Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm - Chi Bình Minh

Nội dung text: Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm - Chi Bình Minh

1. Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008
2. PHẦN 1 XÁC SUẤT CHƯƠNG 3 LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂM
3. Cho 푍1, 푍2, , 푍푛 là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào chỉ số n. Chương này nhằm mục đích nghiên cứu xem khi n khá lớn thì 푍푛 có tính chất gì đặc biệt hay không. Trước hết ta cần định nghĩa sự hội tụ của 푍푛 về một biến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa như thế nào. Sau đây sẽ trình bày hai kiểu hội tụ cơ bản.
4. I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Hội tụ theo xác suất Định nghĩa Dãy biến ngâu nhiên 푍1, 푍2, gọi là hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên Z khi 푛 → ∞ nếu: Với mọi ε > 0, 푃 푍푛 − 푍 > 휀 → 0 푕푖 푛 → ∞ (tương đương với 푃 푍푛 − 푍 ≤ 휀 → 1 푕푖 푛 → ∞) 푃 Ký hiệu: 푍푛 → 푍 Nghĩa là với mọi ε,δ cho trước nhỏ tùy ý thì với xác suất ít nhất 1 – δ ta sẽ có |푍푛 − 푍| ≤ 휀 nếu n đủ lớn.
5. I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Hội tụ theo xác suất Ví dụ Cho day biến ngẫu nhiên 푍푛 có hàm mật độ: 0 푕푖 0 푛 푛. 휆푒−푛휆 푕푖 ≥ 0 푃 Chứng minh 푍푛 → 0 Giải Với mọi ε > 0 cho trước ta có: +∞ −푛휆 푃 푍푛 − 0 > 휀 = 푃 푍푛 > 휀 = 푛. 휆푒 휀 +∞ = −푒 −푛휆 = 푒−푛휆휀 0 휀 푛→+∞
6. I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Hội tụ theo phân phối Định nghĩa Dãy biến ngâu nhiên 푍1, 푍2, gọi là hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên Z khi 푛 → ∞ nếu: lim 퐹푍 = 퐹푍( ) , ∀ ∈ 푅 푛→+∞ 푛 ⇔ lim 푃(푍푛 < ) = 푃(푍 < ) 푛→+∞ 퐹 Ký hiệu: 푍푛 → 푍 Với 퐹푍푛 , 퐹푍( ) là các hàm phân phối của 푍푛 , 푍.
7. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Định lý Cho Y biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với mọi a > 0 ta có: 푌 푃 푌 > ≤
8. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Chứng minh Cho Y là biến ngẫu nhiên rời rạc, giả sử C là tập giá trị của Y. Khi đó 푌 = 푖 푖 = 푖 푖 + 푖 푖 ≥ 푖 푖 푖∈ 푖≤ 푖> 푖> ≥ 푖 = 푃(푌 > ) 푖> Trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục chứng minh tương tự.
9. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Hệ quả Cho X là biến ngẫu nhiên với EX = μ. Khi đó với mọi ε > 0 ta có: 푃 − 휇 > 휀 ≤ 휀2 Tương đương với 푃 − 휇 ≤ 휀 > 1 − 휀2
10. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Chứng minh Đặt 푌 = ( − 휇)2, khi đó: 푌 − 휇 2 푃 − 휇 > 휀 = 푃 푌 > 휀2 ≤ = = 휀2 휀2 휀2
11. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Ví dụ Một cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng sai số số vải bán ra trong một tháng của mình. Số vải của mỗi khách hàng được làm tròn bởi số nguyên gần nhất ( Thí dụ trong sổ ghi 195,6 m thì làm tròn thành 196 m). Kí hiệu 푖 là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã tính tròn của khách hàng thứ i. Với xác suất ít nhất 0,99 hãy ước lượng sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã làm tròn trong tháng biết số khách mua hàng trong tháng là 1 vạn khách.
12. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Giải Các sai số 1, 2, , 푛 là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối đều trong đoạn [-0,5; 0,5]. Khi đó 1 = 0, = , 푖 = 1. . 푛 푖 푖 12 Khi đó sai số tổng cộng trong tháng là 푆 = 1 + 2 + ⋯ + 푛
13. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Ta có: 푛 푆 = 푖 = 0 1 푛 푛 푆 = = 푖 12 1 Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có: 푆 푛 푃 푆 − 푆 > 휀 = 푃 푆 > 휀 ≤ = 휀2 12휀2 푆 푛 푃 푆 ≤ 휀 ≥ 1 − = 1 − 휀2 12휀2
14. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev Do 푛 = 104 khách hàng trong tháng. Theo giả thiết ta có: 푃 푆 ≤ 휀 ≥ 0,99 Nên 푛 푛 1 − ≥ 0,99 ⇔ ≤ 0,01 12휀2 12휀2 푛 ⇒ 휀 ≥ = 288,67 12.0,01 Suy ra 푃 푆 ≤ 288,67 ≥ 0,99 hoặc
15. II. LUẬT SỐ LỚN 1. Bất đẳng thức Chebysev 푃 푆 > 288,67 < 0,01 Vậy có thể kết luận: Với xác suất tối thiểu 0,99 sai số giữa số mét vải thực bán và số vải đã làm tròn không vượt quá 289 m.
16. II. LUẬT SỐ LỚN 2. Luật số lớn Định lý Giả sử 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn bởi C ( 푖 ≤ , ∀푖). Khi đó với mọi ε > 0 ta có: + + ⋯ + + + ⋯ + lim 푃 1 2 푛 − 1 2 푛 > 휀 푛→+∞ 푛 푛 = 0
17. II. LUẬT SỐ LỚN 2. Luật số lớn Chứng minh + +⋯+ Đặt 푆 = 1 2 푛 푛 푛 + + ⋯ + ⇒ 푆 = 1 2 푛 , 푛 푛 + + ⋯ + 푆 = 1 2 푛 ≤ 푛 푛2 푛 Áp dụng bất đẳng thức Chebysev 푆푛 푃 푆푛 − 푆푛 > 휀 ≤ ≤ 0 휀2 푛휀2 푛→+∞ Suy ra điều phải chứng minh
18. II. LUẬT SỐ LỚN 2. Luật số lớn Hệ quả 1 Giả sử 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng là μ và phương sai bị chặn bởi C ( 푖 ≤ , ∀푖). Khi đó ta có: + + ⋯ + 푃 1 2 푛 휇, 푕푖 푛 → +∞ 푛 Hệ quả 2 Giả sử 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ 2 vọng là μ và phương sai 푖 = 휎 , ∀푖. Khi đó ta có: + + ⋯ + 푃 1 2 푛 휇, 푕푖 푛 → +∞ 푛
19. II. LUẬT SỐ LỚN 2. Luật số lớn Định lý Chebysev chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình số học của kỳ vọng tương ứng của nó. Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên ấy. Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng, song trung bình số học của một số lớn của một số lớn các biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của chúng với xác suất rất lớn. Điều đó cho phép dự đoán giá trị trung bình số học của các biến ngẫu nhiên.
20. II. LUẬT SỐ LỚN 2. Luật số lớn Chẳng hạn, gieo một con xúc xắc cân đối. Giả sử X là số nốt xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc. Ta có EX = 3,5. Một nhà thống kê đã gieo một con xúc xắc cân đối 1 triệu lần (nhờ sự trợ giúp của máy vi tính) và ghi lại số nốt xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc. Số trung bình của 1 triệu lần gieo được tìm thấy là + + ⋯ + 6 1 2 10 ≈ 3,500867 ≈ 3,5 = 106
21. II. LUẬT SỐ LỚN 3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli) Xét phép thử (C) và A là một biến cố liên quan đến phép thử. Thực hiện phép thử (C) n lần độc lập và gọi 푛 là số lần A xuất hiện trong n lần thực hiện phép thử. Khi đó tần suất xuất hiện của A là: = 푛 푛 푛 Định lý 푃 푛 = 푃 , 푕푖 푛 → +∞ Hay với mọi ε >0, δ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại 푛0 > 0 sao cho với mọi 푛 > 푛0 ta có 푃 푛 − > 휀 ≥ 1 − 훿
22. II. LUẬT SỐ LỚN 3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli) Chứng minh Xét dãy biến ngẫu nhiên: 1 푕푖 ấ푡 푕푖ệ푛 ở 푙ầ푛 푡푕ử = 0 푕푖 푕ô푛 ấ푡 푕푖ệ푛 ở 푙ầ푛 푡푕ử Khi đó 푃 = 1 = 푃 = nên ~ suy ra = , = 푞, ∀ Mặt khác 1, 2, độc lập nên theo hệ quả 2 ta có: + + ⋯ + 푃 1 2 푛 = 푛 = , 푕푖 푛 → +∞ 푛 푛 푛
23. II. LUẬT SỐ LỚN 3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli) Định lý Bernoulli chỉ ra rằng tần suất xuất hiện của biến cố trong n phép thử độc lập sẽ hội tụ theo xác suất về xác suất của biến cố đó khi số lần thử tăng lên vô hạn. Chính vì vậy định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của định nghĩa thống kê về xác suất.
24. II. LUẬT SỐ LỚN 3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli) Ở thế kỷ 18, nhà toán học Pháp Buffon gieo một đồng tiền 4040 lần và ghi được 2048 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất là 0,507. Một nhà thống kê người Anh gieo đồng tiền 12000 lần và thu được 6019 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất tương ứng 0,5016. Trong một thí nghiệm khác,ông ta gieo 24000 lần và thu được 12012 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất tương ứng là 0,5005. Như vây ta thấy rằng khi số phép thử tăng lên thì tần suất tương ứng sẽ càng gần 0,5.
25. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm nói về sự hội tụ theo phân phối của trung bình cộng các biến ngẫu nhiên, nó có vai trò qua trọng trong xác suất thống kê. Tuy nhiên do chứng minh phức tạp nên trong phạm vi chương trình này ta không chứng minh.
26. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Định lý Giả sử 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 2 là μ và phương sai 푖 = 휎 , ∀푖. Khi đó ta có: 1 + 2 + ⋯ + 푛 − 푛휇 퐹 푆푛 = 푍~ 0; 1 , 푕푖 푛 휎 푛 → +∞ Tức là: lim 푃(푆푛 < ) = 푃 푍 < = Φ( ) 푛→+∞
27. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm + +⋯+ −푛휇 Khi n >> 0 thì 1 2 푛 có quy luật xấp xỉ quy luật 휎 푛 chuẩn tắc nên 1 + 2 + ⋯ + 푛 có quy luật xấp xỉ (푛휇; 푛휎2) Vậy qua định lý giới hạn trung tâm ta thấy trung bình cộng của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng kỳ vọng và phương sai có quy luật phân phối xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn.
28. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ Gieo một con xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 120.
29. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ Gieo một con xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 120. Giải Gọi 푖 là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ i. Ta có 35 , , độc lập và = 3,5, = . Theo định lý 1 2 푖 푖 12 giới hạn trung tâm: 1 + 2 + ⋯ + 푛 − 3,5푛 퐹 푆푛 = 푍~ 0; 1 , 35푛 12 푕푖 푛 → +∞
30. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm + +⋯+ −3,5푛 Khi n >> 0 thì 1 2 푛 có quy quy luật xấp xỉ quy 35푛 12 + +⋯+ −105 quy luật chuẩn tắc. Nên 푆 = 1 2 30 có quy quy 87,5 luật xấp xỉ quy quy luật chuẩn tắc đặt 1 + 2 + ⋯ + 30 = thì 푃 > 120 = 1 − 푃 ≤ 120 − 105 120 − 105 = 1 − 푃 ≤ 87,5 87,5 120 − 105 = 1 − 푃(푆 ≤ ) 87,5
31. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm 120 − 105 푃 > 120 ≈ 1 − Φ = 1 − Φ 1,6 87,5 = 0,054
32. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ Trong một khu phố có 180 hộ gia đình ít người (số thành viên không quá 4 người) và 50 hộ gia đình đông người (số thành viên hơn 4 người). Lượng nước sinh hoạt của các hộ gia đình ít người dùng trong một ngày là biến ngẫu nhiên với trung bình là 0,6 3 và độ lệch chuẩn là 0,04 3 còn lượng nước sinh hoạt của các hộ gia đình đông người dùng trong một ngày là biến ngẫu nhiên với trung bình là 1,9 3 và độ lệch chuẩn là 0,14 3. Tính xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205 3 nước.
33. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Giải. Gọi 푖 là lượng nước mà gia đình ít người thứ i dùng trong ngày. 1, 2, , 180 độc lập và có cùng kỳ vọng là 0,6 và độ lệch chuẩn là 0,04. Đặt 푈 = 1 + 2 + ⋯ + 180 , 푈 = 180.0,6 = 108, 푈 = 0,288 Do đó U có quy luật xấp xỉ N(108;0,288) Gọi 푌푖 là lượng nước mà gia đình đông người thứ i dùng trong ngày. 푌1, 푌2, , 푌50 độc lập và có cùng kỳ vọng là 1,9 và độ lệch chuẩn là 0,14. Đặt = 푌1 + 푌2 + ⋯ + 푌50, = 95, = 0,98
34. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1. Định lý giới hạn trung tâm Do đó V có quy luật xấp xỉ N(95;0,98) Lượng nước khu phố dùng trong ngày là U + V cũng có quy luật xấp xỉ N(203;1,268) Vậy 푃 푈 + > 205 = 1 − 푃 푈 + ≤ 205 205 − 203 ≈ 1 − Φ = 1 − Φ 1,78 = 0,0379 1,268
35. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 2. Định lý Moivre – Laplace Định lý Giả sử 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập và 푖 ~ ( ). Khi đó + + ⋯ + − 푛 lim 푃 1 2 푛 < = Φ , ∀ ∈ 푅 푛→+∞ 푛 푞
36. III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 2. Định lý Moivre – Laplace Chứng minh Do 푖 = , 푖 = 푞 nên áp dụng định lý giới hạn trung tâm ta có điều phải chứng minh. Chú ý + +⋯+ −푛 Khi n >> 0 thì 1 2 푛 xấp xỉ quy luật N(0;1) 푛 푞 nên 1 + 2 + ⋯ + 푛 xấp xỉ quy luật (푛 , 푛 푞) mà 1 + 2 + ⋯ + 푛 ~ (푛; ) nên ta có các công thức xấp xỉ.
37. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson Định lý Cho ~ (푛; ). Nếu 푛 ≫ 0, ≈ 0 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với 휆 = 푛 ( ≈ 푃(푛 )) Ví dụ Xác suất để làm ra một đinh ốc không đúng quy cách là 0,015. Người ta xếp mỗi hộp gồm 100 chiếc đinh ốc. a. Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách b. Cần phải xếp mỗi hộp tối thiểu bao nhiêu chiếc đinh ốc để tỉ lệ mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách tối thiểu là 80%.
38. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson Giải a, Gọi X là số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~ B(n; p) với n = 100 và p = 0,015 0 0 100 100 푃 = 0 = 100 0,015 . 0,985 = 0,985 = 0,22061 Hoặc ta có thể xấp xỉ X bởi qui luật Poisson với λ = np = 1,5 nên 푃 = 0 ≈ 푒−1,5 = 0,22313 Như vậy, tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách xấp xỉ 22%.
39. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson b. Gọi số đinh ốc xếp vào mỗi hộp là n = 100 + k và X là số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~ B(n; p) với n = 100 + k và p = 0,015 Để mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách thì số đinh ốc không đúng quy cách phải không lớn hơn k, tức là ≤ . Vậy 푃 ≤ = 푃( = 푖) ≥ 0.8 푖=0
40. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson Do ta xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với λ = np = (100 + k)0,015 ≈1,5 (k rất nhỏ) nên 1,5푖 푃 = 푖 = 푒−1,5 푖! Suy ra 1,5푖 1,5푖 푃 ≤ = 푒−1,5 = 푒−1,5 ≥ 0.8 푖! 푖! 푖=0 푖=0
41. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson Với k = 2 ta có 2 1,5푖 푃 ≤ 2 = 푒−1,5 = 0,8022 푖! 푖=0 Vậy ta cần xếp mỗi hộp 102 chiếc đinh ốc để xác suất trong hộp có ít nhất 100 chiếc đinh ốc đúng quy cách là 80,22 %.
42. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn Định lý Cho ~ (푛; ). Nếu 푛 ≫ 0 và p không quá gần 0 và gần 1 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với tham số 휇 = 푛 và 휎2 = 푛 푞 ( ≈ 푛 , 푛 푞 ). Khi đó − 푛 − 푛 푃 ≤ ≤ = Φ − Φ 푛 푞 푛 푞 Và 1 − 푛 푃 = ≈ 휑 , 푣ớ푖 휑 푛 푞 푛 푞 2 1 − = 푒 2 − 푕à 푠푠 2
43. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn Ví dụ Một ký túc xá có 650 sinh viên, Xác suất để một sinh viên đến xem phim tại câu lạc bộ tối thứ 7 là 0,7. a. Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim tối thứ 7 ít hơn 440 người. b. Cần phải chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta có thể bảo đảm đủ ghế cho người đến xem. Giải
44. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn Gọi X là số sinh viên đến câu lạc bộ để xem phin thì X ~ B(650;0,7) Ta xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với 휇 = 푛 = 455, 휎2 = 푛 푞 = 136,5 a. 440 − 455 푃 ≤ 440 ≈ Φ = Φ −1,33 136,5 = 1 − Φ 1,33 = 0,0923
45. IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC 2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn b. Gọi k là số ghế cần chuẩn bị, ta có: 푃 ≤ ≥ 0,99 Mà − 455 Φ ≈ 푃 ≤ ≥ 0,99 = Φ 2,33 136,5 Suy ra − 455 ≥ 2,33 ⇒ ≥ 481,7 136,5 Vậy cần phải chuẩn bị 482 cho ngồi.