Bài giảng Vi tích phân A2 - Chương 1: Hàm nhiều biến - Lê Hoài Nhân

208 trang huongle 2560

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vi tích phân A2 - Chương 1: Hàm nhiều biến - Lê Hoài Nhân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_vi_tich_phan_a2_chuong_1_ham_nhieu_bien_le_hoai_nh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Vi tích phân A2 - Chương 1: Hàm nhiều biến - Lê Hoài Nhân

VI TÍCH PHÂN A2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục CBGD. Lê Hoài Nhân Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Ngày 12 tháng 5 năm 2013 Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 1 Khái niệm CBGD. Lê Hoài Nhân 2 Hàm nhiều biến Mục lục Khái niệm 3 Giới hạn và tính liên tục Hàm nhiều biến 4 Đạo hàm riêng Giới hạn và tính liên tục 5 Vi phân Đạo hàm riêng Vi phân 6 Cực trị Cực trị Cực trị có điều 7 Cực trị có điều kiện kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị 8 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lớn nhất
Khái niệm CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN n CBGD. Lê 1 Không gian R : là tập hợp gồm các phần tử có dạng Hoài Nhân x = (x1, x2, , xn) với xi R. Mục lục ∈ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Khái niệm CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN n CBGD. Lê 1 Không gian R : là tập hợp gồm các phần tử có dạng Hoài Nhân x = (x1, x2, , xn) với xi R. Mục lục ∈ 2 Khoảng cách trong Rn: Cho x, y Rn. Khoảng các giữa Khái niệm ∈ x và y được xác định bởi công thức Hàm nhiều biến 2 2 2 Giới hạn và d(x, y)= (y1 x1) + (y2 x2) + + (yn xn) . tính liên tục − − − Đạo hàm riêng q Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Khái niệm CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN n CBGD. Lê 1 Không gian R : là tập hợp gồm các phần tử có dạng Hoài Nhân x = (x1, x2, , xn) với xi R. Mục lục ∈ 2 Khoảng cách trong Rn: Cho x, y Rn. Khoảng các giữa Khái niệm ∈ x và y được xác định bởi công thức Hàm nhiều biến 2 2 2 Giới hạn và d(x, y)= (y1 x1) + (y2 x2) + + (yn xn) . tính liên tục − − − Đạo hàm riêng q Vi phân Cực trị 3 Các tập hợp phẳng (xem giáo trình trang 4): Lân cận, Cực trị có điều điểm trong, điểm biên, tập mở, tập đóng, phần trong, sự kiện liên thông, miền và miền hữu hạn. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hàm nhiều biến: Cho miền Rn. Ánh xạ: Hoài Nhân D⊂ Mục lục f : R D 7−→ Khái niệm x u = f (x) Hàm nhiều 7−→ biến Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x , x , , x ). Giới hạn và 1 2 n tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hàm nhiều biến: Cho miền Rn. Ánh xạ: Hoài Nhân D⊂ Mục lục f : R D 7−→ Khái niệm x u = f (x) Hàm nhiều 7−→ biến Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x , x , , x ). Giới hạn và 1 2 n tính liên tục n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x, y là z = f (x, y). Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hàm nhiều biến: Cho miền Rn. Ánh xạ: Hoài Nhân D⊂ Mục lục f : R D 7−→ Khái niệm x u = f (x) Hàm nhiều 7−→ biến Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x , x , , x ). Giới hạn và 1 2 n tính liên tục n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x, y là z = f (x, y). Đạo hàm riêng n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x, y, z là u = f (x, y, z). Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hàm nhiều biến: Cho miền Rn. Ánh xạ: Hoài Nhân D⊂ Mục lục f : R D 7−→ Khái niệm x u = f (x) Hàm nhiều 7−→ biến Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x , x , , x ). Giới hạn và 1 2 n tính liên tục n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x, y là z = f (x, y). Đạo hàm riêng n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x, y, z là u = f (x, y, z). Vi phân Tập xác định của hàm nhiều biến là tập hợp tất cả các Cực trị điểm trong Rn sao cho biểu thức u = f (x , x , , x ) có Cực trị có điều 1 2 n kiện nghĩa. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y x) là hàm số hai biến có − Mục lục miền xác định = (x, y) R2 : y x > 0 Khái niệm D { ∈ − } Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y x) là hàm số hai biến có − Mục lục miền xác định = (x, y) R2 : y x > 0 Khái niệm D { ∈ − } Ví dụ 2. Hàm số z = 1 x2 y 2 là hàm hai biến xác Hàm nhiều − − 2 2 2 biến định trên hình tròn đóng = (x, y) R : x + y 1 . p Giới hạn và D { ∈ ≤ } tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y x) là hàm số hai biến có − Mục lục miền xác định = (x, y) R2 : y x > 0 Khái niệm D { ∈ − } Ví dụ 2. Hàm số z = 1 x2 y 2 là hàm hai biến xác Hàm nhiều − − 2 2 2 biến định trên hình tròn đóng = (x, y) R : x + y 1 . p D { ∈ ≤ } Giới hạn và Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4 x2 y 2 z2) là hàm ba biến tính liên tục − − − Đạo hàm riêng xác định trên miền 3 2 2 2 Vi phân Ω= (x, y, z) R : x + y + z < 4 . { ∈ } Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y x) là hàm số hai biến có − Mục lục miền xác định = (x, y) R2 : y x > 0 Khái niệm D { ∈ − } Ví dụ 2. Hàm số z = 1 x2 y 2 là hàm hai biến xác Hàm nhiều − − 2 2 2 biến định trên hình tròn đóng = (x, y) R : x + y 1 . p D { ∈ ≤ } Giới hạn và Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4 x2 y 2 z2) là hàm ba biến tính liên tục − − − Đạo hàm riêng xác định trên miền 3 2 2 2 Vi phân Ω= (x, y, z) R : x + y + z < 4 . { ∈ } Cực trị F Hãy biểu diễn hình học các tập xác định trên. Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x, y) thường là mặt CBGD. Lê Hoài Nhân cong trong không gian mà hình chiếu của trên mặt S S phẳng Oxy là tập xác định của hàm số. Mục lục D Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x, y) thường là mặt CBGD. Lê Hoài Nhân cong trong không gian mà hình chiếu của trên mặt S S phẳng Oxy là tập xác định của hàm số. Mục lục D Khái niệm Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y) π π Hàm nhiều với miền xác định 0 x , 0 y . biến ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x, y) thường là mặt CBGD. Lê Hoài Nhân cong trong không gian mà hình chiếu của trên mặt S S phẳng Oxy là tập xác định của hàm số. Mục lục D Khái niệm Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y) π π Hàm nhiều với miền xác định 0 x , 0 y . biến ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1 x y với 0 x 1 − − ≤ ≤ CBGD. Lê và 0 y 1 x là một tam giác có các đỉnh là Hoài Nhân ≤ ≤ − A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C(0, 0, 1). Hình chiếu của tam Mục lục giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1 x y với 0 x 1 − − ≤ ≤ CBGD. Lê và 0 y 1 x là một tam giác có các đỉnh là Hoài Nhân ≤ ≤ − A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C(0, 0, 1). Hình chiếu của tam Mục lục giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z = x2 + y 2 là mặt nón CBGD. Lê Hoài Nhân tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz. p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z = x2 + y 2 là mặt nón CBGD. Lê Hoài Nhân tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz. p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 2 2 BIẾN Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x + y là mặt CBGD. Lê Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz. Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 2 2 BIẾN Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x + y là mặt CBGD. Lê Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz. Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 2 2 BIẾN Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z = 1 x y là nửa − − CBGD. Lê trên của mặt cầu tâm O bán kính 1. Hoài Nhân p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 2 2 BIẾN Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z = 1 x y là nửa − − CBGD. Lê trên của mặt cầu tâm O bán kính 1. Hoài Nhân p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 1 2 BIẾN Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = x là mặt trụ Parabol 2 CBGD. Lê Hoài Nhân có đường sinh song song với trục Oy. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU 1 2 BIẾN Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = x là mặt trụ Parabol 2 CBGD. Lê Hoài Nhân có đường sinh song song với trục Oy. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y), C là số thực thuộc Hàm nhiều f x, y C biến miền giá trị của hàm số. Phương trình ( )= xác Giới hạn và định một đường cong trong mặt phẳng Oxy, đường cong tính liên tục này được gọi là đường mức (đẳng trị) của hàm số. Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 CBGD. Lê Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = x + y Hoài Nhân p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 CBGD. Lê Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = x + y Hoài Nhân p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 CBGD. Lê Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = x + y Hoài Nhân p Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong CBGD. Lê Hoài Nhân x2 + (y z)2 = 2z2 với z 0. Mục lục − ≥ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong CBGD. Lê Hoài Nhân x2 + (y z)2 = 2z2 với z 0. Mục lục − ≥ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Biểu diễn đường mức CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong CBGD. Lê Hoài Nhân x2 + (y z)2 = 2z2 với z 0. Mục lục − ≥ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Mặt mức CHƯƠNG 1. u f x, y, z C HÀM NHIỀU Định nghĩa Cho hàm số = ( ) và là số thực BIẾN thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình CBGD. Lê f (x, y, z)= C xác định một mặt cong trong không gian Hoài Nhân Oxy, mặt cong này được gọi là mặt mức. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Mặt mức CHƯƠNG 1. u f x, y, z C HÀM NHIỀU Định nghĩa Cho hàm số = ( ) và là số thực BIẾN thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình CBGD. Lê f (x, y, z)= C xác định một mặt cong trong không gian Hoài Nhân Oxy, mặt cong này được gọi là mặt mức. Mục lục Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số Khái niệm f (x, y, z)= x2 z. Hàm nhiều − biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Mặt mức CHƯƠNG 1. u f x, y, z C HÀM NHIỀU Định nghĩa Cho hàm số = ( ) và là số thực BIẾN thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình CBGD. Lê f (x, y, z)= C xác định một mặt cong trong không gian Hoài Nhân Oxy, mặt cong này được gọi là mặt mức. Mục lục Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số Khái niệm f (x, y, z)= x2 z. Hàm nhiều − biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y), số L được gọi là giới Mục lục hạn của hàm f khi x x0, y y0 nếu ε> 0, δ > 0 : Khái niệm → → ∀ ∃ với mọi (x, y) thỏa (x x )2 (y y )2 < δ ta có Hàm nhiều 0 0 biến − − − p Giới hạn và f (x, y) L < ε. tính liên tục | − | Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y), số L được gọi là giới Mục lục hạn của hàm f khi x x0, y y0 nếu ε> 0, δ > 0 : Khái niệm → → ∀ ∃ với mọi (x, y) thỏa (x x )2 (y y )2 < δ ta có Hàm nhiều 0 0 biến − − − p Giới hạn và f (x, y) L < ε. tính liên tục | − | Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Tính chất Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất. Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục x π lim x. sin = 2sin = 1. Khái niệm → π (x,y) ( 3 ,2) y 6 Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục x π lim x. sin = 2sin = 1. Khái niệm → π (x,y) ( 3 ,2) y 6 Hàm nhiều sin xy biến Ví dụ 13. lim ? Giới hạn và (x,y)→(0,a) x tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục x π lim x. sin = 2sin = 1. Khái niệm → π (x,y) ( 3 ,2) y 6 Hàm nhiều sin xy biến Ví dụ 13. lim ? Giới hạn và (x,y)→(0,a) x tính liên tục x2 Đạo hàm riêng 1 x+y Vi phân Ví dụ 14. lim 1 + ? (x,y)→(∞,a) x Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục x π lim x. sin = 2sin = 1. Khái niệm → π (x,y) ( 3 ,2) y 6 Hàm nhiều sin xy biến Ví dụ 13. lim ? Giới hạn và (x,y)→(0,a) x tính liên tục x2 Đạo hàm riêng 1 x+y Vi phân Ví dụ 14. lim 1 + ? (x,y)→(∞,a) x Cực trị x2 Cực trị có điều xy kiện Ví dụ 15. lim ? (x,y)→(∞,∞) x2 + y 2 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 12. BIẾN lim (2x y 2)= 4 9 = 5. → CBGD. Lê (x,y) (2,3) − − − Hoài Nhân lim x 2y = a2b. (x,y)→(a,b) Mục lục x π lim x. sin = 2sin = 1. Khái niệm → π (x,y) ( 3 ,2) y 6 Hàm nhiều sin xy biến Ví dụ 13. lim ? Giới hạn và (x,y)→(0,a) x tính liên tục x2 Đạo hàm riêng 1 x+y Vi phân Ví dụ 14. lim 1 + ? (x,y)→(∞,a) x Cực trị x2 Cực trị có điều xy kiện Ví dụ 15. lim ? (x,y)→(∞,∞) x2 + y 2 Giá trị nhỏ nhất và giá trị x + y lớn nhất Ví dụ 16. lim ? (x,y)→(∞,∞) x2 xy + y 2 −
Chứng minh giới hạn không tồn tại CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê xy Hoài Nhân Ví dụ 17. lim . (x,y)→(0,0) x2 y 2 Mục lục + Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê xy Hoài Nhân Ví dụ 17. lim . (x,y)→(0,0) x2 y 2 Mục lục + 2 Khái niệm x y Ví dụ 18. lim . Hàm nhiều (x,y)→(0,0) x4 + y 2 biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê xy Hoài Nhân Ví dụ 17. lim . (x,y)→(0,0) x2 y 2 Mục lục + 2 Khái niệm x y Ví dụ 18. lim . Hàm nhiều (x,y)→(0,0) x4 + y 2 biến 2 2 Giới hạn và y(x + y ) tính liên tục Ví dụ 19. lim . (x,y)→(0,0) y 2 + (x2 + y 2)2 Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê xy Hoài Nhân Ví dụ 17. lim . (x,y)→(0,0) x2 y 2 Mục lục + 2 Khái niệm x y Ví dụ 18. lim . Hàm nhiều (x,y)→(0,0) x4 + y 2 biến 2 2 Giới hạn và y(x + y ) tính liên tục Ví dụ 19. lim . (x,y)→(0,0) y 2 + (x2 + y 2)2 Đạo hàm riêng 3 3 3 Vi phân x + y x y Ví dụ 20. lim − − . Cực trị 2 2 (x,y)→(0,0) p x + y Cực trị có điều kiện p Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Hàm số liên tục CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y) xác định trong tại Khái niệm (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x, y) liên tục tại (x0, y0) nếu Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Hàm số liên tục CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y) xác định trong tại Khái niệm (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x, y) liên tục tại (x0, y0) nếu Hàm nhiều biến lim f (x, y)= f (x0, y0). Giới hạn và (x,y)→(x0,y0) tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Hàm số liên tục CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y) xác định trong tại Khái niệm (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x, y) liên tục tại (x0, y0) nếu Hàm nhiều biến lim f (x, y)= f (x0, y0). Giới hạn và (x,y)→(x0,y0) tính liên tục Đạo hàm riêng Một hàm số không liên tục tại (x0, y0) thì ta nói hàm số Vi phân gián đoạn tại (x0, y0). Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN x2y CBGD. Lê nếu x2 + y 2 = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x2 + y 2 6 .  2 2 Mục lục  0 nếu x + y = 0 Khái niệm Hàm nhiều  biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN x2y CBGD. Lê nếu x2 + y 2 = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x2 + y 2 6 .  2 2 Mục lục  0 nếu x + y = 0 Khái niệm Hàm nhiều  biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Hàm số liên tục - Chú ý CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Hàm số z = f (x, y) gián đoạn tại (x0; y0) nếu một trong các điều kiện sau đây xảy ra: Mục lục Khái niệm f (x, y) không xác định tại (x0; y0). Hàm nhiều f x, y biến lim ( ) không tồn tại. (x,y)→(x0,y0) Giới hạn và tính liên tục f (x, y) xác định tại (x0; y0) và lim f (x, y) tồn tại x,y x ,y Đạo hàm riêng ( )→( 0 0) Vi phân nhưng Cực trị lim f (x, y) = f (x0, y0). (x,y)→(x0,y0) 6 Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x2 + y 2 6 . ( x2 y 2 Mục lục 0 nếu + = 0 Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x2 + y 2 6 . ( x2 y 2 Mục lục 0 nếu + = 0 Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Ví dụ 23. Nên định nghĩa giá trị f (0, 0) bằng bao nhiêu Hàm nhiều x2 + y 2 x3y 3 biến để hàm số f (x, y)= 2 − 2 , (x, y) = (0, 0) liên Giới hạn và x + y 6 tính liên tục tục tại gốc. Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định lý Weierstrass CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Định lý Weierstrass. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên Hàm nhiều biến tập đóng bị chặn thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn D Giới hạn và nhất trên . tính liên tục D Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y) xác định tại (x , y ) và lân cận. Đạo hàm Mục lục 0 0 Khái niệm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định Hàm nhiều nhờ biểu thức: biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y) xác định tại (x , y ) và lân cận. Đạo hàm Mục lục 0 0 Khái niệm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định Hàm nhiều nhờ biểu thức: biến ∂f 0 f (x0 +∆x, y0) f (x0, y0) Giới hạn và (x0, y0)= fx (x0, y0)= lim − tính liên tục ∂x ∆x→0 ∆x Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y) xác định tại (x , y ) và lân cận. Đạo hàm Mục lục 0 0 Khái niệm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định Hàm nhiều nhờ biểu thức: biến ∂f 0 f (x0 +∆x, y0) f (x0, y0) Giới hạn và (x0, y0)= fx (x0, y0)= lim − tính liên tục ∂x ∆x→0 ∆x Đạo hàm riêng ∂f 0 f (x0, y0 +∆y) f (x0, y0) (x0, y0)= fy (x0, y0)= lim − Vi phân ∂y ∆y→0 ∆y Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 24. Cho hàm số BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê 2 2 nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x + y 6 . ( 0 nếu x2 + y 2 = 0 Mục lục Khái niệm ∂f ∂f Tính (0, 0) và (0, 0). Hàm nhiều biến ∂x ∂y Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 24. Cho hàm số BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê 2 2 nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x + y 6 . ( 0 nếu x2 + y 2 = 0 Mục lục Khái niệm ∂f ∂f Tính (0, 0) và (0, 0). Hàm nhiều biến ∂x ∂y 0 0 2 Giới hạn và Ví dụ 25. Tính zx và zy nếu z = x . sin y. tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 24. Cho hàm số BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê 2 2 nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x + y 6 . ( 0 nếu x2 + y 2 = 0 Mục lục Khái niệm ∂f ∂f Tính (0, 0) và (0, 0). Hàm nhiều biến ∂x ∂y 0 0 2 Giới hạn và Ví dụ 25. Tính zx và zy nếu z = x . sin y. tính liên tục Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: Đạo hàm riêng Vi phân z = exy cos(x + y). Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 24. Cho hàm số BIẾN xy 2 2 CBGD. Lê 2 2 nếu x + y = 0 Hoài Nhân f (x, y)= x + y 6 . ( 0 nếu x2 + y 2 = 0 Mục lục Khái niệm ∂f ∂f Tính (0, 0) và (0, 0). Hàm nhiều biến ∂x ∂y 0 0 2 Giới hạn và Ví dụ 25. Tính zx và zy nếu z = x . sin y. tính liên tục Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: Đạo hàm riêng Vi phân z = exy cos(x + y). Cực trị Cực trị có điều kiện 1 Ví dụ 27. Cho hàm số u = . Chứng minh: Giá trị nhỏ x2 + y 2 + z2 nhất và giá trị lớn nhất x.u0 + y.u0 + z.u0 = 2u. x y z −
Chú ý CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián Mục lục đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Chú ý CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián Mục lục đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó. Khái niệm Hàm nhiều Ví dụ 28. Hàm số biến xy Giới hạn và nếu x2 + y 2 = 0 tính liên tục f (x, y)= x2 + y 2 6 Đạo hàm riêng ( 0 nếu x2 + y 2 = 0 Vi phân Cực trị gián đoạn tại (0, 0) nhưng nó vẫn có các đạo hàm riêng Cực trị có điều kiện tại (0, 0). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x, y) và Mục lục ∂f ∂f v = v(x, y). Hãy tính và . Khái niệm ∂x ∂y Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x, y) và Mục lục ∂f ∂f v = v(x, y). Hãy tính và . Khái niệm ∂x ∂y Hàm nhiều biến Điều kiện tồn tại Định lý 5. Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x, y) và Mục lục ∂f ∂f v = v(x, y). Hãy tính và . Khái niệm ∂x ∂y Hàm nhiều biến Điều kiện tồn tại Định lý 5. Giới hạn và Công thức tính liên tục ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v Đạo hàm riêng = . + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x, y) và Mục lục ∂f ∂f v = v(x, y). Hãy tính và . Khái niệm ∂x ∂y Hàm nhiều biến Điều kiện tồn tại Định lý 5. Giới hạn và Công thức tính liên tục ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v Đạo hàm riêng = . + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Vi phân ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = . + . Cực trị ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 2 1 CBGD. Lê Ví dụ 29. Cho z = sin(u v) và u = xy , v = x + . Hãy Hoài Nhân y ∂z ∂z tính và . Mục lục ∂x ∂y Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 2 1 CBGD. Lê Ví dụ 29. Cho z = sin(u v) và u = xy , v = x + . Hãy Hoài Nhân y ∂z ∂z tính và . Mục lục ∂x ∂y Khái niệm x Hàm nhiều Ví dụ 30. Cho z = arctan , x = 2u + v và y = 3u v. biến y − ∂z ∂f Giới hạn và Hãy tính và . tính liên tục ∂u ∂v Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 2 1 CBGD. Lê Ví dụ 29. Cho z = sin(u v) và u = xy , v = x + . Hãy Hoài Nhân y ∂z ∂z tính và . Mục lục ∂x ∂y Khái niệm x Hàm nhiều Ví dụ 30. Cho z = arctan , x = 2u + v và y = 3u v. biến y − ∂z ∂f Giới hạn và Hãy tính và . tính liên tục ∂u ∂v Đạo hàm riêng ∂ 2 Vi phân Ví dụ 31.Hãy biểu diễn f (x y, x + 2y) và ∂x Cực trị ∂ 2 Cực trị có điều f (x y, x + 2y) theo các đạo hàm riêng của hàm kiện ∂y Giá trị nhỏ f (x, y), giả sử rằng các đạo hàm này liên tục. nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Ví dụ 32. Cho hàm số z = f (u, v) với u = u(x) và Khái niệm dz Hàm nhiều v = v(x). Hãy tính biến dx Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Ví dụ 32. Cho hàm số z = f (u, v) với u = u(x) và Khái niệm dz Hàm nhiều v = v(x). Hãy tính biến dx Giới hạn và Ví dụ 33. Cho hàm số z = f (u) với u = u(x, y). Hãy tính tính liên tục ∂f ∂f Đạo hàm riêng và . ∂x ∂y Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đinh nghĩa Hàm ẩn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Hàm số y = y(x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương Mục lục trình F (x, y)= 0 nếu F (x, y(x)) = 0 với mọi x Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đinh nghĩa Hàm ẩn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Hàm số y = y(x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương Mục lục trình F (x, y)= 0 nếu F (x, y(x)) = 0 với mọi x Khái niệm Hàm số z = z(x, y) được gọi là hàm ẩn xác định bởi Hàm nhiều biến phương trình F (x, y, z)= 0 nếu F (x, y, z(x, y)) = 0 với R2 Giới hạn và mọi (x, y) . tính liên tục ∈ Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đinh nghĩa Hàm ẩn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Hàm số y = y(x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương Mục lục trình F (x, y)= 0 nếu F (x, y(x)) = 0 với mọi x Khái niệm Hàm số z = z(x, y) được gọi là hàm ẩn xác định bởi Hàm nhiều biến phương trình F (x, y, z)= 0 nếu F (x, y, z(x, y)) = 0 với R2 Giới hạn và mọi (x, y) . tính liên tục ∈ Ví dụ 34. Đạo hàm riêng Phương trình x 3 + y 3 = 1 xác định hàm ẩn y = √3 1 x 3. Vi phân − Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đinh nghĩa Hàm ẩn CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Hàm số y = y(x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương Mục lục trình F (x, y)= 0 nếu F (x, y(x)) = 0 với mọi x Khái niệm Hàm số z = z(x, y) được gọi là hàm ẩn xác định bởi Hàm nhiều biến phương trình F (x, y, z)= 0 nếu F (x, y, z(x, y)) = 0 với R2 Giới hạn và mọi (x, y) . tính liên tục ∈ Ví dụ 34. Đạo hàm riêng 3 3 √3 3 Vi phân Phương trình x + y = 1 xác định hàm ẩn y = 1 x . Phương trình x 2 + y 2 + z2 = 1 xác định hai hàm ẩn− Cực trị z = 1 x 2 y 2 và z = 1 x 2 y 2. Cực trị có điều − − − − − kiện p p Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm hàm ẩn một biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Sự tồn tại Định lý 9. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm hàm ẩn một biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Sự tồn tại Định lý 9. Mục lục 0 0 Fx Khái niệm Công thức. y (x)= −F 0 Hàm nhiều y biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm hàm ẩn một biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Sự tồn tại Định lý 9. Mục lục 0 0 Fx Khái niệm Công thức. y (x)= −F 0 Hàm nhiều y biến Giới hạn và Ví dụ 35. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương tính liên tục trình x3y + ln y x = 0. Hãy tính y 0(x). Đạo hàm riêng − Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm hàm ẩn một biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Sự tồn tại Định lý 9. Mục lục 0 0 Fx Khái niệm Công thức. y (x)= −F 0 Hàm nhiều y biến Giới hạn và Ví dụ 35. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương tính liên tục trình x3y + ln y x = 0. Hãy tính y 0(x). Đạo hàm riêng − Ví dụ 36. Tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) biết Vi phân x + y y Cực trị arctan = 0. a − a Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. 0 Mục lục ∂z Fx = 0 . Khái niệm ∂x −Fz Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. 0 Mục lục ∂z Fx = 0 . Khái niệm ∂x −Fz F 0 Hàm nhiều ∂z y biến = 0 . ∂y −Fz Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. 0 Mục lục ∂z Fx = 0 . Khái niệm ∂x −Fz F 0 Hàm nhiều ∂z y biến = 0 . ∂y −Fz Giới hạn và ∂z ∂z tính liên tục Ví dụ 37. Cho e−xy 2z + ez = 0. Tính và . Đạo hàm riêng − ∂x ∂y Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. 0 Mục lục ∂z Fx = 0 . Khái niệm ∂x −Fz F 0 Hàm nhiều ∂z y biến = 0 . ∂y −Fz Giới hạn và ∂z ∂z tính liên tục Ví dụ 37. Cho e−xy 2z + ez = 0. Tính và . Đạo hàm riêng − ∂x ∂y Vi phân xz ∂z ∂z Ví dụ 38. Cho z2 + xy 3 = . Hãy tính và . Cực trị y ∂x ∂y Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Sự tồn tại. Định lý 10 CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. 0 Mục lục ∂z Fx = 0 . Khái niệm ∂x −Fz F 0 Hàm nhiều ∂z y biến = 0 . ∂y −Fz Giới hạn và ∂z ∂z tính liên tục Ví dụ 37. Cho e−xy 2z + ez = 0. Tính và . Đạo hàm riêng − ∂x ∂y Vi phân xz ∂z ∂z Ví dụ 38. Cho z2 + xy 3 = . Hãy tính và . Cực trị y ∂x ∂y Cực trị có điều kiện Ví dụ 39. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu 2 2 2 Giá trị nhỏ x + y + z = 14 tại điểm (1, 2, 3). nhất và giá trị − lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê 4 Hoài Nhân x+y 2 ∂ u Ví dụ 40. Cho u = e . sin z. Tính 2 . Mục lục ∂x∂y ∂z Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê 4 Hoài Nhân x+y 2 ∂ u Ví dụ 40. Cho u = e . sin z. Tính 2 . Mục lục ∂x∂y ∂z Khái niệm Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Hàm nhiều z = ln(x + x2 + y 2). biến Giới hạn và p tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê 4 Hoài Nhân x+y 2 ∂ u Ví dụ 40. Cho u = e . sin z. Tính 2 . Mục lục ∂x∂y ∂z Khái niệm Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Hàm nhiều z = ln(x + x2 + y 2). biến 2 2 1 − x +y Giới hạn và p u e 4t tính liên tục Ví dụ 42. Cho = t . Chứng minh rằng: Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê 4 Hoài Nhân x+y 2 ∂ u Ví dụ 40. Cho u = e . sin z. Tính 2 . Mục lục ∂x∂y ∂z Khái niệm Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Hàm nhiều z = ln(x + x2 + y 2). biến 2 2 1 − x +y Giới hạn và p u e 4t tính liên tục Ví dụ 42. Cho = t . Chứng minh rằng: Đạo hàm riêng ∂u ∂2u ∂2u Vi phân = 2 + 2 . Cực trị ∂t ∂x ∂y Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm riêng cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau BIẾN Định lý 6 (Schwartz) CBGD. Lê 4 Hoài Nhân x+y 2 ∂ u Ví dụ 40. Cho u = e . sin z. Tính 2 . Mục lục ∂x∂y ∂z Khái niệm Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Hàm nhiều z = ln(x + x2 + y 2). biến 2 2 1 − x +y Giới hạn và p u e 4t tính liên tục Ví dụ 42. Cho = t . Chứng minh rằng: Đạo hàm riêng ∂u ∂2u ∂2u Vi phân = 2 + 2 . Cực trị ∂t ∂x ∂y Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ Ví dụ 43. Hãy tìm tất cả các hàm số f (x, y) sao cho nhất và giá trị ∂2f lớn nhất = x + y và f (x, 0)= x, f (0, y)= y 2. ∂x∂y
Gradient CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x, y) tại điểm (x, y) Mục lục là vector: Khái niệm 0 0 Hàm nhiều f (x, y)= grad f (x, y)= fx (x, y)−→i + fy (x, y)−→j biến ∇ Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Gradient CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x, y) tại điểm (x, y) Mục lục là vector: Khái niệm 0 0 Hàm nhiều f (x, y)= grad f (x, y)= fx (x, y)−→i + fy (x, y)−→j biến ∇ Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Ví dụ 44. Cho f (z, y)= x2 + y 2. Tính f (x, y). Vi phân ∇ Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Gradient CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x, y) tại điểm (x, y) Mục lục là vector: Khái niệm 0 0 Hàm nhiều f (x, y)= grad f (x, y)= fx (x, y)−→i + fy (x, y)−→j biến ∇ Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Ví dụ 44. Cho f (z, y)= x2 + y 2. Tính f (x, y). Vi phân x ∇ Ví dụ 45. Cho f (x, y)= cos . Tính f (π, 4). Cực trị y ∇ Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị CBGD. Lê Hoài Nhân −→u = (v, w) tại (x0, y0) là giới hạn f (x +h.v,y +h.w)−f (x ,y ) −→ 0 0 0 0 Mục lục D u f (x0, y0)= lim h h→0+ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị CBGD. Lê Hoài Nhân −→u = (v, w) tại (x0, y0) là giới hạn f (x +h.v,y +h.w)−f (x ,y ) −→ 0 0 0 0 Mục lục D u f (x0, y0)= lim h h→0+ Khái niệm Công thức 1. Nếu u = (v, w) là vector đơn vị thì Hàm nhiều −→ biến D−→u f (x0, y0)= −→u . f (x0, y0) Giới hạn và ∇ tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị CBGD. Lê Hoài Nhân −→u = (v, w) tại (x0, y0) là giới hạn f (x +h.v,y +h.w)−f (x ,y ) −→ 0 0 0 0 Mục lục D u f (x0, y0)= lim h h→0+ Khái niệm Công thức 1. Nếu u = (v, w) là vector đơn vị thì Hàm nhiều −→ biến D−→u f (x0, y0)= −→u . f (x0, y0) Giới hạn và ∇ tính liên tục Công thức 2. Nếu v là vector khác −→0 có module tùy ý Đạo hàm riêng −→ −→v D −→ f x , y . f x , y Vi phân thì v ( 0 0)= |−→v | ( 0 0) |→−v | ∇ Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị CBGD. Lê Hoài Nhân −→u = (v, w) tại (x0, y0) là giới hạn f (x +h.v,y +h.w)−f (x ,y ) −→ 0 0 0 0 Mục lục D u f (x0, y0)= lim h h→0+ Khái niệm Công thức 1. Nếu u = (v, w) là vector đơn vị thì Hàm nhiều −→ biến D−→u f (x0, y0)= −→u . f (x0, y0) Giới hạn và ∇ tính liên tục Công thức 2. Nếu v là vector khác −→0 có module tùy ý Đạo hàm riêng −→ −→v D −→ f x , y . f x , y Vi phân thì v ( 0 0)= |−→v | ( 0 0) |→−v | ∇ Cực trị Cực trị có điều Công thức 3. Nếu ϕ = (Ox, u ) thì kiện −→ D x y f 0 x y f 0 x y Giá trị nhỏ ϕ( 0, 0)= cos ϕ. x ( 0, 0)+ sin ϕ. y ( 0, 0) nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê x Hoài Nhân Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x, y)= tại 1 + y Mục lục điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→i −→j . Khái niệm − Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê x Hoài Nhân Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x, y)= tại 1 + y Mục lục điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→i −→j . Khái niệm − Ví dụ 47. Tính đạo hàm của hàm số z = x2 + y 2 tại điểm Hàm nhiều biến (1, 2) theo hướng của vector tạo với chiều dương của − Giới hạn và Ox o tính liên tục trục một góc 60 . Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Ví dụ CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê x Hoài Nhân Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x, y)= tại 1 + y Mục lục điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→i −→j . Khái niệm − Ví dụ 47. Tính đạo hàm của hàm số z = x2 + y 2 tại điểm Hàm nhiều biến (1, 2) theo hướng của vector tạo với chiều dương của − Giới hạn và Ox o tính liên tục trục một góc 60 . Đạo hàm riêng Ví dụ 48. Tính đạo hàm của hàm số 1 1 1 Vi phân f (z, y, z)= + + tại điểm (2, 3, 4) theo hướng của Cực trị x y z − Cực trị có điều vector −→i + −→j + −→k . kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Tính chất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm BIẾN (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và CBGD. Lê f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hoài Nhân ∇ Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Tính chất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm BIẾN (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và CBGD. Lê f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hoài Nhân ∇ Hàm số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Mục lục f (x0, y0). Khái niệm ∇ Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Tính chất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm BIẾN (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và CBGD. Lê f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hoài Nhân ∇ Hàm số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Mục lục f (x0, y0). Khái niệm Hàm∇ số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Hàm nhiều f (x0, y0). biến −∇ Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Tính chất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm BIẾN (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và CBGD. Lê f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hoài Nhân ∇ Hàm số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Mục lục f (x0, y0). Khái niệm Hàm∇ số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Hàm nhiều f (x0, y0). biến −∇ Giới hạn và Ví dụ 49. Nhiệt độ tại vị trí (x, y) trên mặt phẳng là tính liên tục T oC với T (x, y)= x2.e−y . Theo hướng nào thì tại điểm Đạo hàm riêng Vi phân (2, 1) nhiệt độ tăng nhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của Cực trị T theo hướng đó. Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Đạo hàm theo hướng - Tính chất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm BIẾN (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và CBGD. Lê f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hoài Nhân ∇ Hàm số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Mục lục f (x0, y0). Khái niệm Hàm∇ số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector Hàm nhiều f (x0, y0). biến −∇ Giới hạn và Ví dụ 49. Nhiệt độ tại vị trí (x, y) trên mặt phẳng là tính liên tục T oC với T (x, y)= x2.e−y . Theo hướng nào thì tại điểm Đạo hàm riêng Vi phân (2, 1) nhiệt độ tăng nhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của Cực trị T theo hướng đó. Cực trị có điều Ví dụ 50. Nhiệt độ T (x, y) tại các điểm trên mặt phẳng kiện được cho bởi hàm số T (x, y)= x2 2y 2. Từ điểm Giá trị nhỏ − nhất và giá trị (2, 1) trên mặt phẳng, một con kiến nên di chuyển theo lớn nhất − hướng nào để đi đến nơi có nhiệt độ mát nhất?
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Nếu f (x, y) là hàm số khả vi thì 0 0 Mục lục df (x, y)= fx dx + fy dy Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Nếu f (x, y) là hàm số khả vi thì 0 0 Mục lục df (x, y)= fx dx + fy dy Khái niệm Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Hàm nhiều 2 2 biến f (x, y)= ln(y + x + y ) Giới hạn và tính liên tục p Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Nếu f (x, y) là hàm số khả vi thì 0 0 Mục lục df (x, y)= fx dx + fy dy Khái niệm Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Hàm nhiều 2 2 biến f (x, y)= ln(y + x + y ) Giới hạn và tính liên tục Ví dụ 52. Tìm vip phân toàn phần của hàm số x2+y 2 2 Đạo hàm riêng u = e . sin z Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Nếu f (x, y) là hàm số khả vi thì 0 0 Mục lục df (x, y)= fx dx + fy dy Khái niệm Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Hàm nhiều 2 2 biến f (x, y)= ln(y + x + y ) Giới hạn và tính liên tục Ví dụ 52. Tìm vip phân toàn phần của hàm số x2+y 2 2 Đạo hàm riêng u = e . sin z Vi phân Ví dụ 53. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Cực trị f (x, y) = (x + y).exy tại điểm (1, 1). Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp 1 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CBGD. Lê Hoài Nhân Công thức. Nếu f (x, y) là hàm số khả vi thì 0 0 Mục lục df (x, y)= fx dx + fy dy Khái niệm Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Hàm nhiều 2 2 biến f (x, y)= ln(y + x + y ) Giới hạn và tính liên tục Ví dụ 52. Tìm vip phân toàn phần của hàm số x2+y 2 2 Đạo hàm riêng u = e . sin z Vi phân Ví dụ 53. Tìm vi phân toàn phần của hàm số Cực trị f (x, y) = (x + y).exy tại điểm (1, 1). Cực trị có điều kiện Ví dụ 54. Hãy tìm vi phân toàn phần của hàm số 2 2 2 Giá trị nhỏ z = z(x, y) nếu x + y + z = 1. nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Xét hàm số hai biến z = f (x, y). Ta có Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Xét hàm số hai biến z = f (x, y). Ta có Mục lục n n ∂ ∂ Khái niệm Công thức vi phân cấp n. d z = dx + dy z ∂x ∂y Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Xét hàm số hai biến z = f (x, y). Ta có Mục lục n n ∂ ∂ Khái niệm Công thức vi phân cấp n. d z = dx + dy z ∂x ∂y Hàm nhiều biến 2 00 2 00 00 2 Giới hạn và Vi phân cấp 2. d z = zxx dx + 2zxy dxdy + zyy dy tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Xét hàm số hai biến z = f (x, y). Ta có Mục lục n n ∂ ∂ Khái niệm Công thức vi phân cấp n. d z = dx + dy z ∂x ∂y Hàm nhiều biến 2 00 2 00 00 2 Giới hạn và Vi phân cấp 2. d z = zxx dx + 2zxy dxdy + zyy dy tính liên tục Ví dụ 55. Tính vi phân cấp hai của hàm số z = x2. sin y Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Vi phân cấp cao CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Xét hàm số hai biến z = f (x, y). Ta có Mục lục n n ∂ ∂ Khái niệm Công thức vi phân cấp n. d z = dx + dy z ∂x ∂y Hàm nhiều biến 2 00 2 00 00 2 Giới hạn và Vi phân cấp 2. d z = zxx dx + 2zxy dxdy + zyy dy tính liên tục Ví dụ 55. Tính vi phân cấp hai của hàm số z = x2. sin y Đạo hàm riêng Vi phân Ví dụ 56. Tìm vi phân cấp ba của hàm số 3 3 Cực trị z = x + y 3xy(x y) − − Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 0 0 Hàm nhiều Điểm kỳ dị: Những điểm mà f hoặc f không xác định. biến x y Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 0 0 Hàm nhiều Điểm kỳ dị: Những điểm mà f hoặc f không xác định. biến x y Giới hạn và Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 0 0 Hàm nhiều Điểm kỳ dị: Những điểm mà f hoặc f không xác định. biến x y Giới hạn và Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 tính liên tục Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C, ∆. Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 0 0 Hàm nhiều Điểm kỳ dị: Những điểm mà f hoặc f không xác định. biến x y Giới hạn và Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 tính liên tục Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C, ∆. Đạo hàm riêng Kết luận cực trị theo định lý 13. Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f 0 0 Khái niệm Điểm dừng: Giải hệ phương trình fx = 0 và fy = 0 0 0 Hàm nhiều Điểm kỳ dị: Những điểm mà f hoặc f không xác định. biến x y Giới hạn và Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 tính liên tục Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C, ∆. Đạo hàm riêng Kết luận cực trị theo định lý 13. Vi phân Cực trị Bước 4. Xét tại các điểm còn lại: Điểm kỳ dị và điểm Cực trị có điều dừng có ∆= 0. (Dùng định nghĩa) kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x3 xy 2 x2 y 2 Hoài Nhân Ví dụ 57. = 2 + + 5 + Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x3 xy 2 x2 y 2 Hoài Nhân Ví dụ 57. = 2 + + 5 + Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x3 xy 2 x2 y 2 Hoài Nhân Ví dụ 57. = 2 + + 5 + Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 58. z = x4 + y 4 x2 2xy y 2 − − − Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 58. z = x4 + y 4 x2 2xy y 2 − − − Mục lục Biểu diễn hình học Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 58. z = x4 + y 4 x2 2xy y 2 − − − Mục lục Biểu diễn hình học Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x4 y 4 Hoài Nhân Ví dụ 59. = + Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x4 y 4 Hoài Nhân Ví dụ 59. = + Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê z x4 y 4 Hoài Nhân Ví dụ 59. = + Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 60. z = 1 x2 + y 2 Hoài Nhân − Mục lục p Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 60. z = 1 x2 + y 2 Hoài Nhân − Biểu diễn hình học Mục lục p Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 60. z = 1 x2 + y 2 Hoài Nhân − Biểu diễn hình học Mục lục p Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 −(x2+y 2) CBGD. Lê Ví dụ 61. z = (x + y )e Hoài Nhân Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 −(x2+y 2) CBGD. Lê Ví dụ 61. z = (x + y )e Hoài Nhân Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 −(x2+y 2) CBGD. Lê Ví dụ 61. z = (x + y )e Hoài Nhân Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN 2 2 −(x2+y 2) CBGD. Lê Ví dụ 61. z = (x + y )e Hoài Nhân Biểu diễn hình học Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều F Mở rộng: Hãy nêu quy tắc và tìm một số ví dụ về cực trị kiện của hàm số ba biến u = f (x, y, z). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Cực trị có điều kiện CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Định nghĩa. Cực trị của hàm số z = f (x, y) với (x, y) Khái niệm Hàm nhiều thỏa điều kiện ϕ(x, y)= 0 được gọi là cực trị có điều kiện biến của hàm z = f (x, y). Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Cực trị có điều kiện CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Định nghĩa. Cực trị của hàm số z = f (x, y) với (x, y) Khái niệm Hàm nhiều thỏa điều kiện ϕ(x, y)= 0 được gọi là cực trị có điều kiện biến của hàm z = f (x, y). Giới hạn và tính liên tục Có hai phương pháp cơ bản để tìm cực trị có điều kiện: Đạo hàm riêng Phương pháp thế và phương pháp nhân tử Lagrange. Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp thế - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x, y)= 0 = y = y(x) với ⇒ Khái niệm x (a, b) nào đó Hàm nhiều ∈ biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp thế - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x, y)= 0 = y = y(x) với ⇒ Khái niệm x (a, b) nào đó Hàm nhiều ∈ biến Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x, y) ta được Giới hạn và hàm số g(x)= f (x, y(x)) tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp thế - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x, y)= 0 = y = y(x) với ⇒ Khái niệm x (a, b) nào đó Hàm nhiều ∈ biến Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x, y) ta được Giới hạn và hàm số g(x)= f (x, y(x)) tính liên tục Bước 3. Tìm cực trị của hàm g(x) Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp thế - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x, y)= 0 = y = y(x) với ⇒ Khái niệm x (a, b) nào đó Hàm nhiều ∈ biến Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x, y) ta được Giới hạn và hàm số g(x)= f (x, y(x)) tính liên tục Bước 3. Tìm cực trị của hàm g(x) Đạo hàm riêng Vi phân Bước 4. Suy ra cực trị của hàm z = f (x, y). Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 62. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 62. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN Mô tả hình học. p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 62. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN Mô tả hình học. p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 x y HÀM NHIỀU Ví dụ 63. z = x + y với điều kiện + = 1. BIẾN 2 3 CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 x y HÀM NHIỀU Ví dụ 63. z = x + y với điều kiện + = 1. BIẾN 2 3 Mô tả hình học. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 x y HÀM NHIỀU Ví dụ 63. z = x + y với điều kiện + = 1. BIẾN 2 3 Mô tả hình học. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 64. z = x2 + y 2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 64. z = x2 + y 2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. CBGD. Lê Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 64. z = x2 + y 2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. CBGD. Lê Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Lập hàm Lagrage: Khái niệm F (x, y, λ)= f (x, y)+ λϕ(x, y)) Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Lập hàm Lagrage: Khái niệm F (x, y, λ)= f (x, y)+ λϕ(x, y)) Hàm nhiều biến Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm F (x, y, λ) Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Bước 1. Lập hàm Lagrage: Khái niệm F (x, y, λ)= f (x, y)+ λϕ(x, y)) Hàm nhiều biến Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm F (x, y, λ) Giới hạn và tính liên tục Bước 3. Tính đạo hàm cấp hai và vi phân cấp hai của Đạo hàm riêng F (x, y, λ) tại từng điểm dừng. Dùng định lý 15 suy ra cực Vi phân trị có điều kiện của f . Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 65. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 65. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN Mô tả hình học. p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. Ví dụ 65. z = 1 x2 y 2 với điều kiện x + y 1 = 0. HÀM NHIỀU − − − BIẾN Mô tả hình học. p CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 66. z = 6 4x 3y với điều kiện x2 + y 2 = 1. CBGD. Lê − − Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 66. z = 6 4x 3y với điều kiện x2 + y 2 = 1. CBGD. Lê − − Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 66. z = 6 4x 3y với điều kiện x2 + y 2 = 1. CBGD. Lê − − Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 2 HÀM NHIỀU Ví dụ 67. z = x + y với điều kiện x y = 16 và x > 0. BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 2 HÀM NHIỀU Ví dụ 67. z = x + y với điều kiện x y = 16 và x > 0. BIẾN Mô tả hình học. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 2 HÀM NHIỀU Ví dụ 67. z = x + y với điều kiện x y = 16 và x > 0. BIẾN Mô tả hình học. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số CHƯƠNG 1. 2 2 2 HÀM NHIỀU Ví dụ 67. z = x + y với điều kiện x y = 16 và x > 0. BIẾN Mô tả hình học. CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ F Mở rộng: Hãy nêu quy tắc và tìm một số ví dụ về cực trị nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ba biến u = f (x, y, z) với một điều kiện và với hai điều kiện.
Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Mục lục ⊂ Khái niệm nhất trên D. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Mục lục ⊂ Khái niệm nhất trên D. 2 Hàm nhiều Cho miền D R và tập đóng, bị chặn với biên là đường biến ⊂ cong ϕ(x, y)= 0 và f (x, y) là hàm số liên tục trên D. Giá Giới hạn và tính liên tục trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt Đạo hàm riêng tại: Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Mục lục ⊂ Khái niệm nhất trên D. 2 Hàm nhiều Cho miền D R và tập đóng, bị chặn với biên là đường biến ⊂ cong ϕ(x, y)= 0 và f (x, y) là hàm số liên tục trên D. Giá Giới hạn và tính liên tục trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt Đạo hàm riêng tại: Vi phân Cực trị tự do thuộc phần trong của D. Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Mục lục ⊂ Khái niệm nhất trên D. 2 Hàm nhiều Cho miền D R và tập đóng, bị chặn với biên là đường biến ⊂ cong ϕ(x, y)= 0 và f (x, y) là hàm số liên tục trên D. Giá Giới hạn và tính liên tục trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt Đạo hàm riêng tại: Vi phân Cực trị tự do thuộc phần trong của D. Cực trị Cực trị có điều kiện ϕ(x, y)= 0. Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Mục lục ⊂ Khái niệm nhất trên D. 2 Hàm nhiều Cho miền D R và tập đóng, bị chặn với biên là đường biến ⊂ cong ϕ(x, y)= 0 và f (x, y) là hàm số liên tục trên D. Giá Giới hạn và tính liên tục trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt Đạo hàm riêng tại: Vi phân Cực trị tự do thuộc phần trong của D. Cực trị Cực trị có điều kiện ϕ(x, y)= 0. Cực trị có điều Các điểm đầu mút của ∂D. kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm Giới hạn và này là Pk tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm Giới hạn và này là Pk tính liên tục Đạo hàm riêng Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ). Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm Giới hạn và này là Pk tính liên tục Đạo hàm riêng Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ). Vi phân Kết luận. Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm Giới hạn và này là Pk tính liên tục Đạo hàm riêng Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ). Vi phân Kết luận. Cực trị Giá trị lớn nhất: max z = max f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) . Cực trị có điều D i,j,k { } kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Các bước giải bài toán CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần Hoài Nhân trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Mục lục Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các Khái niệm điểm này là Nj Hàm nhiều biến Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm Giới hạn và này là Pk tính liên tục Đạo hàm riêng Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ). Vi phân Kết luận. Cực trị Giá trị lớn nhất: max z = max f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) . Cực trị có điều D i,j,k { } kiện Giá trị nhỏ nhất: min z = min f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) . Giá trị nhỏ D i,j,k { } nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 68. f (x, y)= x2y.e−(x+y) trên miền x 0, y 0, CBGD. Lê ≥ ≥ Hoài Nhân x + y 4. ≤ Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 68. f (x, y)= x2y.e−(x+y) trên miền x 0, y 0, CBGD. Lê ≥ ≥ Hoài Nhân x + y 4. ≤ Mục lục Mô tả hình học. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 68. f (x, y)= x2y.e−(x+y) trên miền x 0, y 0, CBGD. Lê ≥ ≥ Hoài Nhân x + y 4. ≤ Mục lục Mô tả hình học. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 68. f (x, y)= x2y.e−(x+y) trên miền x 0, y 0, CBGD. Lê ≥ ≥ Hoài Nhân x + y 4. ≤ Mục lục Mô tả hình học. Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền Hoài Nhân π π 0 x , 0 y . Mục lục ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền Hoài Nhân π π 0 x , 0 y . Mục lục ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền Hoài Nhân π π 0 x , 0 y . Mục lục ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền Hoài Nhân π π 0 x , 0 y . Mục lục ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2 Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 70. z = x + y 12x + 16y trên miền − x2 + y 2 25. Mục lục ≤ Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 70. z = x + y 12x + 16y trên miền − x2 + y 2 25. Mục lục ≤ Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 70. z = x + y 12x + 16y trên miền − x2 + y 2 25. Mục lục ≤ Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 70. z = x + y 12x + 16y trên miền − x2 + y 2 25. Mục lục ≤ Khái niệm Mô tả hình học. Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 71. z = x2 + y 2 trên miền (x 1)2 + (y 2)2 5 BIẾN x y − − ≤ CBGD. Lê và 2 + 4. Hoài Nhân ≥ Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 71. z = x2 + y 2 trên miền (x 1)2 + (y 2)2 5 BIẾN − − ≤ và 2x + y 4. CBGD. Lê ≥ Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 71. z = x2 + y 2 trên miền (x 1)2 + (y 2)2 5 BIẾN − − ≤ và 2x + y 4. CBGD. Lê ≥ Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 71. z = x2 + y 2 trên miền (x 1)2 + (y 2)2 5 BIẾN − − ≤ và 2x + y 4. CBGD. Lê ≥ Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU Ví dụ 71. z = x2 + y 2 trên miền (x 1)2 + (y 2)2 5 BIẾN − − ≤ và 2x + y 4. CBGD. Lê ≥ Hoài Nhân Mô tả hình học. Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến HẾT CHƯƠNG 1 Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất