›
›

Bài giảng Xác xuất của biến cố - Phạm Chí Cao

pdf 48 trang huongle 4240
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác xuất của biến cố - Phạm Chí Cao", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_xuat_cua_bien_co_pham_chi_cao.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác xuất của biến cố - Phạm Chí Cao

  1. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 I/ Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí nghiệm/ thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều CHƯƠNG 1: kiện nhất định. Nó có thể dẫn đến kết cục (kết quả) này hoặc kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục). Và việc XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ làm này có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được. 1 Quy ước: Một đồng xu có 1 mặt Hình và 1 mặt Chữ được gọi là đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước 2 mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa. Vd1: Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất), VD5: xét xem mặt nào xuất hiện (mặt nào được lật lên). Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên? ra xem màu. Vd2: Ném hòn đá xuống nước, xét xem hòn đá chìm Đây là 1 phép thử NN? hay nổi. VD6: Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên? Hộp có 7 bi Trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi ra xem màu. Vd3: Hai vợ chồng cãi nhau. Xét xem họ có ly dị Đây là 1 phép thử NN? nhau không. VD7: (Phim “Hãy yêu đi rồi sẽ biết”) Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên? Yêu 1 người khác giới tính. VD4: Đây là 1 phép thử NN? Bắn 1 phát súng vào bia. Từ đây trở đi khi ta nói phép thử thì có nghĩa là Đây là 1 phép thử NN? 3 4 phép thử NN. 1
  2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố. Vd1: Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc Tung 1 con xúc xắc (cân đối, đồng chất), xét xem mặt không thể có nào xuất hiện. (Con xúc xắc có các mặt được đánh số nút từ 1 6) BcNN: là bc có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A, B, C, Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6 Bc chắc chắn: là bc luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. B= bc xuất hiện mặt có số nút là 7 Ký hiệu  C= bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn Bc không thể có: là bc không thể xảy ra khi thực hiện Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN? phép thử. Ký hiệu  (hoặc ) 5 6 Ta chỉ nghiên cứu bcNN mà thôi. VD2: Vd3: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. Hộp có 8 bi: 6 bi Trắng, 2 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi) ra 3 bi xem màu. Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái. Đặt A= bc lấy được 3 bi T B = bc gia đình có 2 con. B= bc lấy được 3 bi X C = bc gia đình có 3 con. C= bc lấy được 3 bi Bc nào là bccc, bcktc, bcNN? Bc nào là bccc, bcNN, bcktc? 7 8 2
  3. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ: Thông thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho rằng 1)Kéo theo: “chuyện nhỏ như con thỏ”, “không có gì mà ầm ỉ”. bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xảy ra thì dẫn Phải tính xác suất cái này, xác suất cái kia thì mới đến bc B xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: “Xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “không AB hay A B thấy xác suất đâu”, học các quan hệ này thì chán chết! Tuy nhiên khi gặp bài toán xác suất đòi hỏi phải biết cách tự phân tích, tự đặt các biến cố, diễn tả câu hỏi đề cho theo các biến cố đã đặt thì lại không làm được, hoặc diễn tả không đúng! Vd1: Hoặc đọc bài giảng trong sách thì lại không hiểu tại Một sv mua 1 tờ vé số. sao người ta biến đổi được như vậy! Đặt A= bc sv này trúng số độc đắc Nếu đã hiểu rõ về các quan hệ giữa các biến cố thì các B= bc sv này trúng số vấn đề trên đúng là “chuyện nhỏ như con thỏ”! 9 10 AB hay BA ? Vậy bạn thích “con thỏ” nào !? 1)KÉO THEO 2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU): VD2: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. Đặt A= bc gia đình có con trai. bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xảy ra thì bc B xảy ra, và ngược lại bc B xảy ra thì bc A xảy ra, khi thực B= bc gia đình có 2 con trai. hiện phép thử. Ký hiệu A=B hay AB Vậy A=B nếu AB và BA AB hay BA ? Vd1: Tung 1 con xúc xắc. VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A. Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút chẳn Đặt A= bc học sinh này thi đậu B= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6 B= bc học sinh này có điểm Toán là 10 C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4 11 12 AB hay BA ? A=B? A=C? 3
  4. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 2) TƯƠNG ĐƯƠNG 2)TƯƠNG ĐƯƠNG VD2: Vd3: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. Hộp có 8 bi: 6T, 2 X. Lấy 2 bi ra xem màu. (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi) Đặt A= bc lấy được 1 bi T A= bc gia đình có 1 con trai B= bc lấy được 1 bi X B= bc gia đình có 1 con gái C= bc lấy được 3 bi T C= bc gia đình có con trai D= bc lấy được bi T D= bc gia đình có ít nhất 1 con trai E= bc gia đình có nhiều nhất 1 con trai A=B? A=C? A=D? 13 14 A=B? A=C? C=D? C=E? 2)TƯƠNG ĐƯƠNG 2)TƯƠNG ĐƯƠNG Vd4: VD5: Hộp có 8 bi: 4T, 2X, 2Đỏ. Lấy 2 bi ra xem màu. Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Đặt A= bc lấy được 1 bi T A= bc lấy được ít nhất 2 bi T B= bc lấy được 1 bi X B= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X C= bc lấy được nhiều nhất 2 bi X A=B? D= bc lấy được 2 bi T E= bc lấy được 1 bi X 15 D=E? A=B ? A=C ? 16 4
  5. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 3)TỔNG (HỢP): 3)HỢP bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+B Vd1: hay C=AB. Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện. C xảy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xảy ra, khi thực hiện phép thử. Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn. B= bc con xx xh mặt có số nút là 2 A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6 D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4 C= A+B? C= A+D? Câu hỏi: Vậy A và B cùng xảy ra khi thực hiện phép thử được hông? 17 18 3)HỢP 3)HỢP VD2: Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia. sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên. Chọn NN 1 sv trong lớp. A= bc người thứ nhất bắn trúng Đặt A= bc sv này giỏi Anh B= bc người thứ hai bắn trúng B= bc sv này giỏi Pháp C= bc bia trúng đạn C= bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ. C= A+B? D= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ 19 C= A+B? D= A+B? 20 Dùng biểu đồ Venn minh họa? 5
  6. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Tổng quát: C= A1+A2+ +An . 3)HỢP C xảy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xảy ra, khi thực hiện Vd4: phép thử Hộp có 9 bi T và 7 bi X. Lấy NN 3 bi từ hộp. VD1: Có 3 người đi thi Ai= bc người thứ i thi đậu Đặt A= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X C= bc có ít nhất 1 người thi đậu B= bc lấy được 3 bi T C= A1+A2+A3 C= bc lấy được ít nhất 2 bi T Vd2: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm. D= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X Đặt Ai= bc sp thứ i xấu. C= bc có ít nhất 1 sp xấu C= A+B? D= A+B? C= A1+A2+ +An 21 22 Vậy “hiểu” dấu + giữa các biến cố nghĩa là gì? 4)TÍCH (GIAO): 4)TÍCH bc C gọi là tích của 2 bc A và B, ký hiệu C= A.B Vd1: hay C= AB Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện. C xảy ra nếu cả 2 bc A và B cùng xảy ra, khi thực hiện phép thử. Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,5 B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6 C= bc con xx xh mặt có số nút là 2 D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6 C= A.B? C= A.D? 23 24 6
  7. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 4)TÍCH 4)TÍCH VD2: Vd3: Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia. Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên. A= bc người thứ nhất bắn trật Chọn NN 1 sv trong lớp. B= bc người thứ hai bắn trật C= bc bia không trúng đạn Đặt A= bc sv này giỏi Anh B= bc sv này giỏi Pháp C= A.B? C= A+B? C= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ 25 C= A.B? 26 4)TÍCH 4)KẾT HỢP TỔNG VÀ TÍCH Tổng quát: C = A1.A2 An. VD6: Hộp 1 có 6 bi T và 4 bi X. Hộp 2 có 7 bi T và 3 bi X. C xảy ra nếu tất cả các Ai cùng xảy ra, khi thực hiện Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi và lấy NN từ hộp 2 ra 1 bi. phép thử VD1: Có 3 người đi thi A= bc lấy được 2 bi T từ hộp 1 Ai= bc người thứ i thi rớt B= bc lấy được 1 bi T từ hộp 2 C= bc tất cả đều thi rớt C= bc lấy được 3 bi T (trong 3 bi lấy ra) C = A1.A2.A3 D= bc lấy được 1T 1X từ hộp 1 Vd2: Kiểm tra chất lượng n sp. E= bc lấy được 2T 1X (trong 3 bi lấy ra) Đặt Ai= bc sp thứ i tốt F= bc lấy được 1X từ hộp 2 C= bc tất cả các sp đều tốt C = A1.A2 An 27 C=A.B? C=D.B? 28 Vậy “hiểu” dấu . giữa các biến cố nghĩa là gì? E=B.D? E=A.F? E= A.F+D.B? 7
  8. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 5)XUNG KHẮC: 5)XUNG KHẮC A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời Vd 1: xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A.B= Tung 1 con xúc xắc. Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp: đặt A= bc được mặt có số nút chẳn. A xr, Bxr B= bc được mặt có số nút là 2,5. A xr, Bkxr C= bc được mặt có số nút lẻ. A kxr, Bxr D= bc được mặt có số nút 1, 3 A kxr, Bkxr Xác định A.B? A.C? Vậy trường hợp nào ứng với xung khắc? 29 A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk? 30 5)XUNG KHẮC 5)XUNG KHẮC Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn VD3: đỏ. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. (Từ quá khứ đến hiện tại, 1 viên phấn hoặc toàn Trắng hoặc toàn Đỏ; chưa thấy 1 viên phấn có khúc T và (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, khúc Đ cùng lúc. Còn tương lai thì vô định!) không xét hifi) Đặt T= bc được viên phấn T. A= bc gia đình có 0 con trai Đ= bc được viên phấn Đ. B= bc gia đình có 1 con trai A= bc lấy được 1 viên phấn C= bc gia đình có 2 con trai T,Đ xung khắc? T,A xk? 31 32 A,B xk? A,C xk? B,C xk? 8
  9. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 5)XUNG KHẮC 6)ĐỐI LẬP: A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồng Ví dụ 4: thời xảy ra (xung khắc), và 1 trong 2 bc A Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. hoặc B phải xảy ra, khi thực hiện phép thử. biến cố đối lập của A ký hiệu là A hay A* Đặt A= bc được 1 viên phấn T. Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xảy ra: B= bc được 1 viên phấn Đ. A xr, Bxr C= bc được 2 viên phấn T A xr, Bkxr D= bc lấy được viên phấn T A kxr, Bxr A kxr, Bkxr A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk? 33 34 Vậy trường hợp nào ứng với đối lập? 6)ĐỐI LẬP 6)ĐỐI LẬP Vd1: Nhận xét sau đúng hay sai? A, A* đối lập  A+A* =  Tung 1 con xúc xắc. và A.A* =  A= bc xuất hiện mặt có số nút chẳn  B= bc xuất hiện mặt có số nút lẻ C= bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4 D= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 3, 5, 6 E= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 2, 4 Nhận xét sau đúng hay sai? A,B đối lập? B,C đối lập? A,B xung khắc A,B đối lập 35 36 C,D đối lập? D,E đối lập? 9
  10. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 6)ĐỐI LẬP 6)ĐỐI LẬP VD2: Xét phụ nữ sinh 1 con. (Không xét con hifi) Ví dụ 4: A= bc sinh con trai Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy B= bc sinh con gái NN 1 viên phấn ra xem màu. A, B đối lập? VD3: Xét một sinh viên đi thi môn XSTK Đặt T= bc được viên phấn T. (Thi đạt nếu điểm từ 5-10, thi rớt nếu điểm từ 0-4) Đ= bc được viên phấn Đ. A= bc sinh viên thi đậu A= bc lấy được 1 viên phấn B= bc sinh viên thi rớt C= bc sinh viên có điểm thi từ 0-3 T,Đ đối lập? T,A đối lập? A, B đối lập? 37 38 A, C đối lập? 6)ĐỐI LẬP 6) Đối lập Ví dụ 5: VD7: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy Hộp có 6 bi Trắng và 2 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. NN 2 viên phấn ra xem màu. A= bc lấy được nhiều nhất 2 bi T Đặt B= bc được 2 viên phấn T. B= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X C= bc được 2 viên phấn Đ. C= bc lấy được ít nhất 3 bi T A= bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn Đ D= bc lấy được 2 bi X D= bc lấy được viên phấn T A, B đối lập? C, D đối lập? B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập? 39 40 10
  11. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BIỂU ĐỒ VENN MINH HỌA CÁC LOẠI QUAN HỆ 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: Nhóm biến cố A, B, C xung khắc từng đôi nếu A,B xung khắc; A,C xung khắc; B,C xung khắc. Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung khắc nhau (nghĩa là Ai.Aj = , với mọi i j) 41 42 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: 7)XKTĐ VD1: Vd2: Tung 1 con xúc xắc Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2 T= bc được viên phấn T B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6 Đ= bc được viên phấn Đ C= bc con xx xh mặt có số nút là 5 X= bc được viên phấn X D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻ T,Đ,X xktđ? A,B,C xktđ? A,B,D xktđ? 43 44 11
  12. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 7)XKTĐ 7)XKTĐ Ví dụ 4: Vd3: Khối tứ diện có 4 mặt: 1 mặt sơn xanh, 1 mặt sơn Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy trắng, 1 mặt sơn vàng, mặt còn lại ½ sơn xanh và ½ NN 2 viên phấn ra xem màu. sơn vàng. Chọn ngẫu nhiên 1 mặt của tứ diện để xem màu. A= bc được 2 viên phấn T B= bc được 2 viên phấn Đ T= bc chọn được mặt có sơn T C= bc được 1 viên phấn T (Chỉ cần mặt có dính tí xíu sơn trắng là T xảy ra) X= bc chọn được mặt có sơn X A,B,C xktđ? V= bc chọn được mặt có sơn V 45 46 X,T,V xk tđ? 8)NHÓM BC ĐẦY: 8)NHÓM BC ĐẦY: VD2: Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là đầy nếu A1+A2+ +An =  Hộp có 7 bi T và 6 bi X. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp. A= bc lấy được 4 bi T Vd 1: B= bc lấy được 3 bi T Tung một con xúc xắc C= bc lấy được nhiều nhất 1 bi T A= bc mặt 1,2 xh D= bc lấy được nhiều nhất 2 bi T B= bc mặt 3,4 xh E= bc lấy được nhiều nhất 3 bi T C= bc mặt 4,5,6 xh D= bc mặt lẻ xh A, B, C đầy? A, B, D đầy? 47 48 A,B,C đầy? A,B,D đầy? A, B, E đầy? 12
  13. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 9)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ (VÀ XUNG KHẮC TỪNG 9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ) ĐÔI): Vd1: Tung một con xúc xắc A1,A2, ,An gọi là nhóm bc đầy đủ (và xktđ) nếu A= bc mặt 1,2 xh A1,A2, ,An là nhóm bc đầy và là nhóm bc xktđ B= bc mặt 3,4 xh C= bc mặt 4,5,6 xh Nhận xét: D= bc mặt 5,6 xh A, A* là 2 biến cố đối lập thì A, A* là nhóm bc đầy đủ E= bc mặt 5 xh A,B,C đđ (và xktđ)? A,B,D đđ (và xktđ)? 49 A,B,E đđ (và xktđ)? 50 9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ) 9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ) Vd2: Vd3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3 Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn Xanh. viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. T= bc được viên phấn T A= bc được 2 viên phấn T Đ= bc được viên phấn Đ B= bc được 2 viên phấn X X= bc được viên phấn X C= bc được 1 viên phấn X. T,Đ,X là nhóm bc đđ (và xktđ)? A,B,C là nhóm bc đđ (và xktđ)? 51 52 13
  14. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ) 9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ) Vd4: Vd5: Hộp 1: 5 bi trắng, 3 bi Xanh. Hộp 2: 6 bi trắng, 2 bi Có 3 người đi thi. Xanh. Hộp 3: 4 bi trắng, 7 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 A= bc người A thi đậu hộp (trong 3 hộp), rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 2 bi B= bc người B thi đậu ra xem màu. C= bc người C thi đậu A= bc lấy được hộp 1 ABC, ABC*, AB*C, A*BC là nhóm bc đđ (và xktđ)? B= bc lấy được hộp 2 C= bc lấy được hộp 3 53 54 A, B, C là nhóm bc đđ (và xktđ)? 10)BIẾN CỐ SƠ CẤP: 10) BIẾN CỐ SƠ CẤP Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân chia thành Vd1: tổng các biến cố khác. Biến cố sơ cấp là kết cục đơn Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện. giản nhất có thể có của phép thử. Ai= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1, ,6 Tập hợp các bc sơ cấp tạo thành không gian các bc sơ B= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút chẳn cấp, hay không gian mẫu. Ký hiệu  Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sơ cấp (đồng khả năng) Bcsc còn được gọi là kết cục tối giản B không là bcsc (đkn) vì: B= A2+A4+A6 = {A1, A2, , A6} : kg mẫu Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Các biến cố sơ cấp gọi là đồng khả năng xảy ra nếu khả năng xảy ra của Lưu ý: các biến cố là như nhau, khi thực hiện phép thử. 55 A1+A2+ +A6 =  56 14
  15. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 10)BC SƠ CẤP 10)BC SƠ CẤP Vd2: Giải vd2: Xét gia đình có 2 con. 1) = {TT, TG, GT, GG} 1) Hãy xác định các bc sơ cấp (đồng khả năng) và kg 2) Ta chỉ có thể “cố xem” A, B, C là các bc “sơ cấp” mẫu? không đồng khả năng. 2) Đặt: Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển thì ta chỉ A= bc gia đình có 0 Trai quan tâm các bc sơ cấp đồng khả năng. B= bc gia đình có 1 Trai C= bc gia đình có 2 Trai Vd3: Tung 1 đồng xu sấp ngữa (cân đối, đồng chất) 2 lần. A, B, C là các bc sơ cấp đồng khả năng? 57 Hãy xác định các bc sơ cấp (đkn) và kg mẫu? 58 10)BC SƠ CẤP 10)BC SƠ CẤP Giải VD3: BT4: Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy từ hộp ra 2 bi xem = {SS, SN, NS, NN} màu. Có 3 cách lấy: BT1: Tung 1 đồng xu sấp ngữa 3 lần. Cách 1: Lấy NN 2 bi (lấy 1 lần, và lần đó lấy cả 2 bi) Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu. Cách 2: Lấy lần lượt 2 bi (lấy 2 lần, mỗi lần 1 bi. Lần 1 lấy 1 bi ra xem màu rồi bỏ bi đó ra ngoài luôn, sau BT2: Tung 1 con xúc xắc và 1 đồng xu sấp ngữa. đó lấy 1 bi nữa lần 2) Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu. Cách 3: Lấy có hoàn lại (nói hoàng gia) (hoặc bỏ lại- nói dân giả) 2 bi (lấy 2 lần, mỗi lần 1 bi. Lần 1 lấy 1 bi BT3: Tung 1 con xúc xắc 2 lần. ra xem màu rồi bỏ bi đó trở lại hộp, sau đó lấy tiếp 1 bi nữa lần 2) Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu. 59 Hãy xác định các bc sơ cấp (đkn), kg mẫu 60 ứng với từng cách lấy. 15
  16. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 HDBT4: III)TÍNH CHẤT C1: có C(2,5)= 10 bcsc C2: có A(2,5)= 20 bcsc C3: có 52= 25 bcsc Tự nghỉ cách ghi các bcsc này, rất thú vị! HD: Đánh số các bi 61 62 III) TÍNH CHẤT III)TÍNH CHẤT Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm. VD: Đặt Ak= bc sp thứ k tốt. Biểu diễn các bc sau theo Ak: Xét = {1,2,3,4,5,6} A= bc cả 4 sp đều tốt A= {1,3,6} A* = {2,4,5} B= bc có 3 sp tốt , C= bc có ít nhất 1 sp xấu B= {1,3,4} B* = {2,5,6} D= bc có ít nhất 1 sp tốt , E= bc có tối đa 1 sp xấu Giải: Vậy A*.B* = {2,5} A= A1.A2.A3.A4 Và A+B = {1,3,4,6} (A+B)* = {2,5} B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4 +A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4* C= A1*+A2*+A3*+A4* , C= A* Ta thấy: (A+B)* = A*.B* 63 64 D= A1+A2+A3+A4 , D*= A1*.A2*.A3*.A4* E= A+B 16
  17. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Tính chất: Giải: VD2: Có 2 sinh viên đi thi. A= bc sv 1 thi đậu , B= bc sv 2 thi đậu 1) AB Hãy diễn tả các biến cố sau theo A, B : 2) A*B* 1) Cả hai sv đều thi đậu 3) A+B 2) Không có ai thi đậu 4) AB* 3) Có ít nhất một người thi đậu 5) AB+AB* = A (tại sao?) 4) Chỉ có sv 1 thi đậu 6) AB*+A*B 5) Sinh viên 1 thi đậu 7) A*B*+(A*B+AB*) = (AB)* = A*+B* 6) Chỉ có một sv thi đậu (có ít nhất 1 người thi rớt) 7) Có nhiều nhất một người thi đậu 8) (AB*+A*B)+AB = A+B (tại sao?) 8) Có sv thi đậu 9) AB+A*B* 65 66 9) Hai sv có cùng kết quả thi BT1: Giải: Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp. 1) T1*T2* Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2 2) T1T2*+T1*T2 Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấy 3) T1T2 ra): 4) T1+T2 1) Lấy được 0 bi T 2) Lấy được 1 bi T 5) T1T2+T1*T2* 3) Lấy được 2 bi T 6) (T1T2)* 4) Lấy được ít nhất 1 bi T 7) T1+T2 5) Lấy được 2 bi cùng màu 6) Lấy được nhiều nhất 1 bi T 7) Lấy được bi T 67 68 17
  18. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BT2: Giải: Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X. Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X. Lấy 1 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2 bi 1) AB2 từ hộp 2 ra. 2) AB0+A*B1 A= bc lấy được bi T từ hộp 1 3) AB1+A*B2 Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2 4) A*B0 Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi lấy 5) (A*B0)*= A+B0*= A+B1+B2 ra): 1) Lấy được 3 bi T 2) Lấy được 1 bi T 3) Lấy được 2 bi T 4) Lấy được 0 bi T 69 70 5) Lấy được bi T BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X. Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X. Giải: Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2 1) A0B0 Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2 2) A1B0+A0B1 Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy ra): 3) A0B2+A2B0+A1B1 1) Lấy được 4 bi X 4) A2B1+A1B2 2) Lấy được 1 bi T 5) A2B2 3) Lấy được 2 bi T 6) (A0B0)* 4) Lấy được 3 bi T 7) = 1)+2)+3) 5) Lấy được 4 bi T 6) Lấy được ít nhất 1 bi T 8) = 2)+4) 7) Lấy được nhiều nhất 2 bi T 9) = 1)+5) 8) Lấy được 3 bi cùng màu 71 72 9) Lấy được 4 bi cùng màu 18
  19. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Bình loạn: IV/ ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT: 1) Khái niệm: Xác suất của 1 biến cố là 1 con số Qua các ví dụ trên bạn có thấy được lợi ích của việc học Xác suất?! đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đó khi thực hiện phép thử. Một nàng trước khi “trao thân gởi phận” cho chàng luôn muốn chàng hứa là: chàng yêu nàng và không yêu 2) Đn cổ điển: Thực hiện 1 phép thử NN. Giả sử ai khác nữa! có n bc sơ cấp xảy ra. Nếu nàng không học XS thì sẽ nói: “anh có hứa yêu Các bcsc này gọi là đồng khả năng xảy ra nếu em không” (lúc đó chàng mừng thầm trong bụng!) các bcsc này có khả năng xảy ra như nhau, khi Nếu nàng đã học XS thì sẽ nói: “anh có hứa chỉ yêu thực hiện phép thử (không có bcsc nào ưu tiên một mình em không” (lúc đó chàng ôm bụng khóc hay xảy ra hơn bcsc nào). thầm!) Bcsc mà khi nó xảy ra kéo theo bc A xảy ra gọi 73 74 là bcsc thuận lợi cho bc A. 2)ĐN CỔ ĐIỂN 2)ĐN CỔ ĐIỂN P(A) = số bcsc thuận lợi cho A / số bcsc đkn xảy ra Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện. = |A| / || Ai= bc xh mặt có số nút i B= bc xh mặt có số nút chẵn Tính chất: C= bc xh mặt có số nút là: 2 hoặc 3 0<= P(A) <=1 với A là bc bất kỳ. D= bc xh mặt có số nút là: 1,4,5,6 E= bc xh mặt có số nút là: 4,5,6 P()= || / || = 0/ ||= 0 , P()= || / || = 1 A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1 Ta có: Ai là bcsc, = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} P(Ai)= 1/6 75 P(B)= 3/6= 1/2 , P(C)= 2/6= 1/3 , 76 P(D)= 4/6= 2/3 , P(E)= 3/6= 1/2 19
  20. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1) 2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1) C,E xung khắc. P(C+E)= 5/6 C+E= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,5,6 Tổng quát: Vậy 5/6 = P(C+E) = P(C)+P(E) = 2/6+3/6 A, B không xung khắc: P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) C,D đối lập: P(C)+P(D)= 2/6+ 4/6 = 1 A, B xung khắc: Vậy P(D) = 1- P(C) hay P(C*)= 1-P(C) B,C không xung khắc P(A+B)= P(A)+P(B) B.C= bc xh mặt có số nút là 2 , P(B.C)= 1/6 A, A* đối lập B+C= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,6 P(A*)= 1-P(A) P(B+C)= 4/6 P(A)= 1-P(A*) Vậy P(B+C)= P(B)+P(C)-P(B.C) 77 78 4/6 = 3/6 + 2/6 – 1/6 2)ĐNCĐ 2)ĐNCĐ Giải VD2: Vd2: Phép thử: lấy ngẫu nhiên 2 bi từ 14 bi Có C(2,14) cách lấy ||= C(2,14) Hộp có 10 bi T, 4 bi X. Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy một lần 2 bi) ra xem màu. a) A= bc lấy được 2 bi T Trong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(2,10) cách Tính xs : lấy được 2 bi T |A|= C(2,10) a) Lấy được 2 bi T? Vậy P(A)= |A| / || = C(2,10) / C(2,14)= 45/91 b) Lấy được 1 bi T, 1 bi X? b) B= bc lấy được 1 bi T, 1 bi X c) Lấy được 2 bi X? Trong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(1,10)*C(1,4) d) Lấy được 3 bi T? cách lấy được 1 bi T, 1 bi X |B|= C(1,10)*C(1,4) 79 Vậy P(B)= |B| / || = C(1,10)*C(1,4) / C(2,14) 80 = 10*4 / 91 = 40/91 20
  21. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 2)ĐNCĐ (GIẢI VD2 -TIẾP) 2)ĐNCĐ c) C= bc lấy được 2 bi X Nhận xét: P(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91 Để tính xs của bc A ta thực hiện 2 bước sau: b1) Từ giả thiết bài toán (việc thực hiện phép thử) ta d) D= bc lấy được 3 bi T tính số bcsc đkn xảy ra || P(D)= 0 / C(2,14) = 0 b2) Trong các bcsc đkn xảy ra, ta tính số bcsc thuận lợi cho bc A |A| Xác suất của bc A là: P(A)= |A| / || 81 82 2)ĐNCĐ ÍCH LỢI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1-P(A*) VD3: VD4: Hộp có 10 bi T và 8 bi X. Lấy ngẫu nhiên ra 7 bi. Hộp có 5 bi T và 9 bi X. Lấy NN 4 bi từ hộp. Tính a) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi T? xác suất lấy được 2 bi T? b) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 6 bi T? Giải: Giải: P(2T2X)= C(2,5)C(2,9) / C(4,14) a) F= bc lấy được ít nhất 1 bi T F*= bc lấy được 0 bi T (7 bi X) BT1: Hộp có 5 bi T và 3 bi V và 6 bi Đ. Lấy NN 4 P(F*)= C(7,8) / C(7,18) P(F)= 1-P(F*) bi từ hộp. b) K= bc lấy được nhiều nhất 6 bi T 1) Tính xác suất lấy được 2 bi T? K*= bc lấy được 7 bi T 2) Đáp số có giống VD3 không? 83 P(K*)= C(7,10) / C(7,18) P(K)= 1-P(K*) 84 21
  22. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BT2: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao? BT3: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao? Xét một gia đình có 2 con. Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bi xem màu. Ta có 3 trường hợp: Ta có 3 trường hợp xảy ra: A= gia đình có 0 con trai (2 con gái) B= gia đình có 1 con trai A= lấy được 0 bi T (2 bi X) C= gia đình 2 con trai B= lấy được 1 bi T (1 bi X) C= lấy được 2 bi T Ta có 3 trường hợp xảy ra nên : P(A)= P(B)= P(C)= 1/3 Ta có 3 trường hợp xảy ra nên: P(A)= P(B)= P(C)= 1/3 85 86 BT4: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao? 3) ĐN XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ: Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi xem màu. P(A)= |A| / || Ta có 2 trường hợp xảy ra: A= lấy được bi T Do định nghĩa cổ điển có 1 số hạn chế nên B= lấy được bi X người ta đưa ra định nghĩa thống kê. Tuy nhiên định nghĩa thống kê vẫn có 1 số hạn Ta có 2 trường hợp xảy ra nên: chế của nó. P(A) = P(B) = 1/2 (Xem các hạn chế trong các sách) 87 88 22
  23. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 3)ĐNTK 3)ĐNTK Tần suất: Thực hiện 1 phép thử T n lần. Gọi m là số Vd1: Để xác định xác suất 1 cặp vợ chồng sau khi lần xuất hiện bc A quan tâm trong n lần thử. cưới nhau thì sẽ ly dị thực tế là bao nhiêu. Người ta Tỷ số fn(A)= m/n gọi là tần suất xuất hiện của bc A điều tra thời gian vừa qua thấy có trong 10000 cặp (trong n lần thử) cưới nhau, có 500 cặp ly dị. Vậy có thể xem xác suất Ta có |f101(A)-f100(A)| < |f11(A)-f10(A)| để 1 cặp sau khi cưới nhau sẽ ly dị là: Ta nhận xét thấy: khi số phép thử n càng lớn thì 500 / 10000 = 0,05 (!) f (A) càng tiến gần đến 1 giá trị p nào đó, nghĩa là n Nếu điều tra 1000000 và có 51000 cặp ly dị thì xác lim fn(A)= p , khi n suất để 1 cặp sau khi cưới nhau sẽ ly dị là: 51000 / 1000000 = 0,051 (!) Đn: p gọi là xs của bc A theo thống kê: P(A)= p Vậy ta nên chọn con số nào trong 2 con số 0,05 và Trong thực tế ta hay dùng fn(A) như là xs của bc A 89 0,051 để làm xác suất 1 cặp sẽ ly dị? 90 khi n lớn 3)ĐNTK Ngoài ra, người ta còn định nghĩa xác suất theo Vd2: Kết quả thống kê mới đây ở VN năm 2010 cho phương pháp hình học. Tuy nhiên pp hình học vẫn có thấy tần suất sinh con trai là 112 / 212 = 0,5283. Năm hạn chế của nó. 2014 tần suất này là 114 / 214 = 0,5327. Vậy thì khả năng 1 người phụ nữ sinh con trai trong 1 lần sinh hổng phải là 0,5. Có nghĩa là biến cố sinh con trai có xác Định nghĩa xác suất 1 cách chặt chẽ là định nghĩa suất là 0,5327. Tỷ lệ này ở TQ năm 2000 là 120 / 220. theo tiên đề xác suất. Một định nghĩa không lấy gì Lưu ý: tuy nhiên trong bài tập xác suất người ta vẫn làm thú vị cho lắm đối với chúng ta! thường giả định xác suất sinh con trai trong 1 lần sinh là 0,5 (người ta đơn giản cho rằng người phụ nữ khi sinh Bạn đọc quan tâm xin xem các giáo trình XSTK. chỉ có 2 trường hợp: có hoặc không có con trai, mà không xét đến các yếu tố ảnh hưởng khác. Hay vì lý do nào đó mà ctmb!) Bài tập phần xác suất chỉ có định nghĩa cổ điển. Xác suất tính theo thống kê thay đổi theo 91 92 thời gian, không gian 23
  24. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 V/ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT: 1)CT CỘNG 1)Công thức cộng: Trả lời: không xác định được 2 bc A, B có xung khắc nhau P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A.B) hay không, trong bài tập cụ thể. Nếu bạn đã nắm vững phần quan hệ giữa các biến cố Nếu A.B =  (A,B xung khắc) thì: P(AB)= 0 thì việc xác định A, B có xung khắc không là “chuyện P(A+B) = P(A)+P(B) nhỏ như con thỏ” Một Câu hỏi lớn: Cái khó khăn nhất khi áp dụng công thức cộng là gì? 93 94 1)CT CỘNG 1)CTCỘNG (VD1) Vd1: Lớp có 50 sv, trong đó có 20 sv giỏi Anh, 15 sv A,B không xung khắc vì có sinh viên giỏi cả 2 ngoại giỏi Pháp, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ. Chọn NN 1 sv. ngữ. Tính xs: P(C)= P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) a) Chọn được 1 sv giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ = 20/50 + 15/50 –7/50 = 28/50 b) Chọn được 1 sv không giỏi ngoại ngữ nào hết b) D= bc sv này không giỏi NN nào hết HD: P(D)= P(A*.B*)= P[(A+B)*] a) A= bc sv này giỏi Anh = P(C*)= 1-P(C)= 1-28/50 = 22/50 B= bc sv này giỏi Pháp C= bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ BT: 95 Giải lại 2 câu trên dựa theo biểu đồ Venn? 96 C=A+B ? A,B xung khắc? 24
  25. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 1)Công thức cộng 1)Công thức cộng VD2: Giả thiết giống VD1. Tính xác suất: VD2: a) SV này chỉ giỏi AV? a) P(AB*)= P(A)-P(AB) b) SV này chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ? b) P(AB*+A*B)= P(A)+P(B)-2P(AB)  VD3: Giả thiết giống VD1. Nhưng thay vì chọn 1 sv thì VD3: | |= C(2,50) ta chọn ngẫu nhiên 2 sv. Tính xác suất: a) số sv giỏi cả 2 NN: 7 nên |A| = C(2,7) a) Cả 2 sv đều giỏi cả 2 ngoại ngữ? b) số sv giỏi ít nhất 1 NN: 13+7+8 = 28 b) Cả 2 sv giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ? c) số sv chỉ giỏi AV: 20-7 = 13 c) Cả 2 sv chỉ giỏi AV? d) số sv chỉ giỏi một NN: 13+8 = 21 d) Cả 2 sv chỉ giỏi 1 ngoại ngữ? e) số sv không giỏi NN nào hết: 50-28 = 22 e) Cả 2 sv không giỏi ngoại ngữ nào hết? f) số sv chỉ giỏi AV là 13 và số sv k giỏi gì hết là 22 97 98 f) Một sv chỉ giỏi AV và 1 sv không giỏi gì hết? Bài tập: Giải lại VD1, VD2 bằng cách giải ở VD3. VD3.1 Có 2 học viên thi tuyển sinh cao học. Tỷ lệ thi đậu BÀI TẬP của học viên A, B lần lượt là 0,7 và 0,6. Tỷ lệ cả 2 Giả thiết giống VD1. học viên cùng thi đậu là 0,4. Tính xác suất có ít nhất 1 người thi đậu? 1) Lấy ngẫu nhiên 3 sinh viên. Tính xác suất: 2 sv giỏi AV, 1 sv không giỏi gì hết? Giải: A= bc người A thi đậu 2) Lấy ngẫu nhiên 4 sinh viên. Tính xác suất chỉ có 2 sv giỏi AV? B= bc người B thi đậu C= bc có ít nhất 1 người thi đậu P(C) = P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) = 0,7+0,6-0,4 = 0,9 Lưu ý: 99 P(A.B) ≠ P(A).P(B) 100 25
  26. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 1)CT CỘNG 1)CT CỘNG Vd4: Giải VD4: Hộp có 10 cây viết bic, trong đó có 3 cây viết xấu. A,B xung khắc, vì ta chỉ lấy có 2 cây. Hoặc ta được 1 Lấy ngẫu nhiên 2 cây. Tính xs lấy được ít nhất 1 cây cây viết tốt hoặc ta được 2 cây viết tốt. Không thể viết tốt được cả 2 trường hợp. Ta chỉ được cả 2 trường hợp khi HD: A= bc lấy được 1 cây viết tốt lấy 4 cây. B= bc lấy được 2 cây viết tốt P(C)= P(A+B) = P(A)+P(B) C= bc lấy được ít nhất 1 cây viết tốt. = C(1,7)*C(1,3) / C(2,10) + C(2,7) / C(2,10) C=A+B? A,B xung khắc? 101 102 1) CTCỘNG ÍCH LỢI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1-P(A*) Tổng quát: Nắm cách ghi nha! VD6: Hộp có 10 bi T và 8 bi X. Lấy ngẫu nhiên ra 7 bi. * P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C) Tính xác suất lấy được ít nhất 2 bi T? -P(AB)-P(AC)-P(BC) Giải: +P(ABC) F= bc lấy được ít nhất 2 bi T Nếu A,B,C xk từng đôi thì: F*= bc lấy được nhiều nhất 1 bi T P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C) A= bc lấy được 0 bi T (7 bi X) * P(A+B+C+D)= P(A)+P(B)+P(C)+P(D) B= bc lấy được 1 bi T (6 bi X) -P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD) P(A)= C(7,8) / C(7,18) +P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD) P(B)= C(1,10).C(6,8) / C(7,18) -P(ABCD) Nếu A,B,C,D xk từng đôi thì: P(F*) = P(A+B) = P(A)+P(B) 103 104 P(A+B+C+D)= P(A)+P(B)+P(C)+P(D) P(F)= 1-P(F*) 26
  27. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Lưu ý: 2)CT XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN: Công thức cộng tổng quát từ 3 biến cố trở lên Vd1: ít ai làm trực tiếp, bởi vì phải tính xác suất của Hộp có 5 viên bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy lần lượt 2 bi (lấy nhiều số hạng. Thí dụ công thức cộng cho 4 không hoàn lại) biến cố thì có đến 15 số hạng. Biết rằng lần 1 lấy được bi T, tính xs lần 2 lấy được bi Trong thực hành người ta dùng biến cố đối lập T? để tính ngược lại. Giải: P(A+B+C+D) = 1-P([A+B+C+D]*) Ti= bc lần i lấy được bi T , i=1,2 = 1-P(A*B*C*D*) Ta có thể viết lại câu hỏi như sau: Biết rằng T1 xảy ra, (công thức nhân) tính xs T2 xảy ra 105 106 2)CT XSCĐK 2)CT XSCĐK Giải VD1: VD2: T1 xảy ra: Lần 1 lấy được bi T hộp chỉ còn lại 11 Hộp có 7 bi T và 6 bi X. bi (trong đó có 6 bi T) Ở lần lấy thứ 2 (chọn 1 bi a) Lấy ngẫu nhiên 2 bi thì được 2 bi T, lấy tiếp 2 bi trong 11 bi) : số trường hợp đkn là 11, số trường hợp trong 11 bi còn lại của hộp. Tính xác suất lấy được 1 thuận lợi cho T2 là 6 xác suất của T2 (với điều bi T và 1 bi X? kiện T1 xảy ra) là 6/11. b) Lấy ngẫu nhiên 2 bi thì được 1 bi T và 1 bi X, lấy Ta viết: P(T2/T1): xác suất của T2 với điều kiện T1 tiếp 3 bi trong 11 bi còn lại của hộp. Tính xác suất lấy xảy ra được 2 bi T và 1 bi X? Ta có: P(T2/T1)= 6/11 107 108 27
  28. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 2)CT XSCĐK 2)CTXSCĐK Giải VD2: Vd3: a) gọi A= bc lấy được 2 bi T lần 1 Một tổ điều tra dân số vào thăm 1 gia đình có 2 con. B= bc lấy được 1 bi T và 1 bi X lần 2 a) Tính xác suất gia đình này có 2 con trai? P(B/A)= C(1,5)C(1,6) / C(2,11) b) Biết thêm thông tin gia đình này có con trai. Tính b) gọi A= bc lấy được 1 bi T và 1 bi X lần 1 xs gia đình này có 2 con trai? B= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X lần 2 c) Biết đứa con đầu lòng là trai. Tính xs gia đình này P(B/A)= C(2,6)C(1,5) / C(3,11) có 2 trai? Tổng quát: Câu hỏi: P(A/B) : xác suất của bc A với điều kiện bc B Theo cảm tính bạn cho rằng câu nào có xs cao hơn? B gọi là bc điều kiện, B đã xảy ra rồi 109 110 Công thức: P(A/B) = P(AB) / P(B) 2)CTXSCĐK 2)CTXSCĐK Giải VD3: Với 1 gđình có 2 con, ta có 4 trường hợp xảy ra: b) Cách lý luận khác: (Dành cho Cao thủ có Nội công TT TG GT GG thâm hậu, nếu không dễ bị Tẩu hỏa nhập ma) ¼ ¼ ¼ ¼ Gia đình có 2 con thì có 4 trường hợp: TT, TG, GT, GG a) gọi A= bc gia đình này có 2 trai A= TT P(A)= P(TT)= ¼ Nếu đã biết thông tin gia đình này có con trai (B xảy ra) thì trường hợp GG không thể xảy ra, vậy chỉ còn 3 b) gọi B= bc gia đình này có con trai B= TG+GT+TT P(B)= ¾ (AB  A.B = A) trường hợp có thể xảy ra (đkn) nên xs có 2 trai là Ta có: A.B= TT.(TG+GT+TT)= TT = A P(AB)= ¼ P(A/B)= 1/3. bc B xảy ra xs gia đình này có 2 trai là: P(A/B) c) Xác suất là 1/2 Vậy P(A/B)= P(AB) / P(B)= ¼ / ¾ = 1/3 VD4: Tung 1 con xúc xắc Ta thấy: Khi bc B chưa xảy ra thì xs của A là P(A)= ¼ . A= bc con xx xuất hiện mặt có số nút lớn hơn 3 Tuy nhiên khi bc B xảy ra thì khả năng xảy ra của 111 B= bc con xx xuất hiện mặt có số nút là chẳn 112 bc A tăng lên là P(A/B)= 1/3 Tính P(A/B) , P(B/A) ? 28
  29. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 2)CTXSCĐK 2)CTXSCĐK Giải: Giải: Tung 1 con xx thì kg mẫu = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kg mẫu là: P(A)= 3/6 = ½ = {GGG, GGT, GTG, TGG, GTT, TGT, TTG, TTT} Nếu bc B đã xảy ra thì kg mẫu thu hẹp lại: A= bc gia đình có 3 trai  = {2, 4, 6} B P(A)= 1/8 P(A/B)= 2/3 B= bc gia đình có 2 con trai (đứa còn lại con gì BV P(B/A)= 2/3 cũng không biết!) VD5: Nếu bc B đã xảy ra thì kg mẫu thu hẹp lại: Một gia đình có 3 con. Biết thông tin gia đình có 2 con B= {GTT, TGT, TTG, TTT} trai, đứa còn lại con gì BV cũng không biết! 113 P(A/B)= 1/4 114 Tính xs gia đình này có 3 trai? 2)CTXSCĐK BT3: Kết quả thi môn XSTK như sau: BT1: K.Quả Đậu Rớt Một gia đình có 3 con. Biết thông tin 2 đứa con đầu là con trai, còn đứa thứ 3 con gì BV cũng không biết! G.Tính Tính xs gia đình này có 3 trai? Nam 20 35 Nữ 30 15 BT2: Bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên ra 1 lá. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Biết rằng rút được lá màu đen, tính xs đó là lá Aùch? 1) Biết rằng sv này là nữ, tính xs sv này thi đậu? 115 2) Biết rằng sv này thi rớt, tính xs đó là sv nam? 116 29
  30. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BT4: Bảng kết quả khảo sát như sau: 2)CTXSCĐK K.Quả Giỏi Giỏi Anh Giỏi Số sv không Số sv VD7: G.Tính Anh và Pháp Pháp giỏi gì hết Hộp có 10 bi T và 7 bi X. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp. Nam 45 10 40 1) Biết rằng lần 1 lấy được bi X, tính xs lần 2 lấy được Nữ 30 5 15 10 ? bi X? Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. 2) Biết rằng lần 2 lấy được bi X, tính xs lần 1 lấy được 1) Biết rằng sv này là nữ, tính xs sv này giỏi Anh? bi X? 2) Biết rằng sv này chỉ giỏi Anh, tính xs đó là sv nam? HD: 1) P(X2/X1) = 6/16 117 118 2)CTXSCĐK 3) CT NHÂN ĐS: 3.1) BIẾN CỐ ĐỘC LẬP: 2) P(X1/X2)= 21/56 ? Bc A độc lập đối với bc B nếu bc B xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của A, Câu này cực khó để lý luận trực tiếp hoặc dùng chiêu nghĩa là P(A/B) = P(A) “công thức xác suất có điều kiện” như các VD trên, Nếu A độc lập đv B thì B cũng độc lập đv A, nghĩa là may ra chỉ có các bậc Nhất đại tôn sư Võ lâm mới làm P(B/A) = P(B). Lúc đó ta nói A,B độc lập đối với nhau. được! Còn những Tiểu tốt giang hồ như Chúng ta thì đành botay.com, chúng ta phải luyện thêm tuyệt chiêu danh trấn giang hồ “công thức xác suất đầy đủ” và Vd1: Xét lại ví dụ 3 mục 2 (gia đình có 2 con) “công thức Bayes” thì mới mong chế ngự được “Câu Ta có P(A/B) = 1/3 ¼ = P(A) nên A,B không độc lập hỏi ngược” bá đạo trên! 119 120 30
  31. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 3.1)BC ĐỘC LẬP 3.1)BC ĐỘC LẬP Vd2: Giải: Tung 1 đồng xu sấp ngữa 2 lần. = {S1S2, S1N2, N1S2, N1N2} A= bc được mặt sấp lần thứ nhất A= S1S2+S1N2 = S1 B= bc được mặt sấp lần thứ hai B= S1S2+N1S2 = S2 Xét xem A, B có độc lập? P(A/B)= ½ = 2/4 = P(A) Vậy A, B độc lập 121 122 3.1)BC ĐỘC LẬP 3.1)BC ĐỘC LẬP VD3: Tung 1 con xúc xắc A= bc con xx xuất hiện mặt có số nút lớn hơn 3 Vd5: B= bc con xx xuất hiện mặt có số nút là chẳn Tung đồng thời 2 con xúc xắc. A= bc con xx thứ nhất xuất hiện mặt có số nút là1 P(A/B)= 2/3 ≠ ½ = P(A) nên A, B không độc lập B= bc con xx thứ hai xuất hiện mặt có số nút lẻ. VD4: Tung 1 con xúc xắc Xét xem A, B có độc lập? A= bc con xx xuất hiện mặt có số nút lớn hơn 4 B= bc con xx xuất hiện mặt có số nút là chẳn 123 124 P(A/B)= 1/3 = P(A) nên A, B độc lập 31
  32. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 3.1)BC ĐỘC LẬP 3.2)CÔNG THỨC NHÂN: Lưu ý: Trong thực tế ta khó có thể dùng công thức P(A/B) = P(A) để xác định A,B độc lập (một cách P(AB) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) chặt chẽ) cho mọi bài toán. Nếu A,B độc lập thì: Chủ yếu dựa vào giả thiết bài toán và suy luận: nếu P(A/B) = P(A) P(AB) = P(A).P(B) khả năng xảy ra của bc A không phụ thuộc vào bc B (không bị ảnh hưởng bởi bc B) thì ta nói A độc lập Nhận xét: A, B độc lập  P(A.B) = P(A).P(B) đối với B. Câu hỏi: CT nhân và CT xs có điều kiện có liên quan? Muốn có “linh cảm” tốt thì làm nhiều bài tập!!! 1) Câu hỏi lớn: Nhận xét: Cái khó nhất khi áp dụng công thức nhân là gì? Nếu A, B độc lập thì A, B* ; A*, B ; A*, B* cũng 2) Câu hỏi hơi lớn: độc lập. 125 126 Khi nào thì ta xét bc điều kiện là bc A hoặc bc B? 3.2)CT NHÂN CÁCH XỬ LÝ CÁC DẤU TRONG CÔNG THỨC XÁC SUẤT Trả lời: 1) Là xác định xem A,B có độc lập không Để biểu diễn quan hệ giữa các biến cố ta dùng 2) Nếu ta dễ tính P(A/B) hơn là P(B/A) thì ta nên chọn bc điều kiện là B. 3 dấu: + (hoặc), . (và), * (đối lập) VD1: Hộp có 4 bi T, 3 bi X. Lấy lần lượt 2 bi. Lưu ý: đặt Ti= bc lần i lấy được bi T, i=1,2 AB  A.B = A  A+B = B Tính xác suất lấy được 2 bi T? Trật tự xử lý các dấu như thế nào? HD: Ta thấy P(T2/T1) dễ tính hơn P(T1/T2) Do đó: P(T2.T1) = P(T2/T1).P(T1) 127 128 = (3/6).(4/7) = 2/7 32
  33. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 CÔNG THỨC NHÂN CÁCH XỬ LÝ CÁC DẤU TRONG CÔNG THỨC XÁC SUẤT 3.2) VD3: VD 2: Hộp có 4 bi T và 5 bi X. Lấy NN 2 bi từ hộp. Rồi lấy Có hai người A và B đi thi hết môn với xác suất thi đậu tiếp 2 bi từ 7 bi còn lại. Tính xác suất lấy được 3 bi T lần lượt là 0,7 và 0,8. Tính xs chỉ có 1 người thi đậu? và 1 bi X trong 4 bi lấy ra? Giải: Giải: Gọi A là biến cố người A thi đậu Ai= bc lấy được i bi T ở lần 1, i=0,1,2 Gọi B là biến cố người B thi đậu Bi= bc lấy được i bi T ở lần 2, i=0,1,2 Gọi F là biến cố chỉ có 1 người thi đậu F= bc lấy được 3 bi T và 1 bi X trong 4 bi lấy ra P(F)= P(A.B*+A*.B)= P(A.B*)+P(A*.B) P(F)= P(A2B1+A1B2) = P(B1/A2)P(A2)+P(B2/A1)P(A1) = P(A).P(B*)+P(A*).P(B)= P(A).[1-P(B)]+[1-P(A)].P(B) = C(1,2)C(1,5)/C(2,7) * C(2,4)/C(2,9) = 0,7 . (1-0,8) + (1-0,7) . 0,8 129 + C(2,3)/C(2,7) * C(1,4)C(1,5)/C(2,9) 130 3.2) CÔNG THỨC NHÂN 3.2) CT NHÂN VD4: VD5: Hộp 1 có 5 bi T và 3 bi X. Hộp 2 có 6 bi T và 4 bi X. Có 2 người A và B với khả năng thi cuối kỳ đậu Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi, và lấy NN từ hộp 2 ra 1 bi. môn XSTK lần lượt là 60%, 80%. Khả năng thi Tính xác suất lấy được 2 bi T và 1 bi X trong 3 bi lấy ra. đậu của A và B là độc lập nhau. Giải: Biết rằng có ít nhất 1 người thi đậu, hãy tính xác Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,1,2 suất người A thi đậu? Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,1 F= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X trong 3 bi lấy ra P(F)= P(A2B0+A1B1) = P(A2)P(B0)+P(A1)P(B1) = C(2,5)/C(2,8) * 4/10 + C(1,5)*C(1,3)/C(2,8) * 6/10 131 132 33
  34. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Giải VD5: 3.2)CT NHÂN Đặt các biến cố sau: Lưu ý: A= bc người A thi đậu Tính xung khắc và tính độc lập của 2 bc A,B. B= bc người B thi đậu A.B=  (A,B xung khắc) P(A.B) = P() = 0 C= bc có ít nhất 1 người thi đậu P(A) > 0, P(B) > 0 C= A+B (Lý luận khác: AC nên A.C=A) AC= A(A+B)= A+AB= A.+AB= A(+B)= A.= A Vậy 0 = P(A.B) P(A).P(B) >0 Suy ra: P(AC)= P(A)= 0,6 P(C)= P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) A,B xung khắc A, B không độc lập = P(A)+P(B)-P(A)P(B)= 0,6+0,8-0,6*0,8 Hoặc P(C)= P(A+B)= 1-P(A*B*)= 1-P(A*).P(B*) 133 134 Vậy P(A/C) = P(AC) / P(C) = P(A) / P(C) 3.2)CT NHÂN 3.2)CT NHÂN * Nhóm 3 biến cố độc lập từng đôi: * Nhóm n bc độc lập (toàn thể): A,B,C độc lập từng đôi nếu A,B đl ; A,C đl ; B,C đl Nhóm biến cố A1, ,An độc lập (toàn thể) nếu mỗi biến cố bất kỳ trong nhóm độc lập đối với một tích bất kỳ các biến cố còn lại * Nhóm 3 biến cố độc lập toàn thể: VD: A, B, C, D độc lập nếu: A,B,C độc lập tt nếu A,B đl ; A,C đl ; B,C đl Đối với A và A,BC đl ; B,AC đl ; C,AB đl • A đl với B, C, D Hay: • A đl với BC, BD, CD P(AB)= P(A)P(B) ; P(AC)= P(A)P(C) ; P(BC)= P(B)P(C) • A đl với BCD P(ABC)= P(A)P(B)P(C) Tương tự cho B, C, D 135 Nhận xét: 136 Quy ước (sách Luyện thi CH): nhóm biến cố độc lập Độc lập (toàn thể) độc lập từng đôi 34
  35. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 VD1: ĐỘC LẬP TOÀN THỂ BT1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa 3 lần. A= {1, 2, 3, 5} P(A)= 4/8 = ½ A= bc lần 1 được mặt S B= {1, 2, 4, 6} P(B)= ½ B= bc lần 2 được mặt S C= {1, 3, 4, 7} P(C)= ½ C= bc lần 3 được mặt S AB= {1, 2} P(AB)= 2/8 = ¼ AC= {1, 3} P(AC)= ¼ A, B, C độc lập toàn thể? BC= {1,4} P(BC)= ¼ HD: ABC= {1} P(ABC)= 1/8 Xác định kg mẫu  Ta có: P(AB)= P(A).P(B) ; P(AC)= P(A).P(C) ; P(BC)= P(B).P(C) Đánh số các biến cố sơ cấp nên A, B, C độc lập từng đôi 137 Ta sẽ quay về VD1 138 Ta có: P(ABC)= P(A).P(B).P(C) nên A, B, C độc lập toàn thể 3.2)CT NHÂN (ĐỘC LẬP TT) 32)CT NHÂN Vd2: Quan sát 1 gia đình có 2 con Vd3: A= bc sinh con trai lần I, A= TT+TG Tung 3 lần 1 con xúc xắc. B= bc sinh con trai lần II, B= TT+GT Ai= bc lần tung i xuất hiện mặt có số nút chẳn, i=1,3 C= bc chỉ có 1 lần sinh con trai, C= TG+GT. Ta có: A1, A2, A3 độc lập toàn thể Xét xem A,B,C có độc lập (toàn thể)? HD: *) P(AB) = P(TT)= ¼ = P(A)P(B)= ½ . ½ Chủ yếu dựa vào giả thiết bài toán và suy luận. P(AC) = P(TG) = ¼ = P(A)P(C) = ½ . ½ Muốn có “linh cảm” tốt thì làm nhiều bài tập!!! P(BC) = P(GT)= ¼ = P(B)P(C) = ½ . ½ A,B,C độc lập từng đôi Bài này muốn chứng minh chặt chẽ thì không gian *) ABC=  P(ABC) = 0 1/8 = P(A)P(B)P(C) 3 139 mẫu có 6 = 216 trường hợp. 140 A,B,C không độc lập toàn thể 35
  36. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 3.2)CT NHÂN BT3: Tổng quát: * P(ABC) = P(A/BC).P(BC) Nếu A, B, C độc lập toàn thể thì A*, B*, C* cũng độc = P(A/BC).P(B/C).P(C) lập toàn thể? Nếu A,B,C độc lập toàn thể thì HD: P(ABC)= P(A).P(B).P(C) 1) A, B độc lập thì A, B* ; A*, B ; A*, B* cũng độc lập * P(ABCD)= P(A/BCD).P(BCD) 2) A, B, C độc lập toàn thể thì A, B+C độc lập = P(A/BCD).P(B/CD).P(CD) 3) A*, (B+C)* độc lập = P(A/BCD).P(B/CD).P(C/D).P(D) Nếu A,B,C,D độc lập toàn thể thì P(ABCD)= P(A).P(B).P(C).P(D) 141 142 Câu hỏi: Nắm cách ghi CT nhân chưa? ÍCH LỢI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1-P(A*) VD4: Có 4 sinh viên thi hết môn với xác suất thi đậu lần lượt là 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: 0,5 và 0,7 và 0,8 và 0,9. a) Tính xác suất có ít nhất 1 người thi rớt? Xét 1 phép thử T. Giả sử A1, ,An là 1 nhóm các bc b) Tính xác suất có ít nhất 1 người thi đậu? đầy đủ (và xktđ) c) Tính xác suất có nhiều nhất 3 người thi đậu? F là 1 biến cố liên quan tới phép thử T (khi bc F Giải: xảy ra thì chỉ có 1 bc Ai cùng xảy ra) a) Ai= bc người thứ i thi đậu F= bc có ít nhất 1 người thi rớt Cho biết các xác suất P(Ai) , P(F/Ai) F*= bc có 0 người thi rớt (tất cả đều thi đậu) P(F*)= P(A1A2A3A4)= P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) Tính P(F)? b) K= bc có ít nhất 1 người thi đậu P(F)= P(F/A1)P(A1)+ +P(F/An)P(An) K*= bc có 0 người thi đậu (tất cả đều thi rớt) 143 144 P(K*)= P(A1*A2*A3*A4*)= P(A1*).P(A2*).P(A3*).P(A4*) c) L= bc có nhiều nhất 3 người thi đậu. P(L*)= P(F*) 36
  37. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: 5)CTXSĐĐ Vd1: Câu hỏi lớn: Hộp có 5 bi T, 4 bi X. Lấy lần lượt 2 bi (lấy ngẫu nhiên Khó khăn khi áp dụng công thức xsđđ là gì? không hoàn lại) 1) Tính xác suất lần 2 lấy được bi X? Gợi ý: 2) Tính xs lấy được 2 bi khác màu? Ta nên phân chia các trường hợp Ai sao cho dễ tính xác HD 1: suất P(Ai) và P(F/Ai) Ta thấy khả năng lấy được bi X ở lần 2 phụ thuộc vào lần 1: lấy được bi X hay bi T có 2 trường hợp xảy ra ta có nhóm gồm 2 bc , xét xem chúng có đầy đủ và 145 xung khắc ? 146 5)CTXSĐĐ VD1 VD1: HD2: * F= bc lần 2 lấy được bi X P(T1X2+X1T2) = P(T1X2)+P(X1T2) T1= bc lần 1 lấy được bi T = P(X2/T1)P(T1)+P(T2/X1)P(X1) X1= bc lần 1 lấy được bi X = (4/8)(5/9)+(5/8)(4/9) = 5/9 T1 , X1 là nhóm bc đđ và xk * P(T1)= 5/9 , P(X1)= 4/9 * P(F/T1)= 4/8 , P(F/X1)= 3/8 P(F)= P(F/T1)P(T1)+P(F/X1)P(X1) = (4/8).(5/9)+ (3/8).(4/9) = 4/9 147 148 37
  38. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ Vd2: HDVD2: Cây viết xấu có thể do: PXI sx, PXII sx, PXIII sx có 3 trường hợp xảy ra ta có nhóm gồm 3 bc , Xí nghiệp bút bi Thiên long có 3 phân xưởng sản xuất. xét xem chúng có đầy đủ và xung khắc từng đôi? PX1: sản xuất 50% sp của toàn XN ; PX2: sản xuất *Đặt Ai= bc cây viết do PXi sản xuất, i=1,3 30% ; PX3: sản xuất 20% (1 cây viết chỉ do 1 phân F= bc mua phải cây viết xấu xưởng sản xuất) A1,A2,A3 tạo thành nhóm bc đđ và xktđ Tỷ lệ phế phẩm tính trên số sp do từng PX sản xuất là: *P(A1)= 0,5 P(A2)= 0,3 P(A3)= 0,2 1%, 2%, 3% *P(F/A1)= 0,01 P(F/A2)= 0,02 P(F/A3)= 0,03 Một sinh viên mua 1 cây bút bi Thiên long. Tính xác suất mua phải cây viết xấu? P(F)= P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3) = 0,017= 1,7% 149 150 Vậy xác suất mua phải 1 cây viết xấu là 1,7% 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ Ta thấy: Trước khi mua cây viết thì xs cây viết do PXI Câu hỏi ngược: sản xuất là 0,5 (P(A1)= 0,5) , nhưng khi bc F xảy ra Biết rằng mua phải cây viết xấu, tính xs cây viết (mua phải cây viết xấu) thì khả năng cây viết do PXI này do PXI sản suất? sản xuất giảm đi (P(A1/F)= 0,294). * Trước khi thực hiện thí nghiệm (mua 1 cây viết, xem Giải: tốt hay xấu) ta tính trước rằng : xs cây viết do PXI sx là P(A1/F)= P(FA1) / P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F) P(A1)= 0,5 , gọi là xác suất tiền/ tiên nghiệm = 0,01*0,5 / 0,017 = 0,294 * Sau khi thực hiện thí nghiệm , bc F xảy ra ta có xs cây viết do PXI sx là P(A1/F)= 0,294 , gọi là xác suất hậu nghiệm 151 152 P(Ai/F) = ? Gọi là công thức Bayes. 38
  39. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 5)CTXSĐĐ 6)Công thức Bayes: Nhận xét: Lấy lại giả thiết trong công thức xs đầy đủ Thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn các trường hợp (bcsc) của ctxsđđ như sau: Tính xác suất của bc Ai với điều kiện bc F đã xảy ra: P(Ai/F)= P(FAi) / P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F) VD1 VD2 Lưu ý: F F Nên tính P(F) trước khi tính P(Ai/F) A1 A2 A1 A2 A3 153 154 6)CTBAYES 6)CTBAYES Vd0: Có 3 hộp phấn, mỗi hộp có 10 viên phấn. Hộp thứ HD VD0: 1 có 6 viên phấn T. Hộp thứ 2 có 8 viên phấn T. Viên phấn lấy ra xem màu có thể thuộc hộp thứ 1 Hộp thứ 3 có 7 viên phấn T. Lấy ngẫu nhiên 1 hoặc thứ 2 hoặc thứ 3 có 3 trường hợp có thể xảy ra hộp (trong 3 hộp), rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 1) F= bc lấy được viên phấn T viên phấn ra xem màu. Hi= bc lấy được hộp thứ i 1) Tính xs lấy được viên phấn T? P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)+P(F/H3)P(H3) 2) Biết rằng viên phấn lấy ra là viên phấn T, tính = (6/10)(1/3)+(8/10)(1/3)+(7/10)(1/3) = 21/30 = 0,7 xs viên phấn này thuộc hộp thứ 2? 2) P(H2/F)= P(H2.F) / P(F) = P(F/H2)P(H2) / P(F) BT: = (8/10)(1/3) / (21/30) = 8/21 Biết rằng viên phấn lấy ra không là viên phấn T, 155 156 tính xs viên phấn này thuộc hộp thứ 2? 39
  40. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 6)CTBAYES 6)CTBAYES Vd1: HDVd1: Có 2 hộp phấn loại I, 1 hộp phấn loại II. Hộp loại I có 8 viên phấn T, 2 viên phấn X; hộp loại II có 9 1) Viên phấn lấy ra xem màu có thể thuộc: hộp loại I viên phấn T, 1 viên phấn X. Lấy ngẫu nhiên 1 hoặc hộp loại II có 2 trường hợp xảy ra hộp (trong 3 hộp), rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 * F= bc lấy được viên phấn T viên phấn ra xem màu. Hi= bc lấy được hộp loại i, i=1,2 * P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2) 1) Tính xs lấy được viên phấn T? = (8/10)(2/3)+ (9/10)(1/3) = 5/6 2) Tính xs viên phấn lấy ra thuộc hộp loại I, biết rằng nó là viên phấn T? 2) P(H1/F)= P(FH1) / P(F)= P(F/H1)P(H1) / P(F) = (8/10)(2/3) / (5/6) = 48/75 157 158 PHÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES Bình loạn: Qua công thức xsđđ và Bayes bạn có cảm VD2: Có 3 người đi thi cuối kỳ với xác suất thi đậu của từng người thấy sự “vô thường” của cuộc đời! Trong cuộc đời, ai lần lượt là 0,7 ; 0,6 ; 0,8. cũng đã từng ít nhất 1 lần thốt lên câu: “giá như ”! Thí 1) Tính xác suất chỉ có 1 người thi đậu? dụ: “giá như biết lấy chồng được sung sướng thì tôi đã 2) Tính xác suất chỉ có 2 người thi đậu? lấy chồng sớm rồi”, “giá như biết lấy vợ sẽ chịu đau khổ 3) Biết rằng chỉ có 1 người TĐ, hãy tính xs đó là người thứ nhất? thì tôi đã không lấy rồi”, “giá như tôi chăm học thêm tý Giải: nữa thì tôi đã thi đậu rồi”, Giả sử trước khi lấy vợ bạn 1) Gọi Ai là biến cố người thứ i thi đậu ước tính xác suất bạn sẽ bị đau khổ là P(A)= 50%; và sau F= bc chỉ có 1 người thi đậu khi bạn lấy vợ, một người vợ được mọi người cho là “hiện đại”, bạn tính được xác suất bạn bị đau khổ là P(F)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3) P(A/F)= 80%. Lúc đó bạn mong ước phải chi F đừng xảy = P(A )P(A *)P(A *)+P(A *)P(A )P(A *)+P(A *)P(A *)P(A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ra, nhưng bạn chỉ biết F xảy ra khi bạn đã thực hiện 2) K= bc chỉ có 2 người thi đậu “phép thử” lấy vợ. Đây là 1 phép thử mà bạn chỉ P(K)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3) 159 160 thực hiện 1 lần là “quá đủ”! 3) P(A1/F) = P(A1F) / P(F) = P(A1A2*A3*) / P(F) 40
  41. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM MỘT SỐ LƯU Ý Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thì khi thực hiện 1 phép thử ta xem như nó không xảy ra. Ta gọi A là biến Nhớ lại: cố hiếm. 1) P(A+B) = P(A)+P(B) (A,B xung khắc) Vậy P(A) bằng bao nhiêu là nhỏ? Tùy theo thực tế, tùy theo từng người mà P(A) được xem là nhỏ hay không. 2) P(A*) = 1-P(A) Suy ra: Thí dụ: Nếu bạn yêu 1 người mà người đó hầu như không yêu bạn, bạn chỉ có 1/106 hy vọng là người đó yêu bạn. Với hy vọng đó thì bạn có thể chờ đợi cả đời (từ lúc tóc đen, da mịn cho đến lúc tóc bạc, da nhăn). Thậm chí trước khi chết bạn chỉ cần người đó nói 1 câu yêu bạn thì bạn đã mãn nguyện xuống suối vàng rùi (Y như phim!) Vậy thì 1/106 không nhỏ chút nào hết! 161 162 BÀI TẬP 1: Giải: Xét = {1,2,3,4} Ta có biến cố A, B bất kỳ ; C thỏa P(C)>0 A= {1,2} B= {1,3}, C= {1,4} “Nếu A, B độc lập P([AB]/C) = P(A/C). P(B/C)” P(A)= 2/4 , P(B)= 2/4 , P(AB)= P({1})= ¼ Vậy: P(AB) = P(A).P(B) nên A, B độc lập. Điều này đúng hay sai? P(AB/C)= P(ABC) /P(C) = (1/4) / (2/4) = 1/2 P(A/C) = P(AC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½ P(B/C) = P(BC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½ P(A/C).P(B/C) = (½).(½) = 1/4 Vậy P(AB/C) ≠ P(A/C).P(B/C) 163 164 Vậy điều kiện gì thì dấu “=“ xảy ra? 41
  42. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 Bài tập 2: Giải: A1, A2 là họ biến cố đầy đủ và xung khắc 1) = {1,2,3,4,5,6} C là biến cố bất kỳ, P(B)>0 A1= {1,2} , A2= {3,4,5,6}, B= {2,3,4}, C= {2} P(C)= 1/6 Ta có 2 công thức sau: P(A1/B)= P(A1B) / P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3 P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) P(A2/B)= P(A2B) / P(B)= (2/6) / (3/6)= 2/3 P(C/B)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) P(C/A1B)= P(CA1B) / P(A1B)= (1/6) / (1/6)= 1 1) Theo bạn thì công thức nào đúng? P(C/A2B)= P(CA2B) / P(A2B)= 0 / (2/6)= 0 2) Hãy chứng minh công thức đúng 1 cách Ta có: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) “đường đường, chính chính”, nghĩa là đúng cho = (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3 biến cố bất kỳ chứ hổng phải chỉ đúng qua 1 thí P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3 dụ cá biệt? 165 166 2) Bạn hãy tự chứng minh, đây là 1 bài tập rất thi vị! TÓM LẠI: Ta có định nghĩa xác suất của biến cố theo cổ điển Tuy nhiên trong bài tập người ta không nỡ để các dạng toán này một cách “cô đơn, buồn chán”. Các công thức tính xác suất: Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác  Công thức cộng suất trong một bài toán. Điều này đòi hỏi ta phải biết  Công thức xác suất có điều kiện phân biệt khi nào thì nên dùng công thức nào, cách  Công thức nhân kết hợp các công thức này như thế nào, và còn hơn  Công thức xác suất đầy đủ thế nữa!  Công thức Bayes Sự “hợp hôn” này có “hoàn hảo” hay không là do ta có “khéo tay hay làm” không! 167 168 42
  43. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BÀI TẬP HDBT1: A= bc lấy được 2 bi T Bài tập 1: a) P(A)= C(2,3) / C(2,7)= 3/21 Hộp có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Lấy ra 2 bi từ hộp. b) P(A)= P(T1.T2) = P(T2/T1)P(T1) = (3/7).(2/6) Tính xs lấy được 2 bi T trong 3 cách lấy sau: = 6/42 = 3/21 a) C1: Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy 1 lần 2 bi) c) Do chọn có hoàn lại nên ở lần chọn thứ 2 ta cũng có b) C2: Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại) giả thiết y như ở lần chọn 1 (Hộp có 7 bi , có 4 bi đỏ, 3 bi trắng) T1 và T2 độc lập c) C3: Lấy có hoàn lại 2 bi P(A)= P(T1.T2) = P(T1).P(T2) = (3/7).(3/7)= 9/49 Nhận xét: câu a và b có xác suất bằng nhau. 169 170 ÍNH XS LẤY ĐƯỢC BI TRẮNG BT1: T 2 ? ỨNG DỤNG NHẬN XÉT BÀI TẬP 1 Lấy n bi trong N bi Cách 2 Cách 3 Sai số Hộp có 5 bi T, 3 bi X, 4 bi V. Lấy lần lượt 4 bi từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 bi T, 1 bi X và Lấy 2 bi trong 7 bi, trong 7 1 bi V. bi có 3 bi T 0.142857 0.183673 -0.040816 Đáp số: Lấy 2 bi trong 70 bi, trong 8/33 70 bi có 30 bi T 0.180124 0.183673 -0.003549 Lấy 2 bi trong 700 bi, trong 700 bi có 300 bi T 0.183323 0.183673 -0.000350 Lấy 2 bi trong 7000 bi, 171 172 trong 7000 bi có 3000 bi T 0.183638 0.183673 -0.000035 43
  44. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BT3: BT3: 1) Tính xác suất 1 sản phẩm đi qua máy PL thì bị nhận nhầm? 2a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A, tính xác suất nó đúng là loại A? 2b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A, tính xác suất nó là loại B? Máy tự động sản xuất ra sản phẩm có tỷ lệ sản phẩm 3a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B, loại A là 85%, tỷ lệ sản phẩm loại B là 15%. Sản tính xác suất nó đúng là loại B? phẩm sản xuất ra đi qua máy phân loại (PL) tự động, 3b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B, máy PL nhận đúng sản phẩm loại A với tỷ lệ 90%, tính xác suất nó là loại A? nhận đúng sản phẩm loại B với tỷ lệ 80%. 173 174 GIẢI: A= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại A GIẢI: B= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại B 2b) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F) 1) F= biến cố sản phẩm bị máy PL nhận nhầm 3a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại B P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) = (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15) = (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15) 2a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại A P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F) P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) 3b) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F) = (0,9)(0,85)+(0,2)(0,15) 175 176 P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F) 44
  45. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 CÔNG THỨC 1: A1, A2 LÀ NHÓM ĐẦY ĐỦ Cơng thức 2: A1, A2 là nhĩm đầy đủ 1) PBPP( ) (B/A )P(A ) (B/A )P(A ) 1 1 2 2 2) P()() FBA P FBA PFB(/) 1 2 P(B) P(/ F BA )P( BA ) P (/ F BA )( P BA ) 1 1 2 2 P(B) PFBA( / )P( BA / )P( A ) PFBAPBA ( / ) ( / )P( A ) 1 1 1 2 2 2 177 P(B) 178 BT1: Mối liên hệ giữa 2 lần lấy bi trong cùng 1 hộp HD1: Có 3 hộp loại 1, 5 hộp loại 2, 4 hộp loại 3. Hộp loại 1 có 3 bi T và 4 bi X, hộp loại 2 có 5 bi T và 3 bi X, hộp loại 3 có 4 bi T và 2 bi X. Chọn ngẫu nhiên một hộp (trong 12 hộp) rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi thì được bi T. Cũng từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên tiếp 1 bi nữa. Tính xác suất bi lấy ra lần 2 là bi T? 179 180 45
  46. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BT2: Mối liên hệ giữa 2 lần lấy sp trong cùng 1 lô hàng HD1: Vẽ sơ đồ liên hệ giữa các xs đã tính ở lần 1 và lần 2, Có 2 lô hàng có rất nhiều sản phẩm. Tỷ lệ sản rồi dùng công thức: phẩm tốt của từng lô lần lượt là 90%, 70%. A = bc lấy được hộp loại i i Chọn ngẫu nhiên 1 lô rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên P(A1)= 3/12 ; P(A2)= 5/12 ; P(A3)= 4/12 ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả lại sản B = bc lấy được bi T lần 1 phẩm đó vào lô đã chọn, rồi cũng từ lô đó lấy P(B) = P(B/A ).P(A )+ +P(B/A ).P(A ) 1 1 3 3 tiếp 1 sản phẩm nữa. Tính xác suất để sản phẩm F = bc lấy được bi T lần 2 lấy lần 2 là tốt? P(F/B) = {P(F/A1B).P(B/A1).P(A1) + +} / P(B) Hoặc: P(A1/B) = P(B/A1)P(A1) / P(B) 181 182 P(F/B) = P(F/A1B).P(A1/B) + +P(F/A3B).P(A3/B) HD2: BT3: LẤY LIÊN TIẾP NHIỀU LẦN Ai = bc lấy được lô hàng thứ i Một kiện hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm P(A1) = P(A2) = 1/2 loại I và 4 sản phẩm loại II. Nhân viên bán hàng chọn B = bc lấy được sp tốt lần 1 ngẫu nhiên từ kiện ra 2 sản phẩm để trưng bày. P(B) = P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2) = 0,8 a) Khách hàng thứ nhất chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm F = bc lấy được sp tốt lần 2, trong số 8 sản phẩm còn lại trong kiện để mua. Tìm xác P(F/B) = {P(F/A1B).P(B/A1).P(A1) + +} / P(B) = 0,8125 suất để khách hàng này mua được 2 sản phẩm loại I. b) Khách hàng thứ hai chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong số 6 sản phẩm còn lại trong kiện để mua. Tính xác suất để khách hàng thứ hai mua được sản phẩm loại I nếu khách hàng thứ nhất mua được 2 sản phẩm loại I. 183 184 46
  47. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 BÀI TẬP 4: HD3: a) Gọi Ai là biến cố cĩ i sản phẩm loại I trong 2 sản Có 3 kiện hàng, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm. Kiện thứ phẩm lấy ra trưng bày nhất có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. B là biến cố khách hàng thứ nhất mua được 2 sản Kiện thứ hai có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại phẩm loại I. B. Kiện thứ nhất có 9 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B. PBPBAPA()(/)()  = 1/3 i i Nhân viên bán hàng chọn ngẫu nhiên 1 kiện và từ b) F là biến cố khách hàng thứ hai mua được sản kiện đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm để trưng bày. phẩm loại I a) Tính xác suất để 2 sản phẩm trưng bày là 2 sản PFB(/) 1/2 phẩm loại A. b) Nếu biết rằng 2 sản phẩm được chọn để trưng bày 185 là 2 sản phẩm loại A, tính xác suất lấy tiếp 2 sản186 phẩm từ kiện đã chọn cũng là 2 sản phẩm loại A. BÀI TẬP 5: HD4: Một phân xưởng có 12 máy gồm: 5 máy loại A, 4 a) Ai = bc chọn được kiện thứ i máy loại B, 3 máy loại C. Xác suất sản xuất được B = bc 2 sp trưng bày là 2 sp loại A sản phẩm đạt tiêu chuẩn của máy loại A, B, C lần P(B) = P(B/A1).P(A1)+ +P(B/A3).P(A3) = 79/135 lượt là 98%, 96%, 90%. b) F = bc 2 sp chọn tiếp cũng là 2 sp loại A a) Chọn ngẫu nhiên 1 máy và cho máy đó sản P(F/B) = 633/1106 xuất 3 sản phẩm. Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số 3 sản phẩm do máy sản xuất. b) Nếu 3 sản phẩm do máy sản xuất đều đạt tiêu chuẩn, ta cho máy sản xuất tiếp 3 sản phẩm nữa. 187 Tính xác suất để 3 sản phẩm do máy sản xuất lần188 sau đều đạt tiêu chuẩn. 47
  48. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 # OTCH 29/03/2016 HD5: Xem thêm các sách: a) A1, A2, A3 = bc chọn được máy loại A, B, C X = số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 3 sp được sản BÀI TẬP XSTK, ThS. Lê Khánh Luận & GVC. xuất bằng máy đã chọn Nguyễn Thanh Sơn & ThS. Phạm Trí Cao, NXB P(X=3) = P(X=3/A1).P(A1)+ +P(X=3/A3).P(A3) ĐHQG TP.HCM 2013. = 0,869325 Tính P(X=3/A1) : xem phân phối nhị thức chương 3 ÔN THI CAO HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ. Tương tự cho X = 0, 1, 2 Khoa Toán-Thống kê, ĐH Kinh tế 2016. b) (X=3) = B = bc máy đã chọn sx được 3 sp đạt tiêu chuẩn F = bc máy đã chọn sx tiếp được 3 sp đạt tiêu chuẩn P(F/B) = 0,877555 189 190 Mời ghé thăm trang web: 191   48