›
›

Bài giảng xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng - Chi Bình Minh

pdf 64 trang huongle 2930
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng - Chi Bình Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_5_ly_thuyet_uoc_luong_chi.pdf

Nội dung text: Bài giảng xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng - Chi Bình Minh

  1. Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008
  2. PHẦN 2 THỐNG KÊ TỐN CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
  3. BÀI TỐN: Cho biến ngẫu nhiên gốc X với quy luật phân phối xác suất đã biết song chưa biết tham số θ. Ta phải ước lượng cho tham số θ.
  4. 1 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC ĐIỂM
  5. 1.1 KHÁI NIỆM Từ biến ngẫu nhiên gốc X ta lập mẫu ngẫu nhiên 푊푛 = ( 1, 2, , 푛 ) Và từ mẫu này ta xây dựng thống kê 휃 = ( 1, 2, , 푛 ) Nếu ta sử dụng thống kê 휃 để ước lượng cho 휃 thì ta gọi là ước lượng điểm. Cĩ rất nhiều cách để ước lượng cho θ nhưng trong phạm vi bài giảng này chỉ trình bày loại ước lượng đơn giản nhất và ước lượng hiệu quả nhất.
  6. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHƠNG CHỆCH Khi dùng thống kê 휃 để ước lượng cho θ ta khơng thể căn cứ vào một vài trường hợp cụ thể mà kết luật được mà cần phải dựa vào giá trị trung bình của nĩ, do vậy ta cĩ định nghĩa: Định nghĩa Thống kê 휃 gọi là ước lượng khơng chệch của θ nếu 휃 = 휃. Ngược lại gọi là ước lượng chệch.
  7. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHƠNG CHỆCH Ví dụ Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X cĩ quy luật (휇, 휎2), hãy tìm các ước lượng khơng chệch của μ và 휎2. Giải Từ X ra rút ra mẫu 푊 = ( 1, 2, 3, 4, 5), dựa vào thống kê này ta cĩ thể đưa ra các ước lượng khơng chệch cho μ và 휎2 như sau: 1, Đối với μ ta cĩ + + + + 휃 = = 1 2 3 4 5 1 5 Do 휃 1 = = 휇 nên 휃 1 là ước lượng khơng chệch của μ
  8. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHƠNG CHỆCH Hoặc + 3 + 4 + + 휃 = 1 2 3 4 5 2 10 Do 휃 2 = 휇 nên 휃 2 là ước lượng khơng chệch khác của μ 2, Đối với 휎2 ta cĩ 5 1 휃 = 푆2 = − 2 3 4 푖 푖=1 2 2 Do 휃 3 = 휎 nên 휃 3 là ước lượng khơng chệch của 휎 .
  9. 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Như ví dụ trên ta thấy rằng một tham số θ cĩ thể cĩ nhiều ước lượng khơng chệch như 휃 1, 휃 2 nên một câu hỏi tự nhiên đặt ra là trong hai ước lượng khơng chệch của θ thì ước lượng nào tốt hơn. Mặt khác ta chú ý rằng nếu 휃 để ước lượng khơng chệch cho 휃 khơng cĩ nghĩa là mọi giá trị của 휃 đều trùng khít với θ mà chỉ cĩ nghĩa rằng trung bình các giá trị của 휃 bằng θ. Do đĩ ta cĩ thể coi ước lương khơng chệch nào của θ mà cĩ trung bình của bình phương độ lệch so với θ bé hơn thì tốt hơn, nghia là ta so sánh 2 giá 2 2 trị (휃 1 − 휃) và (휃 2 − 휃) để tìm ước lượng tốt hơn. Nhưng: 2 2 2 (휃 1 − 휃) = (휃 1 − 휃 1) = 휃 1, (휃 2 − 휃) = 휃 2 Nên ta cĩ định nghĩa:
  10. 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Định nghĩa Cho 휃 1 và 휃 2 là hai ước lượng khơng chệch của θ. Nếu 휃 1 < 휃 2 thì ta nĩi 휃 1 là ước lượng hiệu quả hơn 휃 2. Nếu thống kê 휃 1 là ước lượng khơng chệch của θ cĩ 휃 1 nhỏ nhất thì ta nĩi 휃 1 là ước lượng hiệu quả nhất của θ.
  11. 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Ví dụ Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X cĩ quy luật (휇, 휎2), từ X ra rút ra mẫu 푊 = ( 1, 2, 3, 4, 5). Như trên ta cĩ + + + + 휃 = = 1 2 3 4 5 , 휃 1 5 2 + 3 + 4 + + = 1 2 3 4 5 10 휎2 Là 2 ước lượng khơng chệch của μ nhưng do 휃 = < 1 5 28휎2 휃 = nên 휃 là ước lượng hiệu quả hơn 휃 . 2 100 1 2
  12. Chú ý. - Trong thực tế do tham số θ chưa biết nên nếu ta dùng một giá trị 휃 để ước lượng cho θ thì ta khơng thể đánh giá được sai số 휃 − 휃 nên ước lượng điểm khơng được sử dụng nhiều trong thực tế. Người ta thường dùng một khoảng giá trị để ước lượng cho θ, ước lượng như thế gọi là ước lượng khoảng sẽ được trình bày sau đây.
  13. 2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
  14. 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG a, ĐỊNH NGHĨA. Khoảng ( 1, 2) của thống kê G gọi là khoảng tin cậy của tham số θ nếu với xác suất bằng (1 − 훼) cho trước thoả m ãn điều kiện: 푃 1 < 휃 < 2 = 1 − 훼 Xác suất (1 − 훼) gọi là độ tin cậy của ước lượng, cịn khoảng = 2 − 1 gọi là độ dài khoảng tin cậy.
  15. 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG b, CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH TÌM KHOẢNG ( 1, 2) Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 푊푛 = ( 1, 2, , 푛 ) Và từ đĩ xây dựng thống kê = ( 1, 2, , 푛 , 휃) sao cho quy luật phân phối của G khơng phụ thuộc vào các biến số và hồn tồn xác định. Lúc đĩ với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 thoả mãn: 푃 훼2 = 훼2
  16. 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Và từ đĩ suy ra 푃 훼1 < < 훼2 = 1 − 훼1 + 훼2 = 1 − 훼 Như vậy, với độ tin cậy 1 − 훼 , ta đã tìn được khoảng ( 훼1, 훼2) cho G. Biến đổi tương đương biểu thức 훼1 < < 훼2 ta cĩ 1 < 휃 < 2, suy ra 푃 1 < 휃 < 2 = 1 − 훼 hay ( 1, 2) chính là khoảng ước lượng cần tìm.
  17. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X cĩ phân phối chuẩn (휇, 휎2) nhưng chưa biết tham số μ. Để ước lượng μ, từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 푊푛 = ( 1, 2, , 푛 ) Để chọn thống kê G cho thích hợp ta xet hai trường hợp sau: a, Đã biết phương sai 휎2 của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể. Do trung bình mẫu: 푛 1 = 푛 푖 푖=1 cĩ 푖 cĩ cùng quy luật phân phối với X và = 휎2 휎2 휇, = nên ~ (휇, ) 푛 푛
  18. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Chọn thống kê − 휇 = 푈 = 푛 ~ (0,1) 휎 với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 1−훼1 , 훼2 thoả mãn: 푃 훼2 = 훼2 suy ra 푃 1−훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼1 + 훼2 = 1 − 훼 do 1−훼1 = − 훼1 nên ta cĩ: 푃 − 훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼
  19. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI do 1−훼1 = − 훼1 nên ta cĩ: 푃 − 훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼 − 휇 ⟺ 푃 − < 푛 < = 1 − 훼 훼1 휎 훼2 휎 휎 ⟺ 푃 − 훼 < 휇 < + 훼 = 1 − 훼 푛 2 푛 1 Vậy với độ tin cậy (1 − 훼) tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 휎 휎 − 훼 , + 훼 푛 2 푛 1
  20. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI 훼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 훼 = 훼 = ta cĩ khoảng tin 1 2 2 cậy − 휀, + 휀 휎 với 휀 = được gọi là độ chính xác. 푛 훼/2 - Khoảng tin cậy bên phải: 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì 훼1 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 휎 − 훼 , +∞ 푛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của μ. - Khoảng tin cậy bên trái: 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì 훼2 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 휎 −∞, + 훼 푛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ.
  21. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Từ mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛 ) và từ đĩ ta tìm được giá trị cụ thể của trung bình mẫu . Lúc đĩ với độ tin cậy 1 − 훼 , qua một mẫu cụ thể, khoảng tin cậy của μ là: 휎 휎 1, 2 = − 훼 , + 훼 푛 2 푛 1
  22. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Chú ý Cùng với độ tin cậy 1 − 훼 thì khoảng tin cậy nào ngắn hơn sẽ tốt hơn, trong trường hợp này khoảng tin cậy đối xứng sẽ ngắn nhất và cĩ độ dài = 2휀 Nếu bài tốn cho trước độ dài đoạn tin cậy (độ chính xác 휀) yêu cầu xác định kích thước tối thiểu của mẫu n với độ tin cậy 1 − 훼 thì từ cơng thức 2휎 = 2휀 = 훼/2 푛 ta cĩ: 4휎2 휎2 푛 ≥ 2 = 2 훼/2 휀2 훼/2
  23. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Ví dụ 1. Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 sản phẩm loại này ta thu được kết quả sau: Trọng lượng 18 19 20 21 (gam) Số SP tương ứng 3 5 15 2 a, Với độ tin cậy 0,95 hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình loại sản phẩm nĩi trên. b, Nếu yêu cầu độ chính xác của ước lượng là 0,1 và giữ nguyên độ tin cậy 1 − 훼 thì phải điều tra một mẫu kích thước bằng bao nhiêu?
  24. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Giải a, X là trong lượng của sản phẩm ~ 휇, 휎2 , 휎 = 1 1 − 훼 = 0,95 ⟹ 훼 = 0,05 훼/2 = 0,025 = 1,96 n =25, = 19,64 Khoảng tin cậy là 1 1 19,64 − 1,96; 19,64 + 1,96 5 5
  25. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI b, ta cĩ 휀 = 0,1, theo cơng thức trên ta cĩ 휎2 1 푛 ≥ 2 = (1,96)2 = 385 휀2 훼/2 0,12
  26. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI b, Chưa biết phương sai 휎2 của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể và 푛 ≤ 30 Chọn thống kê − 휇 = = 푛 ~ (푛 − 1) 푆 với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 푡(푛−1), 푡(푛−1) thoả mãn: 1−훼1 훼2 푃 푡(푛−1) = 훼 훼2 2
  27. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI suy ra 푃 푡(푛−1) < < 푡(푛−1) = 1 − 훼 + 훼 = 1 − 훼 1−훼1 훼2 1 2 do 푡(푛−1) = −푡(푛−1) nên ta cĩ: 1−훼1 훼1 푃 −푡(푛−1) < < 푡(푛−1) = 1 − 훼 훼1 훼2 (푛−1) − 휇 (푛−1) ⟺ 푃 −푡 < 푛 < 푡 = 1 − 훼 훼1 푆 훼2 푆 푆 (푛−1) (푛−1) ⟺ 푃 − 푡훼 < 휇 < + 푡훼 = 1 − 훼 푛 2 푛 1 Vậy với độ tin cậy (1 − 훼) tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 푆 푆 (푛−1) (푛−1) − 푡훼 , + 푡훼 푛 2 푛 1
  28. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI 훼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 훼 = 훼 = ta cĩ khoảng tin cậy 1 2 2 − 휀, + 휀 푆 với 휀 = 푡(푛−1) được gọi là độ chính xác. 푛 훼/2 - Khoảng tin cậy bên phải: 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì 훼1 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 푆 (푛−1) − 푡훼 , +∞ 푛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của μ. - Khoảng tin cậy bên trái: 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì 훼2 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 푆 (푛−1) −∞, + 푡훼 푛
  29. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ. Từ mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛 ) và từ đĩ ta tìm được giá trị cụ thể của trung bình mẫu . Lúc đĩ với độ tin cậy 1 − 훼 , qua một mẫu cụ thể, khoảng tin cậy của μ là: 푆 (푛−1) 푆 (푛−1) 1, 2 = − 푡훼 , + 푡훼 푛 2 푛 1
  30. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Chú ý: Do phân phối Student hội tụ nhanh về phân phối chuẩn (푛−1) khi 푛 → +∞ nên khi n rất lớn (n > 30) thì xấp xỉ 푡훼 ≈ 훼 . Ví dụ 2. Với các yêu cầu của ví dụ 1 nhưng giả thiết ta chưa biết độ lệch chuẩn.
  31. 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Ví dụ 3. Để xác định kích thước trung bình của chi tiết do một máy tự động sản xuất, người ta lấy ngẫu nhiên 200 chi tiết đem đo và thu được bảng số liệu sau: Kích thước chi Số chi tiết tiết(cm) tương ứng 54,795-54,805 6 54,805-54,815 14 54,815-54,825 33 54,825-54,835 47 54,835-54,845 45 54,845-54,855 33 54,855-54,856 15 54,865-54,875 7 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng của kích thước trung bình của chi tiết do máy sản xuất. Giả thiết kích thước chi tiết tuân theo quy luật chuẩn.
  32. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể. Ở tổng thể thứ 2 nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc ~ (휇1, 휎1 ), ở tổng thể 2 thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 푌~ (휇2, 휎2 ) . Từ hai tổng thể nĩi trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập cĩ kích thước tương ứng 푛1 và 푛2: 푊 = ( 1, 2, , 푛1 ) 푊푌 = (푌1, 푌2, , 푌푛2 ) Để chọn thống kê G cho thích hợp ta xet hai trường hợp sau:
  33. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN 2 2 a, Đã biết phương sai 휎1 và 휎2 của biến ngẫu nhiên gốc X, Y trong tổng thể. − 푌 − (휇 − 휇 ) = 푈 = 1 2 ~ (0,1) 휎2 휎2 1 + 2 푛1 푛2 với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 1−훼1 , 훼2 thoả mãn: 푃 훼2 = 훼2 suy ra 푃 1−훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼1 + 훼2 = 1 − 훼
  34. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN do 1−훼1 = − 훼1 nên ta cĩ: 푃 − 훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼 − 푌 − (휇1 − 휇2) ⟺ 푃 − 훼 < < 훼 = 1 − 훼 1 2 휎2 휎2 1 + 2 푛1 푛2 휎2 휎2 휎2 휎2 1 2 1 2 ⟺ 푃 − 푌 − + 훼2 < 휇1 − 휇2 < − 푌 + + 훼1 = 1 − 훼 푛1 푛2 푛1 푛2
  35. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Vậy với độ tin cậy (1 − 훼) tham số 휇1 − 휇2 của biến ngẫu nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 휎2 휎2 휎2 휎2 1 2 1 2 − 푌 − + 훼2 , − 푌 + + 훼1 푛1 푛2 푛1 푛2 훼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 훼 = 훼 = ta cĩ khoảng tin 1 2 2 cậy − 푌 − 휀, − 푌 + 휀 2 2 휎1 휎2 với 휀 = + 훼/2 được gọi là độ chính xác. 푛1 푛2
  36. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN - Khoảng tin cậy bên phải: 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì 훼1 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 2 2 휎1 휎2 − 푌 − + 훼 , +∞ 푛1 푛2 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của 휇1 − 휇2. - Khoảng tin cậy bên trái: 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì 훼2 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là 2 2 휎1 휎2 −∞, − 푌 + + 훼 푛1 푛2 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của 휇1 − 휇2.
  37. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Từ các mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛1 ) 푤푌 = ( 1, 2, , 푛2 ) và từ đĩ ta tìm được giá trị cụ thể của các trung bình mẫu , . Lúc đĩ với độ tin cậy 1 − 훼 , qua các mẫu cụ thể, khoảng tin cậy của 휇1 − 휇2 là: 휎2 휎2 휎2 휎2 1 2 1 2 1, 2 = − − + 훼2 ; − + + 훼1 푛1 푛2 푛1 푛2
  38. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN 2 2 b, Chưa biết phương sai 휎1 và 휎2 của biến ngẫu nhiên gốc 2 2 2 X, Y trong tổng thể nhưng giả thiết 휎1 = 휎2 = 휎 Ta cĩ: − 푌 − (휇 − 휇 ) − 푌 − (휇 − 휇 ) 1 2 = 1 2 ~ (0,1) 2 2 1 1 휎1 휎2 휎 + + 푛1 푛2 푛1 푛2 và (푛 − 1)푆 2 휒2 = 1 ~휒2 휎2 (푛1−1) (푛 − 1)푆 2 휒2 = 2 푌 ~휒2 푌 휎2 (푛2−1)
  39. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN nên 1 휒2 = 휒2 + 휒2 = ( 푛 − 1 푆 2 + 푛 − 1 푆 2)~휒2 푌 휎2 1 2 푌 푛1+푛2−2 suy ra 푈 = 휒2 푛1 + 푛2 − 2 − 푌 − (휇1 − 휇2) = ~ (푛1+푛2−2) 1 1 푛 − 1 푆 2 + 푛 − 1 푆 2 + 1 2 푌 푛1 푛2 푛1 + 푛2 − 2 Ta chọn thống kê − 푌 − (휇 − 휇 ) = = 1 2 ~ (푛1+푛2−2)
  40. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN với 1 1 푛 − 1 푆 2 + 푛 − 1 푆 2 = + 1 2 푌 푛1 푛2 푛1 + 푛2 − 2 với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 푡(푛1+푛2−2), 푡(푛1+푛2−2) thoả mãn: 1−훼1 훼2 푃 푡(푛1+푛2−2) = 훼 훼2 2 suy ra 푃 푡(푛1+푛2−2) < < 푡(푛1+푛2−2) = 1 − 훼 + 훼 = 1 − 훼 1−훼1 훼2 1 2
  41. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN do 푡(푛1+푛2−2) = −푡(푛1+푛2−2) nên ta cĩ: 1−훼1 훼1 푃 −푡(푛1+푛2−2) < < 푡(푛1+푛2−2) = 1 − 훼 훼1 훼2 − 푌 − (휇 − 휇 ) ⟺ 푃 −푡(푛1+푛2−2) < 1 2 < 푡(푛1+푛2−2) 훼1 훼2 = 1 − 훼 ⟺ 푃 − 푌 − . 푡(푛1+푛2−2) < 휇 − 휇 훼2 1 2 < − 푌 + . 푡(푛1+푛2−2) = 1 − 훼 훼1 Vậy với độ tin cậy (1 − 훼) tham số 휇1 − 휇2 của biến ngẫu nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng − 푌 − . 푡(푛1+푛2−2); − 푌 + . 푡(푛1+푛2−2) 훼2 훼1
  42. 훼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 훼 = 훼 = ta cĩ khoảng tin 1 2 2 cậy − 푌 − 휀, − 푌 + 휀 (푛1+푛2−2) với 휀 = . 푡훼/2 được gọi là độ chính xác. - Khoảng tin cậy bên phải: 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì 훼1 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là (푛1+푛2−2) − 푌 − . 푡훼 , +∞ Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của 휇1 − 휇2. - Khoảng tin cậy bên trái: 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì 훼2 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là (푛1+푛2−2) −∞, − 푌 + . 푡훼 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của 휇1 − 휇2.
  43. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Từ các mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛1 ) 푤푌 = ( 1, 2, , 푛2 ) và từ đĩ ta tìm được giá trị cụ thể của các trung bình mẫu , . Lúc đĩ với độ tin cậy 1 − 훼 , qua các mẫu cụ thể, khoảng tin cậy của 휇1 − 휇2 là: , = − − . 푡(푛1+푛2−2); − + . 푡(푛1+푛2−2) 1 2 훼2 훼1 Chú ý: Do phân phối Student hội tụ nhanh về phân phối chuẩn khi 푛 → +∞ nên khi 푛1 + 푛2 rất lớn (푛1 + 푛2 > 30) thì xấp xỉ (푛1+푛2−2) 푡훼 ≈ 훼 .
  44. 2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TỐN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ 4. Từ một chuồng nuơi lợn, người ta lấy ngẫu nhiên bốn con đem cân và thu được trọng lượng tương ứng của chúng là 64, 66, 89, 77. Từ chuồng khác lấy ra ba con để cân thì được trọng lượng là 56, 71, 53. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng sự khác biệt về trọng lượng trung bình của hai chuồng lợn đĩ. Giả thiết trọng lượng của lợn tuân theo quy luật phân phối chuẩn.
  45. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT Giả sử trong tổng thể, biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật khơng-một 푃 = 1 = , 푃 = 0 = 1 − = 푞 Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 푊푛 = ( 1, 2, , 푛 ), 푛 1 = = 푛 푖 푖=1 푛 đặt = 푖=1 푖 ~ ( ; 푛) nên = 푛 , = 푛 푞, suy 푞 ra = = , = = 푛 푛 푛 Khi n lớn và p khơng quá nhỏ thì ( − ) 푈 = 푛~ (0,1) 푞
  46. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT Chọn thống kê ( − ) = 푈 = 푛~ (0,1) 푞 tương tự ta cĩ với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 1−훼1 , 훼2 thoả mãn: 푃 훼2 = 훼2 suy ra 푃 1−훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼1 + 훼2 = 1 − 훼
  47. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT do 1−훼1 = − 훼1 nên ta cĩ: 푃 − 훼1 < 푈 < 훼2 = 1 − 훼 ( − ) ⟺ 푃 − 훼 < 푛 < 훼 = 1 − 훼 1 푞 2 푞 푞 ⟺ 푃 − 훼 < < + 훼 = 1 − 훼 푛 2 푛 1 Vậy với độ tin cậy (1 − 훼) tham số p của biến ngẫu nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 푞 푞 − 훼 , + 훼 푛 2 푛 1
  48. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT nhưng do n lớn nên ta xấp xỉ p bởi: ≈ = và do = 푛 nên ta cĩ thể xấp xỉ khoảng ước lượng của p là (1 − ) (1 − ) − 훼 , + 훼 푛 2 푛 1 훼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 훼 = 훼 = ta cĩ khoảng tin 1 2 2 cậy − 휀, + 휀 (1− ) với 휀 = được gọi là độ chính xác. 푛 훼/2
  49. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT - Khoảng tin cậy bên phải: 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì 훼1 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là (1 − ) − 훼 , +∞ 푛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của p. - Khoảng tin cậy bên trái: 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì 훼2 = 0 = +∞ và do đĩ khoảng tin cậy là (1 − ) −∞, + 훼 푛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của p.
  50. 2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT KHƠNG-MỘT Ví dụ Hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của một nhà máy bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95 nếu biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy cĩ 10 phế phẩm. Ví dụ Để ước lượng số cá cĩ trong một hồ, người ta bắt 2000 con lên đánh dấu rồi thả trở lại. Vài hơm sau, bắt 400 con lên thì thấy cĩ 80 con cá bị đánh dấu. Hãy ước lượng số cá cĩ trong hồ với độ tin cậy 95%.
  51. 2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHƠNG-MỘT Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể. Ở tổng thể thứ nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luật khơng-một với 푃 = 1 = 1, 푃 = 0 = 1 − 1 = 푞1 ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 푌 tuân theo quy luật khơng-một với 푃 푌 = 1 = 2, 푃 = 0 = 1 − 2 = 푞2 Ta cần ước lượng hiệu 1 − 2 với độ tin cậy 1 − 훼 Từ hai tổng thể nĩi trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập cĩ kích thước tương ứng 푛1 và 푛2: 푊 = ( 1, 2, , 푛1 ) 푊푌 = (푌1, 푌2, , 푌푛2 )
  52. 2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHƠNG-MỘT 1 푛1 1 1 푛2 Xét − 푌, với = 푖=1 푖 = = 1, 푌 = 푖=1 푌푖 = 푛1 푛1 푛2 2 = 2. Do − 푌 = − 푌 = 1 − 2, − 푌 = 푛2 푞 푞 + 푌 = 1 1 + 2 2 suy ra 푛1 푛2 − 푌 − ( − ) 푈 = 1 2 ~ (0,1) 푞 푞 1 1 + 2 2 푛1 푛2 Ta chon thống kê − 푌 − ( − ) = 푈 = 1 2 ~ (0,1) 푞 푞 1 1 + 2 2 푛1 푛2
  53. 2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHƠNG-MỘT Th ực hiện tương tự ta cĩ 푞1 2푞2 푃 − 푌 − + 훼/2 < 1 − 2 푛1 푛2 1푞1 2푞2 < − 푌 + + 훼/2 = 1 − 훼 푛1 푛2 Khoảng tin cậy là: 1푞1 2푞2 1푞1 2푞2 − 푌 − + 훼/2; − 푌 + + 훼/2 푛1 푛2 푛1 푛2 Khi 푛1, 푛2 lớn ta xấp xỉ: 1 ≈ 1, 2 ≈ 2 ta cĩ khoảng UL đối xứng: 1(1 − 1) 2(1 − 2) 1 − 2 − + 훼/2; 1 − 2 푛1 푛2 1(1 − 1) 2(1 − 2) + + 훼/2 푛1 푛2
  54. 2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHƠNG-MỘT ta cĩ khoảng UL bên phải: 1(1 − 1) 2(1 − 2) 1 − 2 − + 훼 ; +∞ 푛1 푛2 khoảng UL bên trái: 1(1 − 1) 2(1 − 2) −∞; 1 − 2 − + 훼 푛1 푛2
  55. 2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHƠNG-MỘT Ví dụ Doanh nghiệp dự định đưa sản phẩm của mình vào hai thị trường khác nhau. Bán thử sản phẩm cho 100 khách hàng tiềm năng của thị trường thư nhất thì cĩ 50 người mua. Cịn với thị trường thứ hai bán thử sản phẩm cho 50 khách hàng thì cĩ 20 người mua. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức độ chênh lệch về thị phần mà doanh nghiệp cĩ thể đạt được tại hai thị trường đĩ.
  56. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Giả sử trong tổng thể xét biến ngẫu nhiên gốc ~ (휇, 휎2) nhưng chưa biết phương sai 휎2 của nĩ. Để ước lượng 휎2 từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n 푊 = ( 1, 2, , 푛 ) Để chọn thống kê G thích hợp ta xét hai trường hợp sau: a, Đã biết kỳ vọng tốn μ của biến ngẫu nhiên gốc. Chọn 푛푆∗2 = 휒2 = 휎2 1 푛푆∗2 −휇 với 푆∗2 = 푛 ( − 휇)2. Suy ra = 푛 ( 푖 )2, do 푛 푖=1 푖 휎2 푖=1 휎 −휇 ~ (휇, 휎2) nên 푖 ~ (0,1). Vậy 푖 휎 푛푆∗2 = 휒2 = ~휒2(푛) 휎2
  57. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Do đĩ, với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và từ đĩ tìm được hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 휒2(푛) , 휒2(푛) thỏa mãn điều kiện 1−훼1 훼2 푃 휒2 휒2 푛 = 훼 훼2 2 Do đĩ 푃 휒2 푛 < 휒2 < 휒2 푛 = 1 − 훼 + 훼 = 1 − 훼 1−훼1 훼2 1 2 Biến đổi tương đương ta cĩ 푛푆∗2 푛푆∗2 푃 < 휎2 < = 1 − 훼 휒2 푛 휒2 푛 훼2 1−훼1
  58. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Như vậy, với độ tin cậy (1 − 훼) khoảng tin cậy của 휎2 là 푛푆∗2 푛푆∗2 ; 휒2 푛 휒2 푛 훼2 1−훼1 Từ khoảng tin cậy tổng quát ta cĩ thể xây dựng được các khoảng tin cây cụ thể sau: 훼 - Nếu 훼 = 훼 = thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 1 2 2 푛푆∗2 푛푆∗2 2 푛 ; 2 푛 휒훼/2 휒1−훼/2
  59. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Nếu 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 푛푆∗2 2 푛 ; +∞ 휒훼 - Nếu 훼1 = 훼, 훼2 = 0 thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 푛푆∗2 0; 2 푛 휒1−훼 Với một mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛 ) cĩ thể xác định được khoảng tin cậy cụ thể bằng số của 휎2 giống như đã làm ở các phần trên.
  60. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ. Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20 gam. Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao phí này người ta cân thử 25 sản phẩm và thu được kết quả: Hao phí nguyên 19,5 20,0 20,5 liệu(gam) Số sản phẩm 5 18 2 tương ứng 2 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng 휎 với 훼1 = 훼2.
  61. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN b, Chưa biết kỳ vọng tốn μ của biến ngẫu nhiên gốc. Chọn 푛 − 1 푆2 = 휒2 = ~휒2 휎2 (푛−1) Do đĩ, với độ tin cậy (1 − 훼) cho trước cĩ thể tìm được cặp giá trị 훼1, 훼2 sao cho 훼1 + 훼2 = 훼 và từ đĩ tìm được hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 휒2(푛−1), 휒2(푛−1) thỏa mãn điều kiện 1−훼1 훼2 푃 휒2 휒2 푛−1 = 훼 훼2 2
  62. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Do đĩ 푃 휒2 푛−1 < 휒2 < 휒2 푛−1 = 1 − 훼 + 훼 = 1 − 훼 1−훼1 훼2 1 2 Biến đổi tương đương ta cĩ 푛푆2 푛푆2 푃 < 휎2 < = 1 − 훼 휒2 푛−1 휒2 푛−1 훼2 1−훼1 Như vậy, với độ tin cậy (1 − 훼) khoảng tin cậy của 휎2 là 푛푆2 푛푆2 ; 휒2 푛−1 휒2 푛−1 훼2 1−훼1
  63. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Từ khoảng tin cậy tổng quát ta cĩ thể xây dựng được các khoảng tin cây cụ thể sau: - Nếu 훼1 = 훼2 = 훼 thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 푛푆2 푛푆2 2 푛−1 ; 2 푛−1 휒훼/2 휒1−훼/2 - Nếu 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 푛푆2 2 푛−1 ; +∞ 휒훼 - Nếu 훼1 = 0, 훼2 = 훼 thì khoảng tin cậy cĩ dạng: 푛푆2 0; 2 푛−1 휒1−훼
  64. 2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN Với một mẫu cụ thể 푤 = ( 1, 2, , 푛 ) cĩ thể xác định được khoảng tin cậy cụ thể bằng số của 휎2 giống như đã làm ở các phần trên. Ví dụ. Cùng giả thiết như ví dụ trên nhưng giả sử ta chưa biết giá trị trung bình.