Bài tập xác suất thống kê

142 trang huongle 6900

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_xac_suat_thong_ke.pdf

Nội dung text: Bài tập xác suất thống kê

MATHEDUCARE.COM ThS. NGUY ỄN TRUNG ĐƠNG Bài t ập XÁC SUẤT THỐNG KÊ TP. H Ồ CHÍ MINH - 2013
MATHEDUCARE.COM Ch ươ ng 0. GI ẢI TÍCH T Ổ H ỢP 0.1. Tĩm t ắt lý thuy ết 0.1.1. Quy t ắc đế m Ta ch ỉ kh ảo sát t ập h ữu h ạn: X= { x,x1 2 , ,x n }, X cĩ n ph ần t ử, ký hi ệu X= n . 0.1.2. Cơng th ức c ộng Cho X, Y là hai t ập h ữu h ạn và X∩ Y = ∅ , ta cĩ XY∪ = X + Y ∩ Tổng quát: Nếu cho k tập h ữu h ạn X1, X 2 , , X k sao cho XYi j = ∅, ij ≠ , ta cĩ ∪ ∪ ∪ XX12 XXXk = 12 + ++ X k 0.1.3. Cơng th ức nhân Cho X, Y là hai t ập h ữu h ạn, đị nh ngh ĩa t ập tích nhý sau XY×={( xy,) / x ∈∧∈ XyY }, ta cĩ X× Y = XY ⋅ Tổng quát: Nếu cho n tập h ữu h ạn X1, X 2 , , X k , ta cĩ XX12××× Xk = XX 12 ⋅ ⋅⋅ X k 0.1.4. Quy t ắc c ộng Gi ả s ử m ột cơng vi ệc cĩ th ể th ực hi ện m ột trong k ph ươ ng pháp, trong đĩ ° Ph ươ ng pháp 1 cĩ n1 cách th ực hi ện, ° Ph ươ ng pháp 2 cĩ n2 cách th ực hi ện, , ° Ph ươ ng pháp k cĩ nk cách th ực hi ện, và hai ph ươ ng pháp khác nhau khơng cĩ cách th ực hi ện chung. Khi đĩ, ta cĩ n1+ n 2 + + n k cách th ực hi ện cơng vi ệc. 0.1.5. Quy t ắc nhân Gi ả s ử m ột cơng vi ệc cĩ th ể th ực hi ện tu ần t ự theo k bước, trong đĩ ° Bước 1 cĩ n1 cách th ực hi ện, 1
MATHEDUCARE.COM ° Bước 2 cĩ n2 cách th ực hi ện, , ° Bước k cĩ nk cách th ực hiện, Khi đĩ, ta cĩ n1× n 2 × × n k cách th ực hi ện cơng vi ệc. 0.1.6. Gi ải tích t ổ h ợp a. Ch ỉnh h ợp Định ngh ĩa: Ch ỉnh h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử là m ột b ộ cĩ k ể th ứ t ự g ồm k ph ần t ử khác nhau l ấy t ừ n ph ần t ử đã cho. k Số ch ỉnh h ợp: S ố ch ỉnh h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử, ký hi ệu là : An Cơng th ức tính : n ! Ak = nn( − 1) ( nk −+= 1) n (n− k )! b. Ch ỉnh h ợp l ặp Định ngh ĩa: Ch ỉnh h ợp l ặp ch ập k t ừ n ph ần t ử là m ột b ộ cĩ k ể th ứ t ự g ồm k ph ần t ử khơng c ần khác nhau l ấy t ừ n ph ần t ử đã cho. k Số ch ỉnh h ợp l ặp: Số ch ỉnh h ợp l ặp ch ập k t ừ n ph ần t ử ký, hi ệu là : An k k Cơng th ức tính: An = n c. Hốn v ị Định ngh ĩa: Một hốn v ị t ừ n ph ần t ử là m ột b ộ cĩ k ể th ứ t ự g ồm n ph ần t ử khác nhau đã cho. Số hốn v ị: Số hốn v ị t ừ n ph ần t ử, ký hi ệu là Pn Cơng th ức tính: Pnn =! = ( n − 1)( n − 2) (1) d. Tổ h ợp Định ngh ĩa: M ột t ổ h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử là m ột t ập con g ồm k ph ần t ử l ấy t ừ n ph ần t ử. k Số t ổ h ợp : Số t ổ h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử ký hi ệu là : Cn Cơng th ức tính: n ! C k = n k!( n− k ) ! 2
MATHEDUCARE.COM e. Nh ị th ức Newton n n knkk− (ab+ ) = ∑ Cabn k=0 n n k k (1+x ) = ∑ Cn x k=0 Bài t ập m ẫu Bài 1. Đêm chung k ết hoa khơi sinh viên thành ph ố cĩ 12 thí sinh, ch ọn 3 thí sinh trao gi ải: Hoa khơi, Á khơi 1, Á khơi 2. Cĩ bao nhiêu cách ch ọn ? Gi ải Nh ận xét : thí sinh được trao gi ải, được ch ọn t ừ 12 thí sinh, và cĩ th ứ t ự (A, B, C cùng được trao gi ải, nh ưng tr ường hợp A là hoa khơi, khác tr ường hợp B là hoa khơi). Suy ra m ỗi cách ch ọn là m ột ch ỉnh h ợp ch ập 3 t ừ 12 ph ần t ử. 3 = = Vậy s ố cách ch ọn là: A12 12.11.10 1320 . Bài 2. Gi ả s ử cĩ m ột v ị th ần cĩ quy ền phân phát ngày sinh cho con ng ười, cĩ bao nhiêu cách phân b ố ngày sinh cho 10 em bé ra đời trong n ăm 1999 t ại 1 khu t ập th ể c ủa cơng nhân viên ch ức. Gi ải Nh ận xét : Mỗi ngày sinh c ủa m ột em bé là 1 trong 365 ngày c ủa n ăm 1999, nên các ngày sinh cĩ th ể trùng nhau. Suy ra m ỗi cách phân b ố 10 ngày sinh là m ột ch ỉnh h ợp l ặp ch ập 10 t ừ 365 ph ần t ử. ɶ 10= 10 Vậy s ố cách phân b ố ngày sinh là: A365 365 Bài 3. cĩ 3 b ộ sách: Tốn cao c ấp C : 6 t ập, Kinh t ế qu ốc t ế : 2 t ập, Xác su ất th ống kê : 3 t ập, Được đặ t lên giá sách. Cĩ bao nhiêu cách s ắp: a) Tu ỳ ý; b) Các t ập sách được đặ t theo t ừng b ộ. Gi ải 3
MATHEDUCARE.COM a) Nh ận xét: 3 b ộ sách cĩ t ất c ả 11 t ập; đặ t lên giá sách, m ỗi cách s ắp là hốn v ị c ủa 11 ph ần t ử. = Suy ra s ố cách s ắp tu ỳ ý: P11 11! b) Nh ận xét: • Xem m ỗi b ộ sách là m ột ph ần t ử. ⇒ cĩ 3 ! cách s ắp x ếp 3 ph ần t ử này. • Các c ặp sách trong m ỗi bộ sách xáo tr ộn v ới nhau. Tốn cao c ấp C : 6 ! Kinh t ế l ượng : 2 ! Xác su ất th ống kê : 3! Suy ra: s ố cách s ắp x ếp 3 b ộ sách theo t ừng b ộ là: 3!6!2!3! Bài 4. Gi ải bĩng đá ngo ại h ạng Anh cĩ 20 độ i bĩng thi đấ u vịng trịn, cĩ bao nhiêu tr ận đấ u được t ổ ch ức n ếu: a) Thi đấu vịng trịn 1 l ượt. b) Thi đấu vịng trịn 2 l ượt. Gi ải a) Nh ận xét : M ỗi tr ận đấ u ứng v ới vi ệc ch ọn 2 độ i ch ọn t ừ 20 độ i. Suy ra m ỗi tr ận đấ u là một t ổ h ợp ch ập 2 t ừ 20 ph ần t ử. Số m ỗi tr ận đấ u được t ổ ch ức là : 20! C2 = = 190 tr ận 20 2!18! b) Nh ận xét: Mỗi tr ận đấ u ứng v ới vi ệc ch ọn 2 độ i ch ọn t ừ 20 độ i. ( độ i ch ủ, độ i khách). Suy ra m ỗi tr ận đấ u là m ột ch ỉnh h ợp ch ập 2 t ừ 20 ph ần t ử. 20! Vậy số tr ận đấ u là : A2 = = 380 tr ận 20 18! Bài t ập rèn luy ện Bài 1. Trong m ột l ớp g ồm 30 sinh viên, c ần ch ọn ra ba sinh viên để làm l ớp tr ưởng, l ớp phĩ và th ủ qu ỹ. H ỏi cĩ t ất c ả bao nhiêu cách b ầu ch ọn ? Bài 2. Cĩ bao nhiêu cách x ếp 10 ng ười ng ồi thành hàng ngang sao cho A và B ng ồi c ạnh nhau. 4
MATHEDUCARE.COM Bài 3. Một h ộp đự ng 6 bi tr ắng và 4 bi đen. a) Cĩ t ất c ả bao nhiêu cách l ấy ra 5 bi ? b) Cĩ bao nhiêu cách l ấy ra 5 bi trong đĩ cĩ 2 bi tr ắng ? Bài 4. Trong m ột nhĩm ứng viên g ồm 7 nam và 3 n ữ, a) cĩ bao nhiêu cách thành l ập m ột ủy ban g ồm 3 ng ười ? b) cĩ bao nhiêu cách thành l ập m ột ủy ban g ồm 3 ng ười trong đĩ cĩ đúng 1 n ữ ? c) cĩ bao nhiêu cách thành l ập m ột ủy ban g ồm 3 ng ười trong đĩ cĩ ít nh ất 1 n ữ ? Bài 5. Cho các ch ữ s ố 0, 1, 2, 3, 4, 5. H ỏi t ừ các ch ữ s ố này: a) L ập được bao nhiêu s ố cĩ 4 ch ữ s ố khác nhau trong đĩ nh ất thi ết cĩ m ặt ch ữ s ố 5? b) L ập được bao nhiêu s ố cĩ 7 ch ữ s ố trong đĩ ch ữ s ố 5 cĩ m ặt đúng 3 l ần cịn các ch ữ s ố khác cĩ m ặt khơng quá m ột l ần? 5
MATHEDUCARE.COM Ch ươ ng 1. ĐẠI C ƯƠ NG V Ề XÁC SU ẤT 1.1. Tĩm t ắt lý thuy ết 1.1.1. Định ngh ĩa xác su ất Xét bi ến c ố A v ới khơng gian m ẫu Ω tươ ng ứng, ta cĩ định ngh ĩa c ổ điển A P(A) = , Ω trong đĩ A và Ω lần l ượt là s ố ph ần t ử c ủa A và c ủa Ω và định ngh ĩa b ằng t ần su ất Số trường hợp thuận lợi cho A P(A) = Số trường hợp xảy ra 1.1.2. Tính ch ất c ơ b ản c ủa xác su ất a) 0≤ P(A) ≤ 1,P( ∅= ) 0, P( Ω= ) 1 . b) Cơng th ức c ộng: Cho h ọ bi ến c ố A1 ,A 2 , ,A n xung kh ắc v ới nhau t ừng đơi m ột = ∅ ≠ (ngh ĩa là AAi j ,khii j ), ta cĩ ( +++) =( ) +( ) ++ ( ) PA12 A A n PA 1 PA 2 PA n . c) V ới A, B là hai bi ến c ố b ất k ỳ, ta cĩ P( A+= B) P(A) + P(B) − P(AB) . d) P(A)= 1 − P(A) 1.1.3. Xác su ất cĩ điều ki ện Xác su ất để bi ến c ố A x ảy ra khi bi ết bi ến c ố B đã x ảy ra P(AB) P() A B = P(B) với P(B)> 0 , và ta cĩ cơng th ức nhân P(AB)= P( AB) P(B) = P( BA) P(A) . Khi bi ến c ố B x ảy ra hay khơng x ảy ra khơng ảnh h ưởng đế n vi ệc bi ến cố A x ảy ra hay khơng x ảy ra, ta nĩi A, B là hai bi ến c ố độ c l ập và khi đĩ 6
MATHEDUCARE.COM P(AB)= P(A)P(B) . Ta cĩ cơng th ức nhân t ổng quát , ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) P A12n A A P A 1 P A 21 A P A 312 A A P A n12n1 A A A − Khi A1 , A2 , , A n là h ọ các bi ến c ố độ c l ập, ngh ĩa là m ột bi ến c ố x ảy ra hay khơng xảy ra khơng ảnh h ưởng đế n vi ệc x ảy ra m ột hay nhi ều bi ến c ố khác, ngh ĩa là v ới b ất k ỳ h ọ hữu h ạn các bi ến c ố A , A , , A , ta cĩ i1 i2 ik P( A A A) = P( A) P( A) P( A ) . iii12k i 1 i 2 i k 1.1.4. Cơng th ức xác su ất tồn ph ần – cơng th ức Bayes Cho B1 ,B 2 , ,B n là h ọ đầ y đủ các bi ến c ố, ngh ĩa là = ∅ i) Bi B j + + + =Ω ii) B1 B 2 B n với A là m ột bi ến c ố b ất k ỳ, ta cĩ a) Cơng th ức xác su ất tồn ph ần =( ) ( ) +( ) ( ) ++ ( ) ( ) P(A) PA|B11 PB PA|B nn PB PA|B nn PB b) Cơng th ức Bayes P( A|B) P( B ) PB|A() =k k , k = 1,2, ,n . k P() A 1.1.5. Dãy phép th ử Bernoulli Khi th ực hi ện n l ần phép th ử độ c l ập nhau và g ọi X là s ố l ần bi ến c ố A x ảy ra trong n lần th ực hi ện phép th ử, thì bi ến c ố (X= k ) ch ỉ tr ường h ợp bi ến c ố A x ảy ra đúng k l ần trong n l ần th ực hi ện phép th ử, ta cĩ ( ==) kk − nk− = PX k Cp(1n p) , k 0,1,2, ,n với p= P(A) . Ta ký hi ệu X∼ B(n; p) . 1.2. Bài t ập m ẫu Bài 1. Cho A, B, C là ba bi ến c ố. Ch ứng minh 7
MATHEDUCARE.COM P(A++= B C) P(A) ++− P(B) P(C) P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) Gi ải Ta cĩ ++=+ +  =++− PABC( ) P(A B) C  P(AB)P(C)P [](A+ B)C , P(A+= B) P(A) + P(B) − P(AB) , P[(A+ B)C ] = P[AC+ BC ] =+− P(AC) P(BC) P(ABC) nên P( A++= B C) P(A) ++− P(B) P(C) P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC). 1 1 3 Bài 2. Cho P(A)= , P(B) = và P(A+ B) = . 3 2 4 Tính P(AB) , P(AB) , P(A+ B) , P(AB) và P(AB) . Gi ải Do P(A+= B) P(A) + P(B) − P(AB) , ta suy ra 1 P(AB)= P(A) + P(B) − P(A += B) . 12 Do AB= A + B , nên 1 PAB() = PA() +=− B 1 PA() += B . 4 Tươ ng t ự, vì A+ B = AB ta suy ra 11 PA()+=− B 1 PAB() = . 12 Xu ất phát t ừ đẳ ng th ức A= AB + AB và vì AB , AB là các bi ến c ố xung kh ắc, ta được P(A)= P() AB + P( AB ) và do đĩ 8
MATHEDUCARE.COM 1 P() AB= P(A) − P() AB = . 4 Tươ ng tự, ta cĩ 5 P() AB= P(B) − P() AB = . 12 Bài 3. Tỷ l ệ ng ười m ắc b ệnh tim trong m ột vùng dân c ư là 9%, m ắc b ệnh huy ết áp là 12%, mắc c ả hai b ệnh là 7%. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột ng ười trong vùng. Tính xác su ất để ng ười đĩ a) B ị b ệnh tim hay b ị b ệnh huy ết áp. b) Khơng b ị b ệnh tim c ũng khơng b ị b ệnh huy ết áp. c) Khơng b ị b ệnh tim hay khơng b ị b ệnh huy ết áp. d) B ị b ệnh tim nh ưng khơng b ị b ệnh huy ết áp. e) Khơng b ị b ệnh tim nh ưng b ị b ệnh huy ết áp. Gi ải Xét các bi ến c ố A : “nh ận được ng ười m ắc b ệnh tim”, B : “nh ận được ng ười m ắc b ệnh huy ết áp”, Ta cĩ P(A)= 0, 09 ; P(B)= 0,12 ; P(AB)= 0, 07 . a) Bi ến c ố “nh ận được ng ười b ị b ệnh tim hay b ị b ệnh huy ết áp” là A+B, v ới P(A+= B) P(A) +− P(B) P(AB) =+−= 0, 09 0,12 0, 07 0,14. b) Bi ến c ố “nh ận được ng ười khơng b ị b ệnh tim c ũng khơng b ị b ệnh huy ết áp” là A.B , với P(A.B)= P(A +=− B) 1 P(A +=− B) 1 0,14 = 0, 86. c) Bi ến c ố “nh ận được ng ười khơng b ị b ệnh tim hay khơng b ị b ệnh huy ết áp” là A+ B , với P(A+= B) P(AB) =− 1 P(AB) =− 1 0,07 = 0,93. d) Bi ến c ố “nh ận được ng ười b ị b ệnh tim nh ưng khơng b ị b ệnh huy ết áp” là A.B , v ới 9
MATHEDUCARE.COM P(A.B)= P(A) − P(AB) = 0, 09 − 0, 07 = 0, 02. e) Bi ến c ố “nh ận được ng ười khơng b ị b ệnh tim nh ưng b ị b ệnh huy ết áp” là A.B , v ới P(A.B)= P(B) − P(AB) =− 0,12 0, 07 = 0, 05. Bài 4. Theo dõi d ự báo th ời ti ết trên đài truy ền hình (n ắng, s ươ ng mù, m ưa) và so sánh v ới th ời ti ết th ực t ế x ảy ra, ta cĩ b ảng th ống kê sau Dự báo Nắng Sươ ng mù Mưa Th ực t ế Nắng 30 5 5 Sươ ng mù 4 20 2 Mưa 10 4 20 ngh ĩa là cĩ 30 l ần d ự báo n ắng, tr ời n ắng, 4 l ần d ự báo n ắng, tr ời s ươ ng mù; 10 l ần d ự báo nắng, tr ời m ưa, v.v a) Tính xác su ất d ự báo tr ời n ắng c ủa đài truy ền hình. b) Tính xác su ất d ự báo c ủa đài truy ền hình là đúng th ực t ế. c) Được tin d ự báo là tr ời n ắng. Tính xác su ất để th ực t ế thì tr ời m ưa ? tr ời s ươ ng mù ? tr ời n ắng ? Gi ải Xét các bi ến c ố A : “ Đài truy ền hình d ự báo tr ời n ắng”, A1 : “Th ực t ế tr ời n ắng”. B : “ Đài truy ền hình d ự báo tr ời s ươ ng mù”, B1 : “Th ực t ế tr ời s ươ ng mù”. C : “ Đài truy ền hình d ự báo tr ời m ưa”, C1 : “Th ực t ế tr ời m ưa”. a) Do trong 100 l ần theo dõi d ự báo đài truy ền hình, ta th ấy cĩ 30+ 4 + 10 lần d ự báo tr ời n ắng nên xác su ất d ự báo tr ời n ắng c ủa đài truy ền hình là 30+ 4 + 10 P(A)= = 0, 44 . 100 10
MATHEDUCARE.COM b) Do trong 100 l ần theo dõi, ta th ấy cĩ 30+ 20 + 20 dự báo c ủa đài truy ền hình đúng so v ới th ực t ế nên xác su ất d ự báo của đài truy ền hình đúng so v ới th ực t ế là 30+ 20 + 20 = 0,7. 100 c) Do trong 44 l ần đài truy ền hình d ự báo là tr ời n ắng cĩ 30 l ần th ực t ế tr ời n ắng, 4 l ần th ực t ế tr ời s ươ ng mù và 10 l ần th ực t ế tr ời m ưa nên xác su ất để th ực t ế thì tr ời m ưa, tr ời sươ ng mù, tr ời n ắng l ần l ượt là 30 P() A A= = 0, 682, 1 44 4 P() B A= = 0, 091, 1 44 10 P() C A= = 0, 227. 1 44 Bài 5. Bạn quên m ất s ố cu ối cùng trong s ố điện tho ại c ần g ọi (s ố điện tho ại g ồm 6 ch ữ s ố) và b ạn ch ọn s ố cu ối cùng này m ột cách ng ẫu nhiên. Tính xác su ất để b ạn g ọi đúng s ố điện tho ại này mà khơng ph ải th ử quá 3 l ần. N ếu bi ết s ố cu ối cùng là s ố l ẻ thì xác su ất này là bao nhiêu ? Gi ải = Gọi A i là bi ến c ố “g ọi đúng ở l ần th ứ i”, i 1, 2, 3 . Ta cĩ A1 là bi ến c ố “g ọi đúng khi th ử m ột l ần” , A1 A 2 là bi ến c ố “g ọi đúng khi ph ải th ử hai l ần” và A1 A 2 A 3 là bi ến c ố “g ọi đúng khi ph ải th ử ba l ần”. Do đĩ bi ến c ố “g ọi đúng khi khơng ph ải th ử quá ba l ần là = + + A A1 AA 12 AAA 123 với = + + P(A) P(A1 AA 12 AAA) 123 =+⋅ +⋅ ⋅ P(A)1 P(A) 1 P(A 21 |A) P(A) 1 P(A 21 |A) P(A 312 |AA ) 1 91 981 3 = + ⋅+ ⋅⋅= = 0, 3. 10 10 9 10 9 8 10 Khi đã bi ết s ố cu ối cùng là s ố l ẻ thì khi đĩ các s ố để ch ọn quay ch ỉ c n gi ới h ạn l ại trong 5 tr ường h ợp (s ố l ẻ) nên cơng th ức trên tr ở thành 1 41 431 3 P(A)=+⋅+⋅⋅= = 0,6 . 5 54 543 5 11
MATHEDUCARE.COM Bài 6. Cĩ hai h ộp đự ng bi : - Hộp H1 đựng 20 bi trong đĩ cĩ 5 bi đỏ và 15 bi tr ắng, - Hộp H2 đựng 15 bi trong đĩ cĩ 6 bi đỏ và 9 bi tr ắng. Lấy m ột bi ở h ộp H1 , b ỏ vào h ộp H2 , tr ộn đề u r ồi l ấy ra m ột bi. Tính xác su ất nh ận được bi đỏ ? bi tr ắng ? Gi ải Xét các bi ến c ố A : “Bi nh ận được t ừ h ộp H2 là bi đỏ”, B : “Bi t ừ h ộp H1 bỏ sang h ộp H2 là bi đỏ”. Do gi ả thuy ết, ta cĩ 5 1 7 6 3 P() B = = ; P() A B = ; P() A B = = . 20 4 16 16 8 Từ đĩ, suy ra xác su ất nh ận được bi đỏ 25 P(A)= P() AB P(B) + P() AB P(B) = , 64 và xác su ất nh ận được bi tr ắng là 39 P(A)= 1 − P(A) = . 64 Bài 7. Một c ặp tr ẻ sinh đơi cĩ th ể do cùng m ột tr ứng (sinh đơi th ật) hay do hai tr ứng khác nhau sinh ra (sinh đơi gi ả). Các c ặp sinh đơi th ật luơn luơn cĩ cùng gi ới tính. Các c ặp sinh đơi gi ả thì gi ới tính c ủa m ỗi đứ a độ c l ập v ới nhau và cĩ xác su ất là 0,5. Th ống kê cho th ấy 34% c ặp sinh đơi là trai; 30% c ặp sinh đơi là gái và 36% c ặp sinh đơi cĩ gi ới tính khác nhau. a) Tính t ỷ l ệ c ặp sinh đơi th ật. b) Tìm tỷ l ệ c ặp sinh đơi th ật trong s ố các c ặp sinh đơi cĩ cùng gi ới tính. Gi ải 12
MATHEDUCARE.COM Xét các bi ến c ố A : “nh ận được c ặp sinh đơi th ật”, B : “nh ận được c ặp sinh đơi cĩ cùng gi ới tính”. Do các c ặp sinh đơi th ật luơn luơn cĩ cùng gi ới tính nên PBA( ) = 1 , với các c ặp sinh đơi gi ả thì gi ới tính c ủa m ỗi đứ a độ c l ập nhau và cĩ xác su ất là 0.5 nên PBA( ) = PBA( ) = 0,5 , và do th ống kê trên các c ặp sinh đơi nh ận được thì P( B) = 0, 3 + 0, 34 = 0, 64 và P( B) = 0, 36 . a) Do cơng th ức xác su ất tồn ph ần, P(B)= PBAPA( ) () + PBAPA( ) ( ) =PBAPA() () + PBA()  1− PA()  = +() −  () PBA()  PBA PBA()  PA, ta suy ra − P(B) P( B A ) 0, 64− 0, 5 PA() = = = 0, 28 . PBA() − PBA() 1− 0, 5 b) Do cơng th ức Bayes, P( B A) P(A) 0, 28 P() A B= = = 0, 4375 . P(B) 0, 64 Bài 8. Một trung tâm ch ẩn đốn b ệnh dùng m ột phép kiểm đị nh T. Xác su ất để m ột ng ười đến trung tâm mà cĩ b ệnh là 0,8. Xác su ất để ng ười khám cĩ b ệnh khi phép ki ểm định dươ ng tính là 0,9 và xác su ất để ng ười khám khơng cĩ b ệnh khi phép ki ểm đị nh âm tính là 0,5. Tính các xác su ất a) Phép ki ểm đị nh là dươ ng tính, 13
MATHEDUCARE.COM b) Phép ki ểm đị nh cho k ết qu ả đúng. Gi ải Xét các bi ến c ố A : “nh ận được ng ười cĩ b ệnh”, B : “nh ận được ng ười cĩ ki ểm đị nh d ươ ng tính”. Do gi ả thi ết, ta cĩ P( A) = 0, 8 ; P( A B) = 0, 9 ; P( A B) = 0,5 . a) Do cơng th ức xác su ất tồn ph ần, PA() = PABPB( ) () + PABPB( ) ( ) =PABPB() () + PAB()  1− PB()  = +() −  () PAB()  PAB PAB()  PB, mà PAB( ) = 1 − PAB( ) = 0,5 , nên xác su ất để phép ki ểm đị nh là d ươ ng tính cho b ởi − PA( ) PAB( ) 0, 8− 0, 5 P() B= = = 0,75 . PAB() − PAB() 0, 9− 0, 5 b) Xác su ất để phép ki ểm đị nh cho k ết qu ả đúng là PAB( +=+= AB) PAB( ) PAB( ) PABPB( ) ( ) + PABPB( ) ( ) = 0,7125. Bài 9. Một dây chuy ền l ắp ráp nh ận các chi ti ết t ừ hai nhà máy khác nhau. T ỷ l ệ chi ti ết do nhà máy th ứ nh ất cung c ấp là 60%, c ủa nhà máy th ứ hai là 40%. T ỷ l ệ chính ph ẩm c ủa nhà máy th ứ nh ất là 90%, c ủa nhà máy th ứ hai là 85%. L ấy ng ẫu nhiên m ột chi ti ết trên dây chuy ền và th ấy r ằng nĩ t ốt. Tìm xác su ất để chi ti ết đĩ do nhà máy th ứ nh ất s ản xu ất. Gi ải Xét các bi ến c ố A : “nh ận được s ản ph ẩm t ốt”, 14
MATHEDUCARE.COM = Bi : “nh ận được s ản ph ẩm do nhà máy th ứ i s ản xu ất”, với i 1, 2 . Từ gi ả thuy ết, ta cĩ 60 40 P(B )= = 0, 6 ; P(B )= = 0, 4 ; 1 100 2 100 ( ) = ( ) = P A B1 0, 9 ; P A B2 0, 85 . Do B1 , B2 tạo thành h ọ đầ y đủ các bi ến c ố nên t ừ cơng th ức Bayes, ta được xác su ất để chi ti ết t ốt nh ận được trên dây chuy ền là do nhà máy th ứ nh ất s ản xu ất P( AB) P( B ) PBA() =1 1 = 0, 614 . 1 () () + () () PAB11 PB PAB 22 PB Bài 10. Trong m ột vùng dân c ư, c ứ 100 ng ười thì cĩ 30 ng ười hút thu ốc lá. Bi ết t ỷ l ệ ng ười bị viêm h ọng trong s ố ng ười hút thu ốc lá là 60%, trong s ố ng ười khơng hút thu ốc lá là 30%. Khám ng ẫu nhiên m ột ng ười và th ấy ng ười đĩ b ị viêm h ọng. Tìm xác su ất để ng ười đĩ hút thu ốc lá. N ếu ng ười đĩ khơng b ị viêm h ọng thì xác su ất để ng ười đĩ hút thu ốc lá là bao nhiêu. Gi ải Khám ng ẫu nhiên m ột ng ười trong vùng dân cư, xét các bi ến c ố A : “nh ận được ng ười hút thu ốc lá”, B : “nh ận được ng ười b ị viêm h ọng”. Gi ả thi ết cho P( A) = 0, 3 ; P( B A) = 0, 6 và P( B A) = 0, 3 . Do ng ười đĩ đã bị viêm h ọng nên t ừ cơng th ức Bayes, ta suy ra xác su ất để ng ười đĩ hút thu ốc lá là P( BA) P( A ) 0, 6× 0, 3 PAB() = = = 0, 4615. PBAPA() () + PBAPA() () 0, 6× 0, 3 + 0, 3 × 0,7 Khi ng ười đĩ khơng b ị viêm h ọng thì xác su ất để anh ta hút thu ốc lá là 15
MATHEDUCARE.COM P( BA) P( A ) 0, 4× 0, 3 PAB() = = = 0,1967. PBAPA() () + PBAPA() () 0, 4× 0, 3 + 0,7 × 0,7 Bài 11. Một thi ết b ị g ồm 3 c ụm chi ti ết, m ỗi c ụm b ị h ỏng khơng ảnh h ưởng gì đến các c ụm khác và ch ỉ c ần m ột c ụm b ị h ỏng thì thi ết b ị ng ừng ho ạt độ ng. Xác su ất để c ụm th ứ nh ất b ị hỏng trong ngày là 0,1, c ụm th ứ hai là 0,05 và c ụm th ứ ba là 0,15. Tìm xác su ất để thi ết b ị khơng ng ừng ho ạt độ ng trong ngày. Gi ải Xét các bi ến c ố = Ai : “C ụm chi ti ết th ứ i b ị h ỏng”, v ới i 1, 2, 3 , B : “thi ết b ị khơng ng ừng ho ạt độ ng”. Do gi ả thi ết, ta cĩ ( ) = ( ) = ( ) = P A1 0,1 , P A2 0, 05 , và P A3 0,15 . Do A1 , A2 và A3 là h ọ các bi ến c ố độ c l ập nên xác su ất để thi ết b ị khơng ng ừng ho ạt động là PB( ) = PAAA( ) = PA( ) PA( ) PA( ) 123 1 2 3 . =×0, 9 0, 95 × 0, 85 = 0,7267. Bài 12. Một ng ười b ắn bia v ới xác su ất b ắn trúng là p= 0,7 . a) B ắn liên ti ếp 3 phát. Tính xác su ất cĩ ít nh ất 1 l ần trúng bia. b) H ỏi ph ải b ắn ít nh ất m ấy l ần để cĩ xác su ất ít nh ất m ột l ần trúng bia ≥ 0, 9 . Gi ải Gọi X là s ố viên đạn trúng bia trong 3 phát. Ta cĩ X∼ B( n; p ) , v ới n= 3 và p= 0,7 . a) Xác xu ất cĩ ít nh ất m ột l ần trúng bia khi b ắn liên ti ếp 3 phát là 16
MATHEDUCARE.COM PX( ≥ 1) =− 1PX( = 0 ) = −0 0 − 30− 1 C3 (0,7) (1 0,7) =1 − (0, 3)3 = 0, 973. b) G ọi n là s ố l ần b ắn để xác su ất ít nh ất m ột l ần trúng bia ≥ 0.9 . Do X∼ B( n; p ) với p= 0.7 , nên xác su ất cĩ ít nh ất 1 l ần trúng bia trong n phát là PX( ≥ 1) =− 1PX( = 0 ) = −0 0 − n0− 1 Cn (0,7) (1 0,7) =1 − (0, 3)n . Để P( X≥ 1) ≥ 0.9 , ta gi ải b ất ph ươ ng trình 1− (0, 3)n ≥ 0, 9 , hay t ươ ng đươ ng (0, 3)n ≤ 0,1 . Lấy lơgarít hai v ế c ủa b ất ph ươ ng trình trên, ta được n× ln(0, 3) ≤ ln(0,1) . Do ln(0.3)< 0 , ta suy ra ln(0.1) n≥ ≈ 1, 91 . ln(0.3) Vậy, c ần ph ải b ắn ít nh ất 2 phát đạ n để xác su ất cĩ ít nh ất 1 l ần trúng bia ≥ 0, 9 . Bài 13. Tỷ l ệ ph ế ph ẩm c ủa m ột lơ hàng (l ớn) là 1%. T ừ lơ hàng này, l ấy ra n s ản ph ẩm. H ỏi n ít nh ất ph ải là bao nhiêu để xác su ất nh ận được ít nh ất m ột ph ế ph ẩm l ớn h ơn 0, 95. Gi ải Gọi X là s ố ph ế ph ẩm nh ận được trong n s ản ph ẩm l ấy ra t ừ lơ hàng. Ta cĩ X∼ B( n; 0, 01 ) . Khi đĩ xác su ất để nh ận được ít nh ất m ột s ản ph ẩm h ỏng là PX( ≥ 1) =− 1PX( = 0 ) =−00 − n0− =− n 1 Cn (0, 01) (1 0, 01) 1 (0, 99) . 17
MATHEDUCARE.COM Để tìm n sao cho xác su ất nh ận được ít nh ất m ột s ản ph ẩm h ỏng l ớn h ơn 0, 95 , ngh ĩa là P( X≥ 1) > 0, 95 , ta gi ải b ất ph ươ ng trình 1− (0, 99)n > 0, 95 . Từ đĩ, suy ra n> 298, 073 . V ậy c ần ph ải l ấy ra ít nh ất 299 s ản ph ẩm để xác su ất trong đĩ cĩ ít nh ất m ột s ản ph ẩm h ỏng l ớn h ơn 0, 95 . Bài 14. Trong m ột lơ thu ốc (r ất nhi ều) v ới xác su ất nh ận được thu ốc h ỏng là p= 0,1 . L ấy ng ẫu nhiên 3 l ọ để ki ểm tra. Tính xác su ất để a) C ả 3 l ọ đề u h ỏng, b) Cĩ 2 l ọ h ỏng và 1 l ọ t ốt, c) Cĩ 1 l ọ h ỏng và 2 l ọ t ốt, d) C ả 3 l ọ đề u t ốt. Gi ải Gọi X là s ố l ọ h ỏng trong 3 l ọ l ấy ra để ki ểm tra. Ta cĩ X∼ B( 3;0,1 ) . Do đĩ xác su ất để a) c ả 3 l ọ đề u h ỏng ( ==) 33 −= 0 3 = P X 3 C3 (0,1) (1 0,1) (0,1) 0, 001 , b) cĩ hai l ọ h ỏng và m ột l ọ t ốt ( ==) 2 2 32− =××= P X 2 C3 (0,1) (0, 9) 3 0, 01 0, 9 0, 027 , c) cĩ m ột l ọ h ỏng và hai l ọ t ốt ( ==) 1 1 31− =××= P X 1 C3 (0,1) (0, 9) 3 0,1 0, 81 0, 243 , d) c ả 3 l ọ đề u t ốt ( ==) 00 −= 3 3 = P X 0 C3 (0,1) (1 0,1) (0, 9) 0,729 . 18
MATHEDUCARE.COM 1.3. Bài t ập rèn luy ện Bài tốn v ề bi ểu di ễn các bi ến c ố. Bài 1. Ki ểm tra 3 s ản ph ẩm. G ọi Ak là bi ến c ố s ản ph ẩm th ứ k t ốt. Hãy trình bày các cách bi ểu di ễn qua A k và qua gi ản đồ Venn các bi ến c ố sau đây : A : t ất c ả đề u x ấu, B : cĩ ít nh ất m ột s ản ph ẩm x ấu, C : cĩ ít nh ất m ột s ản ph ẩm t ốt, D : khơng ph ải t ất c ả s ản ph ẩm đề u t ốt, E : cĩ đúng m ột s ản ph ẩm x ấu, F : cĩ ít nh ất 2 s ản ph ẩm t ốt. Bài 2. Ba ng ười, m ỗi ng ười b ắn m ột phát. G ọi Ai là bi ến c ố th ứ i b ắn trúng. Hãy bi ểu di ễn qua A i các bi ến c ố sau : A : ch ỉ cĩ ng ười th ứ nh ất b ắn trúng, B : ng ười th ứ nh ất b ắn trúng và ng ười th ứ hai b ắn tr ật, D : c ả 3 ng ười đề u b ắn trúng, E : cĩ ít nh ất 2 ng ười bắn trúng, F : ch ỉ cĩ 2 ng ười b ắn trúng, G : khơng ai b ắn trúng, H : khơng cĩ h ơn 2 ng ười b ắn trúng, I : ng ười th ứ nh ất b ắn trúng, ho ặc ng ười th ứ hai và ng ười th ứ ba cùng b ắn trúng, K : ng ười th ứ nh ất b ắn trúng hay ng ười th ứ hai b ắn trúng, C : cĩ ít nh ất 1 ng ười b ắn trúng. Bài 3. Ba sinh viên A, B, C cùng thi mơn xác su ất th ống kê. Xét các bi ến c ố: A : sinh viên A đậu, 19
MATHEDUCARE.COM B : sinh viên B đậu, C : sinh viên C đậu. Hãy bi ểu di ễn qua A, B, C các bi ến c ố sau : a) ch ỉ cĩ A đậ u, b) A đậu và B r ớt, c) cĩ ít nh ất m ột ng ười đậ u, d) c ả 3 cùng đậu, e) cĩ ít nh ất 2 ng ười đậ u, f) ch ỉ cĩ 2 ng ười đậ u, g) khơng ai đậu, h) khơng cĩ quá 2 ng ười đậ u. = Bài 4. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hi ệu Bj (j 1, 2, 3, 4) là bi ến c ố sinh viên j làm bài thi đạt yêu c ầu. Hãy vi ết các bi ến c ố sau đây a) Cĩ đúng m ột sinh viên đạt yêu c ầu, b) cĩ đúng 3 sinh viên đạt yêu c ầu, c) cĩ ít nh ất 1 sinh viên đạt yêu c ầu, d) khơng cĩ sinh viên nào đạt yêu c ầu. Xác su ất b ằng đị nh ngh ĩa. Bài 5. Một cơng ty liên doanh c ần tuy ển m ột kế tốn tr ưởng, m ột tr ưởng phịng ti ếp th ị, cĩ 40 ng ười d ự tuy ển trong đĩ cĩ 15 n ữ. Tính xác su ất trong 2 ng ười được tuy ển cĩ: a) k ế tốn tr ưởng là n ữ, b) ít nh ất 1 n ữ. Đáp s ố: a) 0,75;b) 0,6154. 20
MATHEDUCARE.COM Bài 6. Một lơ hàng cĩ 10 s ản ph ẩm, trong đĩ cĩ 7 s ản ph ẩm t ốt, 3 s ản ph ẩm x ấu. L ấy ng ẫu nhiên t ừ lơ hàng ra 4 s ản ph ẩm. Tính xác su ất để 4 s ản ph ẩm l ấy ra cĩ 3 s ản ph ẩm t ốt. Đáp s ố: 0,5. Bài 7. Một h ộp cĩ 7 bi đỏ và 3 bi đen. a) L ấy ng ẫu nhiên 1 viên bi t ừ h ộp ra để ki ểm tra, tính xác su ất nh ận được bi đen. b) L ấy ng ẫu nhiên l ần l ượt cĩ hồn l ại 2 bi. Tính xác su ất để l ấy được 2 bi đen. c) L ấy ng ẫu nhiên ra 2 viên bi t ừ h ộp. Tính xác su ất để l ấy được 2 bi đen. 1 Đáp s ố: a) 0,3; b) 0,09; c) . 15 Cơng th ức c ộng – nhân – xác su ất cĩ điều ki ện. Bài 8. Trong 100 ng ười ph ỏng v ấn cĩ 40 ng ười thích dùng n ước hoa A, 28 ng ười thích dùng nước hoa B, 10 ng ười thích dùng c ả 2 lo ại A, B. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 ng ười trong s ố 100 ng ười trên. Tính xác su ất ng ười này : a) thích dùng ít nh ất 1 lo ại n ước hoa trên, b) khơng dùng lo ại nào c ả. Đáp s ố: a) 0,58; b) 0,42. Bài 9. Một c ơ quan cĩ 210 ng ười, trong đĩ cĩ 100 ng ười ở g ần c ơ quan, 60 ng ười trong 100 ng ười là n ữ, bi ết r ằng s ố n ữ chi ếm g ấp đơi s ố nam trong c ơ quan. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 ng ười trong c ơ quan. Tính xác su ất : a) ng ười này là nam, b) ng ười này ở g ần c ơ quan, c) ng ười này ph ải tr ực đêm (người tr ực đêm ph ải ở g ần c ơ quan ho ặc là nam). 1 Đáp s ố: a) ; b) 0,476; c) 0,619. 3 21
MATHEDUCARE.COM Bài 10. Mỗi sinh viên được thi t ối đa 2 l ần m ột mơn thi. Xác su ất để m ột sinh viên đậu mơn xác su ất th ống kê ở l ần thi th ứ 1 là P1 , l ần thi th ứ 2 là P2 . Tính xác su ất để sinh viên này vượt qua được mơn xác su ất th ống kê. Đ ố áp s : P1+( 1 − PP 1) 2 . Bài 11. Cho A và B là 2 bi ến c ố sao cho P(A) = 1 , P(B) = 1 , P(AB) = 1 . Hãy tính : 2 3 6 1) P(A+B) , 8) P(A B) , 2) P(A+ B) , 9) P(A B) , 3) P(A+ B) , 10) P(AB B) , 4) P(AB) , 11) P(AB B) , 5) P(AB) , 12) P(AB B) , 6) P(AB) , 13) P(A+ B AB) , 7) P(A+ B) , 14) P(AB A+ B) . Bài 12. Đội tuy ển cầu lơng của Tr ường Đạ i h ọc Tài chính - Marketing cĩ 3 v ận độ ng viên, mỗi v ận độ ng viên thi đấu m ột tr ận. Xác su ất th ắng tr ận c ủa các v ận viên A, B, C l ần l ượt là : 0,9; 0,7; 0,8. Tính xác su ất : a) Đội tuy ển th ắng ít nh ất 1 tr ận, b) Đội tuy ển th ắng 2 tr ận, c) C thua, bi ết r ằng độ i tuy ển th ắng 2 tr ận. Đáp s ố: a) 0,994; b) 0,398; c) 0,317. Bài 13. Một l ớp h ọc cĩ 50 h ọc sinh trong k ỳ thi gi ỏi Tốn và V ăn, trong đĩ cĩ 20 ng ười giỏi Tốn, 25 ng ười gi ỏi V ăn, 10 ng ười gi ỏi c ả Tốn lẫn Văn. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 h ọc sinh c ủa lớp này. Tính xác su ất để h ọc sinh được ch ọn gi ỏi Tốn ho ặc V ăn. Đáp s ố: 0,7. 22
MATHEDUCARE.COM Bài 14. Trong 1 khu ph ố, t ỷ l ệ ng ười m ắc b ệnh tim là 6%; m ắc b ệnh ph ổi là 8% và mắc c ả hai b ệnh là 5%. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 ng ười trong khu ph ố đĩ. Tính xác su ất để ng ười đĩ khơng m ắc c ả 2 b ệnh tim và b ệnh ph ổi. Đáp s ố: 0,91. Bài 15. Cho 3 bi ến c ố A, B, C sao cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6; P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2 và P(ABC) = 0,1. a) Tìm xác su ất để c ả 3 bi ến c ố A, B, C đều khơng x ảy ra. b) Tìm xác su ất để cĩ đúng 2 trong 3 bi ến c ố đĩ x ảy ra. c) Tìm xác su ất để ch ỉ cĩ đúng 1 bi ến c ố trong 3 bi ến c ố đĩ x ảy ra. Đáp s ố: a) 0; b) 0,6; c) 0,3. Bài 16. Một ng ười cĩ 5 con gà mái, 2 con gà tr ống nh ốt chung trong m ột cái l ồng. M ột ng ười đế n mua, ng ười bán gà b ắt ng ẫu nhiên 1 con. Ng ười mua ch ấp nh ận con đĩ. a) Tính xác su ất để ng ười đĩ mua được con gà mái. Ng ười th ứ hai l ại đế n mua, ng ười bán gà l ại b ắt ng ẫu nhiên ra 1 con. b) Tìm xác su ất để ng ười th ứ hai mua được con gà tr ống. c) Xác su ất này s ẽ b ằng bao nhiêu n ếu ng ười bán gà quên m ất r ằng con gà bán cho ng ười th ứ nh ất là gà tr ống hay gà mái. 5 1 2 Đáp s ố: a) ; b) ; c) . 7 3 7 Bài 17. Hai cơng ty A, B cùng kinh doanh m ột m ặt hàng. Xác su ất để cơng ty A thua l ỗ là 0,2; xác su ất để cơng ty B thua l ỗ là 0,4. Tuy nhiên trên th ực t ế, kh ả n ăng c ả 2 cơng ty cùng thua l ỗ là 0,1. Tìm xác su ất để a) ch ỉ cĩ m ột cơng ty thua l ỗ, 23
MATHEDUCARE.COM b) cĩ ít nh ất m ột cơng ty làm ăn khơng thua l ỗ. Đáp s ố: a) 0,44; b) 0,92. Bài 18. Một th ủ qu ỹ cĩ m ột chùm chìa khĩa g ồm 12 chi ếc b ề ngồi gi ống h ệt nhau, trong đĩ cĩ 4 chi ếc m ở được c ửa chính của th ư vi ện. Cơ ta th ử t ừng chìa m ột m ột cách ng ẫu nhiên, chìa nào khơng trúng thì bỏ ra. Tìm xác su ất để cơ ta m ở được c ửa chính c ủa th ư vi ện ở l ần mở th ứ 5. Đáp s ố : 0,071. Bài 19. Một lơ hàng cĩ 6 s ản ph ẩm t ốt, 4 s ản ph ẩm x ấu. L ấy ng ẫu nhiên khơng hồn l ại t ừng sản ph ẩm cho đế n khi l ấy được 2 s ản ph ẩm t ốt thì ng ừng, a) Tính xác su ất để ng ừng l ại ở l ần l ấy s ản ph ẩm th ứ 2, b) Biết đã ng ừng l ại ở l ần l ấy s ản ph ẩm th ứ 4. Tính xác su ất để l ần l ấy th ứ nh ất l ấy được s ản ph ẩm t ốt. 1 1 Đáp a) ; b) . 3 14 Bài 20. Một chàng trai vi ết 4 lá th ư cho 4 cơ gái; nh ưng vì đãng trí nên anh ta b ỏ 4 lá th ư vào 4 phong bì một cách ng ẫu nhiên, dán kín r ồi m ới ghi đị a ch ỉ g ửi, a) Tính xác su ất để khơng cĩ cơ nào nh ận đúng th ư vi ết cho mình, b) Tính xác su ất để cĩ ít nh ất 1 cơ nh ận đúng th ư c ủa mình, c) Tổng quát hĩa v ới n cơ gái. Tính xác su ất cĩ ít nh ất 1 cơ nh ận đúng th ư. X ấp x ỉ giá tr ị xác su ất này khi cho n → ∞ . Bài 21. Trong 1 lơ hàng 10 s ản ph ẩm cĩ 2 s ản ph ẩm x ấu, ch ọn khơng hồn l ại để phát hi ện ra 2 s ản ph ẩm x ấu, khi nào ch ọn được s ản ph ẩm x ấu th ứ 2 thì dừng l ại. a) Tính xác su ất d ừng l ại ở l ần ch ọn th ứ 4. b) Bi ết r ằng đã ch ọn được s ản ph ẩm x ấu ở l ần ch ọn th ứ nh ất, tính xác su ất d ừng l ại ở lần ch ọn th ứ 4. 24
MATHEDUCARE.COM c) N ếu vi ệc ki ểm tra d ừng l ại ở l ần ch ọn th ứ 3, tính xác su ất l ần ch ọn đầ u được s ản ph ẩm x ấu. Đáp s ố : a) 0,0667; b) 0,0222; c) 0,0222. Bài 22. Đội tuy ển bĩng bàn Thành ph ố cĩ 4 v ận độ ng viên A, B, C, D . M ỗi v ận độ ng viên thi đấu 1 tr ận, v ới xác su ất th ắng tr ận l ần l ượt la : 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Tính a) xác su ất độ i tuy ển th ắng ít nhất 1 tr ận, b) xác su ất độ i tuy ển th ắng 2 tr ận, c) xác su ất độ i tuy ển th ắng 3 tr ận, d) xác su ất D thua, trong tr ường h ợp độ i tuy ển th ắng 3 tr ận. Đáp s ố: a) 0,9976; b) 0,1496; c) 0,4404; d) 0,0763. Bài 23. Ở m ột c ơ quan n ọ cĩ 3 chi ếc ơtơ. Kh ả n ăng cĩ s ự cố c ủa m ỗi xe ơtơ l ần l ượt là 0,15 ; 0,20 ; 0,10. a) Tìm kh ả n ăng 3 ơtơ cùng b ị h ỏng. b) Tìm kh ả n ăng cĩ ít nh ất 1 ơtơ ho ạt độ ng t ốt. c) Tìm kh ả n ăng c ả 3 ơtơ cùng ho ạt độ ng được. d) Tìm xác su ất cĩ khơng quá 2 ơtơ b ị h ỏng. Đáp s ố: a) 0,003; b) 0,997; c) 0,612; d) 0,997. Cơng th ức xác su ất đầ y đủ – Cơng th ức Bayès. Bài 24. Một nhà máy s ản xu ất bĩng đèn, máy A s ản xu ất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% s ố bĩng đèn. T ỉ l ệ s ản ph ẩm h ỏng c ủa m ỗi máy trên s ố s ản ph ẩm do máy đĩ s ản xu ất l ần l ượt là 3%, 2%, 1%. M ột ng ười mua 1 bĩng đèn do nhà máy s ản xu ất. a) Tính xác su ất để s ản ph ẩm này t ốt. b) Bi ết r ằng s ản ph ẩm này là x ấu. Tính xác su ất để s ản ph ẩm do máy C s ản xu ất. Đáp s ố: a) 0,981;b) 0,22. 25
MATHEDUCARE.COM Bài 25. Trong m ột tr ạm c ấp c ứu b ỏng : 80% b ệnh nhân b ỏng do nĩng, 20% b ỏng do hĩa ch ất. Lo ại b ỏng do nĩng cĩ 30% bi bi ến ch ứng, lo ại b ỏng do hĩa ch ất cĩ 50% b ị bi ến ch ứng. a) Ch ọn ng ẫu nhiên m ột b ệnh án. Tính xác su ất để g ặp m ột b ệnh án c ủa b ệnh nhân b ị bi ến ch ứng. b) Rút ng ẫu nhiên được m ột b ệnh án c ủa m ột b ệnh nhân b ị bi ến ch ứng. Tính xác su ất để b ệnh án đĩ là c ủa b ệnh nhân b ị bi ến ch ứng do nĩng gây ra? do hĩa ch ất gây ra? Đáp s ố: a) 0,34; b) 0,71; 0,2942. Bài 26. Một lơ h ạt gi ống được phân thành ba lo ại. Lo ại 1 chi ếm 2/3 s ố h ạt c ả lơ, lo ại 2 chi ếm 1/4, cịn l ại là lo ại 3. Lo ại 1 cĩ t ỉ l ệ n ẩy m ầm 80%, lo ại 2 cĩ t ỉ l ệ n ẩy m ầm 60% và lo ại 3 cĩ t ỉ l ệ n ẩy m ầm 40%. H ỏi t ỉ l ệ n ẩy m ầm chung c ủa lơ h ạt gi ống là bao nhiêu ? Đáp s ố: 0,72. Bài 27. Hai nhà máy cùng sản su ất 1 lo ại linh ki ện điện t ử. N ăng su ất nhà máy hai g ấp 3 l ần năng su ất nhà máy m ột. T ỷ l ệ h ỏng c ủa nhà máy m ột và hai l ần l ượt là 0,1% và 0,2%. Gi ả s ử linh ki ện bán ở Trung tâm ch ỉ do hai nhà máy này s ản xu ất. Mua 1 linh ki ện ở Trung tâm. a) Tính xác su ất để linh ki ện ấy h ỏng. b) Gi ả s ử mua linh ki ện và th ấy linh ki ện b ị h ỏng. Theo ý bạn thì linh ki ện đĩ do nhà máy nào s ản xu ất. Đáp s ố: a) 0,175%; b) nhà máy 2. Bài 28. Cĩ 3 lo ại súng b ề ngồi hồn tồn gi ống nhau, v ới xác su ất b ắn trúng bia t ươ ng ứng là 0,6, 0,7, 0,8. Lo ại th ứ I cĩ 5 kh ẩu, lo ại th ứ II cĩ 3 kh ẩu, lo ại th ứ III cĩ 2 kh ẩu. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 kh ẩu và b ắn vào bia. Tính xác su ất b ắn trúng bia. Đáp s ố: 0,67. Bài 29. Cĩ 8 bình đựng bi, trong đĩ cĩ : 2 bình lo ại 1: m ỗi bình đựng 6 bi tr ắng 3 bi đỏ , 3 bình lo ại 2: m ỗi bình đựng 5 bi tr ắng 4 bi đỏ, 3 bình lo ại 3: m ỗi bình đựng 2 bi tr ắng 7 bi đỏ . 26
MATHEDUCARE.COM Lấy ng ẫu nhiên m ột bình và t ừ bình đĩ l ấy ng ẫu nhiên 1 bi. a) Tính xác su ất để bi l ấy ra là bi tr ắng. b) Bi ết r ằng bi l ấy ra là bi tr ắng. Tính xác su ất để bình l ấy ra là bình lo ại 3. Đáp s ố: a) 0,458; b) 0,182. Bài 30. Một chu ồng gà cĩ 9 con gà mái và 1 con gà tr ống. Chu ồng gà kia cĩ 1 con mái và 5 con tr ống. T ừ m ỗi chu ồng l ấy ng ẫu nhiên 1 con đem bán. Các con gà cịn lại được d ồn vào chu ồng th ứ ba. N ếu ta l ại b ắt ng ẫu nhiên 1 con gà n ữa t ừ chu ồng này ra thì xác su ất để b ắt được con gà tr ống là bao nhiêu? Đáp s ố: 0,36. Bài 31. Cĩ 2 hộp áo; h ộp m ột cĩ 10 áo trong đĩ cĩ 1 ph ế ph ẩm; h ộp hai cĩ 8 áo trong đĩ cĩ 2 ph ế ph ẩm. L ấy ng ẫu nhiên 1 áo t ừ h ộp m ột b ỏ sang h ộp hai; sau đĩ t ừ h ộp này ch ọn ng ẫu nhiên ra 2 áo. Tìm xác su ất để c ả 2 áo này đều là ph ế ph ẩm. Bài 32. Cĩ 3 x ạ th ủ cùng b ắn vào m ột con thú, m ỗi ng ười b ắn 1 viên đạn, v ới xác su ất b ắn trúng l ần l ượt là 0,6; 0,7; 0,8. Bi ết r ằng n ếu trúng 1 phát đạ n thì xác su ất để con thú b ị tiêu di ệt là 0,5; trúng 2 phát thì xác su ất để con thú b ị tiêu di ệt là 0,8; cịn nếu trúng 3 phát đạ n thì ch ắc ch ắn con thú b ị tiêu di ệt. a) Tính xác su ất con thú bị tiêu di ệt. b) Gi ả s ử con thú b ị tiêu di ệt. Tính xác su ất nĩ b ị trúng 2 phát đạn. Đáp s ố: a) 0,7916; b) 0,4567. Bài 33. Cĩ 3 h ộp bi; h ộp một cĩ 10 bi trong đĩ cĩ 3 bi đỏ; h ộp hai cĩ 15 bi trong đĩ cĩ 4 bi đỏ; h ộp ba cĩ 12 bi trong đĩ cĩ 5 bi đỏ. Gieo m ột con xúc x ắc. N ếu xu ất hi ện m ặt 1 thì ch ọn hộp m ột, xu ất hi ện m ặt hai thì ch ọn h ộp 2, xu ất hi ện các m ặt cịn lại thì ch ọn h ộp ba. T ừ h ộp được ch ọn, l ấy ng ẫu nhiên 1 bi a) Tính xác su ất để được bi đỏ , b) Giả s ử l ấy được bi đỏ . Tính xác su ất để bi đỏ này thu ộc h ộp hai. Đáp s ố: a) 0,372; b) 0,1194. 27
MATHEDUCARE.COM Bài 34. Một h ộp cĩ 15 qu ả bĩng bàn, trong đĩ cĩ 9 m ới 6 c ũ, l ần đầ u ch ọn ra 3 qu ả để s ử dụng, sau đĩ b ỏ vào l ại, l ần hai ch ọn ra 3 qu ả. a) Tính xác su ất 3 qu ả bĩng ch ọn l ần hai là 3 bĩng m ới. b) Bi ết r ằng l ần hai ch ọn được 3 bĩng m ới, tính xác su ất l ần đầ u ch ọn được 2 bĩng m ới. Đáp s ố: a) 0,0893; b) 0,4091. Bài 35. Cĩ 3 cái thùng. Thùng 1 cĩ 6 bi tr ắng, 4 bi đỏ ; thùng 2 cĩ 5 bi tr ắng, 5 bi đỏ và thùng 3 cĩ 10 bi tr ắng. Gi ả s ử ng ười ta l ấy ng ẫu nhiên 2 bi t ừ thùng 1 b ỏ vào thùng 2. Sau đĩ, l ại l ấy ng ẫu nhiên 1 bi t ừ thùng 2 b ỏ vào thùng 3 r ồi t ừ thùng 3 l ấy ng ẫu nhiên ra 1 bi. Tìm xác su ất để bi l ấy ra là đỏ. Đáp s ố: 0,044. Cơng th ức Bernoulli Bài 36. Một bác s ĩ ch ữa kh ỏi b ệnh A cho m ột ng ười v ới xác su ất là 95%. Gi ả s ử cĩ 10 ng ười bị b ệnh A đế n ch ữa m ột cách độ c l ập nhau. Tính xác su ất để a) Cĩ 8 ng ười kh ỏi b ệnh, b) Cĩ nhi ều nh ất 9 ng ười kh ỏi b ệnh. Đáp s ố: a) 0,0746; b) 0,389. Bài 37. Một thi ết b ị cĩ 10 chi ti ết v ới độ tin c ậy c ủa m ỗi chi ti ết là 0,9. (Xác su ất làm vi ệc tốt trong kho ảng th ời gian nào đĩ). Tính xác su ất để trong kho ảng th ời gian ấy : a) Cĩ đúng m ột chi ti ết làm vi ệc t ốt, b) Cĩ ít nh ất 2 chi ti ết làm vi ệc t ốt. Đáp s ố: a) 9⋅ 10 −9 ; b) ≈ 1. Bài 38. Một c ầu th ủ đá thành cơng qu ả ph ạt 11m v ới xác su ất 80%. - Đá 4 thành cơng 2. - Đá 6 thành cơng 3. 28
MATHEDUCARE.COM Cơng vi ệc nào d ễ th ực hi ện ? Đáp s ố: Đá 4 thành cơng 2 d ễ h ơn. Bài 39. Trong m ột thành ph ố cĩ 70% dân c ư thích xem bĩng đá. Ch ọn ng ẫu nhiên 10 ng ười, tính xác su ất cĩ : a) 5 ng ười thích xem bĩng đá, b) ít nh ất 2 ng ười thích xem bĩng đá. Đáp s ố: a) 0,103; b) 0,99986. Bài 40. Một nhà tốn h ọc cĩ xác su ất gi ải được m ột bài tốn khĩ là 0,9. Cho nhà tốn h ọc này 5 bài tốn khĩ được ch ọn m ột cách ng ẫu nhiên. a) Tính xác su ất để nhà tốn h ọc này gi ải được 3 bài. b) Tính xác su ất để nhà tốn h ọc này gi ải được ít nh ất 1 bài. c) Tính s ố bài cĩ kh ả n ăng nh ất mà nhà tốn h ọc này gi ải được. Đáp s ố: a) 0,0729; b) 0,99999; c) 5 bài. Bài 41. Tỷ l ệ m ắc b ệnh Basedow ở m ột vùng r ừng núi nào đĩ là 70%. Trong đợt khám tuy ển sức kho ẻ để xu ất c ảnh, ng ười ta khám cho 100 ng ười. Tìm xác su ất để a) Trong 100 ng ười cĩ 6 ng ười b ị Basedow, b) Trong 100 ng ười cĩ 95 ng ười khơng bị Basedow, c) Trong 100 ng ười cĩ ít nh ất m ột ng ười bị Basedow. Đáp s ố: a) 0,1528; b) 0,12826; c) 0,999. Bài 42. Một lơ hàng v ới t ỷ l ệ ph ế ph ẩm là 5%. C ần ph ải l ấy m ẫu c ỡ bao nhiêu sao cho xác su ất để b ị ít nh ất m ột ph ế ph ẩm khơng bé h ơn 0,95. Đáp s ố: n≥ 59 . Bài 43. Hai đấu th ủ A, B thi đấ u c ờ. Xác su ất th ắng c ủa ng ười A trong m ột ván là 0,6 (khơng cĩ hịa). Tr ận đấ u bao g ồm 5 ván, ng ười nào th ắng m ột s ố ván l ớn h ơn là ng ười th ắng cu ộc. Tính xác su ất để ng ười B th ắng cu ộc. 29
MATHEDUCARE.COM Đáp s ố: 0,31744. Bài 44. Một máy s ản xu ất l ần l ượt t ừng s ản ph ẩm. Xác su ất s ản xu ất ra m ột ph ế ph ẩm c ủa máy là 0,01. a) Cho máy sản xu ất 10 s ản ph ẩm. Tính xác su ất để cĩ 2 ph ế ph ẩm. b) Máy c ần s ản xu ất ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm để xác su ất cĩ ít nh ất m ột chính ph ẩm trên 0,99. Đáp s ố: a) 0,0041; b) 2. 30
MATHEDUCARE.COM Ch ươ ng 2. BI ẾN S Ố NG ẪU NHIÊN 2.1. Tĩm t ắt lý thuy ết 2.1.1. Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc a) Bảng phân ph ối xác su ất Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X được xác định b ằng bảng phân ph ối xác su ất X x1 x2 xn P p1 p2 pn < < < < =( = ) trong đĩ x1 x 2 x n là các giá tr ị nh ận được bởi X và pi PX x i , v ới m ọi i. b) Hàm xác su ất Hàm số f(x) được gọi là hàm xác su ất bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X, nếu f(x) được xác đị nh nh ư sau: p khi x= x f (x) = i i  ≠ ∀ 0 khi x xi , i c) Hàm phân ph ối xác su ất Hàm số F(x) được gọi là hàm phân ph ối (xác su ất) của bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X, nếu F(x) được xác đị nh nh ư sau: =()() ≤ = F(x) PX x∑ fx i ≤ xi x d) Trung bình và ph ươ ng sai Giá tr ị trung bình (k ỳ v ọng) của X cho b ởi µ=EX( ) = xf(x) = xp X∑ ii ∑ ii , xi i và ph ươ ng sai của X là 2 2 σ=2 Var(X) =()() x −µ f(x) = x −µ p X∑ iXi ∑ iXi . xi i Căn bậc hai của ph ươ ng sai g ọi là độ l ệch chu ẩn, σ= =σ 2 Xse(X) X . 31
MATHEDUCARE.COM 2.1.2. Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục a) Hàm m ật độ xác su ất Hàm số f : ℝ→ ℝ được gọi là hàm m ật độ (xác su ất) bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X, nếu f(x) được xác đị nh nh ư sau: b P() a≤ X ≤ b = f (x)dx , với a,b∈ℝ ,a < b . ∫a b) Hàm phân ph ối xác su ất Hàm số F : ℝ→ ℝ được gọi là hàm phân ph ối (xác su ất) của bi ến s ố ng ẫu nhiên liên tục X, nếu F(x) được xác đị nh nh ư sau: x F(x)= PX() ≤ x = f(t)dt ∫−∞ c) Trung bình và ph ươ ng sai Giá tr ị trung bình (k ỳ v ọng) của X cho b ởi +∞ µ =() = X E X xf (x)dx , ∫−∞ và ph ươ ng sai của X là +∞ σ=2 =() −µ 2 X Var(X) xX f(x)dx . (Var : Variance) ∫−∞ Căn bậc hai của ph ươ ng sai g ọi là độ l ệch chu ẩn, σ= =σ 2 Xse(X) X . (Se : Standard error) 2.2. Bài t ập m ẫu Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc Bài 1. Cĩ hai thùng thu ốc A và B, trong đĩ : - thùng A cĩ 20 l ọ g ồm 2 l ọ h ỏng và 18 l ọ t ốt, - thùng B cĩ 20 l ọ g ồm 3 l ọ h ỏng và 17 l ọ t ốt. a) L ấy ở m ỗi thùng 1 l ọ. G ọi X là s ố l ọ h ỏng trong hai l ọ l ấy ra. Tìm hàm m ật độ c ủa X. b) L ấy ở thùng B ra 3 l ọ. Gọi Y là s ố l ọ h ỏng trong 3 l ọ l ấy ra. Tìm hàm m ật độ c ủa Y. Gi ải 32
MATHEDUCARE.COM a) Xét các bi ến c ố A : “nh ận được lọ h ỏng t ừ thùng A”, B : “nh ận được lọ h ỏng t ừ thùng B”, và g ọi X là s ố l ọ h ỏng trong hai l ọ l ấy ra. Ta cĩ X l ấy các giá tr ị 0, 1 và 2. Chú ý rằng A, B là các bi ến c ố độ c l ập. Ta cĩ 18 17 306 P(X== 0) P(AB) = P(A)P(B) =⋅== 0,765 , 20 20 400 P(X== 1) P(AB += AB) P(A)P(B) + P(A)P(B) 2 17 18 3 88 =⋅+⋅= = 0, 22, 20 20 20 20 400 2 3 6 P(X== 2) P(AB) = P(A)P(B) =⋅== 0, 015 . 20 20 400 Từ đĩ, ta được bảng phân ph ối xác su ất X 0 1 2 P 0,765 0,22 0,015 và hàm m ật độ c ủa X 0,765 khi x= 0  0, 22 khi x= 1 f (x) =  0, 015 khi x= 2 0 khi x≠ 0, 1, 2 b) G ọi Y là s ố l ọ h ỏng trong 3 l ọ l ấy ra t ừ thùng B. Ta cĩ Y∼ H2033( ,,) , ngh ĩa là Ck C 3− k = = 3 17 P(Y k) 3 C20 và ta nh ận được bảng phân ph ối xác su ất Y 0 1 2 3 P 0,596 0,358 0,045 0,001 cũng nh ư hàm m ật độ c ủa Y 33
MATHEDUCARE.COM 0, 596 khi x= 0  0, 358 khi x= 1  f (x)= 0, 045 khi x = 2  = 0, 001 khi x 3 0 khi x≠ 0, 1, 2, 3 Bài 2. Cĩ hai lơ s ản ph ẩm. - Lơ 1: Cĩ 8 chính ph ẩm và 2 ph ế ph ẩm - Lơ 2: Cĩ 7 chính ph ẩm và 3 ph ế ph ẩm Từ lơ 1 l ấy ng ẫu nhiên 2 s ản ph ẩm b ỏ sang lơ 2, sau đĩ t ừ lơ 2 lấy ra 2 s ản ph ẩm. a) Tìm b ảng phân ph ối xác su ất c ủa s ố chính ph ẩm được l ấy ra b) Tìm hàm phân ph ối xác su ất c ủa s ố chính ph ẩm được l ấy ra Gi ải a) Xét các bi ến c ố A : “nh ận được 2 ph ế ph ẩm từ lơ 1”, B : “nh ận được 1 chính ph ẩm và 1 ph ế ph ẩm từ lơ 1”, C : “nh ận được 2 chính ph ẩm t ừ lơ 1”, và g ọi X là s ố chính ph ẩm l ấy ra t ừ lơ 2. Ta cĩ X l ấy các giá tr ị 0, 1 và 2. Nh ận xét A, B, C là h ọ đầ y đủ các bi ến c ố PX( === 0) PX( 0|APA) ( ) += PX( 0|BPB) ( ) += PX( 0|CPC) ( ) C2C2 CCCC 0211 CC 22 52 8482 38 =⋅+22 2 ⋅ 2 +⋅ 22 CC12 10 C 12 C 10 CC 12 10 10 1 6 16 3 28 190 = ⋅ +⋅ +⋅ = 66 45 66 45 66 45 2970 PX( === 1) PX( 1|APA) ( ) += PX( 1|BPB) ( ) += PX( 1|CPC) ( ) CC11C2 CCCC 1111 CC 11 C 2 752 8482 93 8 =22 ⋅+ 2 ⋅ 2 + 22 ⋅ CC12 10 C 12 C 10 CC 12 10 35 1 32 16 27 28 1303 = ⋅ +⋅ + ⋅ = 66 45 66 45 66 45 2970 34
MATHEDUCARE.COM PX( === 2) PX( 2|APA) ( ) += PX( 2|BPB) ( ) += PX( 2|CPC) ( ) C2C2 CCC 211 CC 22 72 882 98 =⋅+⋅22 2 2 +⋅ 22 CC12 10 C 12 C 10 CC 12 10 21 1 28 16 36 28 1477 = ⋅ +⋅ +⋅ = 66 45 66 45 66 45 2970 Từ đĩ, ta được b ảng phân ph ối xác su ất X 0 1 2 P 190 1303 1477 2970 2970 2970 b) Tìm hàm phân ph ối xác su ất c ủa s ố chính ph ẩm được l ấy ra 0 khi x< 0  190  khi 0≤ x < 1 2970 F(x) =  1493  khi 1≤ x < 2  2970  1 khi 2≤ x Bài 3. Th ực hi ện ba l ần b ắn bia v ới xác su ất trúng bia t ươ ng ứng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm trung bình và ph ươ ng sai c ủa s ố l ần b ắn trúng bia. Gi ải Gọi A i “bi ến c ố b ắn trúng bia l ần th ứ i” Ta cĩ: P( A1) = 0, 2; P( A 2) = 0, 3; P( A 3 ) = 0, 6 Gọi X là s ố l ần b ắn trúng bia trong 3 l ần b ắn, X lấy các giá tr ị 0, 1, 2, 3. Chú ý r ằng A1 , A 2 , A 3 là các bi ến c ố độ c l ập. Ta cĩ PX( = 0) = PAAA123 = PAPAPA 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) =0,7 × 0, 6 × 0, 4 = 0,168, PX( == 1) PAAA( 123 + AAA 123 + AAA 123 ) =PAAA( 1233) + PAAA( 1233) + PAAA( 123 ) 35
MATHEDUCARE.COM =PAPAPA + PAPAPA + PAPAPA ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) =××+××+××=0, 3 0, 6 0, 4 0,7 0, 4 0, 4 0,7 0, 6 0, 6 0, 436, PX( == 2) PAAA( 123 + AAA 123 + AAA 123 ) =PAAA()1233 + PAAA() 1233 + PAAA() 123 =PAPAPA()()123() + PAPAPA() 123() () + PAPAPA() 123()() =××+××+××=0, 3 0, 4 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0,7 0, 4 0, 6 0, 324 PX( == 3) PAAA( 123) = PA( 1) PA( 2) PA( 3 ) =××= 0,3 0,4 0,6 0,072 . Từ đĩ, ta được b ảng phân ph ối xác su ất X 0 1 2 3 P 0,168 0,436 0,324 0,072 2 Trung bình EX= 1,3 ; ph ươ ng sai σX = 0, 69 . Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục Bài 4. Gọi X là tu ổi th ọ c ủa con ng ười. Một cơng trình nghiên c ứu cho bi ết hàm m ật độ c ủa X là cx2 (100− x) 2 khi 0 ≤ x ≤ 100 f (x) =  0 khi x 100 a) Xác định h ằng s ố c. b) Tính trung bình và ph ươ ng sai c ủa X. c) Tính xác su ất c ủa m ột ng ười cĩ tu ổi th ọ ≥ 60 . d) Tính xác su ất c ủa m ột ng ười cĩ tu ổi th ọ ≥ 60 , bi ết r ằng ng ười đĩ hi ện nay đã 50 tu ổi. Gi ải a) Để f (x) là hàm m ật độ , ta c ần +∞ ∫ f (x)dx= 1 . −∞ mà 36
MATHEDUCARE.COM +∞ 100 10 2 3 4 5 2 x x x  f (x)dx= cx2() 100 −= x dx c 10 4 − 2.10 2 +  , ∫ ∫ 3 4 5  −∞ 0 0 nên ta được ph ươ ng trình 10 2 x3 x 4 x 5  c 104− 2.10 2 +  = 1 . 3 4 5   0 Gi ải ph ươ ng trình này, ta được c= 3,10 −9 . b) Ta cĩ trung bình +∞ 100 µ==E(X) xf (x)dx = c x3 () 100 − x2 dx X ∫ ∫ −∞ 0 100 =c∫ (1043 x − 2.10 24 x + x 5 )dx 0 10 2 x4 x 5 x 6  =c 104 − 2.10 2 +=  50, 4 5 6   0 và ph ươ ng sai +∞ 100 σ=2E(X 222 ) −µ= x f (x)dx −= 50 2 c x 4 () 100 − x2 dx − 2500 X X ∫ ∫ −∞ 0 100 =c∫ (1044 x − 2.10 25 x +− x 6 )dx 2500 0 10 2 x5 x 6 x 7  =c 104 − 2.10 2 +−  2500 5 6 7   0 14 5 − 10  10 2500 =3.109   −=−= 2500 2500 . 105  35 7 c) Xác su ất c ủa m ột ng ười cĩ tu ổi th ọ ≥ 60 là 37
MATHEDUCARE.COM +∞ 100 2 P(X≥= 60)∫ f(x)dx = ∫ cx2 () 100 − x dx 60 60 100 =c∫ (1042 x − 2.10 23 x + x 4 )dx 60 10 2 x3 x 4 x 5  =c 104 − 2.10 2 +  3 4 5   60 1010   216 1296 7776   =c  − 105  100. −+ 20.   30   3 4 5   4 − 10 11376  992 =3,109 10 5  −==  0, 31744. 3 5  3125 d) Để tính xác su ất c ủa m ột ng ười cĩ tu ổi th ọ ≥ 60 , khi bi ết ng ười đĩ đã 50 tu ổi, ta tính xác su ất cĩ điều ki ện P(( X≥ 60) ( X ≥ 50 )) P() X≥ 60 X ≥ 50 = P() X≥ 50 P() X≥ 60 0, 31744 = = = 0, 63488, P() X≥ 50 0, 5 với P( X≥ 50 ) được tính nh ư ở ph ần c và b ằng 0,5. Bài 5. Cho bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X cĩ hàm m ật độ xác su ất sin x  khi x∈() 0, π f (x) =  2  0 khi x∉ 0, π  ( ) a) Tìm hàm phân ph ối xác su ất c ủa X. π  b) Tìm P 0≤ X ≤   4  c) Tìm trung bình và ph ươ ng sai c ủa X. Gi ải a) Tìm hàm phân ph ối xác su ất c ủa X. x Tr ường h ợp 1. N ếu x≤ 0 thì F(x)=∫ f(t)dt = 0 . −∞ 38
MATHEDUCARE.COM Tr ường h ợp 2. N ếu 0< x ≤ π x 0 x F(x)=∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt −∞ −∞ 0 x x sin t cos t 1− cos x =dt =− = ∫ 2 2 2 0 0 Tr ường h ợp 3. N ếu π<x <+∞ x 0 π x F(x)=∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt −∞ −∞0 π π π sin t cos t =dt =− = 1 ∫ 2 2 0 0 Vậy hàm phân ph ối xác su ất c ủa X là 0 khi x≤ 0  1− cos x F(x)= khi0 <≤π x  2  1 khiπ < x  π π  1 − cosx4 1 2 b) P 0≤≤= X  =−   4  20 24 c) Trung bình và ph ươ ng sai Trung bình +∞1 π EX= xf (x)dx = x sin xdx ∫−∞ 2 ∫ 0 Đặt u= x ⇒ du = dx dv= sinxdx ⇒=− v cosx 1π 1 π EX= − xcosx + cosxdx 20 2 ∫0 π 1 1 π =−xcosx + sinx = 2 20 2 2 Ph ươ ng sai: Var(X)= EX2 − ( EX ) 39
MATHEDUCARE.COM Với 1 π EX2= x 2 sin xdx 2 ∫0 Đặt u x2 du 2xdx = ⇒ = dv= sinxdx ⇒=− v cosx 2 1 π π π EX2=− xcosx 2 + xcosxdx =+ I 20 ∫0 2 π Tính I= xcosxdx ∫0 Đặt u= x ⇒ du = dx dv= cosxdx ⇒ v = sinx π π π I= xsinx − sinxdx = xsinx + cosx =− 2 0 ∫0 0 22 2 π π  π Vậy Var(X)= −− 2  = − 2 2 2  4 2.3. Bài t ập rèn luy ện Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc Bài 1. Cho X là m ột bi ến s ố ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối xác su ất nh ư sau X 0 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 PX 0 a 2a 2a 3a a 2a 7a+ a a) Xác định a. b) Tính P[ X≥ 5 ], P[ X< 3 ]. 1 c) Tính k nh ỏ nh ất sao cho P[] X≤ k ≥ . 2 Đáp s ố: a) a= 0,1 ; b) P X≥ 5  = 0, 2; P X< 3  = 0, 3 ; c) k= 3 . 40
MATHEDUCARE.COM Bài 2. Xét trị ch ơi, tung m ột con xúc x ắc ba l ần: n ếu c ả ba l ần được 6 nút thì th ưởng 6 ngàn đồng, n ếu hai l ần 6 nút thì th ưởng 4 ngàn đồng, m ột l ần 6 nút thì th ưởng 2 ngàn đồng, và nếu khơng cĩ 6 nút thì khơng th ưởng gì hết. M ỗi l ần ch ơi ph ải đĩng A ngàn đồng. H ỏi : a) A bao nhiêu thì ng ười ch ơi v ề lâu v ề dài hu ề v ốn (g ọi là trị ch ơi cơng b ằng), b) A bao nhiêu thì trung bình m ỗi l ần ng ười ch ơi m ất 1 ngàn đồng. Đáp s ố: a) A= 1; b) A= 2 . Bài 3. Một nhà đầu tư cĩ 3 d ự án. G ọi X i (i=1, 2, 3) là s ố ti ền thu được khi th ực hi ện d ự án th ứ i (giá tr ị âm ch ỉ s ố ti ền b ị thua l ỗ). X i là bi ến s ố ng ẫu nhiên. Qua nghiên c ứu, gi ả s ử cĩ s ố li ệu nh ư sau : ( Đơ n v ị tính : 10 tri ệu đồ ng ) X1 -20 30 60 P 0,3 0,2 0,5 X2 -20 -10 100 P 0,4 0,2 0,4 X3 -25 -30 80 P 0,2 0,3 0,5 Theo anh (ch ị), ta nên ch ọn d ự án nào ? Đáp s ố: Nên ch ọn d ự án 1. Bài 4. Cĩ 3 x ạ th ủ cùng b ắn vào m ột m ục tiêu, m ỗi ng ười bắn 1 viên, trong cùng m ột s ố điều ki ện nh ất đị nh. Xác su ất để m ỗi x ạ th ủ b ắn trúng m ục tiêu l ần lượt là 0,6; 0,7; 0,9. G ọi X là số viên đạn trúng m ục tiêu. Tính E(X); Var(X) và Mod(X). Đáp s ố: EX= 2, 2; Var(X) = 0,54; Mod(X) = 2. Bài 5. Một phân xưởng cĩ ba máy M1 ,M 2 ,M 3 . Trong m ột gi ờ, m ỗi máy s ản xu ất được 10 sản ph ẩm. S ố s ản ph ẩm khơng đạ t tiêu chu ẩn trong 10 s ản ph ẩm c ủa M1 , M 2 , M 3 lần lượt là 1, 2, 1. L ấy ng ẫu nhiên 1 s ản ph ẩm t ừ 10 s ản ph ẩm do m ỗi máy s ản xu ất. G ọi X là s ố s ản ph ẩm khơng đạ t tiêu chu ẩn trong 3 s ản ph ẩm được lấy ra. 41
MATHEDUCARE.COM a) L ập b ảng phân ph ối xác xu ất c ủa X. b) Tìm E(X), Var(X), Mod(X). c) Tính P( X≤ 1 ) . Đáp s ố: a) X 0 1 2 3 P 0,648 0,306 0,044 0,002 b) EX= 0, 4; Var(X) = 0, 34; Mod(X) = 0 ; c) 0,954. Bài 6. Tỷ l ệ khách hàng ph ản ứng tích c ực đố i v ới m ột chi ến d ịch qu ảng cáo là bi ến s ố ng ẫu nhiên cĩ b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau : X (%) 0 10 20 30 40 50 P 0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 a) Tìm t ỷ l ệ khách hàng bình quân ph ản ứng tích c ực đố i v ới chi ến d ịch qu ảng cáo đĩ. b) Tìm xác su ất để cĩ trên 20% khách hàng ph ản ứng tích c ực đố i v ới chi ến d ịch qu ảng cáo. Đáp s ố: a) 21,5%; b) 0,35. Bài 7. Qua theo dõi trong nhi ều n ăm k ết h ợp v ới s ự đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi su ất đầ u tư vào m ột cơng ty là bi ến s ố ng ẫu nhiên cĩ b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X (%) 9 10 11 12 13 14 15 P 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 a) Tính xác su ất để khi đầ u tư vào cơng ty đĩ thì s ẽ đạ t được lãi su ất ít nh ất là 12%. b) Tính lãi su ất k ỳ v ọng khi đầ u t ư vào cơng ty đĩ. c) Mức độ r ủi ro khi đầ u t ư vào cơng ty đĩ cĩ th ể đánh giá b ằng cách nào? Đ ố 2 áp s a) 0,5; b) EX= 11,75 ; c) σX = 2, 2875 . Bài 8. Cho bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X cĩ b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X 1 4 8 P 0,3 0,1 0,6 42
MATHEDUCARE.COM Tính PX( − EX( ) < 4 ) . Đáp s ố: 0,7. Bài 9. Lợi nhu ận X thu được khi đầ u tư 50 tri ệu đồ ng vào m ột d ự án cĩ b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau (đơ n v ị : tri ệu đồ ng). X -2 -1 0 1 2 3 P 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 a) Tìm m ức l ợi nhu ận cĩ kh ả n ăng nhi ều nh ất khi đầ u tư vào d ự án đĩ. b) Vi ệc đầ u vào d ự án này cĩ hi ệu qu ả hay khơng? Tại sao? c) Làm th ế nào để đo được mức độ r ủi ro c ủa v ụ đầ u tư này? Hãy tìm m ức độ r ủi ro đĩ. Đ ố 2 áp s : a) Mod(X)= 2 ; b) EX= 0, 8 ; σX = 3,24 . Bài 10. Tại m ột c ửa hàng bán xe máy Honda ng ười ta th ống kê được số xe máy bán ra hàng tu ần (X) với b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau : X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,2 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05 a) Tìm s ố xe trung bình bán được mỗi tu ần. b) Tìm ph ươ ng sai và độ l ệch chu ẩn c ủa s ố xe bán được mỗi tu ần và gi ải thích ý ngh ĩa của k ết qu ả nh ận được. Đ ố 2 áp s : a) 4,33; b) σ=X8, 3411; σ= X 2, 89 . Bài 11. Sản ph ẩm nhà máy được đĩng thành t ừng h ộp, m ỗi h ộp cĩ 10 s ản ph ẩm. G ọi X là s ố sản ph ẩm lo ại m ột cĩ trong h ộp. Cho bi ết X cĩ b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X 6 7 P 0,7 0,3 Khách hàng ch ọn cách ki ểm tra để mua hàng nh ư sau : T ừ m ỗi h ộp l ấy ng ẫu nhiên ra 3 s ản ph ẩm để ki ểm tra, n ếu th ấy cĩ ít nh ất 2 s ản ph ẩm lo ại m ột thì mua h ộp đĩ. L ấy ng ẫu nhiên 3 hộp để ki ểm tra. Tính xác su ất để cĩ 2 h ộp được mua. Đáp s ố: 0,381. Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục 43
MATHEDUCARE.COM Bài 12. Tu ổi th ọ c ủa m ột lo ại bĩng đèn nào đĩ là một bi ến số ng ẫu nhiên liên t ục X ( đơ n v ị năm) v ới hàm m ật độ nh ư sau kx2 (4− x) khi 0 ≤ x ≤ 4 f (x) =   0 khi x∉ [0, 4] a) Tìm k và v ẽ đồ th ị f(x). b) Tìm xác su ất để bĩng đèn hỏng tr ước khi nĩ được 1 n ăm tu ổi. 3 Đáp s ố: a) k = ; b) 0,0508. 64 Bài 13. Kh ối lượng của m ột con v ịt 6 tháng tu ổi là một bi ến số ng ẫu nhiên X ( đơ n v ị tính là Kg) cĩ hàm m ật độ k(x2 − 1) khi 1 ≤ x ≤ 3 f (x) =   0 khi x∉ [1, 3] a) Tìm k. b) V ới k tìm được, tính (i) kh ối lượng trung bình c ủa v ịt 6 tháng tu ổi, (ii) tỷ l ệ v ịt ch ậm l ớn, bi ết v ịt 6 tháng tu ổi ch ậm l ớn là v ịt cĩ kh ối lượng nh ỏ h ơn 2Kg, (iii) hàm phân ph ối xác su ất c ủa X. 3 Đáp s ố: a) k = ; b) EX= 2, 4 ; P( X 3  Bài 14. Cho hàm m ật độ c ủa bi ến ng ẫu nhiên X cĩ d ạng π π a cos x khi x∈ − ,  f (x) =  2 2 ∉ − π π   0 khi x2 , 2  44
MATHEDUCARE.COM a) Tìm a và xác định hàm phân ph ối xác su ất c ủa X. π  b) Tính xác su ất để X nh ận giá tr ị trong kho ảng , π  . 4   π 0 khi x ≤ −  2  sin x+ 1 π π Đáp s ố: a) a= 0,5; F(x)= khi −   2 b) 0,1465. Bài 15. Cho X là bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục cĩ hàm phân ph ối xác su ất sau: 1 1 F(x)= + arctan x 4 π a) Tính P0( x = . 1 1 4 Đ ố áp s : x1 = 2 . Bài 17. Th ời gian x ếp hàng ch ờ mua hàng c ủa khách là bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X v ới hàm phân ph ối xác su ất nh ư sau: 0 khi x≤ 0  F(x)=−+ ax3 3x 2 2x khi0 1 khi x 1 a) Tìm h ệ s ố a. 45
MATHEDUCARE.COM b) Tìm th ời gian trung bình. c)Tìm xác su ất để trong 3 ng ười xếp hàng thì cĩ khơng quá 2 ng ười ph ải ch ờ quá 0,5 phút. Đáp s ố: a) a= 2 ; b) EX= 0,5 ; c) 0,875. Bài 18. Tỷ l ệ m ắc m ột lo ại b ệnh trong m ột vùng dân cư là bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X cĩ hàm m ật độ nh ư sau:  1  khi x∈  5, 25  f (x) = 20  ∉   0 khi x 5, 25  a) Tính P( X− 10 > 2,5 ) . b) Tính t ỷ l ệ m ắc b ệnh trung bình và ph ươ ng sai c ủa X. Đ ố 2 áp s : a) 0,75; b) EX= 15; σX = 33, 3 . Bài 19. Tu ổi th ọ (tính theo gi ờ) của m ột trị ch ơi điện t ử b ấm tay là m ột bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục cĩ hàm m ật độ xác su ất nh ư sau:  − x  100 ≥ f (x) = ke khi x 0 0 khi x< 0 a) Tìm h ằng s ố k. b) Tính xác su ất tu ổi th ọ c ủa trị ch ơi này n ằm trong kho ảng t ừ 50 đế n 150 gi ờ. c) Tính xác su ất tu ổi th ọ c ủa trị ch ơi này ít h ơn 100 gi ờ. Đáp s ố: a) k= 0, 01 ; b) 0,239; c) 0,632. Bài 20. Cho bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X cĩ hàm m ật độ xác su ất nh ư sau:  e−x xm khi x≥ 0 f (x) =  m!  0 khi x< 0 Tính trung bình và ph ươ ng sai c ủa X. Đ ố 2 áp s : EX=σX = m + 1 . 46
MATHEDUCARE.COM Ch ươ ng 3. PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT 1. Phân ph ối nh ị th ức B(n; p) 1.1. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X được g ọi là phân ph ối nh ị th ức, ký hi ệu X∼ B(n; p) nếu hàm xác su ất c ủa X cĩ d ạng sau Cxx p (1− p) nx− khi x = 0,1, 2, , n f (x) =  n 0 khi x≠ 0,1, 2, , n Cơng th ức xác su ất ( =) =kk − nk− = PX k Cp(1n p) , với k 0,1, 2, , n 1.2. M ệnh đề : Cho X∼ B(n; p) , ta cĩ µ = i) Trung bình: X np , σ2 = − ii) Ph ươ ng sai: X np(1 p) , = −≤ ≤ −+ iii) Giá tr ị tin ch ắc: Mod(X) k 0 th ỏa np q k0 np q 1 , v ới q= 1 − p . 2. Phân ph ối siêu b ội H(N, K, n) 2.1. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X được g ọi là phân ph ối siêu b ội, ký hi ệu X∼ H(N,K,n) nếu hàm xác su ất c ủa X cĩ d ạng sau Cx C n− x  K N− K khi x∈ max{0, n − N + K}, min{n, K}  = n   f (x)  CN  ∉ − +  0 khi x max{0, n N K}, min{n, K}  Cơng th ức xác su ất Ck C n− k PXk()= = K N− K , max{0,n− N + K} ≤ k ≤ min{n,K} n với CN 2.2. M ệnh đề : Cho H(N, K, n) , ta cĩ 47
MATHEDUCARE.COM µ = i) Trung bình: X np , N− n  ii) Ph ươ ng sai: σ2 =np(1 − p)   . X N− 1  3. Phân ph ối Poisson P(µ ) 3.1. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên r ời r ạc X được g ọi là phân ph ối poisson, ký hi ệu X∼ P(µ ) nếu hàm xác su ất c ủa X cĩ d ạng sau  µx e−µ khi x= 0,1, 2, , n f (x) =  x !  0 khi x≠ 0,1, 2, , n Cơng th ức xác su ất µk PXk()= = e−µ , với k= 0,1, 2, , n k ! 3.2. M ệnh đề : Cho X∼ P(µ ) , ta cĩ µ = µ i) Trung bình: X , σ2 = µ ii) Ph ươ ng sai: X , σ = µ iii) Độ l ệch chu ẩn: X . 3.3. Chú ý: Nếu X∼ B(n, p) , trong đĩ p đủ nh ỏ và n đủ l ớn thì X được xem nh ư cĩ phân ph ối Poisson X∼ P(µ ) , v ới µ = np . Bằng cách vi ết − − + k k− n− k =n(n 1) (n k 1) k − n− k Cp(1p)n p(1p) k ! 1 n(n− 1) (n − k + 1) k − = ⋅()np (1 − p) n k k ! nk và v ới µ = np khơng đổi, khi n → ∞ , ta cĩ p→ 0 và n(n− 1) (n − k + 1) lim= 1 n→∞ nk µ −k lim(1− p)n− k = lim(1 − p)p = e −µ n→∞ p → 0 Vậy 48
MATHEDUCARE.COM µk Cp(1kk− p) nk− ≈ e −µ n k ! 4. Phân ph ối Chu ẩn N(µ , σ 2 ) 4.1. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là phân ph ối chu ẩn, ký hi ệu X∼ N(µ , σ 2 ) nếu hàm m ật độ c ủa X cĩ d ạng sau 2 ()x−µ − 1 2 f(x)= e2σ , −∞<<+∞ x , σ2 π Cơng th ức xác su ất b −µ 2 − (x ) 1 2 PaXb()≤ ≤ = e2σ dx, với a,b∈ℝ ,a ≤ b σ π ∫ 2 a 4.2. M ệnh đề : Cho X∼ N(µ , σ 2 ), ta cĩ µ = µ i) Trung bình: X , σ2 = σ 2 ii) Ph ươ ng sai: X , σ = σ iii) Độ l ệch chu ẩn: X . 4.3. Chú ý: X − µ i) Nếu X∼ N(µ , σ 2 ) thì đặt Y = , ta cĩ Y∼ N(0,1) (Y: phân ph ối Gauss σ hay là phân ph ối chu ẩn t ắc). Do đĩ, v ới a,b∈ℝ ,a ≤ b , ta cĩ a−µ b −µ  b −µ a −µ PaXbP()≤≤= ≤≤ Y  =ϕ −ϕ σ σ  σ σ x 2 1 − t với ϕ(x) = e2 dx π ∫ 2 0 ii) Phân ph ối chu ẩn dùng để kh ảo sát các hi ện t ượng bình th ường. C ụ th ể, n ếu X∼ B( n; p ) với tích np l ớn thì ta x ấp x ỉ phân ph ối nh ị th ức B( n; p )bằng phân ph ối chu ẩn N(µ ; σ 2 ), v ới µ=np, σ=2 npq . 49
MATHEDUCARE.COM iii) S ự liên h ệ gi ữa các phân ph ối nh ị th ức, siêu b ội, Poisson và chu ẩn được cho trong sơ đồ sau: Phân phối siêu bội H(N,K,n) Xấp xỉ khi n 5 và nq > 5, µ σ Phân phối chuẩn với =np, 2 = npq N(µ ; σ 2 ) 5. Phân ph ối Gamma và phân ph ối chi bình ph ươ ng Định ngh ĩa: hàm Gamma Γ:( 0, ∞) → ℝ ∞ Γ(x) = ∫ tx− 1 edt − t 0 5.1. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là phân ph ối Gamma, ký hi ệu X∼ Γ( α , β ) , v ới α, β > 0 , n ếu hàm m ật độ c ủa X cĩ d ạng sau  − x 1 α− β  x1 e khix> 0 f (x) = Γ( α ) β α ,  0 khi x≤ 0 5.2. M ệnh đề Cho X∼ Γ (,) α β , ta cĩ µ =αβ i) Trung bình: X , σ2 =αβ 2 ii) Ph ươ ng sai: X . 5.3. Định ngh ĩa Bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là phân ph ối chi bình ph ươ ng, ký hi ệu X∼ χ2 (r) , n ếu hàm m ật độ c ủa X cĩ d ạng sau 50
MATHEDUCARE.COM r x  1 −1 −  x2 e 2 khix> 0  r  r f (x) = Γ   22 ,  2   0 khi x≤ 0 r  ngh ĩa là X∼ Γ  , 2  2  5.4. M ệnh đề Cho X∼ χ2 (r) , ta cĩ µ = i) Trung bình: X r , σ2 = ii) Ph ươ ng sai: X 2r . 6. Phân ph ối Student St(n) 6.1. Định ngh ĩa Cho X là bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục cĩ phân ph ối Gauss, X∼ N( 0,1 ); Y là bi ến số ng ẫu nhiên liên t ục cĩ phân ph ối Chi bình ph ươ ng v ới n b ậc t ự do, Y∼ χ2 (n) và X, Y là hai bi ến s ố độ c l ập. Đặt X T = Y n thì T cĩ phân ph ối Student v ới n b ậc t ự do, T∼ St(n) . 6.2. M ệnh đề Cho T∼ St(n) , ta cĩ µ = i) Trung bình: T 0, n ii) Ph ươ ng sai: σ2 = . T n− 2 6.3. Chú ý : Nếu X∼ St(n) , v ới n≥ 30 , thì X∼ N(0,1) . 7. Phân ph ối Fisher F(n, m) 7.1. Định ngh ĩa Cho X, Y là hai bi ến s ố ng ẫu nhiên liên t ục cĩ phân ph ối Chi bình ph ươ ng, X∼ χ2 (n) , Y∼ χ2 (m) và X, Y là hai bi ến s ố độ c l ập. 51
MATHEDUCARE.COM Đặt X F = n Y m thì F cĩ phân ph ối Fisher v ới n, m b ậc t ự do, F∼ F( n, m ). 7.2. M ệnh đề Cho F∼ F( n, m ), ta cĩ m i) Trung bình: µ = , F m− 2 2m2 (n+ m 2 − 2) ii) Ph ươ ng sai: σ2 = . F n(m− 2)2 (m − 4) 3.1. Bài t ập m ẫu Bài 1. Gi ả s ử t ỷ l ệ sinh con trai và con gái là b ằng nhau và b ằng 1 . M ột gia đình cĩ 4 2 ng ười con. Tính xác su ất để 4 đứ a con đĩ g ồm a) 2 trai và 2 gái, b) 1 trai và 3 gái, c) 4 trai. Gi ải Gọi X là s ố con trai trong m ột gia đình cĩ 4 con thì X∼ B( 4; 0, 5 ) . a) Xác su ất để cĩ hai trai và hai gái trong b ốn đứ a con là 2 2 3 P(X== 2) C2 ()() 0,5 0, 5 == 0, 375. 4 8 b) Xác su ất để cĩ m ột con trai trong s ố b ốn đứ a con là 1 3 1 P(X== 1) C1 ()() 0,5 0,5 == 0,25. 4 4 c) Xác su ất để c ả b ốn đề u là trai 4 0 1 P(X== 4) C4 ()() 0,5 0,5 == 0,0625. 4 16 52
MATHEDUCARE.COM Bài 2. Một nhà máy s ản xu ất v ới t ỷ l ệ ph ế ph ẩm là 7% a) Quan sát ng ẫu nhiên 10 s ản ph ẩm. Tính xác su ất để i) cĩ đúng m ột ph ế ph ẩm, ii) cĩ ít nh ất m ột ph ế ph ẩm, iii) cĩ nhi ều nh ất m ột ph ế ph ẩm. b) H ỏi ph ải quan sát ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm để xác su ất nh ận được ít nh ất m ột ph ế ph ẩm ≥ 0, 9 . Gi ải a) G ọi X là s ố ph ế ph ẩm nh ận được trong 10 s ản ph ẩm thì X∼ B( 10; 0, 07 ) . i) Xác su ất để cĩ đúng 1 ph ế ph ẩm trong 10 s ản ph ẩm là 1 10− 1 P(X= 1) = C1 ( 0, 07) ( 1 − 0, 07 ) 10 9 =⋅10 0, 07 ⋅() 0, 93 = 0, 3643. ii) Xác su ất để cĩ ít nh ất m ột ph ế ph ẩm là P(X≥ 1) =− 1 P(X = 0) 0 10 10 =−0 ()()() =− = 1 C10 0, 07 0, 93 1 0, 93 0, 516. iii) Và xác su ất để cĩ nhi ều nh ất m ột ph ế ph ẩm là P(X≤= 1) P(X =+ 0) P(X = 1) 0 10 1 9 =0()()()() + 1 = C10 0, 07 0, 93 C 10 0, 07 0, 93 0, 8483. b) G ọi n là s ố s ản ph ẩm quan sát để xác su ất nh ận được ít nh ất m ột ph ế ph ẩm ≥ 0, 9 . V ới biến s ố X ch ỉ s ố ph ế ph ẩm nh ận được trong n l ần quan sát này thì X∼ B( n; 0.07 ) . Do P(X≥ 1) =− 1 P(X = 0) 0 n n =−0 ()()() =− 1 Cn 0, 07 0, 93 1 0, 93 . Từ P(X≥ 1) ≥ 0, 9 , ta đượ c b ất ph ươ ng t ŕnh n 1−( 0, 93) ≥ 0, 9 . 53
MATHEDUCARE.COM Gi ải b ất ph ươ ng t ŕnh trên, ta nh ận được giá tr ị n≥ 31,73 . V ậy ph ải quan sát ít nh ất 32 s ản ph ẩm. Bài 3. Trong s ố 20 cơng nhân c ủa m ột cơng ty cĩ 12 ng ười cĩ tay ngh ề khá. Tìm xác su ất để ki ểm tra ng ẫu nhiên tay ngh ề c ủa 5 cơng nhân thì cĩ ít nh ất 3 ng ười cĩ tay ngh ề khá. Gi ải Gọi X là s ố cơng nhân cĩ tay ngh ề trong 5 cơng nhân ki ểm tra thì X∼ H( 20,12, 5 ) . Xác su ất để cĩ ít nh ất 3 cơng nhân cĩ tay ngh ề là P(X≥= 3) PX( =+ 3) PX( =+ 4) PX( = 5 ) CC32 CC 41 CC 50 10912 =12 8 + 12 8 + 12 8 = = 0,704. 5 5 5 15504 C20 C 20 C 20 Bài 4. Để thanh tốn 1 tri ệu đồ ng ti ền hàng, m ột khách hàng gian l ận đã x ếp l ẫn 5 t ờ 50 ngàn đồng tiền gi ả v ới 15 t ờ ti ền th ật. Ch ủ c ửa hàng rút ng ẫu nhiên 3 t ờ gi ấy b ạc đem đi ki ểm tra và giao h ẹn n ếu phát hi ện cĩ b ạc gi ả thì c ứ m ỗi t ờ gi ả khách hàng ph ải đề n hai tờ th ật. Tìm s ố ti ền ph ạt mà khách cĩ th ể ph ải tr ả. Gi ải Gọi X là s ố t ờ gi ả trong 3 t ờ rút ra thì X∼ H( 20, 5, 3 ) . Bảng phân ph ối xác su ất c ủa X X 0 1 2 3 P 455 525 150 10 1140 1140 1140 1140 Gọi Y là s ố ti ền b ị ph ạt, ta cĩ Y= 100X Y 0 100 200 300 P 455 525 150 10 1140 1140 1140 1140 Trung bình s ố ti ền b ị ph ạt: EY= 75 ngàn đồng. 54
MATHEDUCARE.COM Bài 5. Một trung tâm b ưu điện nh ận được trung bình 3 cu ộc điện tho ại trong m ỗi phút. Tính xác su ất để trung tâm này nh ận được 1 cu ộc, 2 cu ộc, 3 cu ộc g ọi trong 1 phút, bi ết rằng s ố cu ộc g ọi trong m ột phút cĩ phân ph ối Poisson. Gi ải Gọi X là s ố cu ộc g ọi nh ận được trong 1 phút thì X cĩ phân ph ối Poisson v ới trung bình 3, ngh ĩa là X∼ P(3) . Xác su ất để trung tâm b ưu điện nh ận được 1 cu ộc, 2 cu ộc và 3 cu ộc g ọi trong 1 phút lần l ượt là 1 − 3 P(X= 1) = e3 = 0,1494 , 1! 2 − 3 P(X= 2) = e3 = 0, 224 , 2! 3 − 3 và P(X= 3) = e3 = 0, 224 . 3! Bài 6. Khi tiêm truy ền m ột lo ại huy ết thanh, trung bình cĩ m ột tr ường h ợp ph ản ứng trên 1000 tr ường h ợp. Dùng lo ại huy ết thanh này tiêm cho 2000 ng ười. Tính xác su ất để a) cĩ 3 tr ường h ợp ph ản ứng, b) cĩ nhi ều nh ất 3 tr ường h ợp ph ản ứng, c) cĩ nhi ều h ơn 3 tr ường h ợp ph ản ứng. Gi ải 1 Do xác su ất để m ột ng ười b ị ph ản ứng v ới lo ại huy ết thanh này là 1000 nên v ới X ch ỉ số ng ười b ị ph ản ứng v ới lo ại huy ết thanh này trong 2000 ng ười thì X∼ B(2000; 0, 001) . Vì p= 0, 001 < 0, 01 và np= 2 < 5 nên phân ph ối nh ị th ức cĩ th ể x ấp x ỉ b ằng phân ph ối Poisson, ngh ĩa là X∼ P(2000⋅ 0, 001) = P(2) . a) V ậy, xác su ất để cĩ ba tr ường h ợp ph ản ứng trong 1000 tr ường h ợp là 3 −2 4 − P(X== 3) e2 = e 2 = 0,18 . 3! 3 55
MATHEDUCARE.COM b) Xác su ất cĩ nhi ều nh ất 3 tr ường h ợp ph ản ứng trong 1000 tr ường h ợp là P(X≤= 3) P(X =+ 0) P(X =+ 1) P(X =+ 2) P(X = 3) − −−4 − 16 − =+e2 2e 22 ++ e e 2 = e 2 = 0,722. 3 3 c) Và xác xu ất cĩ nhi ều h ơn 3 tr ường h ợp ph ản ứng là P(X> 3) =− 1 P(X ≤ 3) 16 − =1 − e2 = 0, 278. 3 Bài 7. Tỷ l ệ m ột lo ại b ệnh b ẩm sinh trong dân s ố là p= 0, 01 . B ệnh này c ần s ự ch ăm sĩc đặc bi ệt lúc m ới sinh. M ột nhà b ảo sinh th ường cĩ 20 ca sinh trong m ột tu ần. Tính xác su ất để a) khơng cĩ tr ường h ợp nào c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt, b) cĩ đúng m ột tr ường h ợp c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt, c) cĩ nhi ều h ơn m ột tr ường h ợp c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt. Tính b ằng quy lu ật nh ị th ức r ồi dùng quy lu ật Poisson để so sánh k ết qu ả khi ta x ấp xỉ phân ph ối nh ị th ức B(n; p) bằng phân ph ối poisson P(np) . Gi ải Gọi X là s ố tr ường h ợp c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt trong 20 ca sinh. Ta cĩ X∼ B(20; 0, 01) . a) Xác su ất để khơng cĩ tr ường h ợp nào c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt là 0 20 P(X= 0) = C0 ( 0, 01) ( 1 − 0, 01) ) 20 20 =()0, 99 = 0, 8179. b) Xác su ất để cĩ đúng m ột tr ường h ợp c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt là 1 20− 1 P(X= 1) = C1 ( 0, 01) ( 1 − 0, 01) ) 20 19 =⋅20()() 0, 01 ⋅ 0, 99 = 0,1652. c) Xác su ất cĩ nhi ều h ơn m ột tr ường h ợp c ần ch ăm sĩc đặ c bi ệt là P(X>=− 1) 1 P(X =+ 0) P(X = 1)    =−1 (0, 8179 + 0,1652) = 0, 0168. 56
MATHEDUCARE.COM Khi x ấp x ỉ phân ph ối nh ị th ức b ằng phân ph ối Poisson, ngh ĩa là X∼ P(20⋅ 0, 01) = P(0, 2) , ta nh ận được P(X= 0) = e−0,2 = 0, 8187 , 1 − (0, 2) P(X= 1) = e0,2 = 0,1637 , 1! và P(X>=− 1) 1 P(X =+ 0) P(X = 1)    =−1 (0, 8187 + 0,1637) = 0, 01755. Kết lu ận : V ới c ỡ m ẫu 20 và t ỷ l ệ b ệnh p= 0, 01 thì k ết qu ả c ủa hai lo ại phân ph ối này x ấp x ỉ nh ư nhau. Bài 8. Đường kính c ủa m ột chi ti ết máy do m ột máy ti ện t ự độ ng s ản xu ất cĩ phân ph ối chu ẩn v ới trung bình µ = 50 mm và độ l ệch chu ẩn σ = 0, 05 mm. Chi ti ết máy được xem là đạt yêu c ầu nếu đường kính khơng sai quá 0,1mm. a) Tính t ỷ l ệ s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu. b) L ấy ng ẫu nhiên 3 s ản ph ẩm. Tính xác su ất cĩ ít nh ất m ột s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu. Gi ải Gọi X là đường kính c ủa chi ti ết máy thì X∼ N(;µ σ 2 ) , v ới µ = 50 mm và σ = 0, 05 mm. a) Xét bi ến c ố A : “nh ận được s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu”, ta cĩ P( A) = P( 49, 9 ≤ X ≤ 50,1 ) . X− µ X − 50 Mặt khác, n ếu ta đặ t Y = = , thì Y∼ N(0;1) . Do đĩ σ 0, 05 49, 9− 50 X − 50 50,1 − 50  P() 49, 9≤≤= X 50,1 P  ≤ ≤  0, 05 0, 05 0, 05  =P2()()()() −≤ X ≤ 2 =ϕ 2 −ϕ− 2 =ϕ 22 = 0,9544. Vậy xác su ất để nh ận được s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu là 95,44%. b) G ọi X là s ố s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu trong 3 s ản ph ẩm l ấy ra thì X∼ B( 3; 0, 9544 ) . 57
MATHEDUCARE.COM Suy ra xác su ất để cĩ ít nh ất m ột s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu là PX( ≥ 1) =− 1PX( = 0 ) 3 = −0 ()()0 − 1 C3 0, 9544 1 0, 9544 3 =1 −() 0, 0456 = 0, 9999. Bài 9. Tr ọng l ượng X (tính b ằng gam) m ột lo ại trái cây cĩ phân ph ối chu ẩn N(µ ; σ 2 ) , v ới µ = 500(gam) và σ2 = 16(gam 2 ) . Trái cây thu ho ạch được phân lo ại theo tr ọng l ượng nh ư sau : a) lo ại 1 : trên 505 gam, b) lo ại 2 : t ừ 495 đế n 505 gam, c) lo ại 3 : d ưới 495 gam. Tính t ỷ l ệ m ỗi lo ại. Gi ải X− 500 Gọi X là tr ọng l ượng trái cây thì X∼ N(µ ; σ2) = N( 500; 4 2 ) . V ới Y = thì 4 Y∼ N( 0;1 ) . Do đĩ a) T ỷ l ệ trái cây lo ại 1 là X− 500 505 − 500  P() X> 505 = P  >  4 4  =P()()()() X > 1, 25 =ϕ+∞−ϕ 1, 25 = 0, 5 −ϕ 1, 25 = 0,10565. b) T ỷ l ệ trái cây lo ại 2 là 495− 500 X − 500 505 − 500  P() 495≤≤= X 505 P  ≤ ≤  4 4 4  =−P() 1, 25 ≤≤ Y 1, 25 = 0,7887. c) Và t ỷ l ệ c ủa lo ại 3 là X− 500 495 − 500 PX495P(()< = < ) 4 4 =PY()()() <− 1,25 =ϕ− 1,25 −ϕ−∞ =−ϕ()1, 25 + 0, 5 = 0,10565. 58
MATHEDUCARE.COM Vậy, trái cây thu ho ạch được cĩ kho ảng 11% lo ại 1, 78% lo ại 2 và 11% lo ại 3. Bài 10. Một máy s ản xu ất ra sản ph ẩm lo ại A v ới xác su ất 0,485. Tính xác su ất trong 200 sản ph ẩm do máy s ản xu ất ra cĩ ít nh ất 95 s ản ph ẩm lo ại A. Gi ải Gọi X là s ố s ản ph ẩm lo ại A trong 200 do máy s ản xu ất ra. Ta cĩ X∼ B(200; 0, 485) Ta cĩ np= 200 ⋅ 0, 485 => 97 5 và nq= 200 ⋅ 0,515 = 103 > 5 2 2 σ==⋅X npq 200 0, 485 ⋅ 0,515 = 49, 955 ≈ (7, 07) . 2 Ta x ấp x ỉ phân ph ối nh ị th ức b ằng phân ph ối chu ẩn, ngh ĩa là X∼ N( 97,() 7, 07 ) . Với X− 97 Y = thì Y∼ N( 0;1 ) . Do đĩ xác su ất cĩ ít nh ất 95 s ản ph ẩm lo ại A 7, 07 P( X≥ 95) = P( 95 ≤≤ X 200 )   95− 97 X − 97 200 − 97  =P ≤ ≤   7, 07 7, 07 7, 07   =P() − 0, 28 ≤≤ Y 14,57 =ϕ(14,57) −ϕ−( 0, 28) = 0,5 + 0,1103 = 0, 6103. 3.2. Bài t ập rèn luy ện Bài 1. Xác su ất để m ột con gà đẻ trong ngày là 0,6. Nuơi 5 con. 1) Tính xác su ất để trong m ột ngày : a) khơng con nào đẻ, b) c ả 5 con đẻ, c) cĩ ít nh ất 1 con đẻ , d) cĩ ít nh ất 2 con đẻ . 2) N ếu mu ốn m ỗi ngày cĩ trung bình 100 tr ứng thì ph ải nuơi bao nhiêu con gà. Đáp s ố: 1) a) 0,01024; b) 0,07776; c) 0,98976; d) 0,91296; 2) 167 con. Bài 2. Một s ọt cam cĩ 10 trái trong đĩ cĩ 4 trái h ư. L ấy ng ẫu nhiên ra 3 trái. a) Tính xác su ất l ấy được 3 trái h ư. 59
MATHEDUCARE.COM b) Tính xác su ất l ấy được 1 trái h ư c) Tính xác su ất l ấy được ít nh ất 1 trái h ư. d) Tính xác su ất l ấy được nhi ều nh ất 2 trái h ư. Đáp s ố: a) 0,033; b) 0,5; c) 0,83; d) 0,967. Bài 3. Một máy d ệt cĩ 4000 ống s ợi. Xác su ất để m ỗi ống s ợi b ị đứ t trong 1 phút là 0,0005. Tính xác suất để trong 1 phút a) cĩ 3 ống s ợi b ị đứ t, b) cĩ ít nh ất 2 ống s ợi b ị đứ t. Đáp s ố: a) 0,18; b) 0,595. Bài 4. Một t ổng đài b ưu điện cĩ các cu ộc điện tho ại g ọi đế n xu ất hi ện ng ẫu nhiên, độc lập v ới nhau và cĩ t ốc độ trung bình 2 cu ộc g ọi trong 1 phút. Bi ết r ằng s ố cu ộc g ọi trong một kho ảng th ời gian c ố đị nh cĩ phân ph ối Poisson. Tìm xác su ất để a) cĩ đúng 5 cu ộc điện tho ại trong 2 phút, b) khơng cĩ cu ộc điện tho ại nào trong kho ảng th ời gian 30 giây, c) cĩ ít nh ất 1 cu ộc điện tho ại trong kho ảng th ời gian 10 giây. Đáp s ố: a) 0,1563; b) 0,3679; c) 0,284. Bài 5. Xác su ất để m ột máy s ản xu ất ra ph ế ph ẩm là 0,02. a) Tính xác su ất để trong 10 s ản ph ẩm do máy s ản xu ất cĩ khơng quá 1 ph ế ph ẩm. b) M ột ngày máy s ản xu ất được 250 s ản ph ẩm. Tìm s ố ph ế ph ẩm trung bình và s ố ph ế ph ẩm tin ch ắc nh ất c ủa máy đĩ trong m ột ngày. Đáp s ố: a) 0,98; b) EX= 5; Mod(X) = 5. Bài 6. Xác suất để m ột máy s ản xu ất ra s ản ph ẩm lo ại A là 0,25. Tính xác su ất để trong 80 s ản ph ẩm do máy s ản xu ất ra cĩ t ừ 25 đế n 30 s ản ph ẩm lo ại A. Đáp s ố: 0,0936. Bài 7. Gieo 100 h ạt gi ống c ủa m ột lo ại nơng s ản. Xác su ất n ảy m ầm c ủa m ỗi h ạt là 0,8. Tính xác su ất để cĩ ít nh ất 90 h ạt n ảy m ầm. 60
MATHEDUCARE.COM Đáp s ố: 0,0062. Bài 8. Cĩ 8000 s ản ph ẩm trong đĩ cĩ 2000 s ản ph ẩm khơng đạ t tiêu chu ẩn k ỹ thu ật. L ấy ng ẫu nhiên (khơng hồn l ại) 10 s ản ph ẩm. Tính xác su ất để trong 10 s ản ph ẩm l ấy ra cĩ 2 sản ph ẩm khơng đạ t tiêu chu ẩn. Đáp s ố: 0,282. Bài 9. Gi ả s ử xác su ất trúng s ố là 1%. M ỗi tu ần mua m ột vé s ố. H ỏi ph ải mua vé s ố liên ti ếp trong t ối thi ểu bao nhiêu tu ần để cĩ khơng ít h ơn 95% hy v ọng trúng s ố ít nh ất 1 l ần. Đáp s ố: 296. Bài 10. Bưu điện dùng m ột máy t ự độ ng đọc đị a ch ỉ trên bì th ư để phân lo ại t ừng khu v ực gởi đi, máy cĩ kh ả n ăng đọ c được 5000 bì th ư trong 1 phút. Kh ả n ăng đọ c sai 1 đị a ch ỉ trên bì th ư là 0,04% (xem nh ư vi ệc đọ c 5000 bì th ư này là 5000 phép th ử độ c l ập). a) Tính s ố bì th ư trung bình m ỗi phút máy đọc sai. b) Tính s ố bì th ư tin ch ắc nh ất trong m ỗi phút máy đọ c sai. c) Tính xác su ất để trong m ột phút máy đọ c sai ít nh ất 3 bì th ư. Đáp s ố: a) 2; b) 2; c) 0,3233. Bài 11. Gi ả s ử t ỷ l ệ dân c ư m ắc b ệnh A trong vùng là 10%. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 nhĩm 400 ng ười. a) Vi ết cơng th ức tính xác su ất để trong nhĩm cĩ nhi ều nh ất 50 ng ười m ắc b ệnh A. b) Tính x ấp x ỉ xác su ất đĩ b ằng phân ph ối chu ẩn. Đáp s ố: b) 0,9525. Bài 12. Sản ph ẩm sau khi hồn t ất được đĩng thành ki ện, m ỗi ki ện g ồm 10 s ản ph ẩm v ới tỷ l ệ th ứ ph ẩm là 20%. Tr ước khi mua hàng, khách hàng mu ốn ki ểm tra b ằng cách t ừ m ỗi ki ện ch ọn ng ẫu nhiên 3 s ản ph ẩm. 1) Lập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa s ố s ản ph ẩm t ốt trong 3 s ản ph ẩm l ấy ra. 2) N ếu c ả 3 s ản ph ẩm được l ấy ra đề u là s ản ph ẩm t ốt thì khách hàng s ẽ đồ ng ý mua ki ện hàng đĩ. Tính xác su ất để khi ki ểm tra 100 ki ện a) cĩ ít nh ất 80 ki ện hàng được mua, 61
MATHEDUCARE.COM b) cĩ ít nh ất 60 ki ện được mua. Đáp s ố: a) X 0 1 2 3 P 0 0,066 0,467 0,467 b) 0,0038. Bài 13. Một tr ạm cho thuê xe Taxi cĩ 3 chi ếc xe. Hàng ngày tr ạm ph ải n ộp thu ế 8USD cho 1 chi ếc xe (b ất k ể xe đĩ cĩ được thuê hay khơng). M ỗi chi ếc được cho thuê v ới giá 20USD. Gi ả s ử s ố xe được yêu c ầu cho thuê c ủa tr ạm trong 1 ngày là đại l ượng ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối Poisson v ới µ = 2, 8 . a) Tính s ố ti ền trung bình tr ạm thu được trong m ột ngày. b) Gi ải bài tốn trên trong tr ường h ợp tr ạm cĩ 4 chi ếc xe. c) Theo b ạn, tr ạm nên cĩ 3 hay 4 chi ếc xe ? Đáp s ố: a) 20,76 ; b) ; c) . Bài 14. Đường kính c ủa m ột lo ại chi ti ết do m ột máy s ản xu ất cĩ phân ph ối chu ẩn, k ỳ vọng 20mm, ph ươ ng sai (0, 2mm) 2 . L ấy ng ẫu nhiên 1 chi ti ết máy. Tính xác su ất để a) cĩ đường kính trong kho ảng 19,9mm đế n 20,3mm, b) cĩ đường kính sai khác v ới k ỳ v ọng khơng quá 0,3mm. Đáp s ố: a) 0,6247; b) 0,8664. Bài 15. Trong h ệ th ống t ỷ giá h ối đối th ả n ổi, s ự bi ến độ ng c ủa t ỷ giá h ối đối ch ịu s ự tác động c ủa nhi ều nhân t ố và cĩ th ể xem nh ư là bi ến ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối chu ẩn. Gi ả sử ở giai đoạn nào đĩ t ỷ giá c ủa USD v ới VND cĩ trung bình là 18000 đ và độ l ệch chu ẩn là 800 đ. Tìm xác su ất để trong m ột ngày nào đĩ. a) Tỷ giá s ẽ cao h ơn 19000 đ, b) Tỷ giá s ẽ th ấp h ơn 17500 đ, c) Tỷ giá n ằm trong kho ảng từ 17500 đ đế n 19500. Đáp s ố: a) 0,1056; b) 0,2643; c) 0,7342. 62
MATHEDUCARE.COM Bài 16. Kh ối lượng c ủa m ột gĩi đường ( đĩng b ằng máy t ự độ ng) cĩ phân ph ối chu ẩn. Trong 1000 gĩi đường cĩ 70 gĩi cĩ kh ối l ượng l ớn h ơn 1015. Hãy ước l ượng xem cĩ bao nhiêu gĩi đường cĩ kh ối lượng ít h ơn 1008g. Bi ết r ằng kh ối lượng trung bình c ủa 1000 gĩi đường là 1012g. Đáp s ố: 24,4 gĩi. Bài 17. Lãi su ất (%) đầ u t ư vào m ột d ự án n ăm 2000 được coi nh ư 1 đại l ượng ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối theo quy lu ật chu ẩn. Theo đánh giá c ủa u ỷ ban đầ u t ư thì lãi su ất cao hơn 20% cĩ xác su ất 0,1587, và lãi su ất cao h ơn 25% cĩ xác su ất là 0,0228. V ậy kh ả năng đầu t ư mà khơng b ị thua l ỗ là bao nhiêu?. Đáp s ố: 0,9987. Bài 18. Một cơng ty kinh doanh m ặt hàng A d ự đị nh s ẽ áp d ụng m ột trong 2 ph ươ ng án kinh doanh. Ký hi ệu X1 là l ợi nhu ận thu được khi áp d ụng ph ươ ng án th ứ 1, X2 là l ợi nhu ận thu được khi áp d ụng ph ươ ng án th ứ 2. X1 , X2 đều được tính theo đơn v ị tri ệu ( ) ( ) đồng/ tháng) và X1 ∼ N 140, 2500 , X2 ∼ N 200, 3600 . N ếu bi ết r ằng, để cơng ty t ồn t ại và phát tri ển thì lợi nhu ận thu được t ừ m ặt hàng kinh doanh A ph ải đạ t ít nh ất 80 tri ệu đồng/tháng. Hãy cho bi ết cơng ty nên áp d ụng ph ươ ng án nào để kinh doanh m ặt hàng A? Vì sao?. Đ ố ọ ươ ứ áp s : P( X1 ≥= 80) 0, 8849 < P( X2 ≥= 80) 0, 9772, ch n ph ng án th 2. Bài 19. Độ dài c ủa m ột chi ti ết máy được ti ện ra cĩ phân ph ối chu ẩn N(µ cm; (0, 2cm)2 ) . Sản ph ẩm coi là đạt n ếu độ dài sai l ệch so với độ dài trung bình khơng quá 0,3cm. a) Tính xác su ất ch ọn ng ẫu nhiên 1 s ản ph ẩm thì được s ản ph ẩm đạt yêu c ầu. b) Ch ọn ng ẫu nhiên 3 s ản ph ẩm. Tính xác su ất cĩ ít nh ất 2 s ản ph ẩm đạ t yêu c ầu . c) N ếu s ản ph ẩm t ốt mà b ị lo ại trong ki ểm tra thì mắc ph ải sai l ầm lo ại 1, n ếu s ản ph ẩm khơng đạ t mà được nh ận thì mắc ph ải sai l ầm lo ại 2. gi ả s ử kh ả n ăng m ắc ph ải sai lầm lo ại 1, lo ại 2 l ần l ượt là 0,1 và 0,2. Tính xác su ất để trong 3 l ần ki ểm tra hồn tồn khơng nh ầm l ẫn. Đáp s ố a) 0,8664; b) 0,9512; c) 0,697. 63
MATHEDUCARE.COM Bài 20. Kh ối lượng c ủa 1 lo ại trái cây cĩ quy lu ật phân ph ối chu ẩn v ới kh ối lượng trung bình là 250g, độ l ệch chu ẩn v ề kh ối lượng là 5g. a) M ột ng ười l ấy 1 trái t ừ trong s ọt trái cây ra. Tính xác suất ng ười này l ấy được trái lo ại 1 (trái lo ại 1 là trái cĩ kh ối lượng > 260g) b) N ếu l ấy được trái lo ại 1 thì ng ười này s ẽ mua s ọt đĩ. Ng ười này ki ểm tra 100 s ọt, tính xác su ất mua được 6 s ọt. Đáp s ố: a) 0,0228; b) 0,02. Bài 21. Cĩ hai th ị tr ường A và B, lãi su ất c ủa c ổ phi ếu trên hai th ị tr ường này là các đại l ượng ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối chu ẩn, độ c l ập v ới nhau, cĩ k ỳ v ọng và ph ươ ng sai được cho trong bảng d ưới đây: Trung bình Ph ươ ng sai Th ị tr ường A 19% 36 Th ị tr ường B 22% 100 a) N ếu m ục đích là đạt lãi su ất t ối thi ểu b ằng 10% thì nên đầu t ư vào lo ại c ổ phi ếu nào? b) Để tránh r ủi ro thì nên đầu t ư vào c ổ phi ếu trên c ả hai th ị tr ường theo t ỷ l ệ nh ư th ế nào? Đáp s ố: a) nên đầu t ư vào c ổ phi ếu trên th ị tr ường lo ại A. b) 74% vào th ị tr ường A cịn l ại là th ị tr ường B. Bài 22. Nghiên c ứu chi ều cao c ủa nh ững ng ười tr ưởng thành, ng ười ta nh ận th ấy r ằng chi ều cao đĩ tuân theo quy lu ật phân b ố chu ẩn v ới trung bình là 175cm và độ l ệch tiêu chu ẩn 4cm. Hãy xác định : a) Tỷ l ệ ng ười tr ưởng thành cĩ chi ều cao trên 180cm, b) T ỷ l ệ ng ười tr ưởng thành cĩ chi ều cao t ừ 166cm đế n 177cm, c) Giá tr ị h0 , n ếu bi ết r ằng 33% ng ười tr ưởng thành cĩ chi ều cao dưới m ức h0 , d) Giới h ạn bi ến độ ng chi ều cao c ủa 90% ng ười tr ưởng thành xung quanh giá tr ị trung bình c ủa nĩ. 64
MATHEDUCARE.COM Đáp s ố: a) 0,1056; b) 0,6793; c) 173,24; d) 6,6. Bài 23. Chi ều dài c ủa chi ti ết được gia cơng trên máy t ự độ ng là bi ến ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật phân ph ối chuẩn v ới độ l ệch tiêu chu ẩn là 0,01mm. Chi ti ết được coi là đạt tiêu chu ẩn n ếu kích th ước th ực t ế c ủa nĩ sai l ệch so v ới kích th ước trung bình khơng v ượt quá 0,02mm. a) Tìm tỷ l ệ chi ti ết khơng đạt tiêu chu ẩn. b) Xác định độ đồ ng đề u (ph ươ ng sai) c ần thi ết c ủa s ản ph ẩm để t ỷ l ệ chi ti ết khơng đạt tiêu chu ẩn ch ỉ cịn 1%. 2 Đáp s ố: a) 0,9544; b) (7,7.10 −3 ) . Bài 24. Kh ối lượng X c ủa m ột lo ại trái cây ở nơng tr ường được bi ết cĩ k ỳ v ọng 250gr và ph ươ ng sai 81 ()gr 2 . Trái cây được đĩng thành s ọt, m ỗi s ọt 100 trái. M ỗi s ọt được g ọi là lo ại A n ếu kh ối lượng khơng d ưới 25kg. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 100 s ọt. Tính xác su ất : a) cĩ nhi ều nh ất 60 s ọt lo ại A, b) ít nh ất 45 sọt lo ại A. Đáp s ố: a) 0,0228; b) 0,1587. Bài 25. Vi ệc ki ểm tra các viên bi được ti ến hành nh ư sau: n ếu viên bi khơng l ọt qua l ỗ cĩ đường kính d1 song l ọt qua l ỗ cĩ đường kính d2 thì viên bi được coi là đạt tiêu chu ẩn, nếu khơng thì viên bi b ị lo ại. Bi ết đường kính các viên bi s ản xu ất ra là bi ến ng ẫu nhiên d+ d d− d cĩ phân ph ối chu ẩn v ới trung bình là 1 2 và độ l ệch chu ẩn là 2 1 . Tìm xác 2 4 su ất để viên bi b ị lo ại. Đáp s ố: 0,0456. 65
MATHEDUCARE.COM Ch ươ ng 4. MẪU VÀ ƯỚC L ƯỢNG THAM S Ố 4.1. Tĩm t ắt lý thuy ết Đối v ới s ố li ệu t ổng th ể cĩ N ph ần t ử, X1 , X 2 , , X N , ng ười ta quan tâm đế n các tham s ố sau: 1 N - Trung bình tổng th ể: µ = X , N ∑ i i= 1 N 1 2 - Ph ươ ng sai tổng th ể: σ=2 ()X −µ , N ∑ i i= 1 K - Tỷ l ệ t ổng th ể: p = , trong đĩ K là các X th ỏa m ột tính ch ất nào đĩ. N i Khi khơng cĩ s ố li ệu cho tồn b ộ t ổng th ể, ng ười ta dùng m ột m ẫu X1 ,X 2 , ,X n , trích ta t ừ t ổng th ể, và t ừ đĩ ta cĩ các tham s ố tính tốn trên m ẫu, ng ười ta tìm cách ước l ượng các tham s ố t ổng th ể. Cĩ hai lo ại ước l ượng: 4.1.1. Ước l ượng điểm Ước l ượng điểm t ốt nh ất c ủa trung bình t ổng th ể, µ , là trung bình m ẫu: 1 n X= X , n ∑ i i= 1 Ước l ượng điểm t ốt nh ất c ủa ph ươ ng sai t ổng th ể, σ2 , là ph ươ ng sai m ẫu cĩ hi ệu ch ỉnh: n 1 2 S2 =() X − X , Xn− 1 ∑ i i= 1 Ước l ượng điểm t ốt nh ất c ủa t ỷ l ệ t ổng th ể, p , là t ỷ l ệ m ẫu: k f = , n trong đĩ k là X i th ỏa tính ch ất tươ ng ứng trên m ẫu. 4.1.2. Ước l ượng kho ảng µ σ2 = σ 2 a) Ước l ượng trung bình t ổng th ể khi bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể 0 : 66
MATHEDUCARE.COM Ta dùng th ống kê (X− µ ) n Z= ∼ N() 0,1 σ 0 σ Trong th ống kê này, X (trung bình m ẫu), n (c ỡ m ẫu) đã bi ết, 0 (độ l ệch chu ẩn t ổng th ể γ = ) cho tr ước. Với độ tin c ậy cho tr ước, ta cĩ C Z γ 2 Kho ảng ước l ượng c ủa trung bình t ổng th ể µ , được ký hi ệu σ σ σ  µ =X ± C 0 hay µ∈−X C0 ,X + C 0  n n n  b) Ước l ượng trung bình t ổng th ể µ khi ch ưa bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể σ2 : Ta dùng th ống kê (X− µ ) n T=∼ St(n − 1) . SX Trong th ống kê này, X (trung bình m ẫu), n (c ỡ m ẫu), SX (độ l ệch chu ẩn m ẫu cĩ hi ệu γ α= −γ = n− 1 ch ỉnh) đã bi ết. V ới độ tin c ậy cho tr ước, ta cĩ 1 suy ra C t α Kho ảng ước l ượng c ủa trung bình t ổng th ể µ , được ký hi ệu S S S  µ =X ± C X hay µ∈−X CX ,X + C X  n n n  σ2 µ = µ c) Ước l ượng ph ươ ng sai t ổng th ể khi bi ết trung bình tổng th ể 0 : Ta dùng th ống kê n 1 2 Y=() X −µ∼ χ 2 (n) . σ2 ∑ i 0 i= 1 µ Trong th ống kê này, X i (số li ệu c ủa mẫu), n (c ỡ m ẫu) đã bi ết, 0 (trung bình tổng th ể ) cho tr ước. V ới độ tin c ậy γ cho tr ước, ta ch ọn kho ảng tin c ậy cho Y : a, b  =χ2 =χ 2 Với aα (n), b α (n) 1− 2 2 67
MATHEDUCARE.COM Kho ảng ước l ượng c ủa ph ươ ng sai tổng th ể σ2 n n 12 1 2  σ∈2 ()X −µ ;() X −µ  b∑i0 a ∑ i0 i1= i1 =  d) Ước l ượng ph ương sai t ổng th ể σ2 khi ch ưa bi ết trung bình t ổng th ể µ : Ta dùng th ống kê (n− 1)S 2 Y=X ∼ χ2 (n − 1) . σ2 2 Trong th ống kê này, SX (ph ươ ng sai m ẫu cĩ hi ệu ch ỉnh), n (c ỡ m ẫu) đã bi ết, với độ tin cậy γ cho tr ước, ta ch ọn kho ảng tin c ậy cho Y : a, b  , v ới =χ2 − =χ 2 − aα (n 1), b α (n 1) 1− 2 2 Kho ảng ước l ượng c ủa ph ươ ng sai t ổng th ể σ2 (n− 1)S2 (n − 1)S 2  σ2 ∈ X, X  b a  e) Ước l ượng t ỷ l ệ t ổng th ể p : Ta dùng th ống kê (f− p) n T=∼ St(n − 1) . f (1− f ) Trong th ống kê này, f (t ỷ l ệ m ẫu), n (c ỡ m ẫu) đã bi ết. V ới độ tin c ậy γ cho tr ước, ta cĩ α= −γ = n− 1 1 suy ra C t α Kho ảng ước l ượng c ủa tỷ l ệ tổng th ể p , được ký hi ệu f (1− f ) f(1− f) f(1 − f)  p= f ± C hay p∈ fC − ;fC +  n n n  4.2. Bài t ập m ẫu Bài 1. Phân tích Vitamin c ủa 17 m ẫu, ta được X= 20mg . Bi ết r ằng l ượng Vitamin cĩ phân ph ối chu ẩn N(µ ; σ 2 ) với σ = 3, 98mg . 68
MATHEDUCARE.COM a) Hãy ước l ượng l ượng Vitamin trung bình v ới độ tin c ậy 95%. b) Nếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 1mg ở độ tin c ậy 95% thì ph ải quan sát ít nh ất mấy tr ường h ợp. Gi ải a) Để ước lượng trung bình t ổng th ể µ khi bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể ta dùng th ống kê (X− µ ) n Z= ∼ N(0,1) . σ 0 Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (20− µ ) 17 Z= ∼ N(0,1). 3,98 Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng l ượng Vitamin trung bình µ cho b ởi σ 3, 98 µ=±X C0 = 20 ± 1, 96 , n 17 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 18,11;21, 89  . σ b) Ta cĩ sai s ố ước l ượng là C 0 nên n ếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 1mg, ta n σ ph ải cĩ C0 ≤ 1 n Với độ tin c ậy 0,95, thì C= 1, 96 và ta nh ận được b ất ph ươ ng trình 2 2 σ  3,98  n≥ C0  = 1, 96  = 60, 85 . 1   1  Vậy ph ải phân tích ít nh ất 61 tr ường h ợp. Bài 2. Doanh s ố c ủa m ột c ửa hàng là bi ến s ố ng ẫu nhiên cĩ phân ph ối chu ẩn v ới độ l ệch chu ẩn là 2 tri ệu/tháng. Điều tra ng ẫu nhiên doanh s ố c ủa 600 c ửa hàng cĩ quy mơ t ươ ng t ự nhau tìm được doanh s ố trung bình là 8,5 tri ệu. V ới độ tin c ậy 95% hãy ước l ượng doanh s ố trung bình c ủa các c ửa hàng thu ộc quy mơ đĩ. 69
MATHEDUCARE.COM Gi ải Để ước l ượng trung bình t ổng th ể µ khi bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể ta dùng th ống kê (X− µ ) n Z= ∼ N(0,1) . σ 0 Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (8,5− µ ) 600 Z= ∼ N(0,1). 2 Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng doanh s ố trung bình µ cho b ởi σ 2 µ=±X C0 = 8,5 ± 1, 96 , n 600 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 8, 34; 8, 66  . Bài 3. Đo chi ều sâu c ủa bi ển b ằng m ột lo ại d ụng c ụ cĩ sai s ố chu ẩn tuân theo quy lu ật chu ẩn với ph ươ ng sai b ằng 400 (m2 ) . Ph ải đo bao nhiêu l ần độ c l ập v ới nhau để k ết qu ả cĩ sai s ố khơng quá 15 m v ới độ tin c ậy 95%. Gi ải σ Ta cĩ sai s ố ước l ượng là C 0 nên n ếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 15 m, ta ph ải n σ cĩ C0 ≤ 15 n Với độ tin c ậy 0,95, thì C= 1, 96 và ta nh ận được b ất ph ươ ng trình 2 2 σ  20  n≥ C0  = 1,96  = 6, 83 . 15   15  Vậy ph ải đo ít nh ất 7 l ần. Bài 4. Đo đường kính X(mm) của m ột chi ti ết máy do m ột máy ti ện tự độ ng s ản xu ất, ta ghi nh ận được s ố li ệu nh ư sau: X 12,00 12,05 12,10 12,15 12,20 12,25 12,30 12,35 12,40 70
MATHEDUCARE.COM N 2 3 7 9 10 8 6 5 3 a) Tính trung bình m ẫu và độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu cĩ hi ệu ch ỉnh. b) Ước l ượng đường kính trung bình t ổng thể µ ở độ tin c ậy 95%. c) Nếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 0,02mm ở độ tin c ậy 95% thì ph ải quan sát ít nh ất m ấy tr ường h ợp. Gi ải a) Ta được c ỡ m ẫu n= 53, trung bình m ẫu X= 12, 21, độ l ệch chu ẩn mẫu cĩ hi ệu = ch ỉnh SX 0,103 b) Để ước l ượng trung bình t ổng th ể µ khi ch ưa bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể ta dùng th ống kê (X− µ ) n T=∼ St(n − 1) . SX Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (12, 21− µ ) 53 T=∼ St(52) ≡ N(0,1). 0,103 Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng đường kính trung bình µ cho b ởi S 0,103 µ=±X CX = 12, 21 ± 1, 96 , n 53 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 12,18;12, 24  . S c) Ta cĩ sai s ố ước l ượng là C X nên n ếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 0,02mm, n S ta ph ải cĩ CX ≤ 0, 02 n Với độ tin c ậy 0.95, thì C= 1, 96 và ta nh ận được b ất ph ươ ng trình 2 2 S  0,103  n≥ CX  = 1, 96  = 101, 89 . 0, 02   0, 02  71
MATHEDUCARE.COM Vậy ph ải quan sát ít nh ất 102 tr ường h ợp. Bài 5. Cân ng ẫu nhiên 45 con heo 3 tháng tu ổi trong m ột tr ại ch ăn nuơi, ta được k ết qu ả sau Xi 35 37 39 41 43 45 47 ni 2 6 10 11 8 5 3 Gi ả s ử kh ối l ượng X (kg) tuân theo quy lu ật phân ph ối chu ẩn. a) Hãy ước l ượng kho ảng cho kh ối l ượng trung bình các con heo 3 tháng tu ổi trong tr ại trên v ới độ tin c ậy 95%. b) Heo cĩ kh ối l ượng ≥ 38kg là heo đạt tiêu chu ẩn. Hãy tìm ước l ượng tỷ l ệ heo đạ t chu ẩn v ới độ tin c ậy 90%. Gi ải = = 2 = Với s ố li ệu, ta cĩ : c ỡ m ẫu n 45 , trung bình X 40, 96 , ph ươ ng sai SX 9,73 . a) Để ước l ượng trung bình t ổng th ể µ khi ch ưa bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể ta dùng th ống kê (X− µ ) n T=∼ St(n − 1) . SX Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (40, 96− µ ) 45 T=∼ St(44) ≡ N(0,1). 3,12 Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng kh ối l ượng trung bình µ cho b ởi S 3,12 µ=±X CX = 40, 96 ± 1,96 , n 45 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 40,5kg; 41, 87kg  . f=10+ 11 +++ 8 5 3 ≈ 0, 8222 b) Tỷ l ệ heo đạ t tiêu chu ẩn là 45 . Để ước t ỷ l ệ t ổng th ể p , ta dùng th ống kê 72
MATHEDUCARE.COM (f− p) n T=∼ St(n − 1) . f (1− f ) Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (0, 8222− p) 45 T=∼ St(44) ≡ N(0,1). 0, 8222(1− 0, 8222) Ở độ tin c ậy γ = 0, 9 , ta tìm được C= 1, 64 . Do đĩ ước l ượng t ỷ l ệ p cho b ởi f (1− f ) 0, 8222(1 − 0, 8222) p=±⋅ f C = 0, 8222 ± 1, 64 , n 45 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 0,7282; 0, 9162  Bài 6. Ng ười ta đo ion Na + trên m ột s ố ng ười và ghi nh ận l ại được k ết qu ả nh ư sau 129, 132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140 2 a) Tính trung bình m ẫu X và ph ươ ng sai m ẫu SX . b) Ước l ượng trung bình µ và ph ươ ng sai σ2 của t ổng th ể ở độ tin c ậy 0,95. c) N ếu mu ốn sai s ố ước l ượng trung bình khơng quá ε = 1 với độ tin c ậy 0,95 thì ph ải quan sát m ẫu g ồm ít nh ất m ấy ng ười ? Gi ải a) T ừ các s ố li ệu nh ận được c ủa m ẫu, ta cĩ = = 2 = = n 12 , X 137, 83 , SX 19, 42 , và SX 4, 41 . b) Để ước l ượng trung bình tổng th ể µ , ta dùng th ống kê (X− µ ) n T=∼ Stn1() − , SX Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (137, 83− µ ) 12 T= ∼ St() 11 . 4, 41 73
MATHEDUCARE.COM γ = =11 = µ Với độ tin c ậy 0, 95 , ta cĩ C t0.05 2, 201 . Do đĩ ước l ượng trung bình cho b ởi S 4, 41 µ=±X CX = 137, 83 ± 2, 201 , n 12 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 135, 01;140, 63  . Để ước l ượng ph ươ ng sai tổng th ể khi ch ưa bi ết trung bình c ủa t ổng th ể, ta dùng th ống kê (n− 1)S 2 Y=X ∼ χ2 (n − 1) , σ2 ngh ĩa là 11× ( 19, 42 ) Y=∼ χ 2 () 11 . σ2 Với độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được a và b sao cho 1 − γ PY()()≤= a PY ≥= b . 2 Từ b ảng phân ph ối xác su ất c ủa phân ph ối Chi-Bình ph ươ ng, ta tìm được ≡ χ2 = ≡ χ2 = aα (11) 3, 816 , và bα (11) 21, 925 . 1− 2 2 Do đĩ (n− 1)S 2 3, 816≤X ≤ 21, 925 , σ2 và ta nh ận được b ất đẳ ng th ức 11×( 19, 42) 11 × ( 19, 42 ) ≤ σ2 ≤ 21, 925 3, 816 Từ đĩ suy ra ước l ượng cho ph ươ ng sai t ổng th ể là 9,74; 55, 98  . S c) Sai s ố c ủa ước l ượng trung bình cho b ởi C X , nên để sai s ố này khơng quá ε = 1 , ta n gi ải b ất ph ươ ng trình 74
MATHEDUCARE.COM S CX ≤ ε = 1 . n Suy ra 2 2 S  4, 41  ≥X = = n C   2, 201  94, 2 . ε  1  Vậy ph ải quan sát ít nh ất 95 ng ười. Bài 7. Kh ảo sát ch ỉ tiêu X c ủa m ột lo ại s ản ph ẩm, ng ười ta quan sát m ột m ẫu và cĩ k ết qu ả sau X(cm) 11 - 15 15 - 19 19 – 23 23 - 27 27 - 31 31 - 35 35 - 39 Số s ản ph ẩm 8 9 20 16 16 13 18 Gi ả s ử X cĩ phân ph ối chu ẩn. Hãy ước l ượng ph ương sai c ủa X v ới độ tin c ậy 95% trong các tr ươ ng h ợp sau: a) Bi ết trung bình t ổng th ể c ủa X là 25 cm. b) Ch ưa bi ết giá tr ị trung bình c ủa X. Gi ải µ = a) Để ước l ượng ph ươ ng sai t ổng th ể khi bi ết trung bình t ổng th ể 0 25 , ta dùng th ống kê n 1 2 Y=() X −µ∼ χ 2 (n) . σ2 ∑ i 0 i= 1 Với độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta ch ọn kho ảng tin c ậy cho Y : a, b  =χ2 = =χ2 = Với a0.975 (100) 77, 929, b0.025 (100) 129,561 Ta l ập b ảng − µ −12 −8 −4 0 4 8 12 X 0 N 8 9 20 16 16 13 18 2 Từ đĩ ta tìm được c ỡ m ẫu n= 100, n() X −µ= 5728 ∑ i i 0 Kho ảng ước lượng c ủa ph ươ ng sai t ổng th ể σ2 75
MATHEDUCARE.COM n n 12 1 2  σ∈2  n() X −µ , n() X −µ=  44, 211;73,503  b∑ii0 a ∑ ii0    i1= i1 =  b) Để ước l ượng ph ươ ng sai t ổng th ể khi ch ưa bi ết trung bình c ủa t ổng th ể, ta dùng th ống kê (n− 1)S 2 Y=X ∼ χ2 (n − 1) , σ2 ngh ĩa là 99× ( 55, 991 ) Y=∼ χ 2 () 99 . σ2 Với độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được a và b sao cho Từ b ảng phân ph ối xác su ất c ủa phân ph ối Chi-Bình ph ươ ng, ta tìm được =χ2 = =χ2 = a0.975 (99) 77, 929, b 0.025 (99) 129,561 . Kho ảng ước l ượng c ủa ph ươ ng sai t ổng th ể σ2 −2 − 2  2 (n 1)SX (n 1)S X σ ∈,  =  42,784;71,130  b a  Bài 8. Trong kho cĩ 10000 h ộp th ịt. Kiểm tra ng ẫu nhiên 100 h ộp th ấy cĩ 5 h ộp b ị h ỏng. Với độ tin c ậy 95%, tính xem trong kho cĩ kho ảng bao nhiêu h ộp b ị h ỏng. Gi ải Gọi N là s ố h ộp th ịt b ị h ỏng ở trong kho N Tỷ l ệ (t ổng th ể) nh ững h ộp b ị h ỏng: p = . 10000 5 Tỷ l ệ (m ẫu) nh ững h ộp b ị h ỏng: f= = 0, 05 . 100 Để ước t ỷ l ệ t ổng th ể p , ta dùng th ống kê (f− p) n T=∼ St(n − 1) . f (1− f ) Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ 76
MATHEDUCARE.COM (0, 05− p) 100 T=∼ St(99) ≡ N(0,1). 0, 05(1− 0, 05) Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng t ỷ l ệ p cho b ởi f (1− f ) 0, 05(1 − 0, 05) p=±⋅ f C = 0, 05 ± 1,96 , n 100 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng p∈  0, 00728; 0, 09272  . Vậy s ố h ộp b ị h ỏng n ằm trong kho ảng N∈  73;927  . Bài 9. Trong kho cĩ 1000 s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp A s ản xu ất b ỏ l ẫn v ới nhi ều s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp B s ản xu ất. L ấy ng ẫu nhiên t ừ kho ra 100 s ản ph ẩm thì th ấy cĩ 9 s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp A s ản xu ất. V ới độ tin c ậy 90% hãy ước l ượng s ố s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp B s ản xu ất cĩ ở trong kho. Gi ải Gọi N là s ố s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp B s ản xu ất cĩ ở trong kho 1000 Tỷ l ệ (t ổng th ể) sản ph ẩm c ủa xí nghi ệp A sản xu ất cĩ ở trong kho: p = . 1000+ N 9 Tỷ l ệ (m ẫu) sản ph ẩm c ủa xí nghi ệp A sản xu ất cĩ ở trong kho: f= = 0, 09 . 100 Để ước t ỷ l ệ t ổng th ể p , ta dùng th ống kê (f− p) n T=∼ St(n − 1) . f (1− f ) Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (0, 09− p) 100 T=∼ St(99) ≡ N(0,1). 0, 09(1− 0, 09) Ở độ tin c ậy γ = 0, 9 , ta tìm được C= 1, 64 . Do đĩ ước l ượng t ỷ l ệ p cho b ởi f (1− f ) 0, 09(1 − 0, 09) p=±⋅ f C = 0, 09 ± 1,64 , n 100 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng p∈  0, 0431; 0,1369  . 77
MATHEDUCARE.COM Vậy s ố h ộp b ị h ỏng n ằm trong kho ảng N∈  6305; 22202  . Bài 10. Số li ệu th ống kê v ề doanh s ố bán hàng c ủa m ột siêu th ị trong 7 tháng qua là : Doanh s ố 20 - 30 30 - 35 35 - 40 40 - 45 45 - 50 50- 55 55 – 60 60 - 70 (tri ệu đ/ngày) Số ngày 10 25 30 40 38 30 15 8 a) Ước l ượng doanh s ố bán trung bình trong m ột ngày c ủa siêu th ị này v ới độ tin c ậy 95%. b) Nh ững ngày cĩ doanh s ố bán trên 50 tri ệu là nh ững ngày đắt hàng. Hãy ước l ượng s ố ngày bán đắt hàng ở siêu th ị này trong m ột n ăm (360 ngày) v ới độ tin c ậy 99%. Gi ải = = = Với s ố li ệu, ta cĩ : c ỡ m ẫu n 196 , trung bình X 44,133 , ph ươ ng sai SX 9, 382 . a) Để ước l ượng trung bình t ổng th ể µ khi ch ưa bi ết ph ươ ng sai t ổng th ể ta dùng th ống kê (X− µ ) n T=∼ St(n − 1) . SX Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (44,133− µ ) 196 T=∼ St(195) ≡ N(0,1). 9, 382 Ở độ tin c ậy γ = 0, 95 , ta tìm được C= 1, 96 . Do đĩ ước l ượng kh ối l ượng trung bình µ cho b ởi S 9, 382 µ=±X CX = 44,133 ± 1, 96 , n 196 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 42, 82; 45, 45  . f=30+ 15 + 8 ≈ 0, 27041 b) T ỷ l ệ nh ững ngày bán đắt hàng trong n ăm là 196 . Để ước t ỷ l ệ t ổng th ể p , ta dùng th ống kê (f− p) n T=∼ St(n − 1) . f (1− f ) 78
MATHEDUCARE.COM Với s ố li ệu m ẫu, ta cĩ (0, 27041− p) 196 T=∼ St(195) ≡ N(0,1). 0, 27041(1− 0, 27041) Ở độ tin c ậy γ = 0, 99 , ta tìm được C= 2,58 . Do đĩ ước l ượng t ỷ l ệ p cho b ởi f (1− f ) 0, 27041(1 − 0, 27041) p=±⋅ f C = 0, 27041 ± 2,58 , n 196 và ta nh ận được kho ảng ước l ượng 0,1130; 0, 4278  . Gọi N là s ố ngày bán đắt hàng trong n ăm N Tỷ l ệ (t ổng th ể) nh ững ngày bán đắt hàng trong năm: p = . 360 Vậy s ố ngày bán đắt hàng trong n ăm : N∈  41;154  . 4.3. Bài t ập rèn luy ện Bài 1. Quan sát th ời gian c ần thi ết để s ản xu ất m ột chi ti ết máy, ta thu được s ố li ệu cho b ảng sau Kho ảng th ời gian Số l ần quan sát (phút) 20 - 25 2 25 - 30 14 30 - 35 26 35 - 40 32 40 - 45 14 45 - 50 8 50 - 55 4 2 Tính trung bình m ẫu X, ph ươ ng sai m ẫu cĩ hi ệu ch ỉnh SX . Bài 2. Đo độ dài c ủa m ột lo ại tr ục xe, ta cĩ k ết qu ả Nhĩm 18,4-18,6 18,6-18,8 18,8 -19 19 -19,2 19,2-19,4 19,4-19,6 19,6-19,8 ni 1 4 20 41 19 8 4 79
MATHEDUCARE.COM Hãy ước l ượng điểm độ dài trung bình và ph ươ ng sai của tr ục xe. Đ ố 2 áp s : X= 19,133; SX = 0, 539 . Bài 3. Đo s ức b ền ch ịu l ực c ủa m ột lo ại ống thí nghi ệm, ng ười ta thu được b ộ s ố li ệu sau 4500 6500 5200 4800 4900 5125 6200 5375 Từ kinh nghi ệm ngh ề nghi ệp, ng ười ta c ũng bi ết r ằng s ức b ền đĩ cĩ phân ph ối chu ẩn v ới độ l ệch chu ẩn σ = 300 . Hãy ước l ượng sức b ền trung bình c ủa lo ại ống trên, v ới độ tin c ậy 90%. Đ ố   áp s : µ ∈ 5151;5499  . Bài 4. Tr ước b ầu c ử, ng ười ta ph ỏng v ấn ng ẫu nhiên 2000 c ử tri thì th ấy cĩ 1380 ng ười ủng hộ m ột ứng c ử viên K. V ới độ tin c ậy 95%, h ỏi ứng c ử viên đĩ thu được t ối thi ểu bao nhiêu ph ần tr ăm phi ếu b ầu ? Đáp s ố: 67%. Bài 5. a) Mu ốn ước l ượng t ỷ l ệ b ệnh s ốt xu ất huy ết ở Tp. H ồ Chí Minh v ới sai s ố khơng quá 3% ở độ tin c ậy 95% thì ph ải quan sát ít nh ất bao nhiêu ng ười ? b) Gi ả s ử quan sát 100 ng ười th ấy cĩ 20 ng ười b ị b ệnh s ốt xu ất huy ết. Hãy ước l ượng tỷ l ệ b ệnh s ốt xu ất huy ết ở Tp. H ồ Chí Minh ở độ tin c ậy 97%. N ếu mu ốn sai s ố ước l ượng khơng quá 3% ở độ tin c ậy 95% thì ph ải quan sát ít nh ất bao nhiêu ng ười ? Đ ố ườ   ườ áp s : a) 1068 ng i; b) p∈  0,1132; 0, 2868  ; 683 ng i. Bài 6. Để ước l ượng xác su ất m ắc b ệnh gan v ới độ tin c ậy 90% và sai s ố khơng v ượt quá 2% thì cần ph ải khám ít nh ất bao nhiêu ng ười, bi ết r ằng t ỷ l ệ m ắc b ệnh gan th ực nghi ệm đã cho bằng 0,9. Đáp s ố: 606 ng ười. Bài 7. Mu ốn bi ết trong ao cĩ bao nhiêu cá, ng ười ta b ắt lên 2000 con, đánh d ấu xong l ại th ả xu ống h ồ. Sau m ột th ời gian, ng ười ta b ắt lên 500 con và th ấy cĩ 20 con cá cĩ đánh d ấu c ủa lần b ắt tr ước. D ựa vào k ết qu ả đĩ, hãy ước l ượng s ố cá cĩ trong h ồ v ới độ tin c ậy 95%. 80
MATHEDUCARE.COM Đ ố   áp s : 34865; 87719  . Bài 8. Để cĩ th ể d ự đốn được s ố l ượng chim th ường ngh ỉ t ại v ườn nhà mình, ng ười ch ủ b ắt 89 con, đem đeo khoen cho chúng r ồi th ả đi. Sau m ột th ời gian, ơng b ắt ng ẫu nhiên được 120 con và th ấy cĩ 7 con cĩ đeo khoen. Hãy d ự đốn s ố chim giúp ơng ch ủ v ườn ở độ tin cậy 99%. Đ ố   áp s : 784; 27812  . Bài 9. Sản l ượng m ỗi ngày c ủa m ột phân x ưởng là bi ến ng ẫu nhiên tuân theo lu ật chu ẩn. K ết qu ả th ống kê c ủa 9 ngày cho ta : 27 26 21 28 25 30 26 23 26 Hãy ước l ượng sản l ượng trung bình và ph ươ ng sai mỗi ngày, v ới độ tin c ậy 95%. Đ ố  2  áp s : µ∈23,75; 27, 81  ; σ∈ 3,166; 25, 468  . = = Bài 10. Trên t ập m ẫu g ồm 100 s ố li ệu, ng ười ta tính được X 0,1; SX 0, 014 . Hãy ước lượng giá tr ị trung bình t ổng th ể, v ới độ tin c ậy 95%. Đ ố   áp s : µ ∈ 0, 0973; 0,103  . Bài 11. Cân th ử 100 qu ả cam, ta cĩ b ộ s ố li ệu sau : Kh ối l ượng (g) 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Số qu ả 2 3 15 26 28 6 8 8 4 a) Hãy ước l ượng kh ối lượng trung bình các qu ả cam ở độ tin c ậy 95%. b) Cam cĩ kh ối l ượng d ưới 34g được coi là cam lo ại 2. Tìm ước l ượng tỷ lệ cam lo ại 2 với độ tin c ậy 90% . Đ ố     áp s : a) µ ∈ 35,539; 36, 241  ; b) p∈  0, 0143; 0, 0857  . Bài 12. Chi ều dài c ủa m ột lo ại s ản ph ẩm được xu ất kh ẩu hàng lo ạt là bi ến ng ẫu nhiên phân ph ối chu ẩn v ới µ=100mm và σ=2 4 2 mm 2 . Ki ểm tra ng ẫu nhiên 25 s ản phẩm. Kh ả n ăng 81
MATHEDUCARE.COM chi ều dài trung bình c ủa s ố s ản ph ẩm ki ểm tra n ằm trong kho ảng t ừ 98mm đế n 101mm là bao nhiêu. Đáp s ố: 0,8828. Bài 13. Ch ọn ng ẫu nhiên 36 cơng nhân c ủa xí nghi ệp thì th ấy l ươ ng trung bình là 380 ngàn đ/tháng. Gi ả s ử l ươ ng cơng nhân tuân theo lu ật chu ẩn v ới σ = 14 ngàn đồng. V ới độ tin c ậy 95%, hãy ước l ượng mức l ươ ng trung bình c ủa cơng nhân trong tồn xí nghi ệp. Đ ố   áp s : µ ∈ 375, 427; 384, 573  . Bài 14. Điểm trung bình mơn tốn c ủa 100 thí sinh d ự thi vào ĐHKT là 5 v ới độ l ệch chu ẩn = mẫu đã điều ch ỉnh SX 2, 5 . a) Ước l ượng điểm trung bình mơn tốn c ủa tồn th ể thí sinh v ới độ tin c ậy là 95%. b) V ới sai s ố 0,25 điểm. Hãy xác định độ tin c ậy. Đ ố   áp s : a) µ ∈ 4, 51;5, 49  ; b) 68,26%. Bài 15. Tu ổi th ọ c ủa m ột lo ại bĩng đèn được bi ết theo quy lu ật chu ẩn v ới độ l ệch chu ẩn 100 gi ờ. a) Ch ọn ng ẫu nhiên 100 bĩng đèn để th ử nghi ệm, th ấy m ỗi bĩng tu ổi th ọ trung bình là 1000 gi ờ. Hãy ước l ượng tu ổi th ọ trung bình c ủa bĩng đèn xí nghi ệp A s ản xu ất v ới độ tin c ậy là 95%. b) V ới độ chính xác là 15 gi ờ. Hãy xác định độ tin c ậy. c) V ới độ chính xác là 25 gi ờ và độ tin c ậy là 95% thì cần th ử nghi ệm bao nghiêu bĩng. Đ ố   áp s : a) µ ∈ 980, 4;1019, 6  ; b) 86,64%; c) 62. Bài 16. Kh ối lượng các bao b ột mì tại m ột c ửa hàng l ươ ng th ực theo quy lu ật chu ẩn. Ki ểm tra 20 bao, th ấy kh ối lượng trung bình c ủa m ỗi bao b ột mì là 48kg, và ph ươ ng sai m ẫu cĩ 2 = ()2 điều ch ỉnh là SX 0, 5kg . 82
MATHEDUCARE.COM a) V ới độ tin c ậy 95%, hãy ước l ượng kh ối lượng trung bình c ủa m ột bao b ột mì thu ộc cửa hàng. b) V ới độ chính xác là 0,26kg. Hãy xác định độ tin c ậy. c) V ới độ chính xác là 160g và độ tin c ậy là 95%, tính c ỡ m ẫu. Đ ố   áp s : a) µ ∈ 47,766; 48, 234  ; b) 97%; c) 43. Bài 17. Để ước l ượng t ỷ l ệ s ản ph ẩm x ấu c ủa m ột kho đồ h ộp, ng ười ta ki ểm tra ng ẫu nhiên 100 h ộp th ấy cĩ 11 h ộp x ấu. a) Ước l ượng t ỷ l ệ s ản ph ẩm x ấu c ủa kho đồ h ộp v ới độ tin c ậy 94%. b) V ới sai s ố cho phép ε = 3% , hãy xác định độ tin c ậy. Đ ố   áp s : a) p∈  0, 051; 0,169  ; b) 66,3%. Bài 18. Lơ trái cây c ủa m ột ch ủ c ửa hàng được đĩng thành s ọt m ỗi s ọt 100 trái. Ki ểm tra 50 sọt th ấy cĩ 450 trái khơng đạ t tiêu chu ẩn. a) Ước l ượng t ỷ l ệ trái cây khơng đạ t tiêu chu ẩn c ủa lơ hàng v ới độ tin c ậy 95%. b) Mu ốn ước l ượng t ỷ l ệ trái cây khơng đạ t tiêu chu ẩn v ới độ chính xác 0,5%, độ tin cậy đạ t được là bao nhiêu. c) Mu ốn ước l ượng t ỷ l ệ trái cây khơng đạ t tiêu chu ẩn v ới độ tin c ậy 99% và độ chính xác 1% thì cần ki ểm tra bao nhiêu s ọt. d) Mu ốn ước l ượng t ỷ l ệ trái cây khơng đạ t tiêu chu ẩn v ới độ tin c ậy 99% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu? Đ ố   ọ áp s : a) p∈  0, 082; 0, 098  ; b) 78,5%; c) 0,012; d) 55 s t. Bài 19. Điều tra n ăng su ất lúa trên di ện tích 100 hec ta trồng lúa c ủa m ột vùng, ta thu được bảng s ố li ệu sau : Năng su ất (t ạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Di ện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 5 83