Bài tập Đại số tổ hợp

Nội dung text: Bài tập Đại số tổ hợp

1. CHUYấN ĐỀ 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I) QUY TẮC CỘNG V QUY TẮC NHN: Bμi 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đ−ợc bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bμi 2: Có 4 con đ−ờng nối liền điểm A vμ điểm B, có 3 con đ−ờng nối liền điểm B vμ điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi vμ về nếu ta không muốn dùng đ−ờng đi lμm đ−ờng về trên cả hai chặng AB vμ BC? Bμi 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa nμy đặt lần l−ợt cạnh nhau từ trái sang phải để đ−ợc các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số vμ trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bμi 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập đ−ợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau vμ không chia hết cho 10. Bμi 5: Một ng−ời có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc vμ 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; vμ có 3 đôi giμy, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi ng−ời đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giμy, nếu: 1) Chọn áo, quần vμ giμy nμo cũng đ−ợc. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nμo vμ giμy nμo cũng đ−ợc; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen vμ đi giμy đen. II) HON VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP: Bμi 1: Có n ng−ời bạn ngồi quanh một bμn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1) Có 2 ng−ời ấn định tr−ớc ngồi cạnh nhau. 2) 3 ng−ời ấn định tr−ớc ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bμi 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân vμ 3 kỹ s−. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ s− lμm tổ tr−ởng, 1 công nhân lμm tổ phó vμ 5 công nhân lμm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bμi 3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bμn, mỗi bμn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bμn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bμn Bμi 4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập đ−ợc bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bμi 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập đ−ợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 vμ ít nhất 3 chữ số 2.
2. Bμi 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau đ−ợc viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bμi 7: Trong một phòng có hai bμn dμi, mỗi bμn có 5 ghế. Ng−ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam vμ 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bμn vμ các học sinh nữ ngồi một bμn. Bμi 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thμnh lập đ−ợc bao nhiêu số chia hết cho 3 vμ gồm 5 chữ số khác nhau Bμi 9: Từ các chữ cái của câu: "TRƯỜNG THPT Lí THƯỜNG KIỆT" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mμ trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau vμ trong từ đó không có chữ "Ê" Bμi 10: Cho A lμ một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mμ có số phần tử lμ số chẵn? Bμi 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau đ−ợc tạo thμnh từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đ−ợc tạo thμnh từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nμ các số đó nhỏ hơn số 345? Bμi 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập đ−ợc, có bao nhiêu số mμ hai chữ số 1 vμ 6 không đứng cạnh nhau? Bμi 13: Một tr−ờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nμo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bμi 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau vμ không lớn hơn 789? Bμi 15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thμnh lập đ−ợc bao nhiêu số có bãy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. 2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thμnh 2 tổ, mỗi tổ 8 ng−ời sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi vμ mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. α β γ δ Bμi 16: Số nguyên d−ơng n đ−ợc viết d−ới dạng: n = 2 3 5 7 Trong đó α, β, γ, δ lμ các số tự nhiên 1) Hỏi số các −ớc số của n lμ bao nhiêu? 2) p dụng: Tính số các −ớc số của 35280.
3. k k III) TON VỀ CC SỐ Pn , An , Cn : Cn−3 1 Bμi 1: Giải bất ph−ơng trình: n−1 < 4 An+1 14P3 4 An+4 143 Bμi 2: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, , xn,  với: xn = − PPn+2 4 n Bμi 3: Cho k, n lμ các số nguyên vμ 4 ≤ k ≤ n; Chứng minh: k k−1 k−2 k−3k− 4 k CCCCCCn +4n + 6n + 4 n +n = n+4 Bμi 4: Cho n ≥ 2 lμ số nguyên. Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 +  + (n - 1)Pn - 1 Bμi 5: Cho k vμ n lμ các số nguyên d−ơng sao cho k < n. Chứng minh rằng: k k−1 k−1 k−1 k−1 Cn = Cn−1 + Cn−2 + + Ck + Ck−1 VI) NHỊ THỨC NEWTON: 1n− 1 2n− 2 3n− 3 n n−1 Bμi 1: Chứng minh rằng: Cn 3+ 2.Cn 3+ 3.Cn 3 + + n.Cn = n.4 Bμi 2: Khai triển vμ rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 9 10 14 2 ()1+x +() 1 + x + + ()1 + x ta sẽ đ−ợc đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x +  + 14 A14x Hãy xác định hệ số A9 1 n Bμi 3: 1) Tính ∫ ()1 + x dx (n ∈ N) 0 n+1 1 11 2 1 n 2− 1 2) Từ kết quả đó chứng minh rằng: 1 +Cn + C n + + Cn = 2 3 n + 1 n + 1 2 4 n n−2 Bμi 4: Chứng minh rằng: 2. 1 .Cn + 3 . 2 .Cn + + n() n −1 Cn = n () n − 1 . 2 1 2 3 4 n−1 n Bμi 5: Tính tổng S = Cn−2 .C n + 3 .C n − 4 .C n + +() − 1 nCn (n ≥ 2) 16 0 15 1 14 2 16 16 Bμi 6: Chứng minh rằng: 3C16 − 3 C16 + 3 C16 − + C16 = 2 Bμi 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau thμnh đa thức: 4 5 6 7 f(x) = ()2x + 1 +()()() 2x + 1 + 2x + 1 + 2x + 1 10 ⎛ 1 2 ⎞ Bμi 8: Trong khai triển của ⎜ + x⎟ thμnh đa thức: ⎝ 3 3 ⎠ 9 10 P(x) = a0+ a 1 x + + a9 x + a10 x Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10) 0 1 2 n n Bμi 9: Tìm số nguyên d−ơng n sao cho: Cn+2 C n + 4 C n + + 2 Cn = 243 .
4. 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001 Bμi 10: CMR: C2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + + 3 C2001 = 2( 2− 1)
5. Bμi 11: Với mỗi n lμ số tự nhiên, hãy tính tổng: 01 11 2 n 1 n 1) Cn− C n + C n − +() − 1 Cn 2 3 n + 1 01 1 1 2 21 3 3 1 n n 2) Cn+ C n .2 + Cn .2 + Cn 2 + + Cn 2 2 3 4 n + 1 Bμi 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) 2 n Bμi 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: (x + 1) bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a lμ số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. 28 n ⎛ − ⎞ Bμi 14: Trong khai triển nhị thức: ⎜ x3 x+ x 15 ⎟ hãy tìm số hạng không phụ thuộc vμo ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n−1n − 2 x biết rằng: CCCn +n +n = 79 Bμi15: Chứng minh: n−1 1n− 1 2 n−3 3 n−4 4 n n−1 2Cn + 2 Cn + 3 . 2 Cn + 4 . 2 Cn + + nCn = n.3 17 ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 3 ⎟ Bμi 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: ⎜ + x ⎟ x ≠ 0 ⎝ x2 ⎠ Bμi 17: Khai triển nhị thức: x−1 − x n x−1 n x−1 n−1 x x−1 −x n−1 −x n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 22+ 2 2 ⎟ = C0 ⎜ 2 2 ⎟ + C1 ⎜ 22 ⎟ 2 3 + + Cn−1 22 ⎜ 2 3 ⎟ + Cn ⎜ 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 Biết rằng trong khai triển đó CCn= 5 n vμ số hạng thứ t− bằng 20n, tìm n vμ x 21 ⎛ a b ⎞ Bμi 18: Trong khai triển: ⎜ 3 + ⎟ Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau. ⎝ b 3 a ⎠
6. B. BI TẬP TỰ LUYỆN Bμi 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập đ−ợc bμo nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? Bμi 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thμnh số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Bắt dầu bởi chữ số 2. b. Bắt đầu bởi chữ số 36 c. Bắt đầu bởi chữ số 482 Bμi 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thμnh số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Có bao nhiêu số nh− vậy b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1 Bμi 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Bμi 5. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Bμi 6. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập đ−ợc có bao nhiêu số mμ chữ số 9 đứng chính giữa. Bμi 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập đ−ợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau. Bμi 8. a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có các chữ số phân biệt. b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đ−ợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? Bμi 9. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5? Bμi 10. Một tập thể gồm 14 ng−ời gồm 6 nam vμ 8 nữ, ng−ời ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 ng−ời. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam vμ nữ? Bμi 11. Một nhóm học sinh gồm 10 ng−ời, trong đó có 7 nam vμ 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thμnh 1 hμng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Bμi 12. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vμng. Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 mμu? Bμi 13. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 ng−ời đi dự hội nghị sinh viên của tr−ờng sao cho trong 3 ng−ời có ít nhất một cán bộ lớp? Bμi 14. Một đội văn nghệ có 20 ng−ời trong đó có 10 nam vμ 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ng−ời sao cho: 1. Có đúng 2 ng−ời nam trong 5 ng−ời đó 2. Có ít nhất 2 nam vμ ít nhất 1 nữ trong 5 ng−ời đó Bμi 15. Có 5 nhμ Toán học nam, 3 nhμ Toán học nữ vμ 4 nhμ Vật lý nam. Lập một đoμn công tác cần có cả nam vμ nữ, cần có cả nhμ Toán học vμ nhμ Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
7. Bμi 16. Một lớp học có 30 học sinh nam vμ 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh đ−ợc chọ ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau. 1. Nếu phải có ít nhất 2 nữ. 2. Nếu phải chọn tuỳ ý. Bμi 17. Một tổ học sinh gồm 7 nam vμ 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vμo bμn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bμi 18. Chứng minh rằng: . Bμi 19. Chứng minh rằng: Bμi 20. Với n lμ số nguyên d−ơng, chứng minh hệ thức sau: Bμi 21. Chứng minh rằng: Bμi 22. Tính tổng: Bμi 23. Tính tổng: Bμi 24. Chứng minh rằng: Bμi 25. Cho n lμ một số nguyên d−ơng: 1 a. Tính : I = ∫ (1+ x ) n dx 0 b. Tính tổng: Bμi 26. Tìm số nguyên d−ơng n sao cho: Bμi 27. Tìm số nguyên d−ơng n sao cho: Bμi 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: Bμi 29. Tính tổng: , biết rằng, với n lμ số nguyên d−ơng: Bμi 30. Tìm số nguyên d−ơng n sao cho:
8. Bμi 31. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thμnh đa thức của: 3n - 3 2 n Bμi 32. Gọi a3n - 3 lμ hệ số của x trong khai triển thanh đa thức của:(x + 1) (x + 2)n. Tìm n để a3n - 3 = 26n Bμi 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n ⎛ 1 7 ⎞ ⎜ + x ⎟ ⎝ x 4 ⎠ 1 2 n 20 Biết rằng: CCC2n+ 1 +2n+ 1 + + 2n+ 1 = 2− 1 Bμi 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 Bμi 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ; Bμi 36. Cho : Sau khi khai triên vμ rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? Bμi 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng: Bμi 38. khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đ−ợc đa thức có dạng: . Tỡm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71 Bi 39. Tỡm hệ số của x5 trong khai triển đa thức: n ⎛ 2 1 ⎞ Bi 40. Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức ⎜ x + ⎟ ⎝ x3 ⎠
9. Biết rằng: Bi 41. Giải cỏc phương trỡnh: Bi 42. Giải cỏc hệ phương trỡnh: Bi 43. Giải cỏc bất phương trỡnh: