Bài giảng xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất của biến cố - Chi Bình Minh

88 trang huongle 2860

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất của biến cố - Chi Bình Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_1_xac_suat_cua_bien_co_ch.pdf

Nội dung text: Bài giảng xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất của biến cố - Chi Bình Minh

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008
PHẦN 1 XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Bài 1 NHẮC LẠI VỀ TỔ HỢP I Quy tắc đếm II Hốn vị III Chỉnh hợp IV Tổ hợp
Bài 2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
I/Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí nghiệm/thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều kiện nhất định. Nó có thể dẫn đến kết cục này hoặc kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục). Và việc làm này có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được
Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố. Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc không thể có BcNN: là bc có thể xãy ra hoặc không xãy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A, B, C, Bc cc: là bc luôn xãy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu U Bc không thể có: là bc không thể xãy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu V Ta chỉ nghiên cứu bcNN mà thôi.
Vd1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt được đánh số nút từ 1->6) , xét xem mặt nào xuất hiện. Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút 7 C=bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?
VD2: Xét 1 gia đình có 2 con. Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái. B = bc gia đình có 2 con. C = bc gia đình có 3 con. Bc nào là bccc, bcktc, bcNN?
Vd3: hộp có 8 bi: 6 bi Trắng, 2 bi Xanh. Lấy ra 3 bi xem màu. Đặt A= bc lấy được 3 bi T B= bc lấy được 3 bi X C= bc lấy được 3 bi Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?
II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ: 1)Kéo theo: bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xãy ra thì dẫn đến bc B xãy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: A⊂B hay A=>B Vd1: Một sv mua 1 tờ vé số. Đặt A=bc sv này trúng số độc đắc B=bc sv này trúng số A⊂B hay B⊂A ? Dùng biểu đồ Venn minh họa?
1)KÉO THEO VD2: xét 1 gia đình có 2 con. Đặt A= bc gia đình có con trai. B= bc gia đình có 2 con trai. A⊂B hay B⊂A ? VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A. Đặt A= bc học sinh này thi đậu B= bc học sinh này có điểm Toán là 10 A⊂B hay B⊂A ?
2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU): bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xãy ra thì bc B xãy ra, và ngược lại bc B xãy ra thì bc A xãy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A=B hay A⇔B Vậy A=B nếu A⊂B và B⊂A Vd1: Tung 1 con xúc xắc. Đặt A=bc con xx xh mặt có số nút chẳn B=bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6 C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4 A=B? A=C?
2)TƯƠNG ĐƯƠNG Vd2: hộp có 8 bi: 6T, 2 X. lấy 2 bi ra xem màu. Đặt A= bc lấy được 1 bi T B= bc lấy được 1 bi X C= bc lấy được 3 bi T D= bc lấy được bi T A=B? A=C? A=D?
2)TƯƠNG ĐƯƠNG Vd3: hộp có 8 bi: 4T, 2X, 2Đỏ. lấy 2 bi ra xem màu. Đặt A= bc lấy được 1 bi T B= bc lấy được 1 bi X A=B?
3)TỔNG (HỢP): bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+B hay C=A∪B. C xãy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xãy ra, khi thực hiện phép thử. Câu hỏi: Vậy A và B cùng xãy ra khi thực hiện phép thử được hông?
3)HỢP Vd1: tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện. Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn. B= bc con xx xh mặt có số nút là 2 A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6 D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4 C=A+B? C=A+D?
3)HỢP Vd2: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên. Chọn NN 1 sv trong lớp. Đặt A=bc sv này giỏi Anh B=bc sv này giỏi Pháp C=bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ. D=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ C=A+B? D=A+B?
Tổng quát: C= A1+A2+ +An . C xãy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xãy ra, khi thực hiện phép thử Vd: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm. Đặt Ai=bc sp thứ i xấu. C=bc có ít nhất 1 sp xấu C= A1+A2+ +An Vậy “hiểu” dấu + giữa các biến cố nghĩa là gì?
4)TÍCH (GIAO): bc C gọi là tích của 2 bc A và B, ký hiệu C=A.B hay C=A∩B C xãy ra nếu cả 2 bc A và B cùng xãy ra, khi thực hiện phép thử.
4)TÍCH Vd1: tung 1 con xx. Xét xem mặt nào xh. Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4 B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6 C= bc con xx xh mặt có số nút là 2 D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6 C=A.B? C=A.D?
4) TÍCH Vd2: Chọn NN 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Đặt A=bc có được lá già. B=bc có được lá cơ C=bc có được lá già cơ. C=A.B?
4)TÍCH Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên. Chọn NN 1 sv trong lớp. Đặt A=bc sv này giỏi Anh B=bc sv này giỏi Pháp C=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ C=A.B?
4)TÍCH Tổng quát: C =A1.A2 An. C xãy ra nếu tất cả các Ai cùng xãy ra, khi thực hiện phép thử Vd: Kiểm tra chất lượng n sp. Đặt Ai=bc sp thứ i tốt C=bc tất cả các sp đều tốt C =A1.A2 An Vậy “hiểu” dấu . giữa các biến cố nghĩa là gì?
5)XUNG KHẮC: A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xãy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A.B=V Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp: A xr, Bxr A xr, Bkxr A kxr, Bxr A kxr, Bkxr Vậy trường hợp nào ứng với xung khắc?
5)XUNG KHẮC Vd 1: Tung 1 con xúc xắc. đặt A=bc được mặt có số nút chẵn. B=bc được mặt có số nút là 2. C=bc được mặt có số nút lẻ. D=bc được mặt có số nút 1,3 Xác định A.B? A.C? A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?
5)XUNG KHẮC Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. Đặt T=bc được viên phấn T. Đ=bc được viên phấn Đ. A=bc lấy được 1 viên phấn T,Đ xung khắc? T,A xk?
5)XUNG KHẮC Ví dụ 3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. Đặt A=bc được 1 viên phấn T. B=bc được 1 viên phấn Đ. C=bc được 2 viên phấn T D=bc lấy được viên phấn T A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?
5)Xung khắc VD4: Lớp có 50 sv, trong đó có 7 sv tóc highlight 7 màu (đỏ, xanh, vàng, lục, lam, chàm, đen), 15 sv tóc highlight màu vàng, các sv còn lại tóc màu đen. Chọn NN 1 sv trong lớp. A= bc sv này có tóc màu đen B= bc sv này có tóc màu vàng A, B xung khắc? VD5: giả thiết giống VD4. Lấy NN 2 sinh viên. A= bc 2 sv này có tóc màu đen B= bc 2 sv này có tóc màu vàng A, B xung khắc? VD6: giống VD5. Nhưng lớp chỉ có 1 sv có tóc 7 màu. 28
5)Xung khắc VD7: Bộ bài tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. A=bc lấy được lá ách B=bc lấy được lá cơ A, B xung khắc? VD8: Bộ bài tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. A=bc lấy được 2 lá ách B=bc lấy được 2 lá cơ A, B xung khắc?
6)ĐỐI LẬP: A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồng thời xãy ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phải xãy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: biến cố đối lập của A ký hiệu là hay A* Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xãy ra: A xr, Bxr A xr, Bkxr A kxr, Bxr A kxr, Bkxr Vậy trường hợp nào ứng với đối lập?
6)ĐỐI LẬP Nhận xét sau đúng hay sai? A, đối lập ⟺ A+ = U và A.A* = V Nhận xét sau đúng hay sai? A,B xung khắc > A,B đối lập.
6)ĐỐI LẬP Vd1: Tung 1 con xúc xắc. A=bc xuất hiện mặt có số nút chẳn B=bc xuất hiện mặt có số nút lẻ C=bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4 A,B đối lập? B,C đối lập?
6)ĐỐI LẬP Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. Đặt T=bc được viên phấn T. Đ=bc được viên phấn Đ. A=bc lấy được 1 viên phấn T,Đ đối lập? T,A đối lập?
6)ĐỐI LẬP Ví dụ 3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. Đặt B=bc được 2 viên phấn T. C=bc được 2 viên phấn Đ. A=bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn Đ D=bc lấy được viên phấn T B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung khắc nhau (nghĩa là Ai.Aj=V, với mọi i,j)
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: VD1: tung 1 con xúc xắc Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2 B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6 C= bc con xx xh mặt có số nút là 5 D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻ A,B,C xktđ? A,B,D xktđ?
7)XKTĐ Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. T=bc được viên phấn T Đ=bc được viên phấn Đ X=bc được viên phấn X T,Đ,X xktđ?
7)XKTĐ Vd3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. A=bc được 2 viên phấn T B=bc được 2 viên phấn Đ C=bc được 1 viên phấn T A,B,C xktđ?
7)XKTĐ Ví dụ 4: Khối tứ diện có 4 mặt: 1 mặt sơn xanh, 1 mặt sơn trắng, 1 mặt sơn vàng, mặt còn lại ½ sơn xanh và ½ sơn vàng. Chọn ngẫu nhiên 1 mặt của tứ diện để xem màu. T=bc chọn được mặt có sơn T X=bc chọn được mặt có sơn X V=bc chọn được mặt có sơn V X,T,V xk tđ?
8)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ: Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là đầy đủ nếu A1+A2+ +An =U Vd: tung một con xúc xắc A=bc mặt 1,2 xh B=bc mặt 3,4 xh C=bc mặt 4,5,6 xh D= bc mặt lẻ xh A,B,C đđ? A,B,D đđ?
9)NHÓM BC DẦY ĐỦ VÀ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: A1,A2, ,An gọi là nhóm bc đđ và xktđ nếu A1,A2, ,An là nhóm bc đđ và là nhóm bc xktđ Nhận xét: A, A* là nhóm bc đầy đủ và xung khắc.
9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ Vd1: tung một con xúc xắc A=bc mặt 1,2 xh B=bc mặt 3,4 xh C=bc mặt 4,5,6 xh D=bc mặt 5,6 xh E=bc mặt 5 xh A,B,C đđ và xktđ? A,B,D đđ và xktđ? A,B,E đđ và xktđ?
9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. T=bc được viên phấn T Đ=bc được viên phấn Đ X=bc được viên phấn X T,Đ,X là nhóm bc đđ và xktđ?
9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ Vd3: Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. A=bc được 2 viên phấn T B=bc được 2 viên phấn X C=bc được 1 viên phấn X. A,B,C là nhóm bc đđ và xktđ?
10)BIẾN CỐ SƠ CẤP: Bc sơ cấp là bc không thể phân chia (chẻ nhỏ) thành các biến cố khác. Tập hợp các bc sc tạo thành không gian các bc sc, hay kg mẫu. Ký hiệu Ω Bc sc còn được gọi là kết cục tối giản 46
10) BIẾN CỐ SƠ CẤP Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện. Ai=bc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,6 B=bc xh mặt có số nút chẳn Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sc B không là bcsc vì: B=A2+A4+A6 Ω={A1,A2, ,A6} : kg mẫu
10)BC SƠ CẤP Vd2: xét gia đình có 2 con. Hãy xác định các bc sơ cấp và kg mẫu?
10)BC SƠ CẤP Giải vd2: Ω= {TT,TG,GT,GG} Vd3: tung 1 đồng xu sấp ngữa (cân đối, đồng chất) 2 lần. hãy xác định các bc sơ cấp và kg mẫu?
10)BC SƠ CẤP Giải VD3: Ω={SS,SN,NS,NN} BT1: tung 1 đồng xu sấp ngữa 3 lần. hãy xác định các bcsc và kg mẫu. hổng giải!
III)TÍNH CHẤT = , A+V = A A.V = V A+U = U A.U = A A+A = A A.A = A A+B = B+A A.B = B.A A+(B.C)=(A+B).(A+C) A.(B+C) = A.B+A.C + = . , . = +
III)TÍNH CHẤT Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm. Đặt Ak=bc sp thứ k tốt. Biểu diễn các bc sau theo Ak: A=bc cả 4 sp đều tốt B=bc có 3 sp tốt , C=bc có ít nhất 1 sp xấu D=bc có ít nhất 1 sp tốt , E=bc có tối đa 1 sp xấu Giải: A=A1.A2.A3.A4 B= 1 .A2.A3.A4+ A1. 2 .A3.A4+A1.A2. 3 .A4+ A1.A2.A3. 4 C= , C= 1 + 2 + 3 + 4 D= A1+A2+A3+A4 E= A+B 54
Tính chất: VD2: Có 2 sinh viên đi thi. A=bc sv 1 thi đậu , B=bc sv 2 thi đậu Hãy diễn tả các bc sau theo A, B : 1)cả hai sv đều thi đậu 2)không có ai thi đậu 3)có ít nhất một người thi đậu 4)chỉ có sv 1 thi đậu 5)sv 1 thi đậu 6)chỉ có một sv thi đậu 7)có nhiều nhất một người thi đậu 8)có sv thi đậu
Giải: 1)AB 2) 3)A+B 4)A 5)A 6)A + B 7) + B+A = 8)A+B
Bài tập 1: Có 3 sv đi thi. A, B, C lần lượt là bc sv 1, 2, 3 thi đậu. Hãy diễn tả các bc sau theo A, B, C : 1)cả 3 đều thi đậu 2)không có ai thi đậu 3)có 2 người thi đậu 4)có 1 người thi đậu 5)có ít nhất 1 người thi đậu 6)có nhiều nhất 1 người thi đậu 7)có nhiều nhất 1 người thi rớt 8)có nhiều nhất 2 người thi rớt 9)chỉ có sv 1 thi đậu 10)chỉ có sv 1 thi rớt 11)sv 1 thi đậu
BT2: Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp. Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2 Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấy ra): 1)lấy được 0 bi T 2)lấy được 1 bi T 3)lấy được 2 bi T 4)lấy được ít nhất 1 bi T 5)lấy được 2 bi cùng màu 6)lấy được nhiều nhất 1 bi T 7)lấy được bi T
Giải: 1) 1 . 2 2)T1 2 + 1 T2 3)T1T2 4)T1+T2 5)T1T2+ 1 . 2 6) 1 . 2 7)T1+T2
BT3: Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X. Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X. Lấy 1 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 2 ra. A=bc lấy được bi T từ hộp 1 Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2 Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi lấyra): 1)lấy được 3 bi T 2)lấy được 1 bi T 3)lấy được 2 bi T 4)lấy được 0 bi T 5)lấy được bi T
Giải: 1)AB2 2)AB0+ B1 3)AB1+ B2 4) B0 5) 0 = A+ 0 = A+B1+B2
BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X. Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Ai=bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2 Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2 Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy ra): 1)lấy được 4 bi X 2)lấy được 1 bi T 3)lấy được 2 bi T 4)lấy được 3 bi T 5)lấy được 4 bi T 6)lấy được ít nhất 1 bi T 7)lấy được nhiều nhất 2 bi T 8)lấy được 3 bi cùng màu 9)lấy được 4 bi cùng màu
Giải: 1)A0B0 2)A1B0+A0B1 3)A0B2+A2B0+A1B1 4)A2B1+A1B2 5)A2B2 6) 0 . 0 7) = 1)+2)+3) 8)= 2)+4) 9) = 1)+5)
Bài 3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. ĐỊNH NGHĨA 1. Khái niệm xác suất Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố đĩ 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển. Định nghĩa 푷 = = 훀 풏 푺ố 풕풓ườ풏품 풉ợ풑 풕풉풖ậ풏 풍ợ풊 풉풐 푷( ) = 푺ố 풕풓ườ풏품 풉ợ풑 đồ풏품 풌풉ả 풏ă풏품 ủ 풑풉é풑 풕풉ử Ω Tính chất: i, P(A) ∈[0;1] A ii, P(U) = 1 iii, P(V) = 0
I. ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển. Ví dụ 1 Gieo 1 con xúc sắc, tính xác suất để: a. Xuất hiện mặt 2 b. Xuất hện mặt chẵn Giải. 1 3 5 |Ω| = 6 2 4 6 a. A:” Xuất hiện mặt 2”, |A| = 1 1 Vậy 푃 = 6 b. B:”Xuất hiện mặt chẵn”, |B| = 3 Vậy P(B) = 3/6
I. ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển. Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 2 sv từ một nhĩm gồm 6 sv nam và 4 sv nữ, tính xác suất để chọn được: a. 2 sv nam b. 1 sv nam c. ít nhất 1 sv nam Giải 2 |Ω| = 10 2 a. A:” Chọn được 2sv nam”, |A| = 2, 푃 = 6 6 2 10 1 1 1 1 6 4 b. B:” Chọn được 1sv nam”, |B| = 6 4 ⇒ 푃 = 2 10 c. C:” Chọn được ít nhất 1sv nam”, 1 1 2 2 1 1 2 2 2 6 4 + 6 4 |C| = 6 4 + 6 = 10 − 4 , 푃 = 2 = 1 − 2 10 10
I. ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển. Ví dụ 3: Ba sinh viên vào ngẫu nhiên 3 quán cơm để ăn trưa, tính xác suất để: a. Mỗi sv vào 1 quán. b. Hai sv vào 1 quán và người cịn lại vào quán khác
I. ĐỊNH NGHĨA 3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê.
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 1. Định lý cộng xác suất. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Chứng minh Ω |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| |Ω| |Ω| |Ω| |Ω|
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 1. Định lý cộng xác suất. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ω Chú ý: a. Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) + P(B) b. Nếu A, thì 푃 + 푃 = 1
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 1. Định lý cộng xác suất. Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một số từ 1 đến 100, tính xác suất để số này chia hết cho 2 hoặc cho 5 Giải |Ω| = 100 A:”Số này chia hết cho 2” ⇒|A| = 100/2 = 50 nên P(A) = 50/100 B:”Số này chia hết cho 5” ⇒|B| = 100/5 = 20 nên P(B) = 20/100 AB:”Số này chia hết cho 2 và 5” ⇒|AB| = 100/10 = 10 nên P(AB) = 10/100 A+B :” Số này chia hết cho 2 hoặc 5” Vậy: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 60/100
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 1. Định lý cộng xác suất. Ví dụ 2: Trong một vùng dân tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đĩ. Tính xác suất để người đĩ khơng bị cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Giải Gọi A:”Người đĩ mắc bệnh tim” , B:”Người đĩ mắc bệnh huyết áp”. Từ giả thiết ta cĩ: P(A) = 0,09, P(B) = 0,12, P(AB) = 0,07 H:”Người đĩ khơng bị cả bệnh tim và huyết áp” Vậy = . = + ⇒ = + Nên 푃 = 1 − 푃 = 1 − 푃 + = 푃 = 1 − 푃 − 푃 + 푃 = 0,86
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. a. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện Xác suất để biến cố A suất hiện nếu biết rằng biến cố B đã suất hiện gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là 푷( ) 푷( / ) = 푷( ) | | |Ω| 푃 / = = | | Ω |Ω| Chú ý: - Nếu A, B độc lập thì P(A/B) = P(A)
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. a. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện Ví dụ 3:Một lớp cĩ 60 nam và 40 nữ. Trong 60 nam cĩ 20 người bị cận thị và trong 40 nữ cĩ 10 người bị cận thị. Chọn ngẫu nhiên một người trong lớp, tính xác suất để người này bị cận thị nếu biết rằng người này là nữ. Giải A:”Chọn được người bị cận thị”, Ω B B:”Chọn được nữ” P(AB) = 10/100, P(B) = 40/100 A AB vậy P(A/B) = 10/40 Ta cũng thấy rằng vì biết đây là nữ nên số trường hợp đồng khả năng là 40, cĩ 10 trường hợp để chọn được người bị cận thị nên P(A/B) = 10/40
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. a. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện Ví dụ 4: Một tổ điều tra dân số vào ngẫu nhiên một gia đình cĩ 2 con. a. Tính xác suất để gia đình đĩ cĩ 2 con trai. b. Đang ngồi nĩi truyện thì cĩ một cậu con trai ra chào. Tính xác suất để gia đình đĩ cĩ 2 con trai. Giải A:” Gia đình đĩ cĩ 2 con trai” TT TG a. P(A) = 1/4 GT GG b. B:”Gia đình đĩ cĩ con trai”, ta cần tính 푃 푃( / ) = 푃( ) P(AB) = P(A) = 1/4, P(B) =3/4.Vậy P(A/B) = 1/3.
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. a. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện Ví dụ 4: Một tổ điều tra dân số vào ngẫu nhiên một gia đình cĩ 2 con. a. Tính xác suất để gia đình đĩ cĩ 2 con trai. b. Đang ngồi nĩi truyện thì cĩ một cậu con trai ra chào. Tính xác suất để gia đình đĩ cĩ 2 con. Giải Ta cũng thấy rằng khi cĩ một cậu con trai ra TT TG chào tức là ta đã biết gia đình cĩ con trai, cĩ thể loại bỏ trường hợp gia đình cĩ 2 con gái GT GG nên xác suất để gia đình cĩ 2 con trai khi này sẽ là: 1 푃( / ) = 3
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. b. Cơng thức nhân xác suất Từ cơng thức xác suất cĩ điều kiện ta cĩ: 푷 = 푷 . 푷( / ) = 푷( ). 푷( / ) Chú ý: - Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A).P(B) - P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB) - Khi tính P(AB), nếu biến cố A xuất hiện trước B thì tính theo cơng thức P(AB) = P(A).P(B/A), nếu B xuất hiện trước A thì tính P(AB) = P(B).P(A/B).
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. b. Cơng thức nhân xác suất Ví dụ 5: Để hồn thành một mơn học, một sinh viên được thi tối đa 2 lần. Nếu lần 1 khơng qua thi phải thi lần 2(thi lại). Xác suất XSTK đỗ mơn lần 1 của sinh viên An là 0,8 và lần 2 là 0,9. Tính xác suất để sinh viên An khơng phải học lại mơn XSTK. Giải. Gọi A:”Sinh viên An thi đỗ lần 1”, B:” Sinh viên An thi đỗ lần 1” H:” Sinh viên An khơng phải học lại” = . ⇒ 푃 = 1 − 푃 = 1 − 푃 . 푃( ) = 1 − 푃 푃 / = 1 − 0.2.0,1 = 0.98
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. b. Cơng thức nhân xác suất Ví dụ 6: Hai sinh viên An và Bình làm bài XSTK độc lập, xác suất đỗ của An là 0,8 và của Bình là 0,7. Tính xác suất để cả 2 sinh viên cùng đỗ. Giải A:”Sinh viên An đỗ”, B:”Sinh viên Bình đỗ”, A, B độc lập nên: P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56. Mở rộng: Nếu một lớp gồm 100 sv làm bài độc lập và xác suất đỗ của mỗi sv là như nhau và bằng 0,95 thì xác suất cả lớp đỗ là bao nhiêu?
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 2. Định lý nhân xác suất. b. Cơng thức nhân xác suất Ví dụ 7: Một cửa hàng cĩ 1 chiếc ti vi nhưng cĩ 3 khách đến mua. Cửa hàng tổ chức bốc thăm bằng cách làm 3 lá thăm trong đĩ cĩ một lá đánh dấu và cho 3 khách lần lượt bốc, nếu ai bốc được lá thăm đánh dấu thì được mua. Hãy chứng minh cách làm trên cơng bằng cho cả 3 khách. Giải Gọi 푖:” Người bốc thứ i được mua" 1 푃 = 1 3 2 1 1 푃 = 푃 푃( / ) = = 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 1 푃 . = 푃 푃( / )푃( / . ) = 1 = 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 3
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 3. Cơng thức đầy đủ. Cho { 푖}푖=1 là hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi, H là một biến cố nào đĩ, khi đĩ ta cĩ: 푷 푯 = 푷 풊 푷(푯/ 풊) 풊= |H| = |HA1| + |HA2| + |HA3| Ω |Ω| |Ω| |Ω| |Ω| A2 A3 A1 H P(H) = P(HA1)+P(HA2)+P(HA3) P(H) = P(A1)P(H/A1)+P(A2)P(H/A2)+P(A3)P(H/A3)
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 3. Cơng thức đầy đủ. Ví dụ 8: Trong một nhà máy cĩ 3 phân xưởng A, B, C tương ứng làm ra 25%, 35% và 40% tổng số sản phẩm của nhà máy. Biết rằng xác suất làm ra một sản phẩm hỏng của phân xưởng A, B, C lần lượt là 1%, 2% và 2,5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính xác suất để đây là một sản phẩm hỏng. Giải Gọi A:” Sản phẩm của phân xưởng A” B:” Sản phẩm của phân xưởng B” C:” Sản phẩm của phân xưởng C”, H:” Sản phẩm đĩ hỏng”, ta cĩ A, B, C lập thành một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi. P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C) P(H) = 0,25.0,01 + 0,25.0,02 + 0,4.0,25 = 0,0195
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 3. Cơng thức đầy đủ. Chú ý: Trong trường hợp ta cần tính xác suất của biến cố H mà biến cố này liên quan đến kết quả của một phép thử trước đĩ thì dựa vào phép thử trước đĩ ta sẽ xây dựng hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi và tính P(H) thơng qua hệ này. Bước 1 Bước 2 P(H) Xây dựng hệ đầy đủ và xktđ
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 3. Cơng thức đầy đủ. Ví dụ 9: Cĩ 2 chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất cĩ 3 thỏ trắng và 3 thỏ nâu. Chuồng thứ hai cĩ 6 thỏ trắng và 4 thỏ nâu. Bắt ngẫu nhiên 4 con thỏ ở chuồng thứ nhất bỏ vào chuồng thứ hai rồi sau đĩ từ chuồng thứ hai bắt ngẫu nhiên một con thỏ ra. Tính xác suất để con thỏ này là thỏ nâu. Giải
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 3. Cơng thức đầy đủ. Gọi 푖:” Trong 4 con thỏ bắt được ở chuồng thứ nhất cĩ i con thỏ nâu”, i=1,3 1, 2, 3 là hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi. 1 3 2 2 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 1 푃 1 = 4 = , 푃 2 = 4 = , 푃 3 = 4 = 6 5 6 5 6 5 H:” Bắt được thỏ nâu từ chuồng thứ hai” 푃 = 푃 1 푃( / 1) + 푃 2 푃( / 2) + 푃 3 푃( / 3) 1 5 3 6 1 7 3 푃 = . + . + . = 5 14 5 14 5 14 7
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 4. Cơng thức Bayes. Cho { 푖}푖=1 là hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi, H là một biến cố nào đĩ khác V, khi đĩ ta cĩ: 푷 푷(푯/ ) 푷 /푯 = 풌 풌 풌 푷(푯) 푷 풌 푷(푯/ 풌) 푷 풌/푯 = 풊= 푷 풊 푷(푯/ 풊) Với ∈ {1,2, , }
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 4. Cơng thức Bayes. Ví dụ 10: Trong một nhà máy cĩ 3 phân xưởng A, B, C tương ứng làm ra 25%, 35% và 40% tổng số sản phẩm của nhà máy. Biết rằng xác suất làm ra một sản phẩm hỏng của phân xưởng A, B, C lần lượt là 1%, 2% và 2,5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì được sp hỏng,tính xác suất để đây là một sản phẩm của pxA. Giải Ở ví dụ 8 ta cĩ: P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C) = 0,25.0,01 + 0,25.0,02 + 0,4.0,25 = 0,0195 Vậy 푃 푃 / 0,25.0,01 푃 / = = = 0,128 푃 0,0195
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 4. Cơng thức Bayes. Ví dụ 11 Xác suất một cặp sinh đơi do cùng cùng trứng (sinh đơi thật) là 0,7 và khác trứng (sinh đơi giả) là 0,3. Nếu sinh đơi thật thì luơn cùng giới tính, nếu sinh đơi giả thì xác suất cùng giới tính là 0,5. Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đơi, tính xác suất để chúng là cặp sinh đơi thật biết chúng cùng giới tính . Giải A:”chọn được cặp sinh đơi thật”, B:”chọn được cặp sinh đơi giả ”, H:”chọn được cặp sinh đơi cùng giới tính” P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) = 0,7.1+0,3.0,5 = 0,85 푃 푃( / ) 0,7.1 푃( / ) = = = 0,8235 푃( ) 0,85
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 5. Cơng thức Becnuli. Xác suất xuất hiện của biến cố A trong một phép thử là p. Thực hiện phép thử này n lần độc lập và gọi :” A xuất hiện k lần trong n lần thực hiện phép thử” 풌 풌 풏−풌 푷 푯풌 = 푪풏풑 ( − 풑) = 푷풌(풏; 풑), 풌 = , 풏
II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT 5. Cơng thức Becnuli. Ví dụ 12 Gieo một con xúc sắc 10 lần, tính xác suất để 2 lần xuất hiện mặt 5. Giải A:” Xuất hiện mặt 5” nên P(A) = 1/6 :” A xuất hiện k lần trong 10 lần gieo” 1 5 10− 푃 = 10 6 6 1 2 5 8 Vậy 푃 = 2 2 10 6 6