xe x x→0+ (a) e (b) π (c) 0 (d) Không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 26 / 64
  28. Giới hạn các hàm sơ cấp Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản. Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ bản được gọi là các hàm sơ cấp. Người ta chứng minh được kết quả sau. Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì: lim f (x) = f (a) x→a Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức của f . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 27 / 64
  29. Tính toán với ±∞ – dạng vô định Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R) 1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞)  ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞ 2. a · (±∞) = ∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞ a 1  +∞, nếu mẫu dương 3. = 0, = ±∞ 0 −∞, nếu mẫu âm 4. Các biểu thức có dạng: 0 ∞ ∞ − ∞, 0 · ∞, , 0 ∞ là các dạng vô định. Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 28 / 64
  30. Ví dụ: 1. lim (x 2 − x) (a) 0 (b) 1 (c) −∞ (d) +∞ x→∞ 1 2. lim (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không tồn tại x→0 x 2 1 3. lim (a) −∞ (b) 1 (c) +∞ (d) không tồn tại x→0 x 1 4. lim (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ x→1+ 1 − x 1 5. lim (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ x→1− 1 − x p √ √ 6. lim ( x − 3 x − x) x→∞ 1 (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 29 / 64
  31. Tính toán với ±∞ – dạng vô định (tt) 5. Với α > 0: (+∞)α = +∞. 6. Với a > 1: a+∞ = +∞ và a−∞ = 0. + 7. Với a > 1: loga(+∞) = +∞ và loga(0 ) = −∞. 8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không tồn tại. π − π + tan 2 = +∞, tan − 2 = −∞ cot (0+) = +∞, cot (π−) = −∞ π π 9. arctan(+∞) = 2 , arctan(−∞) = − 2 10. Các biểu thức có dạng: ∞0, 00, 1∞ là các dạng vô định. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 30 / 64
  32. Một số giới hạn quan trọng sin x 1 − cos x 1 1. lim = 1, lim = x→0 x x→0 x 2 2 ex − 1 ln(1 + x) 2. lim = 1, lim = 1 x→0 x x→0 x Ví dụ: sin x 1. lim ln (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) không ∃ x→0 x 2. lim cos e−x 2 (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) không ∃ x→∞ h  1 i 3. lim sin e 1−x x→1− (a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 31 / 64
  33. h  1 i 4. lim sin e 1−x x→1+ (a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃ 5. lim(1 + x)1/x x→0 (a) 0 (b) 1 (c) e (d) ∞ 6. lim(cos x)1/x 2 x→0 √1 1 1 (a) 1 (b) e (c) e (d) e2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 32 / 64
  34. Hàm số liên tục Hàm số f được nói là liên tục tại a nếu f xác định tại a, giới hạn khi x → a của f tồn tại, và lim f (x) = f (a). x→a Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 33 / 64
  35. Liên tục một phía f được nói là liên tục trái tại a nếu lim f (x) = f (a). x→a− f được nói là liên tục phải tại a nếu lim f (x) = f (a). x→a+ Ví dụ: Xét sự liên tục, liên tục trái, liên tục phải của  ex , nếu x > 0 1. f (x) = tại x = 0 x 2, nếu x ≤ 0  x 2 − x − 2  , nếu x 6= 2 2. f (x) = x − 2 tại x = 2  3, nếu x = 2 ( 1 , nếu x 6= 0 3. f (x) = x 2 tại x = 0 1, nếu x = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 34 / 64
  36. Hàm số f gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm sơ cấp thì liên tục trên các khoảng xác định của nó. Ví dụ: Tìm a để hàm số  x 2 − x  , nếu x 6= 1 1. f (x) = x 2 − 1 liên tục tại x = 1  a, nếu x = 1 1 1 (a) 1 (b) (c) (d) không tồn tại 2 3  ln |x − 2|, nếu x 6= 2 2. f (x) = liên tục tại x = 2 a, nếu x = 2 (a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 35 / 64
  37. √  1 − x   arcsin , nếu x > 0 và x 6= 1 3. f (x) = 1 − x a  + 1, nếu x = 1 3 liên tục trên (0, ∞) π π (a) π − 3 (b) π + 3 (c) − 2 (d) − 3 3 2  ax 2 + 2x, nếu x < 2 4. f (x) = liên tục trên x 3 − ax, nếu x ≥ 2 R 1 2 3 (a) (b) (c) (d) không tồn tại 2 3 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 36 / 64
  38. Tìm a, b để các hàm số sau liên tục trên R  x 2 − 4  , nếu x < 2  x − 2 5. f (x) = ax 2 − bx + 3, nếu 2 ≤ x < 3   2x − a − b, nếu x ≥ 3 1 1 1 1 (a) (a, b) = ( , ) (b) (a, b) = ( , ) 3 6 6 3 1 1 1 1 (c) (a, b) = ( , ) (d) (a, b) = ( , ) 2 6 6 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 37 / 64
  39. Một số tính chất 1. Nếu f và g đều liên tục tại a thì các hàm sau cũng liên tục tại a: f f ± g, c f , f g, (với g(a) 6= 0). g 2. Nếu f liên tục tại b và lim g(x) = b thì: x→a lim f (g(x)) = f (b). x→a 3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp nối (f ◦ g)(x) = f (g(x)) liên tục tại a. (sinh viên tự đọc thêm) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 38 / 64
  40. Hàm liên tục trên khoảng đóng Định lý giá trị trung gian Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], lấy N là con số bất kỳ nằm giữa f (a) và f (b) (ở đây giả sử f (a) 6= f (b)). Khi đó tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 39 / 64
  41. Đạo hàm Định nghĩa Cho f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x + ∆x) − f (x ) lim 0 0 (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x 0 của f tại x0. Ký hiệu:f (x0). 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) f+(x0) = lim được gọi là đạo ∆x→0+ ∆x hàm phải của f tại x0. 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) f−(x0) = lim được gọi là đạo ∆x→0− ∆x hàm trái của f tại x0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 40 / 64
  42. 0 Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f là một hàm số f 0 :(a, b) → R x 7→ f 0(x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu: 00 0 0 f (x0) = (f ) (x0) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1)(x) = (f (n))0(x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy d2f d2y f 0(x) = (x) = , f 00(x) = (x) = , ··· dx dx dx 2 dx 2 Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 41 / 64
  43. Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g)0(x) = f 0(x) + g 0(x) 2. (αf )0(x) = αf 0(x), với α ∈ R 3. (fg)0(x) = f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x) f 0 f 0(x)g(x) − f (x)g 0(x) 4. (x) = g g 2(x) 5. (g ◦ f )0(x) = g 0(f (x))f 0(x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0(x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1)0(y) = = f 0(x) f 0(f −1(y)) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 42 / 64
  44. Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0(x) f (x) f 0(x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a log x a x ln a x α αx α−1 1 sin x cos x tan x = 1 + tan2 x cos2 x −1 cos x − sin x cot x = −(1 + cot2 x) sin2 x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x 2 1 − x 2 1 arctan x 1 + x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 43 / 64
  45. Ví dụ cos x 1. f (x) = . Tính f 0(x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = arctan . Tính f 0(x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0(x), f 00(x), f 000(x), f (n)(x). 1 + x 1 4. f (x) = . Tính f 0(x), f 00(x), f 000(x), f (n)(x), 1 − x 2 1 và f (20) . 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 44 / 64
  46. Khả vi – Vi phân Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng: ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0) = A∆x + o(∆x). Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so với ∆x khi ∆x → 0. Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0 và được ký hiệu là df hay dy. f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Và khi đó: df = f 0(x)dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 45 / 64
  47. Ví dụ: √ 1. Tìm df , biết f (x) = e x . 2. Cho f (x) = sin(2x + 1). Tính df (0). Vi phân cấp 2 của f là: d 2f = f 00(x)dx 2 Tương tự, vi phân cấp n của f là: d nf = f (n)(x)dx n Ví dụ: √ 3. Tìm d 2y, biết y = arcsin x. √ 4. Cho y = 2x + 1. Tính d ny và d ny(0). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 46 / 64
  48. Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính) Khi f khả vi tại x0 thì: 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) = f (x0)∆x + o(∆x). Cho nên ta có thể xấp xỉ: 0 f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f (x0)∆x Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký 0 hiệu: L(x) = f (x0) + f (x0)(x − x0). Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau √ 1. 3 28. 2. tan 44o. 3. arctan(0.97). 4. p(0.1)2 + 4e0.1. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 47 / 64
  49. Định lý giá trị trung bình Định lý Fermat Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f 0(c) tồn tại thì f 0(c) = 0. Định lý Rolle Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho: f 0(c) = 0. Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 48 / 64
  50. Định lý GTTB (Lagrange) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). f (b) − f (a) Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f 0(c) = . b − a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 49 / 64
  51. Đơn điệu và cực trị 1. Nếu f 0(x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b]. 2. Nếu f 0(x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b]. 3. Nếu f 0(x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b]. Giả sử f 0(c) = 0, ta có: 1. Nếu f 0 đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực đại (địa phương) tại c. 2. Nếu f 0 đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực tiểu (địa phương) tại c. 3. Nếu f 0 không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị tại c. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 50 / 64
  52. Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2. 1. Nếu f 0(c) = 0 và f 00(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c. 2. Nếu f 0(c) = 0 và f 00(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c. Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 51 / 64
  53. Tiếp tuyến Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có 0 phương trình là: y = f (x0)(x − x0) + f (x0). Ví dụ: 1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số 4 3 2 f (x) = 3x − 4x − 12x + 5 tại điểm x0 = 1. 2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số f (x) = x ln x tại điểm x0 = e. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 52 / 64
  54. Lồi, lõm Nếu đồ thị của f (x) nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lồi trên I . Nếu đồ thị của f (x) nằm dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lõm trên I . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 53 / 64
  55. Nếu f 00(x) > 0 trên I thì f lồi trên I . Nếu f 00(x) < 0 trên I thì f lõm trên I . Điểm P được gọi là điểm uốn của đường cong y = f (x) nếu f liên tục tại đó và đường cong thay đổi từ lồi sang lõm hoặc từ lõm sang lồi khi đi qua P. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 54 / 64
  56. Ví dụ: 1. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = x 4 − 4x 3. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 55 / 64
  57. 2. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = e1/x . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 56 / 64
  58. 3. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = p3 x 2(6 − x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 57 / 64
  59. Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Giả sử các hàm f , g khả vi và g 0(x) 6= 0 trên một khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử một trong hai điều sau là đúng: lim f (x) = lim g(x) = 0, hoặc x→a x→a lim f (x) = lim g(x) = ±∞. x→a x→a f (x) f 0(x) Thì khi đó: lim = lim , miễn là giới hạn vế x→a g(x) x→a g 0(x) phải tồn tại (hoặc bằng ±∞). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 58 / 64
  60. Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+, x → a−, x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng. Ví dụ: ln x 1. lim = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞ x→1 1 − x ex 2. lim = (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 x→+∞ x 2 sin x 3. lim = x→π− 1 − cos x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 4. lim x e1/x − 1 = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 59 / 64
  61.  x 1  5. lim − = x→1 x − 1 ln x (a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2 6. lim (1 + sin 2x)cot x = x→0+ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 7. lim (ex + x)1/x = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 2x − 32x+1 8. lim = x→+∞ 2x + 5 (a) 1 (b) e−3 (c) e5 (d) e−8 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 60 / 64
  62. cos mx − cos nx 9. lim = x→0 x 2 (a) m (b) n − m (c) m2 − n2 (d) (n2 − m2)/2 cos x ln(x − a) 10. lim = x→a+ ln (ex − ea) (a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a √ 4 + 5x − 2 11. lim x→0 e3x − 1 ex − e2−x 12. lim x→1 x 3 − 3x 2 + 2 ln x 13. lim x→0+ 1 + 2 ln sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 61 / 64
  63. πx  ln(1 − x) + tan 14. lim 2 x→1− cot(πx) 15. lim [(π − 2 arctan x) ln x] x→+∞ 2 tan x 1/x 16. lim x→0 x  πx 1/x 17. lim tan x→+∞ 2x + 1 2  ax − x ln a 1/x 18. lim x→0 bx − x ln b Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 62 / 64
  64. Khai triển Taylor Công thức Taylor Cho f :(a, b) → R là có đạo hàm đến cấp n trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có: f 0(x ) f 00(x ) f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + 0 1! 0 2! 0 f (n)(x ) ··· + 0 (x − x )n + R (x) n! 0 n n (k) X f (x0) = (x − x )k + R (x) k! 0 n k=0 n Trong đó Rn(x) = o (x − x0) là phần dư dạng Peano. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 63 / 64
  65. Khai triển Mac Laurin Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin n X f (k)(0) f (x) = x k + o(x n). k! k=0 Ví dụ: √ 1. Viết kt Taylor tới cấp 4 của: f (x) = 3 2x − 1, tại x0 = 1. 2. Viết kt Mac Laurin tới cấp 3 của: f (x) = arcsin x. 3. Viết kt Mac Laurin tới cấp 4 của: f (x) = e−x 2 . 4. Viết khai triển Mac Laurin tới bậc n (tổng quát) của các hàm số sau: ex , sin x, cos x, arctan x, ln(1 + x). Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy thừa của x − x0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 64 / 64