Bài tập phần Ứng dụng hình học của tích phân kép

Nội dung text: Bài tập phần Ứng dụng hình học của tích phân kép

1. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D giới hạn bởi 1.x=y2-2y, x+y=0 2.y2=10x+25, y2=-6x+9 3.y=lnx, x=y+1, y=-1 4.y=4x-x2, y=2x2-5x 5.y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol) Giải: Nhắc lại công thức
2. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ 2 phương trình 2 mặt x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1 Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1 để được tiếp cận đối với tích phân theo dx y2-2y ≤x ≤ -y Vậy :
3. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Khử x từ 2 phương trình đã cho Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx Vậy :
4. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân 1 y=lnx -1 4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D 4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3 Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x =27/2
5. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho 4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0) Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx 2 1 -2
6. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt 2 2 2 2 2 2 1.V1: x +y +z =2, z =x +y , z≥0 2 2 2 2 2 2.V2: x +y +z =4, x +y =2x, phần trong hình trụ 2 2 2 2 3.V3: x +y =1, x +z =1 2 2 2 2 2 3a. V3a: y +z -x =0, x=6-y -z Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2 phương trình 2 mặt tạo nên vật thể
7. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2 Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên) Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1. Vậy : Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ
8. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1 0≤φ≤2π 0≤r ≤1
9. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x 2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu. Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi Miền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ
10. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2 -π/2≤φ≤π/2 0 ≤r ≤2cos φ
11. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1 Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8 Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi
12. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Ghi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài giảng lý thuyết
13. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz Do điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy hình chiếu cần tìm là hình tròn D : y2+z2≤4 Tức là ta đang lấy ngoài khoảng 2 nghiệm của tam thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứng
14. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Vậy: z=rcosφ y=rsinφ
15. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
16. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 2 4. V4: 2z=y , x +y =4,z=0 2 2 5. V5: x +y =4x, z=x, z=3x 2 6. V6: x =y,z=0,z=4-y 2 2 7. V7: x=y , x=4y , x+z=4, z=0, y≥0 2 8. V8: y=1+x , z=3x, y=5, z=0 2 2 9. V9: z=4-y , z=y +2, x=-1, x=2 2 2 2 2 2 10. V10: z=x +y , z=2x +2y , y=x, y=x 2 2 11. V11: x +z =4, y=0, y=x, z=0, z≥0 2 2 2 2 12. V12: y=x, y=2x, x=1, z=x +y , z=2x +y
17. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên ta được hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤4 1 2 Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ /2y nên ta được
18. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín nên hình chiếu xuống mp z=0 là D: x2+y2≤4x, tức là x≥0 trong miền D Từ đó suy ra 3x≥x =16π
19. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ không kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường parabol – đường cong không kín : y=x2. Do đó, phần còn hở của parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4
20. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
21. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp không kín x=y2, x=4y2 Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=4-x=0, để hình chiếu của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-x
22. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
23. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2 mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5 Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2 phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x =24
24. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
25. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là miền D: z=4-y2, z=2+y2 =8
26. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 10. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Oz cho ta hình chiếu xuống mp z=0 là miền D: y=x, y=x2
27. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 11. Ta chọn nửa hình trụ x2+z2=4, z=0, z≥0 song song với trục Oy, tức là hình chiếu là D: 0≤z, x2+z2≤4 Vật thể V11 lại chia thành 2 phần: phần ứng với x≥0 thì mp y=x nằm trên, phần ứng với x<0 thì mp y=x nằm dưới so với mp y=0
28. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
29. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 12. Trong 5 mặt đã cho, có 3 mặt phẳng cùng song song với trục Oz, hình chiếu của chúng xuống mp z=0 là tam giác D: y=x, y=2x, x=1