Bài tập giải tích Tổ hợp

Nội dung text: Bài tập giải tích Tổ hợp

1. Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp Dạng 1: Tính số lượng Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm trên. Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ .Thầy chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng .Hỏi có bao nhiêu cách a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ? c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ? Bài 3: Cho tập A= {1,2,3, .,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000? Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó? Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi có bao nhiêu số như thế: a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau? b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý? Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao cho a) Bạn C ở chính giữa ? b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế? Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi các hoán vị của năm chữ số đó? Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài .Người ta cần xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ ngồi 1 ghế .Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2, .,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1? Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ?
2. Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2 bi đỏ? b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng số bi đỏ Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra 3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam .Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau .Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn? Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ .Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm tốp ca .Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho: a) Phải có ít nhất 2 nữ b) Có đúng 2 nam Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho: a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó? b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó? Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người thường trực ở đồn .Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau? Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của mỗi số là số lẽ? Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên? Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống . a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
3. Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người .Tìm cách chọn trong các trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ? b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một mà tổng của các chữ số này bằng 8 Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó? Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho : a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 b) chia hết cho 6 Dạng 2: Tìm hệ số chứa xktrong một khai triển Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau: 12 ⎛ 1 ⎞ a)⎜ x+ ⎟ ⎝ x ⎠ 17 ⎛ 1 ⎞ b)⎜ +4 x3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ x2 ⎠ 5 ⎛ 2 ⎞ Bài 2: Trong khai triển sau: ⎜3x3 − ⎟ tìm hệ số của số hạng chứa ⎝ x2 ⎠ x10
4. 3n ⎛ 1 ⎞ Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển ⎜2nx+ ⎟ bằng 64.Tính ⎝ 2nx2 ⎠ số hạng không chứa x n ⎛ −1 ⎞ Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của ⎜4x+ x 4 ⎟ bằng ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 512. Tính số hạng không chứa x Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau: n ⎛ 1 ⎞ ⎜5 x2 − ⎟ bằng 25,5 .Tính số hạng độc lập với x ⎝ 26 x ⎠ Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển m ( 2x−1 −3 2 −x ) bằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển n ⎛ 1 ⎞ Bài 7: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển ⎜ x ⎟ có ⎜ 2 + ⎟ ⎝ 2x−1 ⎠ số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22 Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển m ⎛ x ⎞ ⎜ 2lg(10− 3 )+5 2 (x− 2)lg3 ⎟ sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số ⎝ ⎠ thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của một cấp số cộng n ⎛ a a7 ⎞ Bài 9: Trong khai triển của ⎜ +10 ⎟ có số hạng chứa ab.Tìm số ⎜ b 3 ⎟ ⎝ b ⎠ hạng ấy n ⎛ −28 ⎞ Bài 10: Trong khai triển nhị thức ⎜ x3 x+ x 15 ⎟ hãy tìm số hạng ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n−1 n−2 không phụ thuộc vào x .Biết rằng CCCn +n +n = 79
5. Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau n ⎛ 1 ⎞ ⎜ +3⎟ tỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là 3 2 ⎝ 2 ⎠ Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai triển(5+ 2x)16 lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5 Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 + .+ 20(1+x)20 được 2 20 khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x + +a20x .Tìm a15 Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của P(x) theo lũy thừa x Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy 12 2 Bài 16: Cho P(x) = (1+2x) thành dạng a0 + a1x + a2x + + 12 a12x .Tìm max(a1,a2, ,a12) Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình có chứa các công thức tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa Bài 1: giải các phương trình sau 7 C1+ C 2 + C 3 = x a) x x x 2 A4 24 n = b) 3 n−4 ACn+1 − n 23 1 2 3 2 c) Cx+6 C x + 6 C x = 9 x − 14 x x−2 3 d) Cx+1 +2 Cx−1 = 7( x − 1) 3 4 2 e) ACAx−2 x = 3 x 30 APPx−1 +2 = f) x+1 x−1 7 x
6. y+1 APx+1 x− y g) = 79 Px−1 P x+3 = 720 h) 5 APx x−5 A5 x = 336 i) x−5 C x−1 x−1x − 2 x−9 x −10 j) CCx +x + +CCx +x =1023 Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau: CCCy y +1 Y −1 a) x +1 =x = x 6 5 2 1 2 2 6 3 b) AA2x− x ≤C x +10 2 x y y 2ACx + 5x = 90 c) { y y 5ACx − 2x = 80 A x y +C y− x = 126 P y d) { x −1 P x + 1 = 720 y−1 y y−2 y+1 y+1 CCCCCx x−2 +x−2 + 2 x x e) = = 3 2 5 y y −1 y −1 y −1 Ax −1 + yAx −1 Ax C x f) = = 10 2 1 Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ hợp
7. Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n. m m − 1 Chứng minh rằng mC n = nC n − 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 0 2 2n 1 3 2n− 1 CCCCCC2n+2 n + +2n =2n +2 n + + 2n Bài 3: Tính tổng sau: 6 7 8 9 10 11 S = CCCCCC11 +11 +11 +11 +11 + 11 Bài 4: Chứng minh rằng: 16 0 15 1 14 2 0 16 16 3CCC16 − 316 + 316 − + 3C16 = 2 Bài 5: Tính tổng sau: 6 7 8 9 10 S= CCCCC10 +10 +10 +10 + 10 Bài 6: Chứng minh rằng: k k−1 k−2k − 3 k CCCCCn +3n + 3 n +n = n+3 Bài 7: Chứng minh rằng: m m−1 m−1 m−1 m−1 CCCn =n−1 +n−2 + +CCm + m−1 Bài 8: Chứng minh rằng: k k−1 k−2 k−3k − 4 k CCCCCCn +4n + 6n + 4 n +n = n+4 Bài 9: Chứng minh rằng: 0 2001 1 2000 k 2001−k 2001 0 2002 CCCC2002 2002 +2002 2001 + +CCCC2002 2002−k +2002 1 =1001.2 Bài 10: Chứng minh rằng: 1 1 1 2n−1 − 1 1+CC1 +1 + + C n = 2 n 3 n n +1 n n +1 Bài 11: Chứng minh rằng: 1 1 1 (− 1)n 1 CCC0 −1 +2 − + C n = 2 n 4 n 6 n 2n + 2 n 2n + 2 Bài 12: Chứng minh rằng: 2 3 4 n n−2 2.1.Cn + 3.2. Cn + 4.3. Cn + + n .( n − 1). Cn = n ( n − 1)2
8. Bài 13: Chứng minh rằng: 1n− 1 1n− 2 1n− 3 1 n−1 CCCn.3+ 2n .3 + 3n .3 + +nCn = n .4 Bài 14: Tính tổng 0 1 2 2000 S= CCC2000 +22000 + 32000 + + 2001C 2000 Bài 15: Chứng minh rằng: 0 2 1 2 2 2 n 2 n (CCCCCn )+ ( n ) + ( n ) + + (n ) = 2n