Các bài toán về dạng đại số của số phức

Nội dung text: Các bài toán về dạng đại số của số phức

1. CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Phần 1 A. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC I. Kiến thức cần nhớ Số phức (dạng đại số): z a bi a, b R , i2 1 ; a là phần thực, b là phần ảo của z; z là số thực phần ảo của z bằng 0; z là số ảo phần thực của z bằng 0. aa ' Hai số phức bằng nhau: a bi a' biabab ' , , ', ' R . bb ' Biểu diễn hình học: Số phức z a bi a, b R được biểu diễn bởi điểm M a; b hay bởi vec tơ u a; b trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). Cộng, trừ số phức: ()''''abi abi aa bbi (abi )'' abi aa ' bbiabab ',,,',' R Số đối của z a bi là z a bi a, b R . z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi u ' thì: zz ' biểu diễn bởi uu ' zz ' biểu diễn bởi uu ' . Nhân hai số phức: abiabi '' aa' bb ' abbaiabab ' ',,,',' R k là số thực, z biểu diễn bởi thì kz biểu diễn bởi ku. Số phức liên hợp của số phức là z a bi . z z; z z ' z z '; zz ' zz ' z là số thực zz , z là số ảo zz . Môđun của số phức : z a22 b zz z 0 với mọi zC và zz 00 zz'','' z z z z z z với mọi z,' z C . Chia hai số phức: 1 Số phức nghịch đảo của zz 0 : zz 1 z 2 z''' z z z z Thương của z ' chia cho : zz' 1 z z 2 zz z ' z''' z z z ' Với z 0, w z ' w z thì: , z z z z z Căn bậc hai của số phức
2. Z là một căn bậc hai của số phức w z2 w . x22 y a z x yi x, y R là căn bậc hai của w, a bi a b R . 2xy b Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Hai căn bậc hai của số thực a 0 là a . Hai căn bậc hai của số thực a 0 là ai . II. Bài tập 1. Xác định các yếu tố của số phức Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) z i 2 4 i 3 2 i 2 b) zi 23 c) z 2 3 i 2 3 i d) z i 23 i i Giải: a) zi 1 có phần thực là -1; phần ảo là -1. b) zi 7 6 2 có phần thực là -7; phần ảo là 62. c) z 13 có phần thực là 13, phần ảo là 0. d) zi 17có phần thực là 1, phần ảo là 7. 1 1 3 2ii 3 4 Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: ;;; 2 3i13 i 4 i i 22 1 2 3ii 2 3 1 Giải: a) 23 i 2 3i 2 3 i 2 3 i 4 9 i2 13 13 i 1 1 3 b) 22 i 13 1 3 1 3 22 i ii 22 2 2 2 2 3 2i 2 i2 3 i c) 23 i ii 2 3 4i 3 4ii 4 1 d) 16 13i 4 i 4 i 4 i 17 13 1 3 Ví dụ 2: Cho zi . Hãy tính ;z ; z22 ; z ;1 z z . 22 z 13 i 1 1 1 3 Giải: 22 i z 13 1 3 1 3 22 i ii 22 2 2 2 2 13 zi 22
3. 2 1 3 1 3 1 3 z i i i 2 2 2 2 2 2 3 z 1 1 3 1 3 1 z z2 1 i i 0 2 2 2 2 1 Ví dụ 3: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6z i 2 3 iz và zz Tính môđun 123 zz12 Giải: Đặt z x yi x, y R 6z i 2 3 iz 6 x 6 y 1 i 2 3 y 3 xi 2 2 2 2 11 6x 6 y 1 2 3 y 3 x x22 y z 93 1 Suy ra zz 123 122 2 2 Ta lại có: zz zzzz z z zzzz zzzz 9912 1212 1 2 1221 1221 1 Suy ra z z z z 1 2 2 1 9 2 2 2 1 Khi đó: zz zzzz z z zzzz 12 1212 1 2 1221 3 1 zz 12 3 Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính. 2 Ví dụ 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình zz 2 10 0 Tính giá trị biểu 22 thức A z12 z Giải: Ta có: z2 2 z 10 0 z 1 2 9 z 1 2 3 i 2 zi 13 zi 13 z 1 3 i z 1 2 32 10 11 z22 1 3 i z 10 22 Vậy A z12 z 20 6 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn zz2 6 13 0 Tính z zi Giải: z2 6 z 13 0 z 3 2 4 z 3 2 2 i 2 zi 32 zi 32
4. 66 Với zi 32 ta có z 3 2 i 4 i 17 z i33 i 6 6 1 Với zi 32 ta có z 3 2 i 24 7 i 5 z i35 i 3 13 i Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm môđun của số phức z iz 1 i 3 Giải: Ta có 1 3 8 8 Do đó zi 44 Suy ra zi 44 1 i z iz 4 4 i 4 4 i i 8 8 i Vậy z iz 82 Ví dụ 7: Tính mô đun của số phức z biết rằng: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2 i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2 i 2a 1 2 bi 1 i a 1 bi 1 i 2 2 i 2ab 2 1 2 abiab 2 1 1 abi 1 2 2 i 1 a 3ab 3 2 3 3a 3 b a b 2 i 2 2 i ab 2 2 1 b 3 2 Suy ra môđun: z a22 b 3 z11 2 i 2 iz 1 Ví dụ 8: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện: Tính P z12 z z22 2 i 3 iz 1 biết zz12 1 Giải: Đặt z x yi x, y R z 2 i 2 iz 1 x2 y 2 22 2 1 y 2 x 2 x 2 y 2 2 zz12 2 2 2 2 2 Đặt z12 abiz ; cdiabcdR , , , a b 2; c d 2 z z 1 a c 22 b d 1 2 ac bd 3 Từ 12 222 2 2 2 2 Pzz 12 P ac bd abcd27 acbd Vậy P 7
5. 1 iz Ví dụ 9: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 21Tìm số phức có mô đun nhỏ 1 i nhất, lớn nhất. Giải: Đặt z x yi x, y R thì 1 iz 2 1 2 y xi 1 1 i x2 2 y 2 1 1 x 2 y 2 4 y 3 z x22 y 43 y Từ (1) ta có: 2 y 2 1 1 y 3 1 4 y 3 9 Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i Ví dụ 10: Biết rằng số phức z thỏa mãn u z 3 i z 1 3 i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z Giải: Đặt ta có u x 3 y 1 i x 1 y 3 i x22 y 4 x 4 y 6 2 x y 4 i Ta có: u R x y 40 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất OM d Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i. zi 2 Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của zi 1 z Giải: Gọi ta có zi 2 2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 i zi 1 2 2 2 2 2 x 2 y 1 2 x 1 y 1 x2 y 3 10 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R 10 M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất. Tìm được Min z 3 10 khi zi 3 10 và Max z 3 10 khi zi 3 10 Ví dụ 12: Cho ba số phức z1,, z 2 z 3 đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng: z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 Giải: Vì z1 z 2 z 3 1 z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 1 1 1 Nên zzzzzz122331 zzzzzz 123123 z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3
6. Suy ra z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 8 2 Ví dụ 13: Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn z3 9 thì z 3 z3 z 2 Giải: Đặt a z a 0 z Ta có: 3 2 3 8 2 z z 3 6 z z z z 23 8 2 a33 z z 6 z 9 6 a z z3 z 2 Ta được a32 6 a 9 0 a 3 a 3 a 3 0 vì aa2 33>0 nên az 3 z Ví dụ 14: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: i;4 i ; 4;1 4 3 i . Giải: a) Gọi z x yi x, y R là căn bậc hai của i . Khi đó: z2 w2 xyi 2 ixy 2 2 xyii x2 y 2 0 x 2 y 2 2xy 1 2 xy 1 1 1 Vậy có hai căn bậc hai là: 1 i và 1 i . 2 2 b) Gọi là căn bậc hai của 4i . Khi đó: z2 w xyi 2 4 ixy 2 2 2 xyii 4 x2 y 2 0 x 2 y 2 2xy 4 2 xy 4 Vậy có hai căn bậc hai là: 21 i và 21 i . c) Hai căn bậc hai của -4 là 2i . d) Gọi là căn bậc hai của 1 4 3i . Khi đó: z2 w xyi 2 1 4 3 ixyxyi 2 2 2 1 4 3 i 22 22 xy 1 xy 1 23 2xy 4 3 y x Vậy có hai căn bậc hai là: 23 i và 23i . 2. Ứng dụng của số phức trong chứng minh bất đẳng thức Ví dụ:15 Chứng minh rằng các bất đẳng thức: a) xxyy2 2 yyzz 2 2 zzxx 2 2 3 xyz  xyz , , 0 b) 4 cxy os2 cos 2 sin 2 xy 4sin 2 xy sin 2 sin 2 xy 2  xyR , Giải:
7. y 3 z x yi 1 22 z 3 a) Đặt z y zi 2 22 x 3 z z xi 3 22 Ta có: 22 z1 x xy y 22 z2 y yz z Và z1 z 2 z 3 3 x y z 22 z3 z zx x Do z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 nên ta có điều phải chứng minh. z 2cos x cos y isin x y b) Đặt 1 z2 2sin x sin y isin x y Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh. 21z Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu z 1thì 1 2 iz Giải: Giả sử z a bi a, b R thì z a22 b z 1 a2 b 2 1 a 2 b 2 1 2 2 21z 2a 2 b 1 i 4ab 2 1 Ta có: 2 iz 2 2 2 b ai 2 ba 2 2 4ab 2 1 22 đpcm 1 4a2 2 b 1 2 b a 2 a 2 b 2 1 2 2 ba 2 vậy ta có điều phải chứng minh. 1 1 Ví dụ 2: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện z 3 2CMR: z 2 z 3 z Giải: Ta có với hai số phức zz12, bất kỳ ta có : z1 z 2 z 1 z 2 33 1 33 1 1 1 1 1 1 Ta có : z z333 z z z 3 z 2 3 z z zz z z z z 1 2 Đặt za ta có a3 3 a 2 0 a 2 a 1 0 z Vậy ta có điều phải chứng minh.
8. Bài tập tự luyện 1. Cho các số phức : 2 3i ;2 i ;3 2 i a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. 2. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của các số sau: a) 1 2ii 3 2 b) i 2 i 1 3 i c) 4 i 2 3 i 5 i d) 11 ii 22 33 32 ii e) 23 ii g) 1 ii 33 11 7 11 i 10 h) i 7 k) 1 i 2 3 i 2 3 i 2ii 1 ii l) 1 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 20 . 3. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) 1 4 3i b) 1 4 3i c) 4 6 5i d) 1 2 6i Phạm Thị Thêu – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01649 232 901 8